kapalı eğriler

[kemal aydin(ÖĞRETMEN) <mukeye@gmail.com>]

x^(y)+y^(x)=xy  arkadaşlar bu denklemin çözümü ile ilgili fikri olan varsa yazabilir mi

[Ege Sarıbaş]

x^y + y^x = xy 

Hocam öncelikle reel sayılarda çözemedim ben de çözümü merak ediyorum.

Ama en azından x ve y için tamsayılarda çözüm olmadığını söyleyeyim dedim.

Tamsayılarda neden çözüm olmadığını anlatayım:  (hata yapmış olabilirim görürseniz söylemekten çekinmeyiniz)

y = 0 olursa x^0 = 0 gelir. Buradan x = 0 olmak zorunda ancak 0^0 tanımsızdır yani çözüm yok.

y = 1 olursa x+1 = x gelir, çözüm yok.

Yani herhangi biri 0 veya 1 olamaz.

Biri negatif biri pozitif olsun. Genelliği bozmadan y negatif olsun. 

Biliyoruz ki x^y tamsayı olamaz çünkü x > 1. Ancak x^y = xy - y^x  ki sağ taraf tamsayıdır, çözüm yok.

İkisi de pozitif olsun. O zaman  x >= 2  ve  y >= 2  olur. (>= ifadesi büyük eşit anlamındadır)

Buradan  xy = x^y + y^x >= x^2 + y^2 >= 2xy   yani  xy >= 2xy  yani  0 >= xy  ancak bunlar pozitif sayı olduğu için çarpımları pozitif olmalı, çözüm yok. 

(x^2 + y^2 >= 2xy olmasının sebebi (x-y)^2 >= 0 )

Şimdi tek durum, ikisinin de negatif olması. x = -a , y = -b  diyelim. (a,b pozitif tamsayılar)

Buradan   1/(-a)^b  +  1/(-b)^a  =  ab   olur.  

b = 1 ise  -1/a + (-1)^b = -a  olur. Yani -1/a  tamsayı olmalı, buradan a=1 olmalı ancak sağlamaz, çözüm yok.

Benzer şekilde a=1 de olamaz. Yani  a^b  ve  b^a  ifadeleri  4 ten büyükeşittir.

Bu da  -1/(-a)^b  ve  1/(-b)^a  ifadelerinin  [-1/4, 1/4] aralığında olduğu anlamına gelir. Yani bu iki sayının toplamı en fazla 1/2 olabilir.

Yani  ab en fazla 1/2 olabilir ancak ab bir pozitif tamsayı olduğundan bu mümkün değil, çözüm yok.

7 Ekim 2024 Pazartesi tarihinde saat 17:25:07 UTC+3 itibarıyla kemal aydin(ÖĞRETMEN) <muk...@gmail.com> şunları yazdı: