Ruch obrotowy
Tomasz Pyra
obrotowy bryły sztywnej na którą nie działa żadna siła?
Ruch postępowy jest dość jasny - kwestię możemy pominąć.
Pozostaje jeszcze reszta - ruch hmmm... obrotowy.
Zawsze myślałem, że jest po prostu stała oś obrotu wokół której
wszystkie punty ciała poruszają się po okręgu.
Ale obejrzałem kiedyś eksperymenty które Don Pettit wykonywał na
stacji kosmicznej, w nieważkości i tam widać coś zupełnie innego.
http://pl.youtube.com/watch?v=2w_X0E0pxu8
Eksperymenty z książką (początek filmu).
Książka kręci się stabilnie wokół jednej osi, jedynie jeżeli osią obrotu
jest oś dla której moment bezwładności jest minimalny lub maksymalny.
Jeżeli początkowa oś obrotu jest inna to dzieją się "cuda".
Również eksperyment wykonany w domu pokazuje coś innego - mogę podrzucić
ołówek w górę w taki sposób, że będzie się obracał jednocześnie wokół
osi równoległej do grafitu i osi prostopadłej do tej pierwszej.
Pomijając nawet wpływ grawitacji, ale punkty leżące na bokach ołówka
poruszają się po czymś w rodzaju cykloid.
Widziałem jeszcze inne filmy z jego eksperymentów które pokazywały że
swobodny ruch ciała nie jest takie prosty.
No więc jak to jest?
Marek Jozefowski
> Książka kręci się stabilnie wokół jednej osi, jedynie jeżeli osią obrotu
> jest oś dla której moment bezwładności jest minimalny lub maksymalny.
> Jeżeli początkowa oś obrotu jest inna to dzieją się "cuda".
>
> Również eksperyment wykonany w domu pokazuje coś innego - mogę podrzucić
> ołówek w górę w taki sposób, że będzie się obracał jednocześnie wokół
> osi równoległej do grafitu i osi prostopadłej do tej pierwszej.
> Pomijając nawet wpływ grawitacji, ale punkty leżące na bokach ołówka
> poruszają się po czymś w rodzaju cykloid.
>
> Widziałem jeszcze inne filmy z jego eksperymentów które pokazywały że
> swobodny ruch ciała nie jest takie prosty.
>
> No więc jak to jest?
Jakościowo pewne wyobrażenie o takim ruchu
możesz wydedukować bez żadnych ścisłych obliczeń.
Przestrzenią konfiguracyjną ruchu obrotowego jest SO(3)
- grupa obrotów (ma 3 wymiary). I teraz tak...muszę
jakoś "zaczepić" te obroty ...
Wiemy, że w układzie nieruchomym (inercjalnym)
moment pędu jest stały: l=const, a więc moment
pędu L(t) w układzie związanym z ciałem jest
uzyskany przez rzeczywisty jego ruch (obrót) O(t) \in SO(3)
L(t) = O(t).l
A więc określenie ruchu w nieruchomym układzie O(t),
jest równoważne podaniu ruchu L(t) w układzie
nieinercjalnym związanym na sztywno z ciałem.
Ale wiemy że
L^2 = l^2 =const
ponieważ O(t) zachowuje długość wektora, oraz
energia jest zachowana.
E = 1/2 (L,A^(-1).L) = const
gdzie A jest operatorem bezwładności, jest on
symetryczny.Widać więc, że w 3 wymiarowej przestrzeni
momentów pędu (L_1,L_2,L_3), ruch jest ograniczony
przez dwie formy kwadratowe.Oczywiście kształt powierzchni
odpowiadającym tym formom nie zależy od wyboru układu
związanego z ciałem (byleby jego środek był w środku
ciężkości).-> Możemy tak wybrać układ aby A był diagonalny,
w rezultacie dostaniemy:
(L_1)^2+(L_2)^2+(L_3)^2 = l^2 (sfera)
(L_1)^2/I_1 +(L_2)^2/I_2 +(L_3)^2/I_3 = 2E (elipsoida)
Tak więc trajektorie w {L} będą przecięciem sfery o pr. |l|
i elipsoidy o osiach:
sqrt(2EI_1) ...etc...
Jeżeli promień sfery jest równy najdłuższej, lub najkrótszej
osi elipsoidy, to przecięciem są dwa punkty...a znaczy to
tyle, że L=l (oś obrotu jest stała w ciele). Jeżeli trochę
zmniejszymy (zwiększymy) |l|, to trajektoriami będą krzywe
zamknięte blisko osi głównych (ruch będzie w miarę stabilny).
Natomiast, gdy |l| jest równy osi pośredniej to trajektorie,
są dwoma okręgami, z punktami rozgałęzień. Rozgraniczają one
cztery obszary "stabilności"...ruch wtedy wydaje się chaotyczny.
--
Nie wystarczy szeroko otwierać oczu [Hermann Weyl]
fa pink
Jest prosty. Jeżeli pomyślisz o tym, że
- bryła może obracać się równocześnie wokół trzech prostopadłych osi
- prędkość kątowa każdego obrotu może być inna
- moment bezwładności względem każdej osi może być inny
To jak się te trzy ruchy na siebie nałożą, wówczas ruch wydaje się być
bardzo skomplikowany. Trochę jak w krzywych Lissajous, gdzie złożenie
dwóch prościutkich harmonicznych drgań daje bardzo skomplikowaną
trajektorię.
Obraz jest uproszczony, ale może pomaga zrozumieć.
Co do jajka i fiolki z płynem - sytuacja jest bardziej skomplikowana,
ponieważ pod wpływem ruchu obrotowego następuje przemieszczenie mas i
zmiana momentów bezwładności.
--
Z uszanowaniem Mariusz
J.F.
>Jest prosty. Jeżeli pomyślisz o tym, że
>- bryła może obracać się równocześnie wokół trzech prostopadłych osi
>- prędkość kątowa każdego obrotu może być inna
>- moment bezwładności względem każdej osi może być inny
>To jak się te trzy ruchy na siebie nałożą, wówczas ruch wydaje się być
>bardzo skomplikowany. Trochę jak w krzywych Lissajous
Eee tam prosty. Moment bezwladnosci jest tensorem.
To wszystko komplikuje.
Jest jeszcze film gdzie Serebriakov [czy jakos podobnie] kreci
czyms przypominajacym mlotek. Tez dzikie harce wyprawia.
>Co do jajka i fiolki z płynem - sytuacja jest bardziej skomplikowana,
>ponieważ pod wpływem ruchu obrotowego następuje przemieszczenie mas i
>zmiana momentów bezwładności.
A oprocz tego moze zajsc dyssypacja energii.
Co nie zachodzi w bryle sztywnej, wiec tu stabilizacja obrotow
nie moze nastapic - nie przystaja kret i energia ruchu obrotowego
do momentu bezwladnosci w maksymalnej osi.
J.
fa pink
Tak. Mój opis nie był całkiem prawdziwy, co zastrzegłem. Ale odniosłem
wrażenie, że Tomasz Pyra nie jest fizykiem i wykład zaserwowany przez
Marka Józefowskiego po przeczytaniu (?) mógł go zwalić z nóg.
Zauważyłem, że to jest na grupie istotny problem prowadzący do wielu
nieporozumień. Może ludzie powinni się jednoznacznie identyfikować
np.:
1. nauczyciel liceum z podstawami, zagubiony w meandrach fiz.
współczesnej
2. napalony na fizykę gimnazjalista
3. miłośnik s-f
4. niedoceniony geniusz
5. mistrz z poczuciem misji pomagania innym
lista otwarta
4.