Kinkkisen epäyhtälön oikea ratkaisu
Ohman
F(a,b,c) = a / sqrt(b^2 + 15ac) + b / sqrt(c^2 + 15ab) + c / sqrt
(a^2 + 15bc) ja väitetään,että F >= 3/4. (sqrt = neliöjuuri)
F on nolla-asteen homogeeninen funktio. Jos otetaa piste (a,b,c)
funktio saa saman arvon kaikissa pisteissä (ka,kb,kc) , missä k > 0,
eli koko origon ja pisteen (a,b,c) kautta kulkevalla puolisuoralla
origo pois lukien.
Tämä puolisuora leikkaa tason a+b+c = 1. F saa siis kaikki mahdolliset
arvonsa jo tämän tason alueella a>0,b>0 ja c>0.Voidaan siis tutkia F-
funktiota vain arvoilla a+b+c = 1.
Funktio f(t) = 1 / sqrt(t) on konveksi, sillä toinen derivaatta
f'' (t) > 0, sen arvo on 3/4 t^(-5/4).(t>0).
Kun käytetään konveksisuuden ehtoa kertoimina a,b ja c (näiden
summahan on nyt 1), saadaan
F >=( a(b^2 + 15ac) + b(c^2 + 15ab) + c(a^2 + 15bc)) ^(- 1/2).
(Jos tuo kaipaa selitystä, niin siinä on tuo neliöjuuri otettu
kolmessa eri pisteessä ja konveksisuus kertoo, että näiden arvojen
painotettu keskiarvo >= tuon neliöjuuren arvo pisteessä,joka on noiden
pisteiden painotettu keskiarvo;painot ovat a,b ja c)
Tuossa nimittäjässä neliöjuuren sisällä oleva lauseke on sievennettynä
16 (ab^2 + bc^2 + ca^2) eli F >= 1 / ( 4 sqrt(ab^2 + bc^2 + ca^2).
Jos siis tuo neliöjuuren sisällä oleva lauseke on korkeintaan 1/9
(ehdolla a+b+c = 1), on F >= 1 / (4 sqrt/1/9)) = 3/4 ja kinkkinen on
todistettu.
Tuon tuloksen saa aikaan ainakin tutkimalla funktion ab^2 + bc^2 +
ca^2 ääriarvoja ehdolla a+b+c=1. Käyttämällä Lagrangen kertojaa
saadaan todellakin tulos, että tuolla funktiolla on maksimi pisteessä
a=b=c ja koska a+b+c=1, on siis a=b=c = 1/3.Tämä maksimiarvo on 3/27 =
1/9 ja se on siis suurin arvo, minkä tuo funktio voi saada ehdolla a+b
+c = 1.
Kinkkinen on todistettu!
Ohman
Ohman
> ca^2 ääriarvoja ehdolla a+b+c=1. Käyttämällä Lagrangen kertojaa
> saadaan todellakin tulos, että tuolla funktiolla on maksimi pisteessä
> a=b=c ja koska a+b+c=1, on siis a=b=c = 1/3.Tämä maksimiarvo on 3/27 =
> 1/9 ja se on siis suurin arvo, minkä tuo funktio voi saada ehdolla a+b
> +c = 1.
>
> Kinkkinen on todistettu!
>
> Ohman
Annoinpa kirjoitukselleni vähän liian rempseän otsikon!
Alitajuntani tuntuu miettivän tätä tehtävää öisin koskapa se aamuisin
putkauttaa esiin ratkaisuehdotuksia tai sitten korjauksia edellisiin
yrityksiin.Aina näköjään kannattaisi ottaa myös numeerisia esimerkkejä
ennenkuin menee tekemään pitkälle meneviä johtopäätöksiä, ainakin
minun!
Jos a = 1/10 , b= 4/10 ja c = 5/10, on a+b+c = 1, mutta ab^2 + bc^2 +
ca^2 = 121 / 1000 > 1/9.
Lagrangen kertojalla saamani tulos ei siis ole tuon funktion suurin
arvo k.o. alueella.Kinkkinen jää todistamatta.
Jope Ruonansuuta lainatakseni:
Sorry että oon syntynyt! Anteeks että oon olemassa!
Ohman