Bestimmung einer Potenzfunktion

[Herbert Brandt]

Hallo, wer kann helfen bei folgendem Problem:

Für die Potenzfunktion f(x)= (x+b)^n + c sind folgende 3 Punkte gegeben :

P1(x1 I y1 ), P2(x2 I y2 ), P3(x3 I y3)

Es soll f(x) ermittlt werden, also die Werte für b, n und c !

Grafisch hat
b die Bedeutung einer Kurvenverschiebung in X-Achsenrichtung
c die Bedeutung einer Kurvenverschiebung in Y-Achsenrichtung und
n legt die Art der Kurve fest.

n El Z+, gerade : f(x) stellt Scheitelpunktsform einer verschobenen Parabel dar.

n El Z+, ungerade : f(x) stellt die Wendepunktsform einer verschobenen S-Kurve dar.

n El Z-, gerade : f(x) stellt die Asymptotenform einer verschobenen Y- achsensymm. Hyperbel mit
waagerechten und senkrechten Asymptoten dar.

n El Z-, ungerade : f(x)stellt die Asymptotenform einer verschobenen, Koordinatennullpunkt-
symmetrischen Hyperbel mit waagerechten und senkrechten Asymptoten dar.

n El Q+, gerade : f(x) stellt die Scheitelpunktsform von verschobenen Parabel-Ästen dar.

n El Q-, ungerade : f(x) stellt die Asymptotenform von verschobenen Hyperbelästen dar.

Es ist also sehr nützlich, b,n und c zu bestimmen, um schnell über den Kurvenverlauf Bescheid zu wissen.

Man erhält die 3 Best.Gleichungen

(1) (x1 + b )^n + c = y1
(1´) c = y1 - (x1+b)^n
(2) (x2 + b )^n + c = y2

(3) (x3 + b )^n + c = y3

(1´) in (2) und (3) liefert zur Bestimmung von b und n :

(2´) (x2 + b )^n + y1 - (x1 + b )^n = y2

(3´) (x3 + b )^n + y1 - (x1 + b )^n = y3

HIER weiss ich nicht mehr weiter.........

Besten Dank für Eure Hilfe im voraus.

Roland

[Markus Steinborn]

Hallo Herbert,

> (1´) in (2) und (3) liefert zur Bestimmung von b und n :
>
> (2´) (x2 + b )^n + y1 - (x1 + b )^n = y2
>
> (3´) (x3 + b )^n + y1 - (x1 + b )^n = y3
>
>
> HIER weiss ich nicht mehr weiter.........

Und wer sagt uns jetzt, dass dieses Gleichungssystem algebraisch lösbar
ist?

Wäre n fest und >= 5, so sind 2' und 3' Polynome vom Grad n. Polynome vom
Grad >=5 sind i. A. nicht algebraisch lösbar.

Das obige Problem hst gegenüber den gerade angesprochenen Problem noch die
zusätzliche Unbekannte n. Es ist nicht unbedingt klar, ob es dadurch nicht
doch einfacher wird, aber ich vermute, es bleibt algebraisch unlösbar.

Bleibt Dir noch die Möglichkeit, es numerisch zu lösen. Nichtlineare
Optimierung bietet sich an, weil sich das Problem einfach als
Optimierungsproblem schreiben läßt:

Minimiere f(b,n,c) := | y1 - ( (x1-b)^n + c ) |
+ | y2 - ( (x2-b)^n + c ) |
+ | y3 - ( (x3-b)^n + c )
mit (b,n,c) \in \R^3 .

Ist bei den gefundenen (b,n,c) dann f(b,n,c) = 0, so wurde eine Lösung
gefunden.

So bekommst Du auch das Problem im Griff, dass wegen der ggf. gerundeten
Werte von P1, P2 und P3 es evtl. keine exakte Lösung gibt. In diesem Fall
kommt halt f(b,n,c) ungefähr 0 heraus.

Für eine Einführung in nichtlineare Optimierung ist dies aber definitiv
der falsche Platz. Da kann man nämlich locker eine Vorlesung über ein
gesamtes Semester raus machen, bei fehlenden Vorkenntnissen entsprechend
mehr.

Grüße

Dipl.-Inf. Markus Steinborn