Zorlu bir polinom

[Ekrem K]

[brkd...@gmail.com]

P(x) = 
Pay: a*x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x
Payda: x+1

Olacak şekilde tanımlayabiliriz, pay 5. dereceden ve payda 1. dereceden olduğu için bölümün sonucu 4. dereceden olacaktır.
Tabii pay, paydaya tam bölünebilmeli ki sonuç bir polinom olmalı.
Bunun için Pay(-1) = 0 olmalı (çünkü pay, (x+1) çarpanı içermeli).
-120a - 1 = 0 -> a = -1/120
a'nın uygun değerini bulduktan sonra polinomu düzenleyip kesirsiz halini bulmaya gerek yok, bölünebildiğini kesinleştirmiş olmamız yeter.
P(5) de (-1 + 5)/6 = 2/3 gelir.

28 Ekim 2021 Perşembe tarihinde saat 15:52:02 UTC+3 itibarıyla ekre...@gmail.com şunları yazdı:

[Ekrem K]

Teşekkürler. Çok. İyi👍

28 Eki 2021 Per 16:36 tarihinde brkd...@gmail.com <brkd...@gmail.com> şunu yazdı:

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/3608751f-74ad-4119-b40e-8353aadc9392n%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[brkd...@gmail.com]

Önemli değil, bu tür sorularda genellikle verilen değerleri bir örüntü olarak düşünüp (burada x/(x+1)) onun üzerinden gitmek gerekiyor.
Bu soruda P(x) = G(x) + x/(x+1) (kesri ayrı olarak ekleme) olamayacağı için P(x) = (G(x) + x)/(x+1) olarak düşünmek gerekiyordu.

28 Ekim 2021 Perşembe tarihinde saat 16:47:42 UTC+3 itibarıyla ekre...@gmail.com şunları yazdı:

[Turgay İyisabancı]

Polinomun tanımına uygun mu ? 

28 Eki 2021 Per 17:00 tarihinde brkd...@gmail.com <brkd...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/d38a7d34-89bc-4505-b882-aa759a9045b2n%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[brkd...@gmail.com]

Sorunun çözümünün bir kısmı, payın paydaya bölünebilmesini sağlamak için gereken katsayıyı bulmak oluyor hocam.

Örneğin P(x) = x^2+x+1'i (x^3-1)/(x-1) olarak ifade ediyormuşuzcasına işlem yapıyoruz.

28 Ekim 2021 Perşembe tarihinde saat 17:41:10 UTC+3 itibarıyla turga...@gmail.com şunları yazdı:

[Ekrem K]

Hocam p(5)=2/3 bulmuştuk

Cramer metodu ile verilenlerden denklemi bularak sağladım.

Fakat grafiğine baktığımda sizin yöntemle polinom bulamadım. Yani x +1 çarpanı olur diyerek a katsayısını -1/120 bulduk ama işlemde sanki x+1 çarpan ı yok gibi bir durum oluyor. Anlayamadım?

28 Eki 2021 Per 19:03 tarihinde brkd...@gmail.com <brkd...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/fbf6fc13-869c-4c44-9f92-3817ae5a1c92n%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[Ekrem K]

Polinom dşündüğümüz fonksiyon

28 Eki 2021 Per 20:05 tarihinde Ekrem K <ekre...@gmail.com> şunu yazdı:

[Muharrem Şahin]

Berke hocamızın güzel çözümü

verilen sayıların özel durumlarına dayandırılmıştır.

Örneğin; 

diğer verilenler aynı iken 

P(4) = 1 verilmiş olsaydı,

bu yol geçerli olmayacaktı.

...

P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx

alınarak yapılacak çözümü 

tüm ilgililer yapabilirler. 

Ekrem K <ekre...@gmail.com>, 28 Eki 2021 Per, 20:05 tarihinde şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAKCtPqYjqN1pqOecTAE_EYojm-r7YZRndnGyb1mNyyjrH8fG3w%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

--

.

[brkd...@gmail.com]

Kesri 120 ile genişlettiğinizde pay kısmındaki +x'i de +120x olarak güncellemelisiniz hocam. Bu güncellemeyi yapınca aynı fonksiyon grafiği çıkıyor.

28 Ekim 2021 Perşembe tarihinde saat 20:31:54 UTC+3 itibarıyla ekre...@gmail.com şunları yazdı:

[brkd...@gmail.com]

Elinize sağlık Muharrem hocam, güzel bir açıklama.

28 Ekim 2021 Perşembe tarihinde saat 20:34:07 UTC+3 itibarıyla Muharrem Şahin şunları yazdı:

[brkd...@gmail.com]

Dediklerinizi ne kadar doğru anladım bilmiyorum ama P(x) polinomunda x+1 çarpanı olduğunu varsaymadık, P(x) = G(x)/(x+1) için G(x) polinomunda x+1 çarpanı olduğunu varsaydık (daha doğrusu gerektirdik).
Grafik G(x)'e değil P(x)'e ait olduğu için -1'de x eksenini kesmemesi olağan dışı bir durum değil.

28 Ekim 2021 Perşembe tarihinde saat 20:06:04 UTC+3 itibarıyla ekre...@gmail.com şunları yazdı:

[Muharrem Şahin]

Sevgiler, selamlar Berke'ciğim.

"Berke Hoca'mız" derken

seni unuttuğumu sanma. :)

[Ekrem K]

Teşekkürler.

29 Eki 2021 Cum 02:38 tarihinde brkd...@gmail.com <brkd...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/2f95242e-d04e-41de-b9ac-335b260a6fben%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[brkd...@gmail.com]

Sevgiler Muharrem hocam, 

"Ayrılıp geri dönme" durumunda olmadığım ve sadece biraz uzun aralar verdiğim için ben de sizleri unuttum sanmayın :)

Zamanında gördüğüm/karşılaştığım çoğu hocamı hala görüyor olmak keyif verici.

Kolay gelsin Ekrem hocam.

Bu arada, hepimizin Cumhuriyet Bayramı kutlu olsun. Nice 29 Ekim'lere.

29 Ekim 2021 Cuma tarihinde saat 10:16:10 UTC+3 itibarıyla Muharrem Şahin şunları yazdı:

[Turgay İyisabancı]

Mustafa hocamızın kitabından bir örnek vereyim  sizin yaptığın çözüme göre belirsizlik oluşmuyor mu hocam

28 Eki 2021 Per 19:03 tarihinde brkd...@gmail.com <brkd...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/fbf6fc13-869c-4c44-9f92-3817ae5a1c92n%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[Muharrem Şahin]

Turgay Hocam;

x bir belirsiz ise

(x^2 - 4) / (x+2)  bir polinomdur.

Bu konuda 

uzun yazışmalardan sonra

bu sonuçta buluştuğumuzu hatırlıyorum.

TMOZ Facebook grubunda bulabilirsiniz.

.

[Turgay İyisabancı]

Bir bakayım hocam teşekkürler 

29 Eki 2021 Cum 15:17 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> şunu yazdı:

--

http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcNdw%3D59vOGZnxFBUj%3DfgLaz%3DTAXU9cq0x3Meqwf7-QcCw%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[Muharrem Şahin]

Polinom ve Polinom Fonksiyon Üzerine;

Soru

P(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) eşitliği ile verilen

P(x) polinom mudur?

...

Ben

bu kavramı

1970'lerde

Modern Matematiği öğrenirken

öğrenmeye çalıştım.

"Polinom" kavramı

"fonksiyon" kavramından çok farklıdır.

"Ama;

öğrenciye

Lisede mi söyleyelim,

yoksa üniversitede

gerektiğinde mi?"

Lise öğrencisine

kavramı olduğu gibi verebilmek için gerekli olan

"Halka" kavramını veremediğimiz için,

en azından

polinom ile polinom fonksiyonun

farklı kavramlar olduğunu söyleyebilmeliyiz.

Zihne

yanlış bir temel atmamalıyız.

...

Sevgili Arkadaşlarım;

"Polinomlar" konusunu 40 gün önce didiklemiş

ve fikir birliğine vardığımızı büyük bir mutlulukla

görmüştüm.

Yanlış görmüşüm.

Ben öyle sanmışım.

Bir tartışmada doğrular ortaya konulunca, artık

yanlış düşünenlerin düşüncelerini değiştirmeleri

beklenir.

Tartıştığımız konular, öyle özel üretim konuları değil.

Üniversitelerimizde bunların doğruları söz konusu

ediliyor. Onların sunduğu kaynaklarda doğruları

yazılıyor.

Burada da, sağ olsun İbrahim Kuşçuoğlu Hocam

kavramı tam olduğu gibi aktarmış.

Artık farklı bakış olmamalı.

Farklı bakanlar, nerede hata yaptıklarını sorgulamalı.

Konuya tam hakim olamayan arkadaşlarımızı da

yanlış etkilememeli.

Tartışılanları şöyle özetleyeyim:

- "Polinom" ve "polinom fonksiyon" kavramları

farklı kavramlardır.

P(x) = a0 + a1.x + a2.x^2 + ... + an.x^n

ifadesi bir polinom ise, x belirsizi kısıtsız ve tanımsızdır.

Buradaki "kısıtsızlık" ve "tanımsızlık" en geniş anlamıyladır.

Yani; x, kat sayıların yazıldığı kümenin elemanı değildir.

"x" o kümeye dışarıdan katılmış kısıtsız ve tanımsız bir belirsizdir.

"x" e kat sayılar kümesinden değerlerin verilmesi ile

"polinom fonksiyon" kavramı ortaya çıkar.

Kat sayılar kümesi R ise ve x de R'nin elemanı olarak alınırsa

R'den R'ye P(x) fonksiyonu elde edilir. "Polinom fonksiyon"

terimindeki "polinom"; ifadenin bir polinomdan türetilmiş

olmasından başka bir anlam taşımaz. İki kavramın "x"e yüklediği

anlamlar tamamen farklıdır.

- Herhangi bir sayı kümesine bir x belirsizinin katılması ile

polinomlar elde edilemeyebilir.

Bir x belirsizi ile (ya da x, y, z, ... belirsizleri ile) genişleterek

polinom elde edebileceğimiz sayı kümeleri;

- toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı,

- bu işlemlerin değişme ve birleşme özeliklerinin bulunduğu,

- bu işlemlere göre birim elemanları bulunan,

- toplama işlemine göre ters elemanların da bulunduğu

sayı kümeleri olmalıdır.

Buna göre; kat sayılar kümesi "Tam sayılar", "Rasyonel sayılar",

"Reel sayılar", "Z/5", ... kümeleri olarak alınabilir.

Örneğin; "Doğal sayılar" kümesi "x" ile genişletilirse, elde edilen

elemanlara polinom denilemez.

- A(x).B(x) = C(x) eşitliğini sağlayan A(x) ve B(x) polinomları için

A(x) = C(x) / B(x) ve B(x) = C(x) / A(x) yazılabilir.

A(x) = C(x) / B(x) eşitliği, A(x).B(x) = C(x) anlamında kullanılır.

Şurasını netleştireyim:

Pay ve payda birer polinom olmak üzere; "P(x) = (x^2 -4) / (x+2)"

ifadesi, hiç kısıtlamasız, P(x) = x - 2 polinomunun aynısıdır.

Doğal olarak; x = -2 için de geçerlidir. P(-2) = -4 olur.

Verilen ifade bir polinom bölmesini gösterir. Bir kesre karşılık gelmez.

x'in bir reel sayı olarak düşünüldüğü f(x) = (x^2 -4) / (x+2) fonksiyonu

ise bir polinom fonksiyon değildir. Burada, f(-2) tanımsızdır.

Sevgiler, saygılar

...

x = 2 denirse, eşitlik fonksiyonlara taşınmış olur.

Daha geniş bakıldığında

(x'in bir reel sayı olmadığı da düşünüldüğünde)

P(x) = x+2 bir polinom olur.

...

"Polinomlar R'den R'ye tanımlıdır." yorumu hatalıdır.

O "polinom fonksiyon"lardan biridir.

(x-2).P(x) = x^2-4 eşitliği verilip de

x üzerine hiçbir kısıtlama getirilmemişse,

P(x)'in polinom olacağı kesindir.

x'in bir reel sayı olduğunun düşünülmesi bir kısıtlamadır.

Bu, kavramı "polinom fonksiyon" kavramına indirger.

...

Örneğin;

(x-2).Q(x) = x^2+1 eşitliğinde

tam bölme yapılamadığından

Q(x) polinom değildir..

Diğerinde, kalansız bölme mümkün olduğundan

x'in kısıtsız olduğu düşünülebilir.

P(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) polinomdur.

...

Soruyu veren

"(x-2).P(x) = x^2 - 4

eşitliğinde

P(x) bir fonksiyonun kuralıdır."

dememişse

yani, x kısıtlanmamış bir belirsiz ise

P(x) bir polinomdur.

2) P(x) = (x^2-4)/(x-2)

eşitliğinin dayandığı ilk eşitlikte

P(x)'in bir fonksiyon olduğu verilmişse

P: R - {2} --> R bir fonksiyondur.

İlk eşitlikte P(x)'in bir fonksiyon olduğu verilmemişse

P(x) = (x^2-4)/(x-2) = x+2 polinomudur.

3) Polinom kavramı

programda

Modern Matematiği

tam anlamıyla işlediğimiz dönemdeki gibi

ele alınmamıştır.

Bu durumda

verilen eşitlikteki P(x)'in

bir polinom olduğunun belirtilmesi yararlı olur.

4) Polinomlar

R'den R'ye veya Z'den Z'ye diye verilmez.

Öyle verebileceğimiz "Polinom fonksiyon"lardır.

...

x belirsiz iken

P(x) = x+2,

(x-2).P(x) = x^2-4,

P(x) = (x^2-4)/(x-2)

eşitliklerindeki P(x) 'ler aynı polinomdur.

Turgay İyisabancı <turga...@gmail.com>, 29 Eki 2021 Cum, 15:17 tarihinde şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAHppUDQDqa9-6%3DijyZ6ktM%2BuzSBSU0K4w7xrAzt6LAsW95iBmg%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

--

.

[brkd...@gmail.com]

Bu konuda bir itirazda bulunulmadığı sürece açıklama yapma gereği duymamıştım.
Kendimce yorum yapmam gerekirse, aslında P(x) polinomu G(x)/(x+1) polinomuna eşittir demedik.
Muharrem hocamın önceden belirttiği gibi aslında P(x), ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx formunda bir polinom.
Fakat soruyu, bu formu kullanarak çözmektense G(x)/(x+1) formunu kullanarak çözdük, tıpkı H(x) = x^2 + x + 1'in (x^3 - 1)/(x-1)'e denk olması gibi.
Bu bir eşitlik değil, denklik. x'in tanım kümesini önemsemeksizin işlem yapıyoruz.
Aslında burada da "denklik" kelimesini yanlış kullandığımı düşünüyorum, ve hatta üstteki satırlarda da bazı kavramları yanlış kullanmış olabilirim.

Muharrem hocamın yazısındaki şu parça, düşüncelerimi güzel bir şekilde aktarmış:

"""

Pay ve payda birer polinom olmak üzere; "P(x) = (x^2 -4) / (x+2)"

ifadesi, hiç kısıtlamasız, P(x) = x - 2 polinomunun aynısıdır.

Doğal olarak; x = -2 için de geçerlidir. P(-2) = -4 olur.

Verilen ifade bir polinom bölmesini gösterir. Bir kesre karşılık gelmez.
"""

Yine de Muharrem hocam, hatırladığım kadarıyla sorularda bir polinom kesir olarak tanımlandığında, P(x) = (x^2 -4) / (x+2) üzerinden gidelim, P(-2)'yi tanımsız olarak kabul ediyorlardı galiba. Bunu bir "polinom fonksiyon" olarak mı tanımlıyorlardı, hatırlamıyorum ama.

29 Ekim 2021 Cuma tarihinde saat 15:07:38 UTC+3 itibarıyla turga...@gmail.com şunları yazdı:

[Muharrem Şahin]

Yazımda ayrıntılı açıkladım Berke'ciğim.

x bir belirsiz ise,

P(x) = (x^2 - 4) / (x+2) = x - 2  

polinomu olur.

P(-2) = -4 olur.

Ama; daha başından, x bir gerçel sayıdır denirse,

o zaman P(-2) tanımsız olur. 

brkd...@gmail.com <brkd...@gmail.com>, 29 Eki 2021 Cum, 16:55 tarihinde şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/dbbbd721-fc75-4ff6-bdad-7e9c35a24027n%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

--

.