Ratkaisu ÄÄRETTÖMYYDEN käsitteeseen!
Aki Karppinen
PITUUDEN tai ylip��ns� jonkin mitan ��rett�myytt�! Sit� on vaikea uskoa
ja vaikea hyv�ksy�.
Mutta matematiikka tarjoaa er��n ratkaisun, ja se on: "DERIVAATAN
��RETT�MYYS ON VAIN 90-asteen kulma!" Niin, ei enemp�� eik� v�hemp��!
JOS maailmankaikkeus on MITOILTAAN ��RET�N voi silti R*t (matka x aika)
tai v^2 (nopeus toiseen) olla ��rellinen, ja n�in pituus
asymptoottisesti voi olla ��ret�n, menness��n tarkasteltavaan akseliin
n�hden SUORAKULMAISESTI! Pian voi v^2 tai R*t k�yr� laskea, ja en�� ei
olekaan en�� ��ret�n tangentti kyseisell� funtkiolla. Tai jos koko ajan
on ��ret�n kulmakerroin, on kyseess� SUORAAN YL�SP�IN menev� suora, joka
ei k��nny miss��n vaiheessa, kuin ehk� max. arvossaan?!
Nuo EIV�T ole kuitenkaan sellaisia suureita, ett� niiden ��RETT�MYYS
riitt�isi tekem��n muistakin suureista ��rett�mi�: Tunnetuahan on, ett�
valonnopeus on AINOASTAAN 3*10^8 m/s.
Mit� derivaatan ��rett�myys K�YT�NN�SS� ON? Ykk�stangenttihan on
tunnetusti 45-astetta.
Jos meill� on suora: x = 5 m, eli viidess� metriss� meill� on suoraan
y-akselill� YL�SP�IN menev� suure, niin ei Y silti v�lt�m�tt� pongaa
��RET�NT� arvoa! (Jos on ehto 0 m < y < 2 m)
dy/dx = (y2 - y1)/(x2 - x1) = DeltaY/DeltaX = DeltaY/(0 m)
Tuosta TANGENTISTA tulee ��RET�NT�, ellette usko pankaa DeltaX:lle jokin
l�hell� nollaa oleva arvo, ja pienent�k�� sit� jatkuvasti - kohden
nollaa - niin arvosta tulee ��ret�n. Niin ja DeltaY:n on silloin oltava
nollasta poikkeava.
Jos DeltaY:n max arvo on 2 metri�(esim. KATTO), voi itse y pongata mink�
arvon tahansa 0 m ja 2 metrin v�lilt�
=> y2 - y1 = DeltaY/DeltaX * (x2 - x1) = DeltaY/DeltaX * DeltaX = DeltaY
=> y2 - y1 voi olla mit� tahansa, jos y1, y2 eiv�t ole kiinteit�
vakioarvoja...
Eli EI ��rett�myys ole mit��n luonnotonta, KAIKKIALLA LUONNOSSA on
��rett�mi� asioita! Jos asetatte jonkin SEIN�N tai vaikkapa kyn�n
pystyyn, suoraan kohtisuorasti muuta maanpintaa kohtaan(hmm...) niin
SAATTE ALEMMASTA POTENSSISTA(yleens� alemmasta aikapot.) ��RET�NT�!
Miehille ainakin tuttu asia:-)
Antti Ylikoski
> ��rett�myys on vaikea asia, silloin kun se tarkoittaisi esimerkisi
> PITUUDEN tai ylip��ns� jonkin mitan ��rett�myytt�! Sit� on vaikea uskoa
> ja vaikea hyv�ksy�.
>
> vakioarvoja...
>
> Eli EI ��rett�myys ole mit��n luonnotonta, KAIKKIALLA LUONNOSSA on
> ��rett�mi� asioita! Jos asetatte jonkin SEIN�N tai vaikkapa kyn�n
> pystyyn, suoraan kohtisuorasti muuta maanpintaa kohtaan(hmm...) niin
> SAATTE ALEMMASTA POTENSSISTA(yleens� alemmasta aikapot.) ��RET�NT�!
>
> Miehille ainakin tuttu asia:-)
��ret�n potenssi esiintyy vain miestenlehdiss�......
On se kumma, ett� on olemassa "naistenlehti�" ja "miestenlehti�" mitk�
termit tarkoittavat sit� mit� ne nyt tarkoittavat....
Se, ett� kaikki miehet ovat seksihulluja seksikoneita, on pelk�st��n
urbaani legenda. Samanlainen kuin se, ett� panemalla hampaan y�ksi
lasiin, jossa on kokista, niin aamulla hammas on h�vinnyt j�ljett�miin.....
AJY
Aatu Koskensilta
> ��ret�n potenssi esiintyy vain miestenlehdiss�......
��rett�mi� potensseja esiintyy toki my�s joukko-opissa. T�ss�
kiehtovassa matematiikan haarassa kohtaamme my�s esihiiri�, universaalin
n��d�n, nolla-tikarin, nolla-k�sikranaatin, marskimaita, pakottamista
sek� mm. taivuttamattomia, k�sitt�m�tt�mi�, hienovaraisia,
saavuttamattomia, t�ysin kuvailemattomia, valtavia, kompakteja,
heijastavia ja h�mm�stytt�vi� (suuria) kardinaaleja. (Suurin suuri suuri
kardinaali, jonka olemassaoloa Reinhardt aikoinaanesitti aksioomaksi ---
mainittakoon selvyyden vuoksi, ett� esitetty aksiooma postuloi
ei-triviaalin elementaarisen upotuksen joukko-opin maailmankaikkeudelta
itselleen --- on niin suuri, ettei sit� ole edes olemassa, jos meill� on
mit��n valintaa, kuten Kunen on todistanut.) Joukko-opin er��ss�
osa-alueessa, toimivassa kuvailevassa joukko-opissa ("effective
descriptive set theory") matemaatikot ovat ik�v� kyll� usein juuttuneet
jaanaamaan prioriteettiargumenteista, mit� ulkopuoliset saattanevat
pit�� pikkumaisena.
> On se kumma, ett� on olemassa "naistenlehti�" ja "miestenlehti�" mitk�
> termit tarkoittavat sit� mit� ne nyt tarkoittavat....
Mik� n�iden lehtien olemassolossa kummastuttaa sinua?
--
Aatu Koskensilta (aatu.kos...@uta.fi)
"Wovon man nicht sprechan kann, dar�ber muss man schweigen"
- Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus
Antti Ylikoski
> Antti Ylikoski <antti.y...@tkk.fi> writes:
>
>> ��ret�n potenssi esiintyy vain miestenlehdiss�......
>
> ��rett�mi� potensseja esiintyy toki my�s joukko-opissa. T�ss�
> kiehtovassa matematiikan haarassa kohtaamme my�s esihiiri�, universaalin
> n��d�n, nolla-tikarin, nolla-k�sikranaatin, marskimaita, pakottamista
> sek� mm. taivuttamattomia, k�sitt�m�tt�mi�, hienovaraisia,
> saavuttamattomia, t�ysin kuvailemattomia, valtavia, kompakteja,
> heijastavia ja h�mm�stytt�vi� (suuria) kardinaaleja. (Suurin suuri suuri
> kardinaali, jonka olemassaoloa Reinhardt aikoinaanesitti aksioomaksi ---
> mainittakoon selvyyden vuoksi, ett� esitetty aksiooma postuloi
> ei-triviaalin elementaarisen upotuksen joukko-opin maailmankaikkeudelta
> itselleen --- on niin suuri, ettei sit� ole edes olemassa, jos meill� on
> mit��n valintaa, kuten Kunen on todistanut.) Joukko-opin er��ss�
> osa-alueessa, toimivassa kuvailevassa joukko-opissa ("effective
> descriptive set theory") matemaatikot ovat ik�v� kyll� usein juuttuneet
> jaanaamaan prioriteettiargumenteista, mit� ulkopuoliset saattanevat
> pit�� pikkumaisena.
>
>> On se kumma, ett� on olemassa "naistenlehti�" ja "miestenlehti�" mitk�
>> termit tarkoittavat sit� mit� ne nyt tarkoittavat....
>
> Mik� n�iden lehtien olemassolossa kummastuttaa sinua?
>
No niin, jos k�yd��n tieteellisiksi, niin onhan olemassa vaikkapa w
potenssiin w, miss� w on pienin ��ret�n ordinaaliluku... Jos nyt oikein
muistan. Ynn� muuta hyvin, hyvin intellektuaalista ��rett�myksien
leikki� ��rett�mill� l. transfiniittiluvuilla.... Er��ss�
amerikkalaisessa kirjassa oli v�itetty todistus, ett� 2 potenssiin alef
nolla on C (eli siis reaalilukujen joukon, kontinuumin
kardinaliteetti....) Todistus ei ollut pitk� ja vaikutti vakuuttavalta
(naurua kolmannella, yx-kax-kolmee!.......)
-- No kun "naistenlehdet" tyypillisesti koskevat perhett�, kotia,
ruokareseptej�, shoppailua, ihmissuhteita.... Ja "miestenlehdiss�" on
sitten seksi�, pornoa, kuumia kontakti-ilmoituksia, rev�ht�neit� revoja
ym ym.... Se on miesten arvoa alentavaa ja suorastaan halventavaa.....
terv Antti Y., TKK (Teknillinen Korkeasaari Otaniemess�....)
Risto Kauppila
Eik�h�n pillun puute ole se joka antaa tilaa noille miestenlehdille.
Naistenlehti� en lue, osaan keitt�� pottuni ja makaronini ilman niiden
ohjeitakin.
t. Rike
Seppo Miettinen
> No niin, jos k�yd��n tieteellisiksi, niin onhan olemassa vaikkapa w
> potenssiin w, miss� w on pienin ��ret�n ordinaaliluku... Jos nyt oikein
> muistan. Ynn� muuta hyvin, hyvin intellektuaalista ��rett�myksien leikki�
> ��rett�mill� l. transfiniittiluvuilla....
Ihan peruskamaa. Volpin ei usko edes 10^(10^10) olemassaoloon, mutta
yleisesti omega^omega on helposti visualisoitavissa. Miten on epsilon_0:n
visualisoinnin kanssa?
Er��ss�
> amerikkalaisessa kirjassa oli v�itetty todistus, ett� 2 potenssiin alef
> nolla on C (eli siis reaalilukujen joukon, kontinuumin
> kardinaliteetti....) Todistus ei ollut pitk� ja vaikutti vakuuttavalta
> (naurua kolmannella, yx-kax-kolmee!.......)
Kontinuumihypoteesin ym�rill� huuhaata riitt��. Saarnion: "Mit� tied�mme
��rett�myydest�" sis�lt�� pitk�n virhetodistuksen kontinuumihypoteesille.
Jos et usko valinta-aksioomaan, niin mitenk�s ��rett�myydet sitten menee?
joulua Seppo
Antti Ylikoski
SEPPO MOI!!! Taidatpa todellakin olla se sama Seppo K. Miettinen, jonka
propedeuttisella kurssilla kes�yliopistossa min� olin muistaakseni
vuonna 1977.... Matematiikka kuten n�kyy ei koskaan lakannut
kiinnostamasta minua, vaikka minusta tulikin tietojenk�sittelytieteen
harjoittaja.
V�it�skirja on l�hestym�ss� valmista -- er�s (ei viel� valmis! ei
todellakaan!) k�sikirjoituksen versio on
http://www.tkk.fi/~ajy/diss-1.pdf
Katsopa Gariepy-Ziemer: Modern Real Analysis, PWS Publishing Company
1995, ISBN 0-534-94404-3, pp. 25-26 Theorem 2.30 "2^alef_0 = C."
Olisi hirve�n kiva n�hd�, mit� professionaalinen matemaatikko sanoo
siit�. Voin lainata kirjan sinulle, jos haluat v�h�n mainetta,
suomalaisella ja v�h�n laajemmallakin matemaattisella foorumilla, taas
er��n tieteellisen virheen korjaamisesta.
Hyv�� joulua ja Onnellista Uutta vuotta,
Antti Ylikoski
T��l�, Helsinki
puh. 040-1884472
antti.y...@gmail.com
PS. Logiikkaohjelmoinnin yhetydess� tutustuin intuitionistiseen
logiikaan, jonka mukaan ainoastaan ne matemaattiset oliot ovat
hyv�ksytt�viss�, jotka voidaan konstruoida. Esimerkiksi ��rett�myyksi�
ei voi konstruoida -- eik� niit� todistuksia hyv�ksyt�, joissa n�ytet��n
jonkin olevan olemassa, mutta ei anneta mit��n tapaa konstruoida
kyseist� oliota.
Idem
Seppo Miettinen
> PS. Logiikkaohjelmoinnin yhetydess� tutustuin intuitionistiseen
> logiikaan, jonka mukaan ainoastaan ne matemaattiset oliot ovat
> hyv�ksytt�viss�, jotka voidaan konstruoida. Esimerkiksi ��rett�myyksi� ei
> voi konstruoida -- eik� niit� todistuksia hyv�ksyt�, joissa n�ytet��n
> jonkin olevan olemassa, mutta ei anneta mit��n tapaa konstruoida kyseist�
> oliota.
MOI
Olen aikoinani luennoinnut pari kertaa konstruktiivisen analyysin kurssin
Helsingin yliopiston matematiikan laitoksella. Kurssi oli aika tavalla
Bishopin "Foundations on Constructive Analysis" -tyylinen.
Noilta ajoilta muistelen, ett� luonnollisten lukujen joukko oletettiin
konstruktiivisessa analyysiss� annetuksi (olemassaolevaksi). Muu siit�
eteenp�in piti kaikki konstruoida.
My�s intuitionisteilla (Brouwer, Heyting) luonnollisten lukujen joukko on
intuitiivisesti olemassa.
T�m� on v�h�n vaarallinen alue, sill� termi "intuitionismi" ja termi
"konstruktivismi" tarkoittavat monia eri asioita. Kannattaisi ehk� mainita
kenen matemattikon versiosta puhuu.
Hyv�� joulua
Seppo K Miettinen
Seppo Miettinen
> Er��ss�
>> amerikkalaisessa kirjassa oli v�itetty todistus, ett� 2 potenssiin alef
>> nolla on C (eli siis reaalilukujen joukon, kontinuumin
>> kardinaliteetti....) Todistus ei ollut pitk� ja vaikutti vakuuttavalta
>> (naurua kolmannella, yx-kax-kolmee!.......)
>
> Kontinuumihypoteesin ym�rill� huuhaata riitt��. Saarnion: "Mit� tied�mme
> ��rett�myydest�" sis�lt�� pitk�n virhetodistuksen kontinuumihypoteesille.
Tulipa s�helletty�, pannaan Joulun tiliin.
Toki 2^alef_0 = c ja Gariepy-Ziemerin todistus on ihan kunnossa. Mutta
seikka on aika triviaali. Omassa kirjassani "LOGIIKKA, perusteet" asia on
todistettu huomautuksessa 40 (siv 178). Kirja kuuluu filosofia-aineiden (HY)
tutkintovaatimuksiin (perusopinnot), joten asia ei ole erityisen vaativa.
Kontinuumihypoteesi puolestaan v�itt��, ett� 2^alef_0 olisi toiseksi pienin
��ret�n kardinaali. Kontinuumihypoteesi on toistaiseksi avoin ongelma.
Joulua Seppo
Antti Ylikoski
>> No niin, jos k�yd��n tieteellisiksi, niin onhan olemassa vaikkapa w
>> potenssiin w, miss� w on pienin ��ret�n ordinaaliluku... Jos nyt oikein
>> muistan. Ynn� muuta hyvin, hyvin intellektuaalista ��rett�myksien leikki�
>> ��rett�mill� l. transfiniittiluvuilla....
>
> Ihan peruskamaa. Volpin ei usko edes 10^(10^10) olemassaoloon, mutta
> yleisesti omega^omega on helposti visualisoitavissa. Miten on epsilon_0:n
> visualisoinnin kanssa?
>
Mit� merkitsee notaatio "epsilon_0"? Onko se nonstandardianalyysi�?
Kirjahyllyss�ni on Elliott Mendelsohnin kirja "Introduction to
Mathematical Logic", jossa on luku nonstandardianalyysist�, siell� oli
kyll� infinitesimaalilukujen m��rittely, mutta notaatiota epsilon_0 en
l�yt�nyt kirjasta.
> Er��ss�
>> amerikkalaisessa kirjassa oli v�itetty todistus, ett� 2 potenssiin alef
>> nolla on C (eli siis reaalilukujen joukon, kontinuumin
>> kardinaliteetti....) Todistus ei ollut pitk� ja vaikutti vakuuttavalta
>> (naurua kolmannella, yx-kax-kolmee!.......)
>
> Kontinuumihypoteesin ym�rill� huuhaata riitt��. Saarnion: "Mit� tied�mme
> ��rett�myydest�" sis�lt�� pitk�n virhetodistuksen kontinuumihypoteesille.
>
> Jos et usko valinta-aksioomaan, niin mitenk�s ��rett�myydet sitten menee?
>
> joulua Seppo
>
>
>
Muistan joskus kuulleeni, ett� matemaatikoista noin 2/3 uskoo
valinta-aksiomaan.... Min� kuulun itse sen kannattajiin, -- kunnes/jos
jotakin todella merkitsev��, muuta osoittavaa ilmenee.
Mutta min�h�n en olen matemaatikko, vaan
bittinikkari/mutterifyysikko..... :-))))
Antti
Seppo Miettinen
>
> Mit� merkitsee notaatio "epsilon_0"? Onko se nonstandardianalyysi�?
> Kirjahyllyss�ni on Elliott Mendelsohnin kirja "Introduction to
> Mathematical Logic", jossa on luku nonstandardianalyysist�, siell� oli
> kyll� infinitesimaalilukujen m��rittely, mutta notaatiota epsilon_0 en
> l�yt�nyt kirjasta.
>
Seuraavassa epsilonia merkit��n e:ll� ja omegaa w:ll�.
e_0 = lim w_n, miss� w_n = w^(w_(n-1)) ja w_1 = w.
e_0 on aika vaikeasti visualisoitavissa yh� monimutkaistuvien j�rjestysten
raja-arvona. Itse koen jotenkin utuisesti muka hahmottavani sen.
Mutta e_(e_0):aa en kyll� kuvittele hahmottavani, kun e_(a+1) = lim d_n,
miss� d_1 = (e_a)+1 ja d_(n+1) = w^(d_n) ja raja-ordinaalille e_a = sup
(e_b| kun b < a).
Epsilon-luvuille p�tee e^a = a, miss� potenssi on ordinaalipotenssi. e_0 on
tietysti ensimm�inen epsilonluku. Katso vaikka Drake: Set Theory
(hakemistosta e-luku).
e-luvut liittyv�t kyll� intuitionismiinkin, sill� siihen asti kun oridnaalit
kyet��n visualisoimaan, voidaan induktio hyv�ksy�. e_0-induktio lienee
intuitiivisesti hyv�ksytt�viss� mutta ent� sen j�lkeen?
terveisin Seppo
Antti Ylikoski
Kiitos hyv�st� selityksest� Seppo.
Minulla olisi tuohon filosofinen kommentti.
Kun kvanttifysiikan kanssa pelaa, niin oppii, ett� ihmisaivoille
tuttu, jokap�iv�inen intuitiivisesti tunnettu arkitodellisuus on hyvin
erilainen kuin formaalisten tieteiden kuvaaman reaalitodellisuuden
muoto, rakenne, "ulkon�k�". Siksi tieteellisen todellisuuden
"havainnollistaminen" ei onnistu. Intuitiivisesti tuttu todellisuus
on aivan eri kuin esimerkiksi
-- kvantti/hiukkasdualismi
-- olioiden todenn�k�isyystiheys Schr�dingerin
(differentiaali-)yht�l�n ratkaisuina
-- kvarkkien vankeus kvanttikromodynamiikassa,
-- ym ym ym.
N�m� asiat pit�� ottaa faktoina -- niit� ei voi "havainnollistaa", se
on mahdotonta, koska tieteen kuvaama todellisuus on niin erilainen
kuin ymp�rill�mme oleva, aivoillemme tuttu todellsuus.
Muuten, luin juuri �sken herkullisen kirjan:
LOGIC, A Very Short Introduction, Graham Priest, Oxford University
Press, ISBN 978-0-19-289320-8. Kirjassa on koko joukko modernin
logiikan aikaansaannoksia "populaaritieteellisesti" esitettyin�.
T�ss� sana "populaari" on lainausmerkeiss�, koska ihminen ilman
tietty� tieteellist�� taustaa luultavasti ei pysty lukemaan sit�.
Pointteja kirjasta:
-- Kosmologinen jumalatodistus ja ontologinen jumalatodistus,
so. "todistukset" Jumalan olemassaolosta, ovat modernin logiikan
keinoin takasteltuina aivan yksinkertaisia ajatusvirheit�.
-- Kolmannen poissuljetun laki on mennen talven lumia. Lauseella voi
olla nelj� erilaista totuarvoa:
1) lause on tosi;
2) lause on ep�tosi;
3) lause on sek� tosi ett� ep�tosi;
4) lause ei ole tosi eik� ep�tosi.
Mit� tulee n�ihin "Introductioneihin" niin muistuu mieleeni Heikki
Mannila, jonka kanssa olin vuonna 1977 Puolassa kansainv�lisiss�
kermian olympialaisissa. Mannilasta tuli my�hemmin kansainv�list�
mainetta saavuttanut tutkija ja professori. Mannila sanoi kerran,
ett� jos kirjan nimi on "Topology as a Whole" niin se on
todenn�k�isesti aivan helppo, ja jos kirjan nimi on "Topology, an
Elementary Introduction" niin se on todenn�k�isesti
huomattavan vaikea......
Antti Ylikoski, TKK
Matti Hollberg
>Kontinuumihypoteesi puolestaan v�itt��, ett� 2^alef_0 olisi toiseksi pienin
>��ret�n kardinaali. Kontinuumihypoteesi on toistaiseksi avoin ongelma.
Eik�s ole pikemminkin niin, ett� on todistettu, ett� sen paremmin
kontinuumihypoteesia kuin sen negaatiotakaan ei voida johtaa ZF-aksioomista.
Matti
--
Matti Hollberg / Internet: holl...@arska.fys.utu.fi
Gc
> In article <wtqXm.54023$La7.34...@uutiset.elisa.fi> "Seppo Miettinen" <seppo.mietti...@kolumbus.fi> writes:
>
> >Kontinuumihypoteesi puolestaan v itt , ett 2^alef_0 olisi toiseksi pienin
> > ret n kardinaali. Kontinuumihypoteesi on toistaiseksi avoin ongelma.
>
> Eik s ole pikemminkin niin, ett on todistettu, ett sen paremmin
> kontinuumihypoteesia kuin sen negaatiotakaan ei voida johtaa ZF-aksioomista.
Minusta silti se voidaan sanoa, että se on avoin ongelma, jos ollaan
sitä mieltä, että se on joko tosi tai epätosi "joukko-opin
standardimallissa" - jos sellaista siis on olemassa. Muuten ZFC
aksioomistakaan kontinuumihypoteesia ei voi johtaa.
Gc
avoin ongelma --> avoin mielekäs ongelma.
>Muuten ZFC
> aksioomistakaan kontinuumihypoteesia ei voi johtaa.
Tai sen negaatiota.
Lauri Alanko
Seppo Miettinen <seppo.m...@kolumbus.fi> wrote:
> My�s intuitionisteilla (Brouwer, Heyting) luonnollisten lukujen joukko on
> intuitiivisesti olemassa.
T�m� on v�h�n h�m��v�sti ilmaistu. K�sitt��kseni intuitionismissa
alkeellisin kokoelma ei ole joukko vaan sarja. Luonnolliset luvut ovat
"olemassa" siin� mieless�, ett� voidaan luetella <1, 2, 3, ...>, ja
jokainen luku voidaan saavuttaa n�in ennen pitk��.
Sen sijaan (yh� vajavaisen tietoni mukaan) intuitionismissa _ei_
hyv�ksyt�, ett� luonnolliset luvut olisivat samalla tavalla
konkreettinen objekti kuin mik��n ��rellinen joukko. Ennen kaikkea
kaikkien luonnollisten lukujen yli ei voi kvantifioida yht� vapaasti.
> T�m� on v�h�n vaarallinen alue, sill� termi "intuitionismi" ja termi
> "konstruktivismi" tarkoittavat monia eri asioita. Kannattaisi ehk� mainita
> kenen matemattikon versiosta puhuu.
Totisesti. Olin seminaarissa, jossa joku esitteli konstruktiiviseen
logiikkaan perustuvaa kielt��n, ja oli erehtynyt kutsumaan
j�rjestelm��ns� "intuitionistisesti". Paikallinen
intuitionismiekspertti tuohtui t�st� kovasti ja protestoi tulisesti:
"Brouwer never said that!"
Tuosta kokemuksesta viisastuneena olen nyky��n varsin varovainen
I-sanan k�yt�n suhteen, ala kun tuntuu perustuvan pitk�lti Brouwerin
tekstien eksegeettiseen tulkitsemiseen...
Lauri
Aatu Koskensilta
> In article <wtqXm.54023$La7....@uutiset.elisa.fi> "Seppo Miettinen" <seppo.m...@kolumbus.fi> writes:
>
>>Kontinuumihypoteesi puolestaan v�itt��, ett� 2^alef_0 olisi toiseksi
>>pienin ��ret�n kardinaali. Kontinuumihypoteesi on toistaiseksi avoin
>>ongelma.
>
> Eik�s ole pikemminkin niin, ett� on todistettu, ett� sen paremmin
> kontinuumihypoteesia kuin sen negaatiotakaan ei voida johtaa
> ZF-aksioomista.
G�del osoitti, ett� (yleistetty) kontinuumihypoteesi p�tee
konstruoituvien joukkojen unversumissa, joka on pienin joukko-opin
sis�inen malli (transitiivinen luokka, joka sis�lt�� kaikki ordinaalit,
ja johon rajoitettuna kaikki joukko-opin aksioomat p�tev�t ZF:ss�
todistuvasti). Cohen puolestaan kehitti pakottamisena tunnetun
tekniikan, jonka avulla voidaan hallitusta konstruoida annetusta
numeroituvasta joukko-opin standardimallista uusi standardimalli, joka
sis�lt�� samat ordinaalit kuin alkuper�inen malli ja lis�ksi uusia
joukkoja (esim. joukon, josta saadaan bijektio alkumallin kardinaalien
aleph_2 ja c v�lille siten, ett� n�m� pysyv�t kardinaaleina my�s
laajennetussa mallissa. T�m� ratkaisee ongelman, onko (yleistetty)
kontinuumihypoteesi ratkeava nykyisesti hyv�ksytyist� joukko-opin
perusperiaatteista.
N�m� tulokset eiv�t kuitenkaan ratkaise ongelmaa, onko olemassa
reaalilukujen joukko, joka ei ole joko numeroituva tai yht�mahtava
kontinuumin kanssa. T�m� ongelma on yh�kin avoin. On tietysti
mahdollista, ett� ei yksinkertaisesti ole mit��n joukko-opillisia
periaatteita, joiden totuudesta voisimme vakuuttua, ja joista ongelman
voisi ratkaista -- t�m� mahdollisuus ilmaistaan usein sanomalla, ett�
kontinuumihypoteesi saattaa ollaa "absoluuttisesti ratkeamaton".
Aatu Koskensilta
> Jos et usko valinta-aksioomaan, niin mitenk�s ��rett�myydet sitten
> menee?
Jollei valinta-aksiooma p�de, kaikki kardinaliteetit eiv�t tietystik��n
ole alefeja. Jos jokainen joukko on yht�mahtava hyvinperustetun joukon
kanssa -- kuten tietysti on perustusaksiooman p�tiess�, mutta my�s
esim. antiperustusaksiooman vallitessa -- voidaan kardinaliteetit
m��ritell� k�ytt�m�ll� (sopeutettua) Scottin temppua:
card(A) = kaikkien hyvinperustettujen joukkojen x joukko, joiden
rank on minimaalinen ja |x| = |A|
Jos ei ole todistuvaa, ett� jokainen joukko on yht�mahtava
hyvinperustetun joukon kanssa, kuten ei ole esimerkiksi teoriassa ZF-,
joka saadaan ZF:st� pudottamalla pois perustusaksiooma, ei ole olemassa
m��ritelt�v�� operaatiota card : V --> V jolle todistettavasti p�tisi
(*) card(A) = card(B) joss |A| = |B|
T�ll�inkin voimme tietysti lis�t� funktiosymbolin card joukko-opin
kieleen ja asettaa periaatteen (*) ylim��r�iseksi aksioomaksi (sek�
tietysti laajentaa korvausaksioomaskeeman ja erotteluaksioomaskeeman
kattamaan my�s funktiosymbolin card sis�lt�m�t kaavat). T�ten ei
kuitenkaan saada konservatiivista ZF-:n laajennusta.
Periaate (*) on ns. abstraktioperiaate, ja yksinomaan sen ottaminen
aksioomaksi on jokseenkin ad hoc: miksemme voisi samalla tavalla
introdusoida mille tahansa ekvivalenssirelaatiolle R operaatiot f_R
se. f_R(A) = f_R(B) joss R(A,B)? Koskapa ekvivalenssirelaatioita on
enemm�n kuin universumissa on alkioita, kohtaamme t�ss� saman ongelman
kuin rajoittamattoman komprehension kohdalla; tarvitsisimme jonkin
motivoidun tavan rajoittaa abstraktiolla tuotettuja
operaatioita. Komprehensioperiaatteen kohdalla t�llainen motivaatio
l�ytyy kumulatiivisen hierarkian "ep�muodollisesta" kuvasta tai
matemaattisesta tarinasta, josta voimme ilman mielivaltaisuutta johtaa
rajoitetun komprehensioperiaatteen, joka onkin aksiooma ZF:ss�.
Loogillista Joulua ja ristiriidatonta uutta vuotta toivottaen,
Aatu Koskensilta
> Er��ss� amerikkalaisessa kirjassa oli v�itetty todistus, ett� 2
> potenssiin alef nolla on C (eli siis reaalilukujen joukon, kontinuumin
> kardinaliteetti....) Todistus ei ollut pitk� ja vaikutti
> vakuuttavalta (naurua kolmannella, yx-kax-kolmee!.......)
Mit�s nauramista t�ss� on?
> -- No kun "naistenlehdet" tyypillisesti koskevat perhett�, kotia,
> ruokareseptej�, shoppailua, ihmissuhteita.... Ja "miestenlehdiss�" on
> sitten seksi�, pornoa, kuumia kontakti-ilmoituksia, rev�ht�neit�
> revoja ym ym.... Se on miesten arvoa alentavaa ja suorastaan
> halventavaa.....
Jos n�m� nimitykset sinua ahdistavat, vot tietysti t�llaisia lehti�
kutsua vaikkapa el�m�ntapalehdiksi ja pornolehdiksi.
Antti Ylikoski
> Antti Ylikoski <antti.y...@tkk.fi> writes:
>
>> Er��ss� amerikkalaisessa kirjassa oli v�itetty todistus, ett� 2
>> potenssiin alef nolla on C (eli siis reaalilukujen joukon, kontinuumin
>> kardinaliteetti....) Todistus ei ollut pitk� ja vaikutti
>> vakuuttavalta (naurua kolmannella, yx-kax-kolmee!.......)
>
> Mit�s nauramista t�ss� on?
No ehk� MIN� olen tuossa naurettava.
>
>> -- No kun "naistenlehdet" tyypillisesti koskevat perhett�, kotia,
>> ruokareseptej�, shoppailua, ihmissuhteita.... Ja "miestenlehdiss�" on
>> sitten seksi�, pornoa, kuumia kontakti-ilmoituksia, rev�ht�neit�
>> revoja ym ym.... Se on miesten arvoa alentavaa ja suorastaan
>> halventavaa.....
>
> Jos n�m� nimitykset sinua ahdistavat, vot tietysti t�llaisia lehti�
> kutsua vaikkapa el�m�ntapalehdiksi ja pornolehdiksi.
>
Tuo vain kuvastaa m��r�tty� tapaa n�hd� miehet ja naiset, tapaa joka
faktisesti on hyvin seksistinen ja jota en sied�.
terv Antti Y.