Kolmen kappaleen ongelma
Antti Ylikoski
yliopistolla sanonut minulle, ett� kolmen kappaleen ongelmaa ei
hallita matemaattisesti. Onko t�ss� siis yksinkertaisesti kysymys
siit�, ett� min� muistan v��rin?
Miten sitten
http://fi.wikipedia.org/wiki/Ratkaisemattomat_fysiikan_ongelmat
jossa
Kolmen kappaleen liikkeiden tarkka kuvailu voimakentiss��n
josta
"Mekaniikan yksinkertainen systeemi, jossa kolme kappaletta liikkuu
hiemankin ep�triviaalisti toisiensa s�hk�isiss� tai miss� muussa
tahansa voimakentiss�, on ratkaistavissa vain likim��rin
tietokoneapproksimaatiolla, analyyttist� kaavaratkaisua ei ole lukuun
ottamatta Karl Frithiof Sundmanin hitaasti suppenevaa
sarjakehitelm��."
ja viel�
http://fi.wikipedia.org/wiki/Karl_F._Sundman ?
Onko t�ss� siis kysymys vain siit�, ett� katsotaan, ett� jos ei ole
ratkaisua esim. joidenkin hyvin tunnettujen transkendenttifunktioiden
avulla lausuttuina lausekkeina, vaan on ainoastaan olemassa
sarjakehitelm�t, niin katsotaan, ett� "ongelmaa ei hallita
matemaattisesti"?
Tietysti jos olisi olemassa jotakin sellaista, joka olisi analoginen
esim. Weierstrassin funktiolle, ja sitten olisi ratkaisu suljetussa muodossa
t�mm�isen funktiona, niin sittenk� sanottaisiin, ett� "ongelma
hallitaan matemaattisesti"?
DI Antti Ylikoski, TKK
Jyrki Lahtonen
> Onko tￜssￜ siis kysymys vain siitￜ, ettￜ katsotaan, ettￜ jos ei ole
> ratkaisua esim. joidenkin hyvin tunnettujen transkendenttifunktioiden
> avulla lausuttuina lausekkeina, vaan on ainoastaan olemassa
> matemaattisesti"?
Fraasilla "ongelmaa ei hallita matemaattisesti" tuskin on vakiintunutta
mￜￜritelmￜￜ tai tulkintaa. En usko ettￜ sillￜ ainakaan tarkoitettaisiin
sitￜ, ettei ongelmalla ole alkeisfunktioiden avulla ilmoitettavissa
olevaa ratkaisua (vaikka alkeisfunktiojoukkoa sallittaisiinkin
tï¿œydennettï¿œvï¿œn esimerkiksi Besselin funktioilla tai Weierstrassin
p-funktioilla tarpeen mukaan).
Ymmï¿œrrykseni kolmen kappaleen probleemasta yleisesti ja Sundmanin
ratkaisuista erityisesti on sen verran hutera, ettￜ olisi ehkￜ parempi
olla sanomatta mitￜￜn. En kumminkaan malta olla arvaamatta, ettￜ tￜssￜ
yhteydessￜ "ei hallita matemaattisesti" tarkoittaisi sitￜ, ettￜ ongelma
on perusluonteeltaan kaoottinen "tai jotakin sinne pï¿œin." Koska tietoni
kaaosteoriasta ovat yhtￜ huterat, niin tￜsmennￜn tￜtￜ arvaamalla, ettￜ
Sundmanin sarjojen avulla on vaikea ennustaa systeemin asymptoottista
kￜyttￜytymistￜ: missￜ ne 3 kappaletta ovat miljardin vuoden pￜￜstￜ? Onko
yksi kappaleista "karannut", vai jatkavatko ne onnellisena
aurinkokuntaperheenￜ? Tￜssￜ siis on selkeￜ ero kahden kappaleen
ongelmaan, jonka ratkaisun lienemme kaikki nï¿œhneet. Sen kanssa voidaan
helposti laskea, missￜ kappaleet ovat miljardin tai vigintiljoonan
vuoden pￜￜstￜ, jos nykytilanne tiedetￜￜn tarkasti.
Kolmen kappaleen probleemiin on helppo ymmￜrtￜￜ syntyvￜn herkkￜￜ
riippuvuutta alkutilasta. Jos meillￜ esimerkiksi on auringon ja
Jupiterin lisï¿œksi jokin pienempi kappale, niin pienemmï¿œn kappaleen
radalle tapahtuu kohtuullisen nopeasti outoja asioita, jos sen
kiertoaika T_2 synkronoituu Jupiterin kiertoajan T_1 kanssa: jos T_1/T_2
on rationaaliluku, joka supistuu pienten kokonaislukujen osamￜￜrￜksi,
niin Jupiter tￜnii/vetￜￜ pientￜ kappaletta sￜￜnnￜllisin vￜlein samoissa
kohdissa sen rataa, ja pienet tï¿œnï¿œisyt lopulta kumuloituvat. Jos taas
suhde on irrationaaliluku, niin pitkien aikojen kuluessa tï¿œnimisvaikutus
levittyy tasaisesti. Nￜinhￜn kaiketi selitetￜￜn se, miten Jupiter on
"pyyhkinyt asteroidit pois" tietyiltￜ vyￜhykkeiltￜ. En vￜitￜ, ettￜ nￜmￜ
Jupiterin kieltï¿œmï¿œt radat vastaisivat *tarkalleen* esimerkiksi suhteita
2/1, 3/2 tms. Kyllￜ ne ovat kiellettyjￜ *vyￜhykkeitￜ*, eivￜt
nollamitallisia joukkoja. En osaa siis sanoa kuinka lￜhellￜ suhdetta 3/2
pitￜￜ olla, jotta Jupiterin vaikutus olisi riittￜvￜ.
Olisiko siis niin, ettￜ jos T_2/T_1 on esimerkiksi 13057/11111, niin
Sundmanin sarjaratkaisuun on otettava tolkuton mￜￜrￜ termejￜ, ennen kuin
tￜllaisen "synkronoinnin" vaikutus tulisi laskettavaksi? Tarkoitan tￜssￜ
yhteydessￜ T_2:lla ja T_1:llￜ kahden kappaleen probleeman ratkaisujen
mukaisia kiertoaikoja (eliminoiden vuorotellen systeemistￜ Jupiterin ja
asteroidin).
Leikin joskus tekemￜllￜ karkeita tietokoneanimaatioita 2-ulotteisesta
kolmen kappaleen ongelmasta. Hassuja juttuja siinￜ tosiaan tapahtuu, ja
vￜlillￜ yksi kappaleista singahtaa ulos aurinkokunnasta. En kykene
sanomaan johtuivatko nￜkemￜni yllￜtykset vain siitￜ, ettￜ kￜytin
tietenkin diskreettiￜ aikaa, ja hyvin ￜￜrellistￜ laskentatarkkuutta, vai
olivatko ne oikeasti oireita jostakin syvemmￜstￜ ilmiￜstￜ.
Mielellￜni kuuntelen, mitￜ sanottavaa on niillￜ, jotka oikeasti tietￜvￜt
asiasta jotakin. Siksi otin mukaan fysiikka-ryhmï¿œn.
t. Jyrki Lahtonen, Turun yliopisto, matematiikan laitos
Antti Penttilä
> Minulla on sellainen muistikuva, niinkuin joku olisi joskus Helsingin
> yliopistolla sanonut minulle, ett� kolmen kappaleen ongelmaa ei
> hallita matemaattisesti. Onko t�ss� siis yksinkertaisesti kysymys
> siit�, ett� min� muistan v��rin?
>
Itse aiheesta en tied� mit��n mutta my�h�styit harmillisiesti
kuukaudella mahdollisuudesta p��st� keskustelem��n parempien
asiantuntijoiden kanssa HY:n Observatoriolla:
> ***************************************************************
> ASTROPHYSICS SEMINAR SERIES AT THE OBSERVATORY
> *****************************************************
>
> Wed Nov 25, 3:15pm
>
> Carl K�llman
>
> Karl Sundman ja kolmen kappaleen probleeman ratkaisu
>
> Tasan sata vuotta sitten Karl Sundman esitti kolmen kappaleen
> probleeman ratkaisun, joka toi h�nelle maailmanmaineen. Esitelm�itsij�
> on tutkinut sek� itse ratkaisun syntyhistoriaa, Sundmanin
> el�m�nvaiheita kuin my�s h�nen yhteyksi��n ja kirjeenvaihtoa
> aikakauden merkitt�vien taivaanmekaniikan ja matematiikan edustajien
> (mm. Henri Poincare, Ernst Lindel�f, G�sta Mittag-Lefflerin) kanssa.
> Esitelm�n yhteydess� on my�s Carl K�llmanin valmistaman Sundmania
> esittelev�n posterin�yttelyn avaus.
Markus Sadeniemi
> Minulla on sellainen muistikuva, niinkuin joku olisi joskus Helsingin
> yliopistolla sanonut minulle, ett� kolmen kappaleen ongelmaa ei
> hallita matemaattisesti. Onko t�ss� siis yksinkertaisesti kysymys
> siit�, ett� min� muistan v��rin?
T�hdet ja avaruus -lehden (uusimmassa) numerossa 8/2009 on
sivulla 13 juttu Karl Sundmanista ja kolmen kappaleen probleemasta.
"Kolmen kappaleen ongelman rajoitetussa muodossa kahden kappaleen
massa on paljon suurempi kuin kolmannen, joten sen vetovoimavaikutus
voidaan j�tt�� huomiotta."
"Sundman onnistui l�yt�m��n rajoitetulle kolmen kappaleen
ongelmalle ratkaisun. Se ei ollut ��rellinen, vaan niin
kutsuttu hitaasti suppeneva sarjakehitelm�."
Markus Sadeniemi
Matti Lehtiniemi
Ne kaavat, joita on t�htietieteen oppikirjoissa planeettojen liikkeille perustuvat siihen, ett� auringon
massa on reilusti suurempi, kuin yhdenk��n planeetan.
Eli niill� saadaan rajoitetun kahden kappaleen ongelman ratkaisu.
Kaksi massaa kiert�� siis yhteisen massakeskipisteens� ymp�ri.
Mattti
Gc
> massa on reilusti suurempi, kuin yhdenkään planeetan.
> Eli niillä saadaan rajoitetun kahden kappaleen ongelman ratkaisu.
>
> Kaksi massaa kiertää siis yhteisen massakeskipisteensä ympäri.
>
> Mattti
En minäkään näistä tiedä, mutta minusta käyttämällä redusoitua massaa
kahden kappaleen ongelma saadaan redusoitua yhden kappaleen
ongelmaksi. Kahden kappaleen ongelmassa kappaleiden radat voidan
luokitella, ne olivat muistaakseni kaikki ellipsejä, paraabelejä tai
hyperbelejä (ympyrä lasketaan tässä ellipsiksi).
Aki Agison
"Markus Sadeniemi" <Markus.S...@iki.poista.fi.invalid> kirjoitti
viestiss� news:JbIXm.54240$La7....@uutiset.elisa.fi...
> Antti Ylikoski kirjoitti:
> > Minulla on sellainen muistikuva, niinkuin joku olisi joskus Helsingin
> > yliopistolla sanonut minulle, ett� kolmen kappaleen ongelmaa ei
> > hallita matemaattisesti. Onko t�ss� siis yksinkertaisesti kysymys
> > siit�, ett� min� muistan v��rin?
>
> T�hdet ja avaruus -lehden (uusimmassa) numerossa 8/2009 on
> sivulla 13 juttu Karl Sundmanista ja kolmen kappaleen probleemasta.
- ONx alkuunkaan ratkaistu OIKEIN?
+ Kolmen kappaleen yht�l�� EI SAA k�sitell� Alle M^3 tai alle M^2
objektein...
* Tietysti: Kolme massaa, kaikki joutuu my�s kertomaan kesken��n...
- Ei vastavoiman ja sen vastavoiman laki tuossa oikein toimi,
valitettavasti...
Aki Agison
"Aki Agison" <aki.ka...@tut.fi> kirjoitti viestiss�
news:hgnsbs$p2$1...@news.cc.tut.fi...
> - ONx alkuunkaan ratkaistu OIKEIN?
> + Kolmen kappaleen yht�l�� EI SAA k�sitell� Alle M^3 tai alle M^2
> objektein...
> * Tietysti: Kolme massaa, kaikki joutuu my�s kertomaan kesken��n...
> - Ei vastavoiman ja sen vastavoiman laki tuossa oikein toimi,
> valitettavasti...
- Itse asiassahan PYTHAGORAKSELLA tietysti edelleen saadaan et�isyys, joten
paikoitellen voi olla M^6:een termej�kin, ja nuo alemmat saavat jotain
kertoimia...
+ Ratkaiskaa ENSIN 6:n asteen yht�l�!, jossa siis jatkona viel� v^2:n termi
v�hint��n!
= Yleens� suppenee 3:n asteen ratkaisuksi, ja silleh�n ON keksitty
ratkaisu...
= Keih��n heittokin on v�hint��n 6:n asteen yht�l� AJAN suhteen, mutten sit�
niin ratkaissut...
= Aikaulottuvuuksia m^6 per�ti 60 kpl! => Daavidin t�hti!
= 6 energiaulottuvuutta E^6 = 84 ...
- Schr�dinger on h^2/t eli 15. AGS-ulottuvuus...
http://personal.inet.fi/koulu/karppi/Keihas.htm
Matti Lehtiniemi
>hyperbelej� (ympyr� lasketaan t�ss� ellipsiksi).
Tein itse joskus tietokonesimulaation planeetoille, joille antamalla paikkavektorin ja nopeusvektorin
voitiin laskea nuo kuusi "integroimisvakiota", joilla planeettojen liikkeet kuvataan.
Ja p�invastoin, antamalla 6 integroimisvakiota saadaan paikkavektori(3 arvoa) ja nopeusvektori(3 arvoa)
En saanut tuota logiikkaa hanskattua mill��n muulla tavalla kuin ajattelemalla ,ett� aurinko on stationaarinen.
myy = G *(m1 +m2) kaava esiintyi t�htitieteen oppikirjassa.
Toi kaava se oli, ellipsit, hyperbelit ja paraabelit:
http://www.astro.utu.fi/zubi/math/ellipse.htm
Komeettojen ratojen laskennassa k�yteettiin muistaakseni ennenvanhaan paraabelia yksinkertaistuksena.
Piti l�hte� tuolla ohjelmalla kumoamaan suhteellisuusteoriaa mutta sitten tajusin,ettei suomalaiset osaa tuota matematiikkaa
kunnolle eiv�tk� ainakaan osaa tehd� tarvittavia tietokoneohjelmia.
Jo t�m�nkin keskustelun aloitus "kolmen kappaleen ongelma" kertoo asiasta kun ihmiset eiv�t tajua edes tuota kahden kappaleen
ongelman problematiikkaa.
Matti
Vesa Monisto
>
> Ymm�rrykseni kolmen kappaleen probleemasta yleisesti ja Sundmanin
> ratkaisuista erityisesti on sen verran hutera, ett� olisi ehk� parempi
> olla sanomatta mit��n.
Jees! ... eli yhtyen omalta osaltani edelliseen mielentilaan:
Kolmen kappaleen ongelma on 'intractable' sek� matemaattisesti,
fysikaalisesti ett� programmaattisesti (= sarjaprosessoiden).
Kuitenkin vilkaisu t�htitaivaalle osoittaa ongelman ratkaistuksi
kaikissa tapauksissaan -- oli palikoita miten monta ja miten tahansa!
Selityksen� lienee massiivinen paralleeliprosessointi (sarjaprosessoinnin
sijasta): jokainen massallinen alkeishiukkanen *ajautuu* reaaliajassa
entropiamaksimaaliseen 'lepotilaansa' - h�iriytyi sen kentt� (= 'peti')
miten tahansa ymp�rist�ns� 'jouluh�lin�iss�' eli kaoottisissa kohinoissa.
"Vetovoimien" ja "kurvatuurien" sijalle tarvittaisiin tosin uusi n�kemys
kuten alkeishitusten impedanssien (= C- ja I-reaktanssien) sovittuminen
dynaamiseen h�iri�kentt��n. Kukin 'laskisi' liiketilansa gradientistaan.
- Olisi turhan ty�l�st�, joten 'gravity/geodesity' k�ynee sateenvarjosta.
Luonnollisen fysikaalista 'laskeutumista' matemaattisen laskemisen sijasta.
Mainos: Kannattaa siis siirty� MENSAsta MANSEen!
V.M.
(MENSAlaiset ovat definoineet �llin "ongelmien ratkaisukyvyksi", joten
innostuvat ker�ilem��n ongelmia ... ratkaisuineen.
MANSElaiset �llik�iv�t v�ltt�m�ll� "kaikenmaailmanongelmat" jo ennalta.)
Tuomas Yrjövuori
> Kuitenkin vilkaisu t�htitaivaalle osoittaa ongelman ratkaistuksi
> kaikissa tapauksissaan -- oli palikoita miten monta ja miten tahansa!
Hyvin sanottu.
--
Tuomas Yrj�vuori
J. Winter
Tuossa on linkki, josta p��see eteenp�in (jos kiinnostaa):
http://en.wikipedia.org/wiki/N-body_problem
-- jw
Antti Ylikoski
Katsokaapa
Mensalainen �lykkyyden m��ritelm�:
�lyk�s selvi�� tilanteista, joihin viisas ei joudu.
terv DI Antti Ylikoski, Mensa since 1981
Esa Säkkinen
wrote:
> Vesa Monisto kirjoitti:
>
> > Kuitenkin vilkaisu tähtitaivaalle osoittaa ongelman ratkaistuksi
> > kaikissa tapauksissaan -- oli palikoita miten monta ja miten tahansa!
>
> Hyvin sanottu.
Jep. Itse asiassahan todellisuudessa on kyse lopulta yhden kappaleen,
yhden alkeishiukkasen, "alkeishavaitsijan" ongelmista selviytyä
kansoitetussa kaikkeudessa. Se mitä on aika tälle ja toisaalta muille
- no, se tietenkin liittyy ko problematiikan matematiikkaan, vaikka
tuskastunut matemaatikko kuinka haluaisi eliminoida...
Esa.
Ohman
> massa on reilusti suurempi, kuin yhdenkään planeetan.
> Eli niillä saadaan rajoitetun kahden kappaleen ongelman ratkaisu.
>
> Kaksi massaa kiertää siis yhteisen massakeskipisteensä ympäri.
>
> Mattti
Kahden kappaleen probleeman ratkaisu esitetään kyllä useimmissa
mekaniikan ja taivaanmekaniikan oppikirjoissa jo aika alussa ja ihan
mielivaltaisille massoille.
Selailin tässä teosta C.M. Linton : From Eudoxus to Einstein. A
History of Mathematical Astronomy (Cambridge University Press,2004).
Sivuilla 434 - 435 teos kertoo muutaman rivin Sundmanin ratkaisusta ja
toteaa lopuksi: It has been estimated that, in order to achieve the
accuracy required to compare with observations, one would need to take
10^8000000 terms in Sundmann's series! Tässä on viittaus Goroff
(1993) ,Section 2.5. Tuo Goroff on "Henri Poincare and the Birth of
Chaos Theory". Tämä puolestaan on "Introduction" Poincareen kirjan
englanninkieliseen käännökseen, jonka on julkaissut American Institute
of Physics.
Lisäksi Linton mainitsee, että "The Philosophical question of whether
Sundmann's convergent power series should even be classified as a
solutin is discussed in Diacu(1996).Tämä on kirjoitus "The solution of
the n-body problem", The Mathematical Intelligencer 18(3) 66-70.Tämä
lehti on luettavissa springerlink.com - sivuilta.
Ohman
Aukino
> - Schrödinger on h^2/t eli 15. AGS-ulottuvuus...
>
> http://personal.inet.fi/koulu/karppi/Keihas.htm
- Planckki on siis 15. ja Planckki toiseen miinus aikaulottuvuus on 29.