Re: [python.tw] 有關python處理期望值的問題

[Yung-Yu Chen]

2013/4/19 alvin shih <alvins...@gmail.com>

最近一個在外企工作的朋友問我python能處理期望值類的問題嗎？

我當然不加思索地就回答沒問題，所以他丟給我一段公式：

N、i為一正整數，且V>=i，求推導當N、i為已知時，如何求得Xi之期望值？

「N、i為一正整數，且V>=i，求推導當N、i為已知時，如何求得Xi之期望值？」

只有這樣的話，這個問題不完整呀。你可能要再向你朋友問清楚一點。

yyc

 

我當場倒抽一口涼氣，這是整人題目嗎？

學習python的時間仍短，我僅知scipy可處理積分的問題，不知是否有先進能提供一些想法？

目前仍在努力中...= =

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Yung-Yu Chen

http://solvcon.net/yyc/

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[Peter. w]

scipy.stats 有現成的 expected value function，可以試試看是不是你要的
http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.rv_continuous.expect.html#scipy.stats.rv_continuous.expect

或是，如果有發佈時的困難的話，用 python-statlib 裡的一些工具自己「拼」一個出來，應該也是可行的。

不過 statlib 裡的東西已經比較舊了！

pw.

alvin shih <alvins...@gmail.com> 於 2013年4月19日上午8:59 寫道：

最近一個在外企工作的朋友問我python能處理期望值類的問題嗎？

我當然不加思索地就回答沒問題，所以他丟給我一段公式：

N、i為一正整數，且V>=i，求推導當N、i為已知時，如何求得Xi之期望值？

[Yung-Yu Chen]

原來是我沒有開圖片，難怪看不懂題目。

X_i 看起來像是一個 PDF?

yyc

2013/4/19 alvin shih <alvins...@gmail.com>

最近一個在外企工作的朋友問我python能處理期望值類的問題嗎？

我當然不加思索地就回答沒問題，所以他丟給我一段公式：

N、i為一正整數，且V>=i，求推導當N、i為已知時，如何求得Xi之期望值？

我當場倒抽一口涼氣，這是整人題目嗎？

學習python的時間仍短，我僅知scipy可處理積分的問題，不知是否有先進能提供一些想法？

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[weijr]

照式子來看，數值計算最簡單的方式,就直接從 i=1 開始照著算。

但也得要知道 V_i 是什麼。

除了式子中 if 中的 條件重疊，

一方面說 V>=i ，式子裡面卻是 V_i <=1 

alvin shih於 2013年4月19日星期五UTC+8上午8時59分22秒寫道：

[Yung-Yu Chen]

2013/4/19 weijr <tze...@gmail.com>

照式子來看，數值計算最簡單的方式,就直接從 i=1 開始照著算。

但也得要知道 V_i 是什麼。

除了式子中 if 中的 條件重疊，

可以用 piecewise integration 處理嗎？

yyc

 

一方面說 V>=i ，式子裡面卻是 V_i <=1 

alvin shih於 2013年4月19日星期五UTC+8上午8時59分22秒寫道：

最近一個在外企工作的朋友問我python能處理期望值類的問題嗎？

我當然不加思索地就回答沒問題，所以他丟給我一段公式：

N、i為一正整數，且V>=i，求推導當N、i為已知時，如何求得Xi之期望值？

我當場倒抽一口涼氣，這是整人題目嗎？

學習python的時間仍短，我僅知scipy可處理積分的問題，不知是否有先進能提供一些想法？

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[Albert Chun-Chieh Huang]

Yung-Yu Chen <y...@solvcon.net> writes:

> 2013/4/19 weijr <tze...@gmail.com>
>
>> 照式子來看，數值計算最簡單的方式,就直接從 i=1 開始照著算。
>> 但也得要知道 V_i 是什麼。
>>
>> 除了式子中 if 中的 條件重疊，
>>
>
> 可以用 piecewise integration 處理嗎？
>
> yyc

V_i 條件重疊應該不是問題，因為第二個式子 V_i 的下界
[(n-i) + (X_1 + X_2 + ... + X_i)] / (n+1-i) 代入 X_i 的第二個式子，
得到的結果是 0, 也是第一個式子 X_i =0 的時候 V_i 的上界。

但是 V_i 是什麼就不知道了。

>
>
>> 一方面說 V>=i ，式子裡面卻是 V_i <=1
>>
>>
>>
>> alvin shih於 2013年4月19日星期五UTC+8上午8時59分22秒寫道：
>>

>>> 最近一個在外企工作的朋友問我python能處理期望值類的問題**嗎？
>>>
>>> 我當然不加思索地就回答沒問題，所以他丟給我一段公式：
>>>
>>> N、i為一正整數，且V>=i，求推導當N、i為已知時，**如何求得Xi之期望值？
>>>
>>>
>>> <https://lh4.googleusercontent.com/-uPgGLaDqdAU/UXCT4cl62tI/AAAAAAAAACo/CZThEbSKdwU/s1600/post.png>
>>>
>>>
>>> 我當場倒抽一口涼氣，這是整人題目嗎？
>>>
>>> 學習python的時間仍短，**我僅知scipy可處理積分的問題，**不知是否有先進能提供一些想法？

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> 2013/4/19 weijr <tze...@gmail.com>
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> 照式子來看，數值計算最簡單的方式,就直接從 i=1 開始照著算。
>
> 但也得要知道 V_i 是什麼。
>
>
> 除了式子中 if 中的條件重疊，
>
>
> 可以用 piecewise integration 處理嗎？
>
> yyc
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> 一方面說 V>=i ，式子裡面卻是 V_i <=1 
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> alvin shih於 2013年4月19日星期五UTC+8上午8時59分22秒寫道：
>
> 最近一個在外企工作的朋友問我python能處理期望值類的問題
> 嗎？
>
> 我當然不加思索地就回答沒問題，所以他丟給我一段公式：
>
> N、i為一正整數，且V>=i，求推導當N、i為已知時，如何求得Xi之期望
> 值？
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Albert Chun-Chieh Huang(黃俊傑)
Blog: Random Notes, http://alberthuang314.blogspot.com/

[Yung-Yu Chen]

一開始你有寫 V \ge i，是指 V_i \ge i 嗎？如 weijr 所說，式子裡卻是 V_i \le i (\forall i \in \mathrm{N})。

yyc

2013/4/19 alvin shih <alvins...@gmail.com>

乍看之下，題目可能真的不完整，我舉個例子來說好了，如果：n=3, i=1

則if 0<= V1 < 2/3 ，X1=0

if 2/3 =< V1 <= 1 ，X1= (3V1-2)/4 

則

再來就是將X1之值代入繼續推導X2. X3，當然，這只是n=3的情況，如果n=10，則要一步一步由X1 -> X2 -> ... -> X10，最後的X10共有2的10次方組合!!

[Albert Chun-Chieh Huang]

Yung-Yu,

昨夜試圖推導的時候發現這個應該是筆誤, 應為 N >= i, N 如果寫草一點就會看
起來像 V 了，抄寫錯誤吧。

另外，題目也沒有說是 X_1, X_2, ..., X_n.

這是擠牙膏式的出題嗎？

Albert

Yung-Yu Chen <y...@solvcon.net> writes:

> 一開始你有寫 V \ge i，是指 V_i \ge i 嗎？如 weijr 所說，式子裡卻是 V_i \le i (\forall i \in
> \mathrm{N})。
>
> yyc
>
>
> 2013/4/19 alvin shih <alvins...@gmail.com>
>
>> 乍看之下，題目可能真的不完整，我舉個例子來說好了，如果：n=3, i=1
>> 則if 0<= V1 < 2/3 ，X1=0
>> if 2/3 =< V1 <= 1 ，X1= (3V1-2)/4
>>
>>

>> 則<https://lh3.googleusercontent.com/-aoDL2D_ZpdY/UXFglQwMCzI/AAAAAAAAAC4/XQWOotconvI/s1600/CodeCogsEqn.png>

>>
>> 再來就是將X1之值代入繼續推導X2. X3，當然，這只是n=3的情況，如果n=10，則要一步一步由X1 -> X2 -> ... ->
>> X10，最後的X10共有2的10次方組合!!
>>
>>
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>

> 一開始你有寫 V \ge i，是指 V_i \ge i 嗎？如 weijr 所說，式子裡卻是 V_i
> \le i (\forall i \in \mathrm{N})。
>
> yyc
>
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> 2013/4/19 alvin shih <alvins...@gmail.com>
>
> 乍看之下，題目可能真的不完整，我舉個例子來說好了，如果：n=3, i=1
> 則if 0<= V1 < 2/3 ，X1=0
> if 2/3 =< V1 <= 1 ，X1= (3V1-2)/4 
>
>
> 則

> *
>
>
>
>
> 再來就是將X1之值代入繼續推導X2. X3，當然，這只是n=3的情況，如果

> n=10，則要一步一步由X1 -> X2 -> ... -> X10，最後的X10共有2的10次方
> 組合!!
>
>
>
>
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> Yung-Yu Chen
> http://solvcon.net/yyc/
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[weijr]

這個應該不用舉例子，yyc 只是沒看到圖，最好要寫一下如圖，不然一般來說，圖是擋住的。

就像我之前說的，如果只要數值解，照 i=1,2,3,順序就算出了。
不過，你說了 1024，我大概就瞭解你的問題在哪裡。
因為第一點， 1024 不是個很大的數字，不是很急的話，2^20 次方都還不算太難。
2^30 才開始要有點擔心。（這就是為什麼你要說清楚 N 的範圍的原因）
還有 V_i，是否為 iid，是否為 0-1 的 uniform distribution？
還是實驗或者其他方式產生來的資料？有沒有什麼假設？這些都有差。

不過既然你提到 python，我們就假設是要數值解。這個我一開始就說，不難。
你會卡住的問題出在，範圍重疊。當然我指的不是範圍重疊，而是語言的邏輯性。
以程式語言來說， if (a>=b){} elif (a<=b) {)   這樣的程式碼是不好的。
另外，你有沒有發現類似的東西重複出現了三次？
以寫程式的觀念來說，就是不好的寫法。
所以你可以讓 Y_i = sum(X_1 ... X_(i-1))   (甚至令 Y_i=n-i-sum(...) 之類的，這個要真的動手算一下才能確定哪個比較好)
然後把 X_i 全部用 Y_i 取代，這樣遞迴式就會變簡單一點。
然後這個還不夠簡化，你還可以用 max(0, .....) 來取代 if 的式子。
(變成一句話，才能變成一個觀念)
接下來，你只要知道 V_i 以及 Y_(i-1) 的 cdf ，就能簡單求出 Y_i 的 cdf 。
 2^N 多大都不要緊，因為重點只有cdf 的精確度/解析度而已，這只是簡單的積分誤差估計。
然後 E(X_i) =E(Y_i)-E(Y_(i-1))


alvin shih於 2013年4月19日星期五UTC+8下午11時26分00秒寫道：

乍看之下，題目可能真的不完整，我舉個例子來說好了，如果：n=3, i=1

則if 0<= V1 < 2/3 ，X1=0

if 2/3 =< V1 <= 1 ，X1= (3V1-2)/4 

則

[pingooo]

用 i = 1 代入右式求 X_1，我就碰到 X_1 + X_2 + ... + X_{i-1}，可是 X_0 有定義嗎？

另外，「X_i 的期望值」這個詞我無法了解，我沒看到 X_i 的機率分佈函數，如果 X_i 不是隨機變數，何來期望值？

2013/4/20 weijr <tze...@gmail.com>

[weijr]

數學(當然也許還有一些其他領域)的慣例是  X_1+...+X_(i-1)  當 i=1 的時候是沒有加任何東西。
類似程式語言上的 for k=1;k<i-1;k++ {} 或 range (1,1)

X 用大寫在數學(的一些領域以及一些其他領域)的慣例也是代表隨機變數。

(小領域很多，所以網路上儘可能解釋清楚較佳，當然有時有點難，因為會根本沒想到。)



pingooo於 2013年4月22日星期一UTC+8上午4時23分57秒寫道：

[pingooo]

> 數學(當然也許還有一些其他領域)的慣例是  X_1+...+X_(i-1)  當 i=1 的時候是沒有加任何東西。
> 類似程式語言上的 for k=1;k<i-1;k++ {} 或 range (1,1)

這我欠難同意... 我雖不是數學系的，但在物理系的十幾年也幾乎天天圍繞在數學身邊。數學是嚴謹而明確（explicit）的學問，如果有慣例（convention），一定先講明。

另外，不知道機率密度或機率密度函數而要問期望值，根本是緣木求魚。

2013/4/21 weijr <tze...@gmail.com>

[Yung-Yu Chen]

2013/4/23 pingooo <ping.n...@gmail.com>

> 數學(當然也許還有一些其他領域)的慣例是  X_1+...+X_(i-1)  當 i=1 的時候是沒有加任何東西。
> 類似程式語言上的 for k=1;k<i-1;k++ {} 或 range (1,1)

這我欠難同意... 我雖不是數學系的，但在物理系的十幾年也幾乎天天圍繞在數學身邊。數學是嚴謹而明確（explicit）的學問，如果有慣例（convention），一定先講明。

tjw 看來只是描述某些領域內既成的慣例，好像沒有表達其為應然的意思 (至少我看來是這樣)。

從工程學的角度來看，原貼文者的描述方式確實也定義不明。如果是在課堂上出出來的題目的話，大概會變成送分題？

 

另外，不知道機率密度或機率密度函數而要問期望值，根本是緣木求魚。

我在猜會不是 PDF 是原表示式中的一個 implicit function？這需要原作者解釋一下。

yyc

--

[alvin shih]

抱歉! 因為定義上的不明，造成一些朋友們的困擾，我再重新說明一次：

N、i為一正整數，且N>=i，X_0=0

V_i 是一個均勻分配(uniform distribution)的獨立隨機變數(independently distributed random)

求推導當N、i為已知時，如何求得Xi之期望值？

目前我是打算採切割求近似的方式，似乎還比較容易些。

[pingooo]

這問題可以用蒙地卡羅法數值解，求 X_i 的時間是 O(i) * M，M 是反覆求 X_i 值、計算期望值的次數，如果容許誤差是 10^-a，M 基本上是 O(10^{2a})。

如果覺得蒙地卡羅太慢，那就要分析給出的式子，看能不能找到部分解析、部分數值的解。

不過還是要：

<雞蛋裡挑骨頭 id="1">

問題缺 X_i 期望值的容許誤差，不然不知道算到何時停止。如果有解析解，那用什麼語言也不重要了，算式打進去跑就好。

</雞蛋裡挑骨頭 id="1">

<雞蛋裡挑骨頭 id="2">

有均勻分佈還是無法求期望值，因為缺少均勻分佈的上下限。

</雞蛋裡挑骨頭 id="2">

<雞蛋裡挑骨頭 id="3">

式中的 X_i 部分和（partial sum），如果從 X_0 開始加，然後指明 X_i 的式子適用於 i >= 1，就沒有「上限 < 下限」的問題，而且可以涵蓋所有 i >= 1 的 X_i。

</雞蛋裡挑骨頭 id="3">

2013/4/25 alvin shih <alvins...@gmail.com>

[alvin shih]

最近想了一下這問題，pingooo所提的蒙地卡羅法，因為沒有所謂的解析解，實在是想不出應用的方式 @@

目前初步將N=10，並切割為10等份來求近似值，但效率不是很好，看來python在迴圈的效能方面，的確不行(也有一部份是因為小弟才疏學淺吧! = =)。

完整程式如下，還望先進給予指教：

from __future__ import division

#定義n的數值

n=10

i=range(n)

x=range(n)

M=range(n)

xvalue=[]

C=0.0

#所要切割的數量

s=10

for i[0] in xrange(s+1):

    for i[1] in xrange(s+1):

        for i[2] in xrange(s+1):

             for i[3] in xrange(s+1):

                 for i[4] in xrange(s+1):

                     for i[5] in xrange(s+1):

                         for i[6] in xrange(s+1):

                             for i[7] in xrange(s+1):

                                 for i[8] in xrange(s+1):

                                     for i[9] in xrange(s+1):

                                        vArray = [p/s for p in i]

                                        x[0]=0 if vArray[0] < (n-1)/n else ( (n+1-1)*vArray[0] - (n-1) )/(n+2-1)

                                        x[1]=0 if vArray[1] < (n-2+x[0])/(n-1) else ( (n+1-2)*vArray[1] - (n-2) -x[0] )/(n+2-2)

                                        x[2]=0 if vArray[2] < (n-3+x[0]+x[1])/(n-2) else ( (n+1-3)*vArray[2] - (n-3) -x[0] -x[1] )/(n+2-3)

                                        x[3]=0 if vArray[3] < (n-4+x[0]+x[1]+x[2])/(n-3) else ( (n+1-4)*vArray[3] - (n-4) -x[0] -x[1] -x[2])/(n+2-4)

                                        x[4]=0 if vArray[4] < (n-5+x[0]+x[1]+x[2]+x[3])/(n-4) else ( (n+1-5)*vArray[4] - (n-5) -x[0] -x[1] -x[2] -x[3])/(n+2-5)

                                        x[5]=0 if vArray[5] < (n-6+x[0]+x[1]+x[2]+x[3]+x[4])/(n-5) else ( (n+1-6)*vArray[5] - (n-6) -x[0] -x[1] -x[2] -x[3] -x[4])/(n+2-6)

                                        x[6]=0 if vArray[6] < (n-7+x[0]+x[1]+x[2]+x[3]+x[4]+x[5])/(n-6) else ( (n+1-7)*vArray[6] - (n-7) -x[0] -x[1] -x[2] -x[3] -x[4] -x[5])/(n+2-7)

                                        x[7]=0 if vArray[7] < (n-8+x[0]+x[1]+x[2]+x[3]+x[4]+x[5]+x[6])/(n-7) else ( (n+1-8)*vArray[7] - (n-8) -x[0] -x[1] -x[2] -x[3] -x[4] -x[5] -x[6])/(n+2-8)

                                        x[8]=0 if vArray[8] < (n-9+x[0]+x[1]+x[2]+x[3]+x[4]+x[5]+x[6]+x[7])/(n-8) else ( (n+1-9)*vArray[8] - (n-9) -x[0] -x[1] -x[2] -x[3] -x[4] -x[5] -x[6] -x[7])/(n+2-9)

                                        x[9]=0 if vArray[9] < (n-10+x[0]+x[1]+x[2]+x[3]+x[4]+x[5]+x[6]+x[7]+x[8])/(n-9) else ( (n+1-10)*vArray[9] - (n-10) -x[0] -x[1] -x[2] -x[3] -x[4] -x[5] -x[6] -x[7] -x[8])/(n+2-10)

                                        M=map(lambda k,q:k+q,M,x)

                                        C+=1

print [p/(s+1)**n for p in M]

print C

[Mosky Liu]

隨手 Google 了一個用 NumPy 進行 Monte Carlo 的例子，希望有幫助：

http://glowingpython.blogspot.tw/2012/01/monte-carlo-estimate-for-pi-with-numpy.html

如果要用 pure Python 產生你迴圈裡的那些 case：

from itertools import product

for case in product(*[xrange(s)]*10):

    print case

在小規模測試下，這樣比你的方法快兩倍，也短的多。

[pingooo]

用切割相空間的作法當然可以，但還要了解數值結果的誤差和 S 的關係為何，在 S = 10 時是多大？我以前寫數值程式時很少碰到切十份就能得到合理結果的式子。

另外一個值得思考的問題是，V_i 是隨機變數，用等間隔的數來計算，是否能正確得出期望值？我沒多想，但從 X_i 和 V_i 之間關係是非線性看來，或許會不正確。

另一個有趣的挑戰是，有沒有辦法寫出一個函式，接受 N 和 i 為輸入參數，算出 X_i，而非寫死 N = 10？

2013/5/1 Mosky Liu <mosk...@gmail.com>

[alvin shih]

相較於mosky的方式，還真有如野地的土坯之於精緻小洋房啊!再度見證了python的優雅!

對於程式整體的彈性上也大為增加，感謝囉!

同時我也使用底下的程式驗證了一下，也快了一成左右：

from time import time

from time import sleep

i=range(10)

start = time()

for i[0] in xrange(s+1):

    for i[1] in xrange(s+1):

        for i[2] in xrange(s+1):

             for i[3] in xrange(s+1):

                 for i[4] in xrange(s+1):

                     for i[5] in xrange(s+1):

                         for i[6] in xrange(s+1):

                             for i[7] in xrange(s+1):

                                 for i[8] in xrange(s+1):

for i[9] in xrange(s+1):

pass

cost1=time()-start

sleep(5)

start = time()

for case in product(*[xrange(s+1)]*10):

pass

cost2=time()-start

print cost1,cost2

在我所使用的電腦測試出的結果為：

2246.92600012 2014.3119998

不過這樣的結果，可能還是沒有辦法有任何實質上的效用，就如同pingooo所說，確實僅切十份是得不到合理的結果的。

目前徒手積分出來的結果，N值至少要49以上，才能求得小數點下二位的精準度，所以我現行還是用C將整個程式改寫了!

monte carlo的方式，在google上搜尋到的，就如同mosky所提的一樣，都是使用pi為範例，目前還想不到要如何應用在此式上。

而由於V_i~U[0,1]，所以以此方式來求得之期望值，應該還算接近結果才是(同時也抱歉的是，這一點也是先前pingooo指正未明確定義之處)。

至於pingooo所提及之挑戰，正是我所期昐的啊!! 目前僅能接受分割值之輸入(超爛!= =)

但，mosky的解法，指引了我一盞明燈，或許不是一個不可行的方式，但效能依然是個bottleneck啊!

[Albert Chun-Chieh Huang]

Hi,

Monte Carlo 在積分上的應用，我最近在 Christian P. Robert 的 "Monte Carlo
Statistical Method" 上有看到一章是 "Monte Carlo Integration"。我也正在看
前面的章節，還沒看到後面的，不過有投影片可以參考一下：
http://www.ceremade.dauphine.fr/~xian/coursMC.pdf


Best Regards,

Albert

> --
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> 如要取消訂閱這個群組並停止接收來自這個群組的郵件，請傳送電子郵件到 pythontw+u...@googlegroups.com。
> 如要在此群組張貼留言，請傳送電子郵件至 pyth...@googlegroups.com。
> 請前往以下網址造訪這個群組：http://groups.google.com/group/pythontw?hl=zh-TW。
> 如需更多選項，請前往：https://groups.google.com/groups/opt_out。
>
>

> 相較於mosky的方式，還真有如野地的土坯之於精緻小洋房啊!再度見證了python
> 的優雅!

[Mosky Liu]

嗯 ... s 變大的時候，效能就沒那麼好了。

應該還是要用 NumPy 算效果會比較好吧 :)。

是之前有用 product 這個技巧來解線性方程組的離散解，還滿好用，就順手 po 一下 :P。

alvin shih <alvins...@gmail.com> 於 2013年5月2日下午5:16 寫道：

相較於mosky的方式，還真有如野生的土坏之於精緻小洋房啊!再度見證了python的優雅!

[weijr]

Monte Carlo 並非不好，但只能算是底線（還有很好的驗算/除錯工具）。
粗看題目是 n 維空間，但就如我前面已經寫過，遞迴關係一個一個算就可以把維度拉平，
變成 n 個低維度的問題。粗看之下每個積分都是二維的，(V, Y=\sum X_i)
但既然 V 是 uniform，原則上這一個積分可以直接積出，所以只剩一個一維積分。
剛才真的算了一下，的確如此。

另外 please keep it DRY,  don't WET(write everything ten-times) yourself.
除了寫起來很辛苦外，也會影響你的理解，就像原來的式子，東西也重複三次(這點前面也寫過)。

給原 PO 的建議
1 靠你自己，而不是 compiler/numpy，想辦法將你現在的 python 程式碼速度增加十倍。
2 真正理解一下 Monte Carlo 的意義，然後用在這裡。
3 如果真的有興趣，可以了解一下重積分、CDF、數值積分。

Albert Huang於 2013年5月2日星期四UTC+8下午5時24分09秒寫道：

[pingooo]

補充一下...

太久沒算有點記不得細節，但在多維度積分的問題裡，蒙地卡羅和分割相空間兩種算法，在高於三維（吧？）的時候，蒙地卡羅其實收歛得比較快。

2013/5/3 weijr <tze...@gmail.com>

[weijr]

如果是取中點的話，是 >=3 沒有錯。Simpson 應該就是 >=9。不過這牽扯到函數的性質。
蒙地卡羅就猛在根本不管函數的性質，像圍棋這種說不清楚的也適用。

pingooo於 2013年5月3日星期五UTC+8下午4時08分31秒寫道：

[Albert Chun-Chieh Huang]

weijr and pingooo,

在這裡趕緊請教二位，數值方法與 Monte Carlo 分別該看哪一本書比較適合入門？
數值方法我還沒找到，Monte Carlo 的有 Christian P. Robert 的 "Monte Carlo
Statistical Method" 不過這本因為台灣目前沒有，需要從 Amazon 直接訂購，所
以先請教一下這本適合與否。

謝謝二位的推薦！

Albert

weijr <tze...@gmail.com> writes:

> 如果是取中點的話，是 >=3 沒有錯。Simpson 應該就是 >=9。不過這牽扯到函數的性質。
> 蒙地卡羅就猛在根本不管函數的性質，像圍棋這種說不清楚的也適用。
>
> pingooo於 2013年5月3日星期五UTC+8下午4時08分31秒寫道：
>>
>> 補充一下...
>>
>> 太久沒算有點記不得細節，但在多維度積分的問題裡，蒙地卡羅和分割相空間兩種算法，在高於三維（吧？）的時候，蒙地卡羅其實收歛得比較快。
>>
>>

>> 2013/5/3 weijr <tze...@gmail.com <javascript:>>

>>
>>>
>>> Monte Carlo 並非不好，但只能算是底線（還有很好的驗算/除錯工具）。
>>> 粗看題目是 n 維空間，但就如我前面已經寫過，遞迴關係一個一個算就可以把維度拉平，
>>> 變成 n 個低維度的問題。粗看之下每個積分都是二維的，(V, Y=\sum X_i)
>>> 但既然 V 是 uniform，原則上這一個積分可以直接積出，所以只剩一個一維積分。
>>> 剛才真的算了一下，的確如此。
>>>
>>> 另外 please keep it DRY, don't WET(write everything ten-times) yourself.
>>> 除了寫起來很辛苦外，也會影響你的理解，就像原來的式子，東西也重複三次(這點前面也寫過)。
>>>
>>> 給原 PO 的建議
>>> 1 靠你自己，而不是 compiler/numpy，想辦法將你現在的 python 程式碼速度增加十倍。
>>> 2 真正理解一下 Monte Carlo 的意義，然後用在這裡。
>>> 3 如果真的有興趣，可以了解一下重積分、CDF、數值積分。
>>>
>>> Albert Huang於 2013年5月2日星期四UTC+8下午5時24分09秒寫道：
>>>>
>>>> Hi,
>>>>
>>>> Monte Carlo 在積分上的應用，我最近在 Christian P. Robert 的 "Monte Carlo
>>>> Statistical Method" 上有看到一章是 "Monte Carlo Integration"。我也正在看
>>>> 前面的章節，還沒看到後面的，不過有投影片可以參考一下：

>>>> http://www.ceremade.dauphine.**fr/~xian/coursMC.pdf<http://www.ceremade.dauphine.fr/~xian/coursMC.pdf>

>>>>
>>>>
>>>> Best Regards,
>>>>
>>>> Albert
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> alvin shih <alvins...@gmail.com> writes:
>>>>

>>>> > 相較於mosky的方式，還真有如野地的土坯之於精緻小洋房啊!**再度見證了python的優雅!

>>>> > 不過這樣的結果，可能還是沒有辦法有任何實質上的效用，**就如同pingooo所說，確實僅切十份是得不到合理的結果的。
>>>> > 目前徒手積分出來的結果，N值至少要49以上，**才能求得小數點下二位的精準度，**所以我現行還是用C將整個程式改寫了!
>>>> >
>>>> > monte carlo的方式，在google上搜尋到的，**就如同mosky所提的一樣，都是使用pi為範例，**目前還想不到要如何應用在此式上。
>>>>
>>>> > 而由於V_i~U[0,1]，所以以此方式來求得之期望值，**應該還算接近結果才是(同時也抱歉的是，**這一點也是先前pingooo指正未明確定義之處)。
>>>>
>>>> > 至於pingooo所提及之挑戰，正是我所期昐的啊!! 目前僅能接受分割值之輸入(超爛!= =)
>>>> >
>>>> > 但，mosky的解法，指引了我一盞明燈，**或許不是一個不可行的方式，**但效能依然是個bottleneck啊!
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>>>> > 不過這樣的結果，可能還是沒有辦法有任何實質上的效用，**就如同pingooo所說，
>>>> > 確實僅切十份是得不到合理的結果的。
>>>> > 目前徒手積分出來的結果，N值至少要49以上，**才能求得小數點下二位的精準度，
>>>> > 所以我現行還是用C將整個程式改寫了!
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>>>> > monte carlo的方式，在google上搜尋到的，**就如同mosky所提的一樣，都是使用
>>>> > pi為範例，目前還想不到要如何應用在此式上。
>>>> > 而由於V_i~U[0,1]，所以以此方式來求得之期望值，**應該還算接近結果才是(同
>>>> > 時也抱歉的是，**這一點也是先前pingooo指正未明確定義之處)。

>>>> > 至於pingooo所提及之挑戰，正是我所期昐的啊!! 目前僅能接受分割值之輸入
>>>> > (超爛!= =)
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>>>> > 但，mosky的解法，指引了我一盞明燈，**或許不是一個不可行的方式，但效能依

>>>> > 然是個bottleneck啊!
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>>>> Albert Chun-Chieh Huang(黃俊傑)

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> > monte carlo的方式，在google上搜尋到的，就如同mosky所提的
> 一樣，都是使用pi為範例，目前還想不到要如何應用在此式上。
> > 而由於V_i~U[0,1]，所以以此方式來求得之期望值，應該還算接
> 近結果才是(同時也抱歉的是，這一點也是先前pingooo指正未明確
> 定義之處)。
> > 至於pingooo所提及之挑戰，正是我所期昐的啊!! 目前僅能接受
> 分割值之輸入(超爛!= =)
> >
> > 但，mosky的解法，指引了我一盞明燈，或許不是一個不可行的
> 方式，但效能依然是個bottleneck啊!
> >
> > --

> > for i[9] in xrange(s+1):
> > pass
> >
> > cost1=time()-start
> >
> > sleep(5)
> >
> > start = time()
> > for case in product(*[xrange(s+1)]*10):
> > pass
> >
> > cost2=time()-start
> > print cost1,cost2
> >
> > 在我所使用的電腦測試出的結果為：
> > 2246.92600012 2014.3119998
> >
> > 不過這樣的結果，可能還是沒有辦法有任何實質上的效用，就如
> 同pingooo所說，
> > 確實僅切十份是得不到合理的結果的。
> > 目前徒手積分出來的結果，N值至少要49以上，才能求得小數點
> 下二位的精準度，
> > 所以我現行還是用C將整個程式改寫了!
> >
> > monte carlo的方式，在google上搜尋到的，就如同mosky所提的

> 一樣，都是使用
> > pi為範例，目前還想不到要如何應用在此式上。
> > 而由於V_i~U[0,1]，所以以此方式來求得之期望值，應該還算接
> 近結果才是(同
> > 時也抱歉的是，這一點也是先前pingooo指正未明確定義之處)。
> > 至於pingooo所提及之挑戰，正是我所期昐的啊!! 目前僅能接受
> 分割值之輸入
> > (超爛!= =)
> >
> > 但，mosky的解法，指引了我一盞明燈，或許不是一個不可行的
> 方式，但效能依
> > 然是個bottleneck啊!
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>  
>  

[weijr]

我只有大學程度的數值計算，所以也談不上什麼推薦。
不過如果圖書館有的話，可以先翻翻看。

Albert Huang於 2013年5月3日星期五UTC+8下午7時47分41秒寫道：

[pingooo]

搜尋一下各大學相關課程的課本？

2013/5/6 weijr <tze...@gmail.com>

[Albert Chun-Chieh Huang]

嗯，那就謝謝二位的 comment. Monte Carlo 就維持那本了，數值就慢慢再找，在
此也順便跟這個 mailing list 上有興趣的人報告一下剛剛發現的有趣文章當作起
點：http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d171/17102.pdf

pingooo <ping.n...@gmail.com> writes:

> 搜尋一下各大學相關課程的課本？
>
>
> 2013/5/6 weijr <tze...@gmail.com>
>
>> 我只有大學程度的數值計算，所以也談不上什麼推薦。
>> 不過如果圖書館有的話，可以先翻翻看。
>>
>> Albert Huang於 2013年5月3日星期五UTC+8下午7時47分41秒寫道：
>>>
>>> weijr and pingooo,
>>>
>>> 在這裡趕緊請教二位，數值方法與 Monte Carlo 分別該看哪一本書比較適合入門？
>>> 數值方法我還沒找到，Monte Carlo 的有 Christian P. Robert 的 "Monte Carlo
>>> Statistical Method" 不過這本因為台灣目前沒有，需要從 Amazon 直接訂購，所
>>> 以先請教一下這本適合與否。
>>>
>>> 謝謝二位的推薦！
>>>
>>> Albert
>>>
>>>
>>> weijr <tze...@gmail.com> writes:
>>>
>>> > 如果是取中點的話，是 >=3 沒有錯。Simpson 應該就是 >=9。不過這牽扯到函數的性質。

>>> > 蒙地卡羅就猛在根本不管函數的性質，**像圍棋這種說不清楚的也適用。
>>> >
>>> > pingooo於 2013年5月3日星期五UTC+8下午4時08分31秒寫道：
>>> >>
>>> >> 補充一下...
>>> >>
>>> >> 太久沒算有點記不得細節，但在多維度積分的問題裡，**蒙地卡羅和分割相空間兩種算法，在高於三維（吧？）的時候，**蒙地卡羅其實收歛得比較快。

>>> >>
>>> >>
>>> >> 2013/5/3 weijr <tze...@gmail.com <javascript:>>
>>> >>
>>> >>>
>>> >>> Monte Carlo 並非不好，但只能算是底線（還有很好的驗算/除錯工具）。

>>> >>> 粗看題目是 n 維空間，但就如我前面已經寫過，**遞迴關係一個一個算就可以把維度拉平，

>>> >>> 變成 n 個低維度的問題。粗看之下每個積分都是二維的，(V, Y=\sum X_i)

>>> >>> 但既然 V 是 uniform，原則上這一個積分可以直接積出，**所以只剩一個一維積分。

>>> >>> 剛才真的算了一下，的確如此。
>>> >>>
>>> >>> 另外 please keep it DRY, don't WET(write everything ten-times)
>>> yourself.

>>> >>> 除了寫起來很辛苦外，也會影響你的理解，就像原來的式子，**東西也重複三次(這點前面也寫過)。

>>> >>>
>>> >>> 給原 PO 的建議
>>> >>> 1 靠你自己，而不是 compiler/numpy，想辦法將你現在的 python 程式碼速度增加十倍。
>>> >>> 2 真正理解一下 Monte Carlo 的意義，然後用在這裡。
>>> >>> 3 如果真的有興趣，可以了解一下重積分、CDF、數值積分。
>>> >>>
>>> >>> Albert Huang於 2013年5月2日星期四UTC+8下午5時24分09秒寫道：
>>> >>>>
>>> >>>> Hi,
>>> >>>>
>>> >>>> Monte Carlo 在積分上的應用，我最近在 Christian P. Robert 的 "Monte Carlo
>>> >>>> Statistical Method" 上有看到一章是 "Monte Carlo Integration"。我也正在看
>>> >>>> 前面的章節，還沒看到後面的，不過有投影片可以參考一下：

>>> >>>> http://www.ceremade.dauphine.****fr/~xian/coursMC.pdf<http://**
>>> www.ceremade.dauphine.fr/~**xian/coursMC.pdf<http://www.ceremade.dauphine.fr/~xian/coursMC.pdf>>

>>>
>>> >>>>
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>>> >>>> Best Regards,
>>> >>>>
>>> >>>> Albert
>>> >>>>
>>> >>>>
>>> >>>>
>>> >>>> alvin shih <alvins...@gmail.com> writes:
>>> >>>>

>>> >>>> > 相較於mosky的方式，還真有如野地的土坯之於精緻小洋房啊!****再度見證了python的優雅!

>>> >>>> > 不過這樣的結果，可能還是沒有辦法有任何實質上的效用，****就如同pingooo所說，確實僅切十份是得不到合理的結果的。
>>> >>>> > 目前徒手積分出來的結果，N值至少要49以上，****才能求得小數點下二位的精準度，****所以我現行還是用C將整個程式改寫了!
>>> >>>> >
>>> >>>> > monte carlo的方式，在google上搜尋到的，****就如同mosky所提的一樣，都是使用pi為範例，****目前還想不到要如何應用在此式上。
>>>
>>> >>>>
>>> >>>> > 而由於V_i~U[0,1]，所以以此方式來求得之期望值，****應該還算接近結果才是(同時也抱歉的是，****這一點也是先前pingooo指正未明確定義之處)。
>>>
>>> >>>>
>>> >>>> > 至於pingooo所提及之挑戰，正是我所期昐的啊!! 目前僅能接受分割值之輸入(超爛!= =)
>>> >>>> >
>>> >>>> > 但，mosky的解法，指引了我一盞明燈，****或許不是一個不可行的方式，****但效能依然是個bottleneck啊!
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>>> >>>> > 相較於mosky的方式，還真有如野地的土坯之於精緻小洋房啊!****再度見證了python

>>> >>>> > 不過這樣的結果，可能還是沒有辦法有任何實質上的效用，****就如同pingooo所說，
>>> >>>> > 確實僅切十份是得不到合理的結果的。
>>> >>>> > 目前徒手積分出來的結果，N值至少要49以上，****才能求得小數點下二位的精準度，
>>> >>>> > 所以我現行還是用C將整個程式改寫了!
>>> >>>> >
>>> >>>> > monte carlo的方式，在google上搜尋到的，****就如同mosky所提的一樣，都是使用
>>> >>>> > pi為範例，目前還想不到要如何應用在此式上。
>>> >>>> > 而由於V_i~U[0,1]，所以以此方式來求得之期望值，****應該還算接近結果才是(同
>>> >>>> > 時也抱歉的是，****這一點也是先前pingooo指正未明確定義之處)。

>>> >>>> > 至於pingooo所提及之挑戰，正是我所期昐的啊!! 目前僅能接受分割值之輸入
>>> >>>> > (超爛!= =)
>>> >>>> >

>>> >>>> > 但，mosky的解法，指引了我一盞明燈，****或許不是一個不可行的方式，但效能依

>>> >>>> > 然是個bottleneck啊!
>>> >>>>
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>>> >>>> Albert Chun-Chieh Huang(黃俊傑)

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>>>
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>>> >

>>> > 如果是取中點的話，是 >=3 沒有錯。Simpson 應該就是 >=9。不過這牽扯到函
>>> > 數的性質。

>>> > 蒙地卡羅就猛在根本不管函數的性質，**像圍棋這種說不清楚的也適用。
>>> >
>>> > pingooo於 2013年5月3日星期五UTC+8下午4時08分31秒寫道：
>>> >
>>> >
>>> > 補充一下...
>>> >
>>> >
>>> > 太久沒算有點記不得細節，但在多維度積分的問題裡，**蒙地卡羅和分割相空
>>> > 間兩種算法，在高於三維（吧？）的時候，**蒙地卡羅其實收歛得比較快。

>>> >
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>>> >
>>> > 2013/5/3 weijr <tze...@gmail.com>
>>> >
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>>> > Monte Carlo 並非不好，但只能算是底線（還有很好的驗算/除錯工具）。
>>> > 粗看題目是 n 維空間，但就如我前面已經寫過，遞迴關係一個一個算
>>> > 就可以把維度拉平，
>>> > 變成 n 個低維度的問題。粗看之下每個積分都是二維的，(V, Y=\sum
>>> > X_i)
>>> > 但既然 V 是 uniform，原則上這一個積分可以直接積出，所以只剩一
>>> > 個一維積分。
>>> > 剛才真的算了一下，的確如此。
>>> >
>>> > 另外 please keep it DRY, don't WET(write everything
>>> > ten-times) yourself.

>>> > 除了寫起來很辛苦外，也會影響你的理解，就像原來的式子，**東西也重

>>> > 複三次(這點前面也寫過)。
>>> >
>>> > 給原 PO 的建議
>>> > 1 靠你自己，而不是 compiler/numpy，想辦法將你現在的 python 程
>>> > 式碼速度增加十倍。
>>> > 2 真正理解一下 Monte Carlo 的意義，然後用在這裡。
>>> > 3 如果真的有興趣，可以了解一下重積分、CDF、數值積分。
>>> >
>>> > Albert Huang於 2013年5月2日星期四UTC+8下午5時24分09秒寫道：
>>> >
>>> >
>>> > Hi,
>>> >
>>> > Monte Carlo 在積分上的應用，我最近在 Christian P. Robert
>>> > 的 "Monte Carlo
>>> > Statistical Method" 上有看到一章是 "Monte Carlo
>>> > Integration"。我也正在看
>>> > 前面的章節，還沒看到後面的，不過有投影片可以參考一下：

>>> > http://www.ceremade.dauphine.**fr/~xian/coursMC.pdf<http://www.ceremade.dauphine.fr/~xian/coursMC.pdf>
>>> >
>>> >
>>> > Best Regards,
>>> >
>>> > Albert
>>> >
>>> >
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > alvin shih <alvins...@gmail.com> writes:
>>> >
>>> > > 相較於mosky的方式，還真有如野地的土坯之於精緻小洋房啊!**再
>>> > 度見證了python的優雅!
>>> > > 對於程式整體的彈性上也大為增加，感謝囉!
>>> > >

>>> > > monte carlo的方式，在google上搜尋到的，**就如同mosky所提的
>>> > 一樣，都是使用pi為範例，目前還想不到要如何應用在此式上。
>>> > > 而由於V_i~U[0,1]，所以以此方式來求得之期望值，**應該還算接
>>> > 近結果才是(同時也抱歉的是，**這一點也是先前pingooo指正未明確

>>> > 定義之處)。
>>> > > 至於pingooo所提及之挑戰，正是我所期昐的啊!! 目前僅能接受
>>> > 分割值之輸入(超爛!= =)
>>> > >
>>> > > 但，mosky的解法，指引了我一盞明燈，或許不是一個不可行的
>>> > 方式，但效能依然是個bottleneck啊!
>>> > >
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>>> > > 您已訂閱「Google 網上論壇」的「python.tw」群組，因此我們
>>> > 特別傳送這封郵件通知您。
>>> >
>>> > > 如要取消訂閱這個群組並停止接收來自這個群組的郵件，請傳送

>>> > 電子郵件到 pythontw+u...@googlegroups.com**。
>>> > > 如要在此群組張貼留言，請傳送電子郵件至
>>> > pyth...@googlegroups.com。
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>>> > > 請前往以下網址造訪這個群組：
>>> > http://groups.google.com/**group/pythontw?hl=zh-TW<http://groups.google.com/group/pythontw?hl=zh-TW>。
>>>
>>> > > 如需更多選項，請前往：
>>> > https://groups.google.com/**groups/opt_out<https://groups.google.com/groups/opt_out>。
>>>
>>> > >
>>> > >
>>> > > 相較於mosky的方式，還真有如野地的土坯之於精緻小洋房啊!**再

>>> > > monte carlo的方式，在google上搜尋到的，**就如同mosky所提的
>>> > 一樣，都是使用
>>> > > pi為範例，目前還想不到要如何應用在此式上。
>>> > > 而由於V_i~U[0,1]，所以以此方式來求得之期望值，**應該還算接
>>> > 近結果才是(同
>>> > > 時也抱歉的是，**這一點也是先前pingooo指正未明確定義之處)。

>>> > > 至於pingooo所提及之挑戰，正是我所期昐的啊!! 目前僅能接受
>>> > 分割值之輸入
>>> > > (超爛!= =)
>>> > >
>>> > > 但，mosky的解法，指引了我一盞明燈，或許不是一個不可行的
>>> > 方式，但效能依
>>> > > 然是個bottleneck啊!
>>> >
>>> > --
>>> > Albert Chun-Chieh Huang(黃俊傑)

>>> > Blog: Random Notes, http://alberthuang314.**blogspot.com/<http://alberthuang314.blogspot.com/>
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>>> > 送這封郵件通知您。

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>>>
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>>> Albert Chun-Chieh Huang(黃俊傑)
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>> 請前往以下網址造訪這個群組：http://groups.google.com/group/pythontw?hl=zh-TW。
>> 如需更多選項，請前往：https://groups.google.com/groups/opt_out。
>>
>>
>>

> 搜尋一下各大學相關課程的課本？
>
>
> 2013/5/6 weijr <tze...@gmail.com>
>
> 我只有大學程度的數值計算，所以也談不上什麼推薦。
> 不過如果圖書館有的話，可以先翻翻看。
>
> Albert Huang於 2013年5月3日星期五UTC+8下午7時47分41秒寫道：
>
>
> weijr and pingooo,
>
> 在這裡趕緊請教二位，數值方法與 Monte Carlo 分別該看哪一本書比
> 較適合入門？
> 數值方法我還沒找到，Monte Carlo 的有 Christian P. Robert 的
> "Monte Carlo
> Statistical Method" 不過這本因為台灣目前沒有，需要從 Amazon 直
> 接訂購，所
> 以先請教一下這本適合與否。
>
> 謝謝二位的推薦！
>
> Albert
>
>
>
>
> weijr <tze...@gmail.com> writes:
>
> > 如果是取中點的話，是 >=3 沒有錯。Simpson 應該就是 >=9。不過
> 這牽扯到函數的性質。
> > 蒙地卡羅就猛在根本不管函數的性質，像圍棋這種說不清楚的也適用。
> >
> > pingooo於 2013年5月3日星期五UTC+8下午4時08分31秒寫道：
> >>
> >> 補充一下...
> >>
> >> 太久沒算有點記不得細節，但在多維度積分的問題裡，蒙地卡羅和
> 分割相空間兩種算法，在高於三維（吧？）的時候，蒙地卡羅其實收歛
> 得比較快。
> >>
> >>

> >> 2013/5/3 weijr <tze...@gmail.com <javascript:>>
> >>
> >>>
> >>> Monte Carlo 並非不好，但只能算是底線（還有很好的驗算/除錯
> 工具）。

> >>> 粗看題目是 n 維空間，但就如我前面已經寫過，遞迴關係一個一
> 個算就可以把維度拉平，

> >>> 變成 n 個低維度的問題。粗看之下每個積分都是二維的，(V,
> Y=\sum X_i)

> >>> 但既然 V 是 uniform，原則上這一個積分可以直接積出，所以只
> 剩一個一維積分。
> >>> 剛才真的算了一下，的確如此。
> >>>

> >>> 另外 please keep it DRY,  don't WET(write everything
> ten-times) yourself.

> >>> 除了寫起來很辛苦外，也會影響你的理解，就像原來的式子，東西
> 也重複三次(這點前面也寫過)。
> >>>
> >>> 給原 PO 的建議

> >>> 1 靠你自己，而不是 compiler/numpy，想辦法將你現在的 python
> 程式碼速度增加十倍。
> >>> 2 真正理解一下 Monte Carlo 的意義，然後用在這裡。
> >>> 3 如果真的有興趣，可以了解一下重積分、CDF、數值積分。
> >>>
> >>> Albert Huang於 2013年5月2日星期四UTC+8下午5時24分09秒寫道：
> >>>>
> >>>> Hi,
> >>>>
> >>>> Monte Carlo 在積分上的應用，我最近在 Christian P. Robert
> 的 "Monte Carlo
> >>>> Statistical Method" 上有看到一章是 "Monte Carlo
> Integration"。我也正在看
> >>>> 前面的章節，還沒看到後面的，不過有投影片可以參考一下：
> >>>>
> http://www.ceremade.dauphine.**fr/~xian/coursMC.pdf<http://www.
> ceremade.dauphine.fr/~xian/coursMC.pdf>
> >>>>
> >>>>
> >>>> Best Regards,
> >>>>
> >>>> Albert
> >>>>
> >>>>
> >>>>
> >>>> alvin shih <alvins...@gmail.com> writes:
> >>>>
> >>>> > 相較於mosky的方式，還真有如野地的土坯之於精緻小洋房啊
> !**再度見證了python的優雅!
> >>>> > 對於程式整體的彈性上也大為增加，感謝囉!
> >>>> >

> >>>> > 不過這樣的結果，可能還是沒有辦法有任何實質上的效用，**
> 就如同pingooo所說，確實僅切十份是得不到合理的結果的。
> >>>> > 目前徒手積分出來的結果，N值至少要49以上，**才能求得小數
> 點下二位的精準度，**所以我現行還是用C將整個程式改寫了!
> >>>> >
> >>>> > monte carlo的方式，在google上搜尋到的，**就如同mosky所
> 提的一樣，都是使用pi為範例，**目前還想不到要如何應用在此式上。
> >>>>
> >>>> > 而由於V_i~U[0,1]，所以以此方式來求得之期望值，**應該還
> 算接近結果才是(同時也抱歉的是，**這一點也是先前pingooo指正未明

> 確定義之處)。
> >>>>
> >>>> > 至於pingooo所提及之挑戰，正是我所期昐的啊!! 目前僅能接
> 受分割值之輸入(超爛!= =)
> >>>> >
> >>>> > 但，mosky的解法，指引了我一盞明燈，**或許不是一個不可行

> 的方式，**但效能依然是個bottleneck啊!
> >>>> >
> >>>> > --
> >>>> > 您已訂閱「Google 網上論壇」的「python.tw」群組，**因此
> 我們特別傳送這封郵件通知您。
> >>>> > 如要取消訂閱這個群組並停止接收來自這個群組的郵件，**請
> 傳送電子郵件到 pythontw+u...@**googlegroups.com。
> >>>> > 如要在此群組張貼留言，請傳送電子郵件至
> pyth...@googlegroups.com。
> >>>> > 請前往以下網址造訪這個群組：
> http://groups.**google.com/group/pythontw?hl=**zh-TW<http://groups.
> google.com/group/pythontw?hl=zh-TW>。
> >>>>
> >>>> > 如需更多選項，請前往：
> https://groups.**google.com/groups/opt_out<https://groups.google.
> com/groups/opt_out>。
> >>>>
> >>>> >
> >>>> >
> >>>> > 相較於mosky的方式，還真有如野地的土坯之於精緻小洋房啊
> !**再度見證了python

> >>>> > 不過這樣的結果，可能還是沒有辦法有任何實質上的效用，**
> 就如同pingooo所說，
> >>>> > 確實僅切十份是得不到合理的結果的。
> >>>> > 目前徒手積分出來的結果，N值至少要49以上，**才能求得小數
> 點下二位的精準度，
> >>>> > 所以我現行還是用C將整個程式改寫了!
> >>>> >
> >>>> > monte carlo的方式，在google上搜尋到的，**就如同mosky所

> 提的一樣，都是使用
> >>>> > pi為範例，目前還想不到要如何應用在此式上。
> >>>> > 而由於V_i~U[0,1]，所以以此方式來求得之期望值，**應該還
> 算接近結果才是(同
> >>>> > 時也抱歉的是，**這一點也是先前pingooo指正未明確定義之處
> )。

> >>>> > 至於pingooo所提及之挑戰，正是我所期昐的啊!! 目前僅能接
> 受分割值之輸入
> >>>> > (超爛!= =)
> >>>> >

> >>>> > 但，mosky的解法，指引了我一盞明燈，**或許不是一個不可行

> 的方式，但效能依
> >>>> > 然是個bottleneck啊!
> >>>>
> >>>> --
> >>>> Albert Chun-Chieh Huang(黃俊傑)
> >>>> Blog: Random Notes,
> http://alberthuang314.**blogspot.com/<http://alberthuang314.blogspot.
> com/>
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> 別傳送這封郵件通知您。
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> >>> 。
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> pyth...@googlegroups.com <javascript:>。
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> https://groups.google.com/groups/opt_out。
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> >>>  
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> >>
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> 傳送這封郵件通知您。
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> >             Hi,
> >            
> >             Monte Carlo 在積分上的應用，我最近在 Christian
> P. Robert
> >             的 "Monte Carlo
> >             Statistical Method" 上有看到一章是 "Monte Carlo
> >             Integration"。我也正在看
> >             前面的章節，還沒看到後面的，不過有投影片可以參考
> 一下：
> >            

> http://www.ceremade.dauphine.fr/~xian/coursMC.pdf
> >            
> >            
> >             Best Regards,
> >            
> >             Albert
> >            
> >            
> >            
> >            
> >            
> >             alvin shih <alvins...@gmail.com> writes:
> >            
> >             > 相較於mosky的方式，還真有如野地的土坯之於精緻
> 小洋房啊!再
> >             度見證了python的優雅!
> >             > 對於程式整體的彈性上也大為增加，感謝囉!
> >             >
> >             > 同時我也使用底下的程式驗證了一下，也快了一成左
> 右：

> >             > from time import time
> >             > from time import sleep
> >             > i=range(10)
> >             >
> >             > start = time()
> >             > for i[0] in xrange(s+1):
> >             >     for i[1] in xrange(s+1):
> >             >         for i[2] in xrange(s+1):
> >             >              for i[3] in xrange(s+1):
> >             >                  for i[4] in xrange(s+1):
> >             >                      for i[5] in xrange(s+1):
> >             >                          for i[6] in xrange
> (s+1):

> >             >                              for i[7] in
> xrange(s+1):
> >             >                                  for i[8] in
> xrange
> >             (s+1):
> >             > for i[9] in xrange(s+1):
> >             > pass
> >             >
> >             > cost1=time()-start
> >             >
> >             > sleep(5)
> >             >
> >             > start = time()
> >             > for case in product(*[xrange(s+1)]*10):
> >             > pass
> >             >
> >             > cost2=time()-start
> >             > print cost1,cost2
> >             >
> >             > 在我所使用的電腦測試出的結果為：
> >             > 2246.92600012 2014.3119998
> >             >
> >             > 不過這樣的結果，可能還是沒有辦法有任何實質上的
> 效用，就如
> >             同pingooo所說，確實僅切十份是得不到合理的結果的。
> >             > 目前徒手積分出來的結果，N值至少要49以上，才能
> 求得小數點
> >             下二位的精準度，所以我現行還是用C將整個程式改寫
> 了!
> >             >

> >             > monte carlo的方式，在google上搜尋到的，就如同
> mosky所提的

> >             一樣，都是使用pi為範例，目前還想不到要如何應用在

> 此式上。
> >             > 而由於V_i~U[0,1]，所以以此方式來求得之期望值，
> 應該還算接
> >             近結果才是(同時也抱歉的是，這一點也是先前pingooo
> 指正未明確
> >             定義之處)。

> >             > 至於pingooo所提及之挑戰，正是我所期昐的啊!! 目
> 前僅能接受
> >             分割值之輸入(超爛!= =)
> >             >
> >             > 但，mosky的解法，指引了我一盞明燈，或許不是一
> 個不可行的
> >             方式，但效能依然是個bottleneck啊!
> >             >
> >             > --

> >             > 您已訂閱「Google 網上論壇」的「python.tw」群組，
> 因此我們
> >             特別傳送這封郵件通知您。
> >            
> >             > 如要取消訂閱這個群組並停止接收來自這個群組的郵
> 件，請傳送
> >             電子郵件到 pythontw+u...@googlegroups.com。
> >             > 如要在此群組張貼留言，請傳送電子郵件至
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> >            
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> >             >
> >             >
> >             > 相較於mosky的方式，還真有如野地的土坯之於精緻
> 小洋房啊!再
> >             度見證了python
> >             > 的優雅!
> >             > 對於程式整體的彈性上也大為增加，感謝囉!
> >             >
> >             > 同時我也使用底下的程式驗證了一下，也快了一成左
> 右：

> >             > from time import time
> >             > from time import sleep
> >             > i=range(10)
> >             >
> >             > start = time()
> >             > for i[0] in xrange(s+1):
> >             >     for i[1] in xrange(s+1):
> >             >         for i[2] in xrange(s+1):
> >             >              for i[3] in xrange(s+1):
> >             >                  for i[4] in xrange(s+1):
> >             >                      for i[5] in xrange(s+1):
> >             >                          for i[6] in xrange
> (s+1):

> 如要取消訂閱這個群組並停止接收來自這個群組的郵件，請傳送電子郵件到
> pythontw+u...@googlegroups.com。
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