Kinkkinen epäyhtälö / 7
Ohman
vai onko 7 valehtelijan luku?
Toimitaan siis alueella a>0,b>0,c>0.
Olkoon s(a,b,c) = sqrt(b^2 + 15ac), t(a,b,c) = s(b,c,a) ja u(a,b,c) = s
(c,a,b). (sqrt = neliöjuuri)
Kinkkisen vasen puoli olkoon F(a,b,c). F(a,b,c) = a/s + b/t + c/u ja
väitetään, että F >= 3/4.
Olkoon G(a,b,c) = s/a + t/b + u/c.
Olen jo aiemmin todistanut, että G >= 12.Tässä käytin sitä, että
aritmeettinen keskiarvo on vähintään
geometrinen keskiarvo ja sitä, että jos meillä on positiivisia
funktioita, joiden tulo on vakio,niiden summan pienin
arvo saadaan pisteessä,jossa noilla funktioilla on sama arvo. Jos siis
tällainen piste on olemassa.
Tutkitaan funktiota 4F + G/4 = (4a)/s + (4b)/t + (4c)/u + s/(4a) + t/
(4b) + u/(4c). Summan termien tulo on 1 ja
niillä on sama arvo 1 ainakin pisteissä (a,a,a).
Siis 4F + G/4 >= 6 eli 16F + G >= 24. Tästä ja siitä,että G >= 12
seuraa, että F + G >= 12 + 3/4, 2F+ G >=
12 + 2 x 3/4 ja yleensä, jos y > o, G + yF >= 12 + y x 3/4. (Tässä x
on kertomerkki eikä mikään muuttuja.)
Siis aina kun summaan G + yF lisätään yksi F, alarajaan tulee lisää
3/4. Voidaanko tästä päätellä, että F>=
3/4?
Oletetaan, että jossain pisteessä F=d, missä d < 3/4. Tässä pisteessä
G + yF = G + yd >= 12 + y(3/4) eli
G >= 12 + y( 3/4 - d). Jos nyt valitaan y > (G-12) / (3/4 - d), on 12
+ y(3/4 - d) > 12 + G - 12 = G. Ristiriita!
Siis ei ole mahdollista, että jossain pisteessä F < 3/4.
m.o.t.
Ohman
Ohman
Tämän viestin lähetin Google-ryhmään sfnet.tiede.matematiikka ja
tulikin siellä näkyviin.Mutta kun Windows Live Mail - ohjelmassa
klikkaan "Uutisryhmät" ja sitten siellä olevaa "news.inet.fi
sfnet.tiede.matematiikka" tämä kinkkisviesti ei näy siellä,vaikka muut
tästä Google-ryhmästä löytyvät näkyivät. Mistähän tämä voisi johtua?
Vai voiko viestin välittyminen kestää näin kauan,lähetin kinkkisen jo
3.10.
Neuvosta kiitollinen
Ohman
Matti Lehtiniemi
>sfnet.tiede.matematiikka" t�m� kinkkisviesti ei n�y siell�,vaikka muut
news.inet.fi on Soneran nyyssipalvelin.Soneran serverin piti lopettaa toimintansa 1.10.2009
Tuon serverin toiminnasta ei ole mit��n takeita.
Matti
Ohman
>
> Matti
No tuosta se varmaan johtuu,olihan viestini lähetetty lokakuun
puolella.
Yritin sitten tilata "news.msn.com" mutta kone ilmoitti, ettei saa WLM
saanut yhteyttä Internettiin ja kehoitti tarkastamaan, estääkö joku
virustorjunta- tai palomuuriohjelma sen.
Konstikasta!
Ohman
Ohman
No,paljastan nyt,että 7 o n valehtelijan luku. Virhe "todistuksessa"
on aika hauska ja "subtle" englantia käyttääkseni.
Todistuksen alku on oikein. Piää paikkansa,että G>= 12 ja että 16 F +
G >= 24 = 12 + 16 (3/4). Mutta kun katsoo tätä jälkimmäistä,
huomaa,ettei siitä voi seurata mitään alarajaa F:lle. Epäyhtälöhän on
voimassa vaikka F:llä olisi kuinka kuinka pieni positiivinen arvo
tahansa jossain pisteessä kunhanhan vain samassa pisteessä G:llä on
riittävän suuri arvo.Näistä lähtökohdista todistuksen täytyy
epäonnistua!
Lisään vielä yhden "kauniin" epäyhtälön. Siitä,että aritmeettinen
keskiarvo on vähintään harmoninen keskiarvo,seuraa FG >= 9. Mutta ei
tämäkään auta, kaikki kolme epäyhtälöä ovat kyllä voimassa vaikka F
olisi kuinka pieni kun vain G:llä on riittävän suuri arvo.
Missä piilee"todistuksen" virhe?
G >= 12 ja 16F + G >= 24 = 12 + 16 /3/4) . Siis F + (1/16) G >= 3/2.
Ja (15 / 16) G >= (15/16) 12 = 45/4. Laskemalla kaksi edellistä
puolittain yhteen saadaan F + G >= 3/2 + 45/4 = 51/4 = 12 + 3/4.
Saadaan myös 2F + G/8 >= 3, 7G/8 >= 21/2. Yhteenlaskemalla nämä
saadaan 2F + G >= 3 + 21/2 = 27/2 = 12 + 2 x 3/4 (x on kertomerkki).
Ihan yleisesti: Jos 16 >= y >= 0, on
y F + (y/16) G >= (y/16) 24 = y x 3/2 ja ((16 - y) / 16) G >= (16 -
y) /16 x 12 = (16 - y) x 3/4. Nämä kaksi taas puolittain
yhteenlaskemalla saadaan yF + G >= y x 3/2 + 16 x 3/4 - y x 3/4 =
12 + y x 3/4. Näyttäisi ihan siltä, että kun lisätään funktioon yF + G
yksi F, alaraja lisääntyy luvulla 3/4. Mutta: äskeinen todistus pätee
vain,kun 16 >= y >= 0. Sitä johtopäätöstä, että esim.
17 F + G >= 12 + 17 x 3/4 ei voi vetää.!
"Todistukseni" loppuosa on siis virheellinen: ei saada aikaan tuota
ristiriitaa G > G.
Heko,heko !
Ohman