ensemble négligeable
Lionel Dorat
Est-ce que vous savez si l'image r�ciproque d'un ensemble n�gligeable par
une fonction continue de [a,b] dans R est n�gligeable ?
En fait, je me demandais si f Riemann-int�grable et g continue implique ou
non fog Riemann int�grable, et par le th�or�me de Lebesgue (une fonction
born�e est riemann-int�grable sur un segment si et seulement si elle est
discontinue sur un ensemble n�gligeable) cela revient � la question que je
vous demande.
Je suppose que j'ai d�j� vu ca en cours sur l'int�grale de Lebesgues, mais
mes souvenirs sont vraiment trop vague ...
D'avance, merci beaucoup.
Lionel Dorat
Lionel Dorat
Sorry
Lionel Dorat
Robert Israel
Non, c'est incorrect. Consid�rez une fonction constante. Et si vous
ajoutez la condition que f soit injectif, c'est encore incorrect. Si E est
l'ensemble de Cantor, il y a une fonction f continue croissante de R
en R de sorte que l'image r�ciproque de E a mesure > 0. On peut
arranger que chacun des 2^n intervalles de longueur 3^(-n) dont l'union
contient E a une image r�ciproque de longueur 2^(-n) p_n, avec
p_n > p_{n+1} mais lim_{n -> infini} p_n > 0.
--
Robert Israel isr...@math.MyUniversitysInitials.ca
Department of Mathematics http://www.math.ubc.ca/~israel
University of British Columbia Vancouver, BC, Canada
Lionel Dorat
>> Est-ce que vous savez si l'image r�ciproque d'un ensemble n�gligeable par
>> une fonction continue de [a,b] dans R est n�gligeable ?
>>
>> En fait, je me demandais si f Riemann-int�grable et g continue implique
>> ou
>> non fog Riemann int�grable, et par le th�or�me de Lebesgue (une fonction
>> born�e est riemann-int�grable sur un segment si et seulement si elle est
>> discontinue sur un ensemble n�gligeable) cela revient � la question que
>> je
>> vous demande.
>>
>> Je suppose que j'ai d�j� vu ca en cours sur l'int�grale de Lebesgues,
>> mais
>> mes souvenirs sont vraiment trop vague ...
>>
>> D'avance, merci beaucoup.
>
> Non, c'est incorrect. Consid�rez une fonction constante. Et si vous
> ajoutez la condition que f soit injectif, c'est encore incorrect. Si E
> est
> l'ensemble de Cantor, il y a une fonction f continue croissante de R
> en R de sorte que l'image r�ciproque de E a mesure > 0. On peut
> arranger que chacun des 2^n intervalles de longueur 3^(-n) dont l'union
> contient E a une image r�ciproque de longueur 2^(-n) p_n, avec
> p_n > p_{n+1} mais lim_{n -> infini} p_n > 0.
> --
Merci beaucoup.
Je connaissais en plus un tel f !! Il est construit � partir d'un autre
Cantor (autre que le triadique mais de mesure >0 ?), c'est ca ?
De plus, quitte �ventuellement � faire une translation et une homoth�tie, on
peut supposer que f est une bijection de [0,1] sur lui-m�me. Et donc, j'ai
l'impression que cette fonction f me permet de r�ponde � ma question sur les
fonctions Riemann-int�grables : si on note 1_E l'indicatrice du triadique de
Cantor, alors ses points de discontinuit�s sont E, et 1_E o f est
discontinue sur l'image r�ciproque de E puisque f est un hom�omorphisme de
[0,1] sur lui-meme, donc n'est pas Riemann int�grable.
En tout cas, merci beaucoup.
Lionel Dorat