[今天我们思考04]好题目、坏题目

[pongba]

这是一篇小小总结，总结这段时间看了一些书，解了一些题之后的思考，未必完全，同样也许有谬误，欢迎砖头.. ^_^

顺便推荐一本书，《Psychology of Problem Solving》

好题目：

• 不需要用到未知的知识，或者
• 需要用到未知的知识，但一个敏锐的解题者可以通过对题目的分析自行发现这些所需的知识。
• 考察解题的一般性思路，而不是特定（ad hoc）的解题技巧，尤其是当这个技巧几乎不可能在短时间内通过演绎和试错发现的时候。譬如题目需要用到某种性质，而这个性质对于不知道它的人来说几乎是无法从对题目的考察中得出来的。
• 考察思维能力：联想能力、类比能力、抽象能力、演绎能力、归纳能力、观察能力、发散能力（思维不落巢臼的能力）。
• 考察一般性的思维方法：通过特例启发思考、通过试错寻找规律、通过泛化试探更一般性命题、通过倒过来推导将问题进行归约、通过调整（分解、删除、增加、变形等等）题目的条件来感知它们之间的联系以及和结论的联系、通过系统化的分类讨论来覆盖每种可能性。
• 好 题目举例：烙饼排序问题（考察特例启发法以及观察能力）、Nim问题（还有简单版本的取火柴问题）&9公升4公升水桶倒6公升水的问题（考察倒过 来思考问题的能力）、9点问题&四根火柴6个面的问题&木门的问题（考察思维不落巢臼的能力）、许多数论问题（观察能力、演绎能力、归纳 能力）。

坏题目

• 好题目各有各的好，坏题目都是相似的。
• 坏题目基本上就是指那些所谓的 unfair questions，什么是unfair，举个例子：一个人住在一栋非常高的楼上，每天早晨他乘电梯下到一楼，出门上班。但晚上回来之后却最多只能坐到一 半高度的楼层，剩下一半只能走楼梯上去，除非是下雨天。问为什么。这个例子据说不少人小时候在脑筋急转弯里面做过，但我很怀疑基本上任何正常人是不是可能 想出来。这个问题的问题在于他需要用到千百个有可能与问题有关的性质中的一个，而且这个性质还根本无法通过对题目本身的考察得出来，只可能某天我们碰巧遇 到类似的场景也许才能想到。知道答案的人也许会说答案很显然，但别忘了心理学上的事后偏见——一旦知道结果之后，所有指向结果的证据看上去都那么显然和充 分，而同时所有反结果的证据看起来都那么不显然和不充分。譬如这题关键是要想到这人是矮子和雨天要带伞，也许你会说"只要考虑一下电梯的按钮面板就会发现 了"，或者"看到下雨，那还不想到带伞么？"，然而这只是事后的合情推断。在不知道答案的情况下，这个故事中有数不清的因素可能会成为问题的解释，除非某 天我们碰到类似的问题，否则大致也只能一个个穷举了去使劲往上凑，譬如除了身高之外还有：是不是瞎子、是不是聋子、是不是哑子、男人女人、什么牌子的电 梯、大厦是哪种大厦？这些因素重要吗？不重要吗？最令人头疼的是，在不知道答案的时候，我们也根本不知道他们重不重要，一个出谜语的人可能从任何一个微小 的地方引申出某个谜语来；更头疼的是，我们不知道我们不知道的那些因素是不是也可能与题目的解有关，譬如这样一个问题：一个人走进酒吧，问酒保要一杯水， 酒保掏出一只枪对着他，并拉上了扳机；这人说声"谢谢"，走了出去。
• 值得注意的是，这样的问题跟著名的9点连线问题和4根火柴搭6个面的问题不同，后者的条件都在眼前，并且解的搜索空间无论如何很小，就看思维 能不能突破某一个框框。而上面这些问题则是要人进行根本不可能的联想。9点问题实际上是可以系统化思考解决的，但这样的unfair question则像许多谜语一样，随便哪个人都可以出一个另一个人根本无法想出来的谜语，因为从谜语隐含的信息加上人可能从谜语中联想出来的信息，加起 来也不足以构成解题的充分条件；这种情况下除非你遇到出题人在出题时的心理或所处情况，否则是无法解的。
• 有一些类似这样但公平的、真正测试思维的不落巢臼的能力的有：A man and his son are in a car crash. The father is killed and the son is taken to hospital gravely injured. When he gets there, the surgeon says "I can't operate on this boy- he is my son!" How is this possible?以及"深夜有人敲门，这人身穿貂皮大衣，开着名贵的车，他说他在玩一个"拾荒者"游戏，由于他前妻在，所以他必须赢；现在他需要一块1.5m*1m的木板，如果你有的话给你1万块钱。你怎么办？
• 最后，发散性思维其实是可以系统化的，譬如有一个经典的据说测试发散性思维或联想能力的题目：一块砖头，你能想到哪些用途。的确，基本上，想 到较少用途的人，思维定势的确要更强。知识是一把双刃剑，一方面，没有知识，我们就无法创造，另一方面，知识本身则会为创造设定框架。"砖头可以砌墙"这 个知识是我们创造屋子的基础，然而却同样也是阻碍砖头被用在其它地方的因素。然而，我想说的是，这类题目基本上都有一个共性，那就是它测试的是你的思维有 没有所谓的"范畴陷阱"，而范畴陷阱可以通过抽象来避开，就算你联想到了许多砖头的用途，你还是无法知道你是不是穷尽了，但有一个系统性的方法是可以枚举 所有可能的用途的：从砖头的所有可能的属性维度上去抽象看待它，譬如：它是长方形的（长方形的物件都可以用来干些啥？不妨问问还有哪些东西也是长方形 的。）、它是有棱角的（有棱角的东西都可以干啥？还有哪些东西也是有棱角的。）、它是红色的（红色的东西都可以干啥？）、它是一坨刚性的固体（都可以干 啥？）、它是边缘线条平直的。第二步则是看看它的所有调整的可能性：削掉一个角，削成正方形，弄成粉末、熬成砖头汤？简而言之就是，一个物件的所有可能用 途都是因为它是什么和它可以变成什么；而这两者都可以系统化地进行考察。
• 基本上，知识掌握得越多，越容易陷入思维定势。因为人会基于现有知识框架（认知图式）来接受新知识。然而，知识却又是创造性的必要前提。所以，如何在掌握知识的过程中避免落入思维巢臼，是一门真正的艺术。掌握这门艺术的一个关键手法，就是抽象。对一个知识的抽象程度越高，就越接近本质，越能排除表面特征的噪音的影响，从而越有利于将其转移到表面不一样但本质相同的问题上。同样，对一个题目进行抽象，抽象出其本质，也有助于增加联想到的知识的可能性，譬如上次Xin Li解出来的那道小球在盒内碰撞何时回到原轨迹的题目，如果眼中看到的不是运动物体，而是抽象的线条和角度，那么应该就更有助于联想到光线反射。反之，"一个运动的固体"则限制了联想空间。在比如，如果上面那道1.5m*1m的木板的题目如果你没有想到答案，不妨试着对木板进行抽象：木板=木质的+板状。然后问自己"我有木质的东西吗？"，"其中有哪些是板状？"或者反过来问也行。

出题的误区

• 最大的误区就是把知识性的题目误当成能力型的题目。如果题目中需要用到某个重要的定理或性质，而对于一个原本不知道这个定理或性质的人来说是无法通过题目本身达到这个性质的，那这就属于知识性的题目。
• 虽然几乎所有题目归根到底都是知识性的，但有些题目更为知识性，尤其是当解题中需要用到的定理或性质并不那么trivial的时候。
• 一个最好的题目就是问题明明白白，而且最终的解也没有用到什么神秘的定理，但要想获知到解，完全取决于你会不会思考一个问题（参见"好问题"）。譬如烙饼问题和Nim问题。
  

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刘未鹏(pongba)|C++的罗浮宫
http://blog.csdn.net/pongba
TopLanguage
http://groups.google.com/group/pongba

[王磊]

而不是特定（ad hoc）的解题技巧
--------------
这个特别重要，光靠个别极特殊情况才出现的解决办法才成立的题目绝对不具有参考性，不能表现解决问题的思路。

在08-4-15，pongba <pon...@gmail.com> 写道：

这是一篇小小总结，总结这段时间看了一些书，解了一些题之后的思考，未必完全，同样也许有谬误，欢迎砖头.. ^_^

顺便推荐一本书，《Psychology of Problem Solving》

好题目：

• 不需要用到未知的知识，或者
• 需要用到未知的知识，但一个敏锐的解题者可以通过对题目的分析自行发现这些所需的知识。
• 考察解题的一般性思路，而不是特定（ad hoc）的解题技巧，尤其是当这个技巧几乎不可能在短时间内通过演绎和试错发现的时候。譬如题目需要用到某种性质，而这个性质对于不知道它的人来说几乎是无法从对题目的考察中得出来的。
• 考察思维能力：联想能力、类比能力、抽象能力、演绎能力、归纳能力、观察能力、发散能力（思维不落巢臼的能力）。
• 考察一般性的思维方法：通过特例启发思考、通过试错寻找规律、通过泛化试探更一般性命题、通过倒过来推导将问题进行归约、通过调整（分解、删除、增加、变形等等）题目的条件来感知它们之间的联系以及和结论的联系、通过系统化的分类讨论来覆盖每种可能性。
• 好 题目举例：烙饼排序问题（考察特例启发法以及观察能力）、Nim问题（还有简单版本的取火柴问题）&9公升4公升水桶倒6公升水的问题（考察倒过 来思考问题的能力）、9点问题&四根火柴6个面的问题&木门的问题（考察思维不落巢臼的能力）、许多数论问题（观察能力、演绎能力、归纳 能力）。

坏题目

• 好题目各有各的好，坏题目都是相似的。
• 坏题目基本上就是指那些所谓的 unfair questions，什么是unfair，举个例子：一个人住在一栋非常高的楼上，每天早晨他乘电梯下到一楼，出门上班。但晚上回来之后却最多只能坐到一 半高度的楼层，剩下一半只能走楼梯上去，除非是下雨天。问为什么。这个例子据说不少人小时候在脑筋急转弯里面做过，但我很怀疑基本上任何正常人是不是可能 想出来。这个问题的问题在于他需要用到千百个有可能与问题有关的性质中的一个，而且这个性质还根本无法通过对题目本身的考察得出来，只可能某天我们碰巧遇 到类似的场景也许才能想到。知道答案的人也许会说答案很显然，但别忘了心理学上的事后偏见----一旦知道结果之后，所有指向结果的证据看上去都那么显然和充 分，而同时所有反结果的证据看起来都那么不显然和不充分。譬如这题关键是要想到这人是矮子和雨天要带伞，也许你会说"只要考虑一下电梯的按钮面板就会发现 了"，或者"看到下雨，那还不想到带伞么？"，然而这只是事后的合情推断。在不知道答案的情况下，这个故事中有数不清的因素可能会成为问题的解释，除非某 天我们碰到类似的问题，否则大致也只能一个个穷举了去使劲往上凑，譬如除了身高之外还有：是不是瞎子、是不是聋子、是不是哑子、男人女人、什么牌子的电 梯、大厦是哪种大厦？这些因素重要吗？不重要吗？最令人头疼的是，在不知道答案的时候，我们也根本不知道他们重不重要，一个出谜语的人可能从任何一个微小 的地方引申出某个谜语来；更头疼的是，我们不知道我们不知道的那些因素是不是也可能与题目的解有关，譬如这样一个问题：一个人走进酒吧，问酒保要一杯水， 酒保掏出一只枪对着他，并拉上了扳机；这人说声"谢谢"，走了出去。

• 值得注意的是，这样的问题跟著名的9点连线问题和4根火柴搭6个面的问题不同，后者的条件都在眼前，并且解的搜索空间无论如何很小，就看思维 能不能突破某一个框框。而上面这些问题则是要人进行根本不可能的联想。9点问题实际上是可以系统化思考解决的，但这样的unfair question则像许多谜语一样，随便哪个人都可以出一个另一个人根本无法想出来的谜语，因为从谜语隐含的信息加上人可能从谜语中联想出来的信息，加起 来也不足以构成解题的充分条件；这种情况下除非你遇到出题人在出题时的心理或所处情况，否则是无法解的。
• 有一些类似这样但公平的、真正测试思维的不落巢臼的能力的有：A man and his son are in a car crash. The father is killed and the son is taken to hospital gravely injured. When he gets there, the surgeon says "I can't operate on this boy- he is my son!" How is this possible?以及"深夜有人敲门，这人身穿貂皮大衣，开着名贵的车，他说他在玩一个"拾荒者"游戏，由于他前妻在，所以他必须赢；现在他需要一块1.5m*1m的木板，如果你有的话给你1万块钱。你怎么办？
• 最后，发散性思维其实是可以系统化的，譬如有一个经典的据说测试发散性思维或联想能力的题目：一块砖头，你能想到哪些用途。的确，基本上，想 到较少用途的人，思维定势的确要更强。知识是一把双刃剑，一方面，没有知识，我们就无法创造，另一方面，知识本身则会为创造设定框架。"砖头可以砌墙"这 个知识是我们创造屋子的基础，然而却同样也是阻碍砖头被用在其它地方的因素。然而，我想说的是，这类题目基本上都有一个共性，那就是它测试的是你的思维有 没有所谓的"范畴陷阱"，而范畴陷阱可以通过抽象来避开，就算你联想到了许多砖头的用途，你还是无法知道你是不是穷尽了，但有一个系统性的方法是可以枚举 所有可能的用途的：从砖头的所有可能的属性维度上去抽象看待它，譬如：它是长方形的（长方形的物件都可以用来干些啥？不妨问问还有哪些东西也是长方形 的。）、它是有棱角的（有棱角的东西都可以干啥？还有哪些东西也是有棱角的。）、它是红色的（红色的东西都可以干啥？）、它是一坨刚性的固体（都可以干 啥？）、它是边缘线条平直的。第二步则是看看它的所有调整的可能性：削掉一个角，削成正方形，弄成粉末、熬成砖头汤？简而言之就是，一个物件的所有可能用 途都是因为它是什么和它可以变成什么；而这两者都可以系统化地进行考察。
• 基本上，知识掌握得越多，越容易陷入思维定势。因为人会基于现有知识框架（认知图式）来接受新知识。然而，知识却又是创造性的必要前提。所以，如何在掌握知识的过程中避免落入思维巢臼，是一门真正的艺术。掌握这门艺术的一个关键手法，就是抽象。对一个知识的抽象程度越高，就越接近本质，越能排除表面特征的噪音的影响，从而越有利于将其转移到表面不一样但本质相同的问题上。同样，对一个题目进行抽象，抽象出其本质，也有助于增加联想到的知识的可能性，譬如上次Xin Li解出来的那道小球在盒内碰撞何时回到原轨迹的题目，如果眼中看到的不是运动物体，而是抽象的线条和角度，那么应该就更有助于联想到光线反射。反之，"一个运动的固体"则限制了联想空间。在比如，如果上面那道1.5m*1m的木板的题目如果你没有想到答案，不妨试着对木板进行抽象：木板=木质的+板状。然后问自己"我有木质的东西吗？"，"其中有哪些是板状？"或者反过来问也行。

[sanachilleus]

木板哪个难道要把门拆下来给他？......深夜干这个会惊动警察的说......

On 4月15日, 下午2时56分, "王磊" <wanglei830...@gmail.com> wrote:
> 而不是特定（ad hoc）的解题技巧
> --------------
> 这个特别重要，光靠个别极特殊情况才出现的解决办法才成立的题目绝对不具有参考性，不能表现解决问题的思路。
>
> 在08-4-15，pongba <pon...@gmail.com> 写道：
>
>
>
>
>
> > 这是一篇小小总结，总结这段时间看了一些书，解了一些题之后的思考，未必完全，同样也许有谬误，欢迎砖头.. ^_^
>

> > 顺便推荐一本书，《Psychology of Problem Solving》<http://www.douban.com/subject/2845839/>
>
> > 好题目：
>
> > - 不需要用到未知的知识，或者
> > - 需要用到未知的知识，但一个敏锐的解题者可以通过对题目的分析自行发现这些所需的知识。
> > - 考察解题的一般性思路，而不是特定（ad
> > hoc）的解题技巧，尤其是当这个技巧几乎不可能在短时间内通过演绎和试错发现的时候。譬如题目需要用到某种性质，而这个性质对于不知道它的人来说几乎是无法从-对题目的考察中得出来的。
> > - 考察思维能力：联想能力、类比能力、抽象能力、演绎能力、归纳能力、观察能力、发散能力（思维不落巢臼的能力）。
> > -
> > 考察一般性的思维方法：通过特例启发思考、通过试错寻找规律、通过泛化试探更一般性命题、通过倒过来推导将问题进行归约、通过调整（分解、删除、增加、变形等等-）题目的条件来感知它们之间的联系以及和结论的联系、通过系统化的分类讨论来覆盖每种可能性。
> > - 好

> > 题目举例：烙饼排序问题（考察特例启发法以及观察能力）、Nim问题（还有简单版本的取火柴问题）&9公升4公升水桶倒6公升水的问题（考察倒过
> > 来思考问题的能力）、9点问题&四根火柴6个面的问题&木门的问题（考察思维不落巢臼的能力）、许多数论问题（观察能力、演绎能力、归纳 能力）。
>
> > 坏题目
>

> > - 好题目各有各的好，坏题目都是相似的。
> > - 坏题目基本上就是指那些所谓的 unfair

> > questions，什么是unfair，举个例子：一个人住在一栋非常高的楼上，每天早晨他乘电梯下到一楼，出门上班。但晚上回来之后却最多只能坐到一
> > 半高度的楼层，剩下一半只能走楼梯上去，除非是下雨天。问为什么。这个例子据说不少人小时候在脑筋急转弯里面做过，但我很怀疑基本上任何正常人是不是可能
> > 想出来。这个问题的问题在于他需要用到千百个有可能与问题有关的性质中的一个，而且这个性质还根本无法通过对题目本身的考察得出来，只可能某天我们碰巧遇
> > 到类似的场景也许才能想到。知道答案的人也许会说答案很显然，但别忘了心理学上的事后偏见----一旦知道结果之后，所有指向结果的证据看上去都那么显然和充
> > 分，而同时所有反结果的证据看起来都那么不显然和不充分。譬如这题关键是要想到这人是矮子和雨天要带伞，也许你会说"只要考虑一下电梯的按钮面板就会发现
> > 了"，或者"看到下雨，那还不想到带伞么？"，然而这只是事后的合情推断。在不知道答案的情况下，这个故事中有数不清的因素可能会成为问题的解释，除非某
> > 天我们碰到类似的问题，否则大致也只能一个个穷举了去使劲往上凑，譬如除了身高之外还有：是不是瞎子、是不是聋子、是不是哑子、男人女人、什么牌子的电
> > 梯、大厦是哪种大厦？这些因素重要吗？不重要吗？最令人头疼的是，在不知道答案的时候，我们也根本不知道他们重不重要，一个出谜语的人可能从任何一个微小
> > 的地方引申出某个谜语来；更头疼的是，我们不知道我们不知道的那些因素是不是也可能与题目的解有关，譬如这样一个问题：一个人走进酒吧，问酒保要一杯水，
> > 酒保掏出一只枪对着他，并拉上了扳机；这人说声"谢谢"，走了出去。

> > - 值得注意的是，这样的问题跟著名的9点连线问题和4根火柴搭6个面的问题不同，后者的条件都在眼前，并且解的搜索空间无论如何很小，就看思维

> > 能不能突破某一个框框。而上面这些问题则是要人进行根本不可能的联想。9点问题实际上是可以系统化思考解决的，但这样的unfair
> > question则像许多谜语一样，随便哪个人都可以出一个另一个人根本无法想出来的谜语，因为从谜语隐含的信息加上人可能从谜语中联想出来的信息，加起
> > 来也不足以构成解题的充分条件；这种情况下除非你遇到出题人在出题时的心理或所处情况，否则是无法解的。

> > - 有一些类似这样但公平的、真正测试思维的不落巢臼的能力的有：*A man and his son are in a car

> > crash. The father is killed and the son is taken to hospital gravely
> > injured. When he gets there, the surgeon says "I can't operate on this boy-

> > he is my son!" How is this possible?*
> > 以及"深夜有人敲门，这人身穿貂皮大衣，开着名贵的车，他说他在玩一个"拾荒者"游戏，由于他前妻在，所以他必须赢；现在他需要一块1.5m*1m的木板，如果-你有的话给你1万块钱。你怎么办？
> > - 最后，发散性思维其实是可以系统化的，譬如有一个经典的据说测试发散性思维或联想能力的题目：一块砖头，你能想到哪些用途。的确，基本上，想

> > 到较少用途的人，思维定势的确要更强。知识是一把双刃剑，一方面，没有知识，我们就无法创造，另一方面，知识本身则会为创造设定框架。"砖头可以砌墙"这
> > 个知识是我们创造屋子的基础，然而却同样也是阻碍砖头被用在其它地方的因素。然而，我想说的是，这类题目基本上都有一个共性，那就是它测试的是你的思维有
> > 没有所谓的"范畴陷阱"，而范畴陷阱可以通过抽象来避开，就算你联想到了许多砖头的用途，你还是无法知道你是不是穷尽了，但有一个系统性的方法是可以枚举
> > 所有可能的用途的：从砖头的所有可能的属性维度上去抽象看待它，譬如：它是长方形的（长方形的物件都可以用来干些啥？不妨问问还有哪些东西也是长方形
> > 的。）、它是有棱角的（有棱角的东西都可以干啥？还有哪些东西也是有棱角的。）、它是红色的（红色的东西都可以干啥？）、它是一坨刚性的固体（都可以干
> > 啥？）、它是边缘线条平直的。第二步则是看看它的所有调整的可能性：削掉一个角，削成正方形，弄成粉末、熬成砖头汤？简而言之就是，一个物件的所有可能用
> > 途都是因为它是什么和它可以变成什么；而这两者都可以系统化地进行考察。

> > -
> > 基本上，知识掌握得越多，越容易陷入思维定势。因为人会基于现有知识框架（认知图式）来接受新知识。然而，知识却又是创造性的必要前提。所以，如何在掌握知识的-过程中避免落入思维巢臼，是一门真正的艺术。掌握这门艺术的一个关键手法，就是抽象。对一个知识的抽象程度越高，就越接近本质，越能排除表面特征的噪音的影响，-从而越有利于将其转移到表面不一样但本质相同的问题上。同样，对一个题目进行抽象，抽象出其本质，也有助于增加联想到的知识的可能性，譬如上次Xin
> > Li解出来的那道小球在盒内碰撞何时回到原轨迹的题目，如果眼中看到的不是运动物体，而是抽象的线条和角度，那么应该就更有助于联想到光线反射。反之，"一个运-动的固体"则限制了联想空间。在比如，如果上面那道
> > 1.5m*1m的木板的题目如果你没有想到答案，不妨试着对木板进行抽象：木板=木质的+板状。然后问自己"我有木质的东西吗？"，"其中有哪些是板状？"或者-反过来问也行。
>
> > 出题的误区
>
> > -
> > 最大的误区就是把知识性的题目误当成能力型的题目。如果题目中需要用到某个重要的定理或性质，而对于一个原本不知道这个定理或性质的人来说是无法通过题目本身达-到这个性质的，那这就属于知识性的题目。
> > - 虽然几乎所有题目归根到底都是知识性的，但有些题目更为知识性，尤其是当解题中需要用到的定理或性质并不那么trivial的时候。
> > -
> > 一个最好的题目就是问题明明白白，而且最终的解也没有用到什么神秘的定理，但要想获知到解，完全取决于你会不会思考一个问题（参见"好问题"）。譬如烙饼问题和-Nim问题。

>
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> > 刘未鹏(pongba)|C++的罗浮宫
> >http://blog.csdn.net/pongba
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> - 显示引用的文字 -

[pongba]

2008/4/15 sanachilleus <sanach...@gmail.com>:

木板哪个难道要把门拆下来给他？......深夜干这个会惊动警察的说......

呵呵，sanachilleus兄的思维发散性很好，看出来了:-)
实际上这个例子是《专注力》上的，我不记得是多少了（应该超过70%）的人都想不到门:-)
因为在我们的概念体系中，"木板"这个词代表的是"作为原材料的木板"，跟门的概念范畴是不搭架的，所以要联想跨越这个范畴陷阱，还是很难的。我认为如果不是思维习惯本身就发散性好的话，一个可采用的办法就是有意识的对问题进行抽象，如果把木板的概念往上抽象一层，"木质的"，便极大的增加了联想的空间。"木板"的话，也许我环顾四周很快会发现没有。但"木质的"我会迅速发现桌子、椅子、床板、柜子、门，然后再从另一个抽象维度去排除这些选项，即从"板状的"，就剩下桌子、规则、门了，最后或许再从1.5m*1m这个抽象角度去排除。实际上，只要走出第一步，后面答案就很明显了。

[Du Lei]

思维盲点：我想到要找家里的木制品，但是现在的门不都是金属的么？于是菜板什么的一路想下来。

2008/4/15 pongba <pon...@gmail.com>:

[翁翊成]

我想到了我的工作台的木板。。。

在08-4-15，Du Lei <dul...@gmail.com> 写道：

[sanachilleus]

深夜有人敲门，这人身穿貂皮大衣，开着......

门是题目条件之一，所以首先想到门。

On 4月15日, 下午4时29分, "翁翊成" <weng...@gmail.com> wrote:
> 我想到了我的工作台的木板。。。
>
> 在08-4-15，Du Lei <dule...@gmail.com> 写道：

>
>
>
>
>
> > 思维盲点：我想到要找家里的木制品，但是现在的门不都是金属的么？于是菜板什么的一路想下来。
>
> > 2008/4/15 pongba <pon...@gmail.com>:
>

> > > 2008/4/15 sanachilleus <sanachill...@gmail.com>:

>
> > > > 木板哪个难道要把门拆下来给他？......深夜干这个会惊动警察的说......
>
> > > 呵呵，sanachilleus兄的思维发散性很好，看出来了:-)
> > > 实际上这个例子是《专注力》上的，我不记得是多少了（应该超过70%）的人都想不到门:-)
>

> > > 因为在我们的概念体系中，"木板"这个词代表的是"作为原材料的木板"，跟门的概念范畴是不搭架的，所以要联想跨越这个范畴陷阱，还是很难的。我认为如果不是思-维习惯本身就发散性好的话，一个可采用的办法就是有意识的对问题进行抽象，如果把木板的概念往上抽象一层，"木质的"，便极大的增加了联想的空间。"木板"的话-，也许我环顾四周很快会发现没有。但"木质的"我会迅速发现桌子、椅子、床板、柜子、门，然后再从另一个抽象维度去排除这些选项，即从"板状的"，就剩下桌子、-规则、门了，最后或许再从1.5m*1m这个抽象角度去排除。实际上，只要走出第一步，后面答案就很明显了。

>
> > > --
> > > 刘未鹏(pongba)|C++的罗浮宫
> > >http://blog.csdn.net/pongba
> > > TopLanguage

[pongba]

2008/4/15 sanachilleus <sanach...@gmail.com>:

深夜有人敲门，这人身穿貂皮大衣，开着......

门是题目条件之一，所以首先想到门。

呃.. 这个.. 看来题目还要修改哈:P

[hack...@sina.com]

总结的好，但是哪里有这么多好题目呢？
除了波利亚教授的几本，
还有马丁。加德纳的，
基本上很少见到这样的书。

On 4月15日, 下午1时01分, pongba <pon...@gmail.com> wrote:
> 这是一篇小小总结，总结这段时间看了一些书，解了一些题之后的思考，未必完全，同样也许有谬误，欢迎砖头.. ^_^
>

> 顺便推荐一本书，《Psychology of Problem Solving》<http://www.douban.com/subject/2845839/>
>
> 好题目：
>
> - 不需要用到未知的知识，或者
> - 需要用到未知的知识，但一个敏锐的解题者可以通过对题目的分析自行发现这些所需的知识。

> - 考察解题的一般性思路，而不是特定（ad
> hoc）的解题技巧，尤其是当这个技巧几乎不可能在短时间内通过演绎和试错发现的时候。譬如题目需要用到某种性质，而这个性质对于不知道它的人来说几乎是无法从-对题目的考察中得出来的。
> - 考察思维能力：联想能力、类比能力、抽象能力、演绎能力、归纳能力、观察能力、发散能力（思维不落巢臼的能力）。
> -
> 考察一般性的思维方法：通过特例启发思考、通过试错寻找规律、通过泛化试探更一般性命题、通过倒过来推导将问题进行归约、通过调整（分解、删除、增加、变形等等-）题目的条件来感知它们之间的联系以及和结论的联系、通过系统化的分类讨论来覆盖每种可能性。
> - 好

> 题目举例：烙饼排序问题（考察特例启发法以及观察能力）、Nim问题（还有简单版本的取火柴问题）&9公升4公升水桶倒6公升水的问题（考察倒过
> 来思考问题的能力）、9点问题&四根火柴6个面的问题&木门的问题（考察思维不落巢臼的能力）、许多数论问题（观察能力、演绎能力、归纳 能力）。
>
> 坏题目
>

> - 好题目各有各的好，坏题目都是相似的。
> - 坏题目基本上就是指那些所谓的 unfair

> questions，什么是unfair，举个例子：一个人住在一栋非常高的楼上，每天早晨他乘电梯下到一楼，出门上班。但晚上回来之后却最多只能坐到一
> 半高度的楼层，剩下一半只能走楼梯上去，除非是下雨天。问为什么。这个例子据说不少人小时候在脑筋急转弯里面做过，但我很怀疑基本上任何正常人是不是可能
> 想出来。这个问题的问题在于他需要用到千百个有可能与问题有关的性质中的一个，而且这个性质还根本无法通过对题目本身的考察得出来，只可能某天我们碰巧遇

> 到类似的场景也许才能想到。知道答案的人也许会说答案很显然，但别忘了心理学上的事后偏见----一旦知道结果之后，所有指向结果的证据看上去都那么显然和充

> 分，而同时所有反结果的证据看起来都那么不显然和不充分。譬如这题关键是要想到这人是矮子和雨天要带伞，也许你会说"只要考虑一下电梯的按钮面板就会发现
> 了"，或者"看到下雨，那还不想到带伞么？"，然而这只是事后的合情推断。在不知道答案的情况下，这个故事中有数不清的因素可能会成为问题的解释，除非某
> 天我们碰到类似的问题，否则大致也只能一个个穷举了去使劲往上凑，譬如除了身高之外还有：是不是瞎子、是不是聋子、是不是哑子、男人女人、什么牌子的电
> 梯、大厦是哪种大厦？这些因素重要吗？不重要吗？最令人头疼的是，在不知道答案的时候，我们也根本不知道他们重不重要，一个出谜语的人可能从任何一个微小
> 的地方引申出某个谜语来；更头疼的是，我们不知道我们不知道的那些因素是不是也可能与题目的解有关，譬如这样一个问题：一个人走进酒吧，问酒保要一杯水，
> 酒保掏出一只枪对着他，并拉上了扳机；这人说声"谢谢"，走了出去。

> - 值得注意的是，这样的问题跟著名的9点连线问题和4根火柴搭6个面的问题不同，后者的条件都在眼前，并且解的搜索空间无论如何很小，就看思维

> 能不能突破某一个框框。而上面这些问题则是要人进行根本不可能的联想。9点问题实际上是可以系统化思考解决的，但这样的unfair
> question则像许多谜语一样，随便哪个人都可以出一个另一个人根本无法想出来的谜语，因为从谜语隐含的信息加上人可能从谜语中联想出来的信息，加起
> 来也不足以构成解题的充分条件；这种情况下除非你遇到出题人在出题时的心理或所处情况，否则是无法解的。

> - 有一些类似这样但公平的、真正测试思维的不落巢臼的能力的有：*A man and his son are in a car crash.

> The father is killed and the son is taken to hospital gravely injured. When
> he gets there, the surgeon says "I can't operate on this boy- he is my son!"

> How is this possible?*
> 以及"深夜有人敲门，这人身穿貂皮大衣，开着名贵的车，他说他在玩一个"拾荒者"游戏，由于他前妻在，所以他必须赢；现在他需要一块1.5m*1m的木板，如果-你有的话给你1万块钱。你怎么办？
> - 最后，发散性思维其实是可以系统化的，譬如有一个经典的据说测试发散性思维或联想能力的题目：一块砖头，你能想到哪些用途。的确，基本上，想

> 到较少用途的人，思维定势的确要更强。知识是一把双刃剑，一方面，没有知识，我们就无法创造，另一方面，知识本身则会为创造设定框架。"砖头可以砌墙"这
> 个知识是我们创造屋子的基础，然而却同样也是阻碍砖头被用在其它地方的因素。然而，我想说的是，这类题目基本上都有一个共性，那就是它测试的是你的思维有
> 没有所谓的"范畴陷阱"，而范畴陷阱可以通过抽象来避开，就算你联想到了许多砖头的用途，你还是无法知道你是不是穷尽了，但有一个系统性的方法是可以枚举
> 所有可能的用途的：从砖头的所有可能的属性维度上去抽象看待它，譬如：它是长方形的（长方形的物件都可以用来干些啥？不妨问问还有哪些东西也是长方形
> 的。）、它是有棱角的（有棱角的东西都可以干啥？还有哪些东西也是有棱角的。）、它是红色的（红色的东西都可以干啥？）、它是一坨刚性的固体（都可以干
> 啥？）、它是边缘线条平直的。第二步则是看看它的所有调整的可能性：削掉一个角，削成正方形，弄成粉末、熬成砖头汤？简而言之就是，一个物件的所有可能用
> 途都是因为它是什么和它可以变成什么；而这两者都可以系统化地进行考察。

> -
> 基本上，知识掌握得越多，越容易陷入思维定势。因为人会基于现有知识框架（认知图式）来接受新知识。然而，知识却又是创造性的必要前提。所以，如何在掌握知识的-过程中避免落入思维巢臼，是一门真正的艺术。掌握这门艺术的一个关键手法，就是抽象。对一个知识的抽象程度越高，就越接近本质，越能排除表面特征的噪音的影响，-从而越有利于将其转移到表面不一样但本质相同的问题上。同样，对一个题目进行抽象，抽象出其本质，也有助于增加联想到的知识的可能性，譬如上次Xin
> Li解出来的那道小球在盒内碰撞何时回到原轨迹的题目，如果眼中看到的不是运动物体，而是抽象的线条和角度，那么应该就更有助于联想到光线反射。反之，"一个运-动的固体"则限制了联想空间。在比如，如果上面那道
> 1.5m*1m的木板的题目如果你没有想到答案，不妨试着对木板进行抽象：木板=木质的+板状。然后问自己"我有木质的东西吗？"，"其中有哪些是板状？"或者-反过来问也行。
>
> 出题的误区
>
> -
> 最大的误区就是把知识性的题目误当成能力型的题目。如果题目中需要用到某个重要的定理或性质，而对于一个原本不知道这个定理或性质的人来说是无法通过题目本身达-到这个性质的，那这就属于知识性的题目。
> - 虽然几乎所有题目归根到底都是知识性的，但有些题目更为知识性，尤其是当解题中需要用到的定理或性质并不那么trivial的时候。
> -

> 一个最好的题目就是问题明明白白，而且最终的解也没有用到什么神秘的定理，但要想获知到解，完全取决于你会不会思考一个问题（参见"好问题"）。譬如烙饼问题和-Nim问题。
>
> --
> 刘未鹏(pongba)|C++的罗浮宫http://blog.csdn.net/pongba
> TopLanguagehttp://groups.google.com/group/pongba

[katkat lim]

其实我想知道那个人为什么只坐一半。。。

以前看过，现在忘记了。

[lavaxin]

为什么外科医生说那个人也是他儿子？难道是他亲生的，死的那个是后爹？

 

to katkat lim: 那人是矮子，够不着。

 

在08-4-15，katkat lim <limk...@gmail.com> 写道：

[sanachilleus]

我觉得自己平时也可以想一些好题目的。下面是我最近想出来的一个问题，我认为应该不算坏题目了，不过比较难。前几天在有这样一类问题的贴上发过一次，不
过没有写完就烂尾了，今天重发一遍：

先给几个定义：

零、数列，数列的秩：
#define 数列 有序非空自然数集
数列的秩为一个有序自然数集成员个数；
名称为a，秩为n的数列记为a[n]


一、单调数列，左增数列，右增数列：
对于一个秩大于1的数列a[n]，如果
a)对于任意0 <= j < i < n，a[i] - a[j] > 0;
b)对于任意0 <= j < i < n，a[i] - a[j]< 0;
之一成立，则称数列a[n]为单调数列；
如果a)成立，则称数列a[n]为右增单调数列，简称右增数列；
如果b)成立，则称数列a[n]为左增单调数列，简称左增数列。


二、子数列：
对于数列a[n]、b[m]，如果n >= m，且存在数列c[m]，同时满足：
a) 0 <= c[0] < c[1] < c[2] < ... < c[m - 1] < n；
b) a[c[0]] = b[0]、a[c[1]] = b[1]、a[c[2]] = b[2]、...a[c[m - 1]] = b[m
-
1]；
则称数列b[m]为数列a[n]的子数列；


三、数列拆分：
如果数列a1[n1]，a2[n2]，a3[n3]，...am[nm]都是数列a[n]的子数列，且满足：
a)n1 + n2 + ... + nm = n；
b)对于任意0 < i < j <= m，0 <= p < ni，0 <= q < nj，ai[p] != aj[q]成立；
那么称a1[n1]，a2[n2]，a3[n3]，...am[nm]是数列a[n]的一个拆分。



前面的定义说的很麻烦，其实理解起来很简单：
数列就是把若干个各不相同的自然数排成一行；
数列的秩就是这一行数的个数；
单调数列就是单调递增或单调递减数列；
一个数列中任意去掉几个元素，剩下的就是一个子数列；
把一个数列分成互不相交的"几份"，就是数列的一个拆分。


下面讲几个简单，但是有用的命题：
0）秩为2的数列都是单调数列；
1）左（右）增数列的所有子数列都是左（右）增数列；
2）一个数列的所有单调子数列中秩最大者的秩，不会小于这个数列的任何子数列的任一单调子数列的秩；


我的问题是：
1）对于给定正整数n，数列a[n]是1、2、3...n的一个排列。设m是a[n]秩最大的单调子列的秩。对于1、2、3...n的所有排列，求m的
最小值。
2）对于给定正整数n，数列a[n]是1、2、3...n的一个排列。数列a[n]可以被拆分成有限多个单调数列。对于其中单调子列数最少的一种拆分，
设其单调子列数为m。对于1、2、3...n的所有排列，求m的最大值。
3）对于问题2)中的m，设m = f(n)。那么是否存在正整数M，使得对于任意n，M > f(n)？
4）对于问题2)增强条件：假设拆分出来P个左增数列和Q个右增数列，如果给定正整数X，称使得|P - Q| < X的拆分为合法拆分，对于使单调子
列数最少的拆分，其单调子列数为m'。对于1、2、3...n的所有排列，求m'的最大值。


问题的来源：
有一天我忽然产生一个猜想：是不是所有数列都可以拆分成2个单调数列？结果是否定的。然后我又产生猜想，是不是所有数列都可以拆分成有限多个单调数列？
这就是问题3，我还没做出来。在思考的过程中产生了问题1，2和问题3的推广，问题4。这四个问题我都不会做，但是问题1已经有了一些进展。



对于任意正整数n，1、2、3...n^2存在一个排列：

n、n-1、n-2...1、 2n、2n-1、2n-2... 3n... n^2、n^2-1、n^2-2...n^2-n+1

这个排列的所有单调子列中秩的最大者的秩为n。
称这个数列为P[n^2]。把P[n^2]的元素分为n组，第1个到第n个第一组，第n+1个到第2n个第二组……对于P[n^2]的每个秩大于等于n
+1的子列s[m]（m > n），s[m]至少有2个元素属于同一组（这两个元素构成右增子列），同时至少有2个元素属于不同组（这两个元素构成左增
子列）所以s[m]不是单调数列（见命题2）

我猜想：
a)对于任意正整数n，1、2、3...n^2+1的任意一种排列，其最秩最大的单调子列的秩不小于n+1。

当n = 1时显然。当n = 2时n^2 + 1 == 5, n + 1 == 3。下面我证明对于1、2、3、4、5的任意一种排列，总存在一个
秩不小于3的单调子列。
考虑元素2。若元素2不在数列的一端，那么元素2的两边各至少有一个元素。元素1在元素2的一边，元素2的另一边至少存在一个元素x, x属于
{3，4，5}元素1、2、x构成秩为3的单调子列；
同理，若元素4不在数列的一端，那么存在x属于{1、2、3}使得x、4、5构成秩为3的单调子列；
若元素2与元素4分别位于数列两端，那么元素2、3、4构成秩为3的单调数列。

我觉得用归纳法有希望证明猜想a)

[hayate]

请问这些定义的名称都是怎么来的？比如秩

2008/4/15 sanachilleus <sanach...@gmail.com>:

[hayate]

总结的很好啊

好题目的解决过程会散发理性的光芒，给人希望。

坏题目往往让人绝望。

2008/4/15 pongba <pon...@gmail.com>:

这是一篇小小总结，总结这段时间看了一些书，解了一些题之后的思考，未必完全，同样也许有谬误，欢迎砖头.. ^_^

顺便推荐一本书，《Psychology of Problem Solving》

好题目：

• 不需要用到未知的知识，或者
• 需要用到未知的知识，但一个敏锐的解题者可以通过对题目的分析自行发现这些所需的知识。
• 考察解题的一般性思路，而不是特定（ad hoc）的解题技巧，尤其是当这个技巧几乎不可能在短时间内通过演绎和试错发现的时候。譬如题目需要用到某种性质，而这个性质对于不知道它的人来说几乎是无法从对题目的考察中得出来的。
• 考察思维能力：联想能力、类比能力、抽象能力、演绎能力、归纳能力、观察能力、发散能力（思维不落巢臼的能力）。
• 考察一般性的思维方法：通过特例启发思考、通过试错寻找规律、通过泛化试探更一般性命题、通过倒过来推导将问题进行归约、通过调整（分解、删除、增加、变形等等）题目的条件来感知它们之间的联系以及和结论的联系、通过系统化的分类讨论来覆盖每种可能性。

• 好题目举例：烙饼排序问题（考察特例启发法以及观察能力）、Nim问题（还有简单版本的取火柴问题）&9公升4公升水桶倒6公升水的问题（考察倒过来思考问题的能力）、9点问题&四根火柴6个面的问题&木门的问题（考察思维不落巢臼的能力）、许多数论问题（观察能力、演绎能力、归纳能力）。

坏题目

• 好题目各有各的好，坏题目都是相似的。
• 坏题目基本上就是指那些所谓的 unfair questions，什么是unfair，举个例子：一个人住在一栋非常高的楼上，每天早晨他乘电梯下到一楼，出门上班。但晚上回来之后却最多只能坐到一半高度的楼层，剩下一半只能走楼梯上去，除非是下雨天。问为什么。这个例子据说不少人小时候在脑筋急转弯里面做过，但我很怀疑基本上任何正常人是不是可能想出来。这个问题的问题在于他需要用到千百个有可能与问题有关的性质中的一个，而且这个性质还根本无法通过对题目本身的考察得出来，只可能某天我们碰巧遇到类似的场景也许才能想到。知道答案的人也许会说答案很显然，但别忘了心理学上的事后偏见----一旦知道结果之后，所有指向结果的证据看上去都那么显然和充分，而同时所有反结果的证据看起来都那么不显然和不充分。譬如这题关键是要想到这人是矮子和雨天要带伞，也许你会说"只要考虑一下电梯的按钮面板就会发现了"，或者"看到下雨，那还不想到带伞么？"，然而这只是事后的合情推断。在不知道答案的情况下，这个故事中有数不清的因素可能会成为问题的解释，除非某天我们碰到类似的问题，否则大致也只能一个个穷举了去使劲往上凑，譬如除了身高之外还有：是不是瞎子、是不是聋子、是不是哑子、男人女人、什么牌子的电梯、大厦是哪种大厦？这些因素重要吗？不重要吗？最令人头疼的是，在不知道答案的时候，我们也根本不知道他们重不重要，一个出谜语的人可能从任何一个微小的地方引申出某个谜语来；更头疼的是，我们不知道我们不知道的那些因素是不是也可能与题目的解有关，譬如这样一个问题：一个人走进酒吧，问酒保要一杯水，酒保掏出一只枪对着他，并拉上了扳机；这人说声"谢谢"，走了出去。
• 值得注意的是，这样的问题跟著名的9点连线问题和4根火柴搭6个面的问题不同，后者的条件都在眼前，并且解的搜索空间无论如何很小，就看思维能不能突破某一个框框。而上面这些问题则是要人进行根本不可能的联想。9点问题实际上是可以系统化思考解决的，但这样的unfair question则像许多谜语一样，随便哪个人都可以出一个另一个人根本无法想出来的谜语，因为从谜语隐含的信息加上人可能从谜语中联想出来的信息，加起来也不足以构成解题的充分条件；这种情况下除非你遇到出题人在出题时的心理或所处情况，否则是无法解的。

• 有一些类似这样但公平的、真正测试思维的不落巢臼的能力的有：A man and his son are in a car crash. The father is killed and the son is taken to hospital gravely injured. When he gets there, the surgeon says "I can't operate on this boy- he is my son!" How is this possible?以及"深夜有人敲门，这人身穿貂皮大衣，开着名贵的车，他说他在玩一个"拾荒者"游戏，由于他前妻在，所以他必须赢；现在他需要一块1.5m*1m的木板，如果你有的话给你1万块钱。你怎么办？

• 最后，发散性思维其实是可以系统化的，譬如有一个经典的据说测试发散性思维或联想能力的题目：一块砖头，你能想到哪些用途。的确，基本上，想到较少用途的人，思维定势的确要更强。知识是一把双刃剑，一方面，没有知识，我们就无法创造，另一方面，知识本身则会为创造设定框架。"砖头可以砌墙"这个知识是我们创造屋子的基础，然而却同样也是阻碍砖头被用在其它地方的因素。然而，我想说的是，这类题目基本上都有一个共性，那就是它测试的是你的思维有没有所谓的"范畴陷阱"，而范畴陷阱可以通过抽象来避开，就算你联想到了许多砖头的用途，你还是无法知道你是不是穷尽了，但有一个系统性的方法是可以枚举所有可能的用途的：从砖头的所有可能的属性维度上去抽象看待它，譬如：它是长方形的（长方形的物件都可以用来干些啥？不妨问问还有哪些东西也是长方形的。）、它是有棱角的（有棱角的东西都可以干啥？还有哪些东西也是有棱角的。）、它是红色的（红色的东西都可以干啥？）、它是一坨刚性的固体（都可以干啥？）、它是边缘线条平直的。第二步则是看看它的所有调整的可能性：削掉一个角，削成正方形，弄成粉末、熬成砖头汤？简而言之就是，一个物件的所有可能用途都是因为它是什么和它可以变成什么；而这两者都可以系统化地进行考察。

• 基本上，知识掌握得越多，越容易陷入思维定势。因为人会基于现有知识框架（认知图式）来接受新知识。然而，知识却又是创造性的必要前提。所以，如何在掌握知识的过程中避免落入思维巢臼，是一门真正的艺术。掌握这门艺术的一个关键手法，就是抽象。对一个知识的抽象程度越高，就越接近本质，越能排除表面特征的噪音的影响，从而越有利于将其转移到表面不一样但本质相同的问题上。同样，对一个题目进行抽象，抽象出其本质，也有助于增加联想到的知识的可能性，譬如上次Xin Li解出来的那道小球在盒内碰撞何时回到原轨迹的题目，如果眼中看到的不是运动物体，而是抽象的线条和角度，那么应该就更有助于联想到光线反射。反之，"一个运动的固体"则限制了联想空间。在比如，如果上面那道1.5m*1m的木板的题目如果你没有想到答案，不妨试着对木板进行抽象：木板=木质的+板状。然后问自己"我有木质的东西吗？"，"其中有哪些是板状？"或者反过来问也行。

[Googol Lee]

给概念起名字，也是发散思维的一种体现吧……

在 08-4-16，hayate<haya...@gmail.com> 写道：

--
新的理论从少数人的主张到一统天下，并不是因为这个理论说服了别人抛弃旧观点，而是因为一代人的逝去。

My blog: http://googollee.blog.163.com

[Jicai Ma]

外科医生那题陷入思维定势的圈套了.....经典！

在08-4-16，Googol Lee <goog...@gmail.com> 写道：

[fenghou]

>> 深夜有人敲门，这人身穿貂皮大衣，开着名贵的车，他说他在玩一个"拾荒者"游戏，由于他前妻在，所以他必须赢；现在他需要一块1.5m*1m的木板，如果你有的话给你1万块钱。你怎么办？

这题问的是怎么找到木板？我还以为是给不给他，如果给了他会有什么后果……

[Wang Xin]

外科医生是小孩的老母，so easy…………

[陈怀兴]

我相信这个问题对很多人来说并不是so easy...除非你事先已经知道答案（事后偏见）。

2008/4/16 Wang Xin <cber.w...@gmail.com>:

外科医生是小孩的老母，so easy…………

[FishPT]

想到一些柜子之类的，要是有了木板，没有合适的刀呢