Einfacher Beweis mit zwei Unbekannten?
Philipp Steffan
ich beschäftige mich erst seit sehr kurzer Zeit mit Beweisen von
bereits gegebenen mathematischen Aussagen und hänge jetzt bei
folgender Übung:
> Wenn 100m + n durch 7 teilbar ist, dann ist auch m + 4n durch 7
teilbar. (m,n natürliche Zahlen)
Ich habe leider keine Ahnung wie ich hier z.B. mit einem
Widerspruchsbeweis herangehen kann. Kann mir einer einen Tipp geben,
wie ich eine solche Übung angehen kann?
Gruß
Philipp
Peter Niessen
Tipp:
(100m + n)/7 = (100m)/7 + n/7
Zerlege die Terme mal in Primfaktoren
--
Mit freundlichen Grüssen:
Peter Niessen
Klaus Loeffler
Bei Aufgaben dieser Art ist es nicht leicht, einen Lösungstipp zu geben,
der nicht schon gleich die Lösung verrät, aber ich will es versuchen:
Du könntest zum Nachweis zeigen, dass die Differenz der beiden
angegebenen Ausdrücke stets durch 7 teilbar ist. Dabei darfst du
verwenden, dass Teilbarkeit durch 7 invariant ist gegenüber
- Multiplikation mit ganzen Zahlen, die nicht durch 7 teilbar sind,
- Division durch Teiler, die teilerfremd zu 7 sind
- Addition von Zahlen, die durch 7 teilbar sind.
Mit ein wenig Probieren sollte damit der gewünschte Nachweis gelingen.
Klaus-R.
kilian heckrodt
http://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit#Teilbarkeit_durch_7
100m+n=98m+2m+n => 2m+n ist durch 7 teilbar
Die Idee ist nun ähnliche Zerlegungen und damit durch 7 teilbare
Ausdrücke zu finden, so dass sich m+4n aus ihnen zusammensetzen lässt,
woraus dann folgt, dass auch m+4n durch 7 teilbar ist.
Peter Niessen
Was für ein Umstand
100 lässt sich nicht durch 7 teilen. Daraus folgt:
m und n müssen durch 7 teilbar sein. Somit gilt:
m + 4n ist ebenfalls durch 7 teilbar. Thats all :-)
kilian heckrodt
100m+n=203=29*7 aber m und n selbst sind nicht durch 7 teilbar.
Etwas allgemeiner formuliert:
Aus der Teilbarkeit der Summanden folgt die Teilbarkeit der Summe, aber
aus der Teilbarkeit der summe kann man _nicht_ auf die Teilbarkeit der
Summanden schließen. Teilbarkeit von Summe und Summanden sind damit
_nicht_ äquivalent.
Ulrich Diez
Aus
100m + n = 0 (mod 7); m \in Z, n\in Z
<->
100m = -n (mod 7) ; m \in Z, n\in Z
folgt _nicht_, daß immer gilt: m =n = 0 (mod 7).
Im Prinzip gehts darum, zu zeigen, daß wenn 100m + n ein ganzzahliges
Vielfaches von 7 ist, dann auch m+4n ein ganzzahliges Vielfaches von
7 ist.
Daß also, wenn ein K \in Z existiert, für welches gilt:
100m + n = 7*K,
dann auch ein L \in Z existiert, für welches gilt
m + 4n = 7L.
Dieses L wird sich wohl mittels K so ausdrücken lassen, daß man
ihm die Ganzzahligkeit immer ansieht.
Deutlicher kann man wohl nicht mehr sein, ohne es gleich ganz
vorzurechnen.
Ulrich
Philipp Steffan
> Dabei darfst du
> verwenden, dass Teilbarkeit durch 7 invariant ist gegenüber
> - Multiplikation mit ganzen Zahlen, die nicht durch 7 teilbar sind,
> - Division durch Teiler, die teilerfremd zu 7 sind
> - Addition von Zahlen, die durch 7 teilbar sind.
Also ich habe jetzt folgende Argumentationskette gebildet:
Wenn gilt 7|(100m + n) dann folgt daraus:
7|4*(100m + n) <=> 7|(400m + 4n) <=> 7|(399m + m + 4n)
399m ist eine durch 7 teilbare Zahl und da die Addition mit (m + 4n)
eine durch 7 teilbare Zahl ergibt, muss (m + 4n) selber eine durch 7
teilbare Zahl sein.
Hoffe das kommt so in etwa hin.
Gruß
Philipp
Klaus Loeffler
Genauso gehts. Mit der Identität 4(100m+n)-7*57m = m+4n hättest du zwar
geringfügig kürzer m+4n als Summe von Vielfachen von 7 dargestellt, aber
das ist nur eine Frage der Form. Die Überlegung und Rechnung ist ja
genau die gleiche.
Klaus-R.