Re: Kolmen kappaleen ongelma
Jyrki Lahtonen
> Onko tￜssￜ siis kysymys vain siitￜ, ettￜ katsotaan, ettￜ jos ei ole
> ratkaisua esim. joidenkin hyvin tunnettujen transkendenttifunktioiden
> avulla lausuttuina lausekkeina, vaan on ainoastaan olemassa
> sarjakehitelmￜt, niin katsotaan, ettￜ "ongelmaa ei hallita
> matemaattisesti"?
Fraasilla "ongelmaa ei hallita matemaattisesti" tuskin on vakiintunutta
mￜￜritelmￜￜ tai tulkintaa. En usko ettￜ sillￜ ainakaan tarkoitettaisiin
sitￜ, ettei ongelmalla ole alkeisfunktioiden avulla ilmoitettavissa
olevaa ratkaisua (vaikka alkeisfunktiojoukkoa sallittaisiinkin
tï¿œydennettï¿œvï¿œn esimerkiksi Besselin funktioilla tai Weierstrassin
p-funktioilla tarpeen mukaan).
Ymmï¿œrrykseni kolmen kappaleen probleemasta yleisesti ja Sundmanin
ratkaisuista erityisesti on sen verran hutera, ettￜ olisi ehkￜ parempi
olla sanomatta mitￜￜn. En kumminkaan malta olla arvaamatta, ettￜ tￜssￜ
yhteydessￜ "ei hallita matemaattisesti" tarkoittaisi sitￜ, ettￜ ongelma
on perusluonteeltaan kaoottinen "tai jotakin sinne pï¿œin." Koska tietoni
kaaosteoriasta ovat yhtￜ huterat, niin tￜsmennￜn tￜtￜ arvaamalla, ettￜ
Sundmanin sarjojen avulla on vaikea ennustaa systeemin asymptoottista
kￜyttￜytymistￜ: missￜ ne 3 kappaletta ovat miljardin vuoden pￜￜstￜ? Onko
yksi kappaleista "karannut", vai jatkavatko ne onnellisena
aurinkokuntaperheenￜ? Tￜssￜ siis on selkeￜ ero kahden kappaleen
ongelmaan, jonka ratkaisun lienemme kaikki nï¿œhneet. Sen kanssa voidaan
helposti laskea, missￜ kappaleet ovat miljardin tai vigintiljoonan
vuoden pￜￜstￜ, jos nykytilanne tiedetￜￜn tarkasti.
Kolmen kappaleen probleemiin on helppo ymmￜrtￜￜ syntyvￜn herkkￜￜ
riippuvuutta alkutilasta. Jos meillￜ esimerkiksi on auringon ja
Jupiterin lisï¿œksi jokin pienempi kappale, niin pienemmï¿œn kappaleen
radalle tapahtuu kohtuullisen nopeasti outoja asioita, jos sen
kiertoaika T_2 synkronoituu Jupiterin kiertoajan T_1 kanssa: jos T_1/T_2
on rationaaliluku, joka supistuu pienten kokonaislukujen osamￜￜrￜksi,
niin Jupiter tￜnii/vetￜￜ pientￜ kappaletta sￜￜnnￜllisin vￜlein samoissa
kohdissa sen rataa, ja pienet tï¿œnï¿œisyt lopulta kumuloituvat. Jos taas
suhde on irrationaaliluku, niin pitkien aikojen kuluessa tï¿œnimisvaikutus
levittyy tasaisesti. Nￜinhￜn kaiketi selitetￜￜn se, miten Jupiter on
"pyyhkinyt asteroidit pois" tietyiltￜ vyￜhykkeiltￜ. En vￜitￜ, ettￜ nￜmￜ
Jupiterin kieltï¿œmï¿œt radat vastaisivat *tarkalleen* esimerkiksi suhteita
2/1, 3/2 tms. Kyllￜ ne ovat kiellettyjￜ *vyￜhykkeitￜ*, eivￜt
nollamitallisia joukkoja. En osaa siis sanoa kuinka lￜhellￜ suhdetta 3/2
pitￜￜ olla, jotta Jupiterin vaikutus olisi riittￜvￜ.
Olisiko siis niin, ettￜ jos T_2/T_1 on esimerkiksi 13057/11111, niin
Sundmanin sarjaratkaisuun on otettava tolkuton mￜￜrￜ termejￜ, ennen kuin
tￜllaisen "synkronoinnin" vaikutus tulisi laskettavaksi? Tarkoitan tￜssￜ
yhteydessￜ T_2:lla ja T_1:llￜ kahden kappaleen probleeman ratkaisujen
mukaisia kiertoaikoja (eliminoiden vuorotellen systeemistￜ Jupiterin ja
asteroidin).
Leikin joskus tekemￜllￜ karkeita tietokoneanimaatioita 2-ulotteisesta
kolmen kappaleen ongelmasta. Hassuja juttuja siinￜ tosiaan tapahtuu, ja
vￜlillￜ yksi kappaleista singahtaa ulos aurinkokunnasta. En kykene
sanomaan johtuivatko nￜkemￜni yllￜtykset vain siitￜ, ettￜ kￜytin
tietenkin diskreettiￜ aikaa, ja hyvin ￜￜrellistￜ laskentatarkkuutta, vai
olivatko ne oikeasti oireita jostakin syvemmￜstￜ ilmiￜstￜ.
Mielellￜni kuuntelen, mitￜ sanottavaa on niillￜ, jotka oikeasti tietￜvￜt
asiasta jotakin. Siksi otin mukaan fysiikka-ryhmï¿œn.
t. Jyrki Lahtonen, Turun yliopisto, matematiikan laitos
Vesa Monisto
>
> Ymm�rrykseni kolmen kappaleen probleemasta yleisesti ja Sundmanin
> ratkaisuista erityisesti on sen verran hutera, ett� olisi ehk� parempi
> olla sanomatta mit��n.
Jees! ... eli yhtyen omalta osaltani edelliseen mielentilaan:
Kolmen kappaleen ongelma on 'intractable' sek� matemaattisesti,
fysikaalisesti ett� programmaattisesti (= sarjaprosessoiden).
Kuitenkin vilkaisu t�htitaivaalle osoittaa ongelman ratkaistuksi
kaikissa tapauksissaan -- oli palikoita miten monta ja miten tahansa!
Selityksen� lienee massiivinen paralleeliprosessointi (sarjaprosessoinnin
sijasta): jokainen massallinen alkeishiukkanen *ajautuu* reaaliajassa
entropiamaksimaaliseen 'lepotilaansa' - h�iriytyi sen kentt� (= 'peti')
miten tahansa ymp�rist�ns� 'jouluh�lin�iss�' eli kaoottisissa kohinoissa.
"Vetovoimien" ja "kurvatuurien" sijalle tarvittaisiin tosin uusi n�kemys
kuten alkeishitusten impedanssien (= C- ja I-reaktanssien) sovittuminen
dynaamiseen h�iri�kentt��n. Kukin 'laskisi' liiketilansa gradientistaan.
- Olisi turhan ty�l�st�, joten 'gravity/geodesity' k�ynee sateenvarjosta.
Luonnollisen fysikaalista 'laskeutumista' matemaattisen laskemisen sijasta.
Mainos: Kannattaa siis siirty� MENSAsta MANSEen!
V.M.
(MENSAlaiset ovat definoineet �llin "ongelmien ratkaisukyvyksi", joten
innostuvat ker�ilem��n ongelmia ... ratkaisuineen.
MANSElaiset �llik�iv�t v�ltt�m�ll� "kaikenmaailmanongelmat" jo ennalta.)
Tuomas Yrjövuori
> Kuitenkin vilkaisu t�htitaivaalle osoittaa ongelman ratkaistuksi
> kaikissa tapauksissaan -- oli palikoita miten monta ja miten tahansa!
Hyvin sanottu.
--
Tuomas Yrj�vuori
J. Winter
Tuossa on linkki, josta p��see eteenp�in (jos kiinnostaa):
http://en.wikipedia.org/wiki/N-body_problem
-- jw
Antti Ylikoski
Katsokaapa
Mensalainen �lykkyyden m��ritelm�:
�lyk�s selvi�� tilanteista, joihin viisas ei joudu.
terv DI Antti Ylikoski, Mensa since 1981
Esa Säkkinen
wrote:
> Vesa Monisto kirjoitti:
>
> > Kuitenkin vilkaisu tähtitaivaalle osoittaa ongelman ratkaistuksi
> > kaikissa tapauksissaan -- oli palikoita miten monta ja miten tahansa!
>
> Hyvin sanottu.
Jep. Itse asiassahan todellisuudessa on kyse lopulta yhden kappaleen,
yhden alkeishiukkasen, "alkeishavaitsijan" ongelmista selviytyä
kansoitetussa kaikkeudessa. Se mitä on aika tälle ja toisaalta muille
- no, se tietenkin liittyy ko problematiikan matematiikkaan, vaikka
tuskastunut matemaatikko kuinka haluaisi eliminoida...
Esa.