Konsekwencje chaosu w zachowaniu się funkcji falowej
Wojciech Szczepankiewicz
Jakie byłyby konsekwencje dla MK, gdyby okazało się że funkcje falowe będące rozwiązaniami równania Schrodingera zachowywałyby się w sposób chaotyczny w takim sensie, jak np. funkcja logistyczna a*x*(1-x).
Pozdrawiam,
Wojtek
kakaz
> Witam,
> Jakie by�yby konsekwencje dla MK, gdyby okaza�o si� �e funkcje falowe b�d�ce rozwi�zaniami r�wnania Schrodingera zachowywa�yby si� w spos�b chaotyczny w takim sensie, jak np. funkcja logistyczna a*x*(1-x).
> Pozdrawiam,
> Wojtek
Nie jestem ekspertem, ale chaos w Mechanice Kwantowej to badane
zjawisko, jednak jego znaczenie jest nieco inne niz opisane przez Ciebie
modelowe zagadnienie.
Jesli we�miesz uk��d dynamiczny z mechaniki klasycznej, to jego
rozwi�zania mog� by� chaotyczne. Pojawia si� problem: ile z tego chaosu
przezyje procedure kwantowania. I zdaje sie o to chodzi w chaosie
kwantowym. Przejawia si� on mi�dzy innymi w bardzo losowym widmie
energetycznym ( losowo roz�o�one poziomy energetyczne uk��du kwantowego:
to znaczy losowo po�ozone warto�ci w�asne, albo fizycznie "mody" pewnego
operatora).
Natomiast funkcja o kt�rej piszesz ma w�asno�ci chaotyczne podczas
iteracji: to coďż˝ innego.
Wsp�lne maj� to, �e chaos jako obiekt bada� przejawia dosy� ciekawa
w�asno�c uniwersalno�ci: wiele w�asno�ci nie zalezy od szczeg��w
modelu, i przejawia sie w bardzo wielu sytuacjach.
Pozdrawiam
K
Wojciech Szczepankiewicz
Mnie interesujďż˝ konsekwencje chaosu w iteracji funkcji falowej. Zadajďż˝
sobie pytanie, co by by�o gdyby taki chaos wyst�pi� dla jakich�
parametr�w i dla wybranej funkcji falowej. Konsekwencje chaosu dla
iterowanych funkcji klasycznych s� r�wnie� ciekawe, ale gdyby przenie��
je na funkcje Q, to nale�a�oby przemy�le� sporo spraw.
Pozdrawiam,
Wojtek
kakaz
> kakaz pisze:
>> Wojciech Szczepankiewicz wrote:
>>> Witam,
>>> będące rozwiązaniami równania Schrodingera zachowywałyby się w sposób
>>> Pozdrawiam, Wojtek
>> Nie jestem ekspertem, ale chaos w Mechanice Kwantowej to badane
>> zjawisko, jednak jego znaczenie jest nieco inne niz opisane przez Ciebie
>> modelowe zagadnienie.
>> rozwiązania mogą być chaotyczne. Pojawia się problem: ile z tego chaosu
>> przezyje procedure kwantowania. I zdaje sie o to chodzi w chaosie
>> energetycznym ( losowo rozłożone poziomy energetyczne ukłądu kwantowego:
>> to znaczy losowo połozone wartości własne, albo fizycznie "mody" pewnego
>> operatora).
>> Natomiast funkcja o której piszesz ma własności chaotyczne podczas
>> iteracji: to coś innego.
>> Wspólne mają to, że chaos jako obiekt badań przejawia dosyć ciekawa
>> własnośc uniwersalności: wiele własności nie zalezy od szczegółów
>> modelu, i przejawia sie w bardzo wielu sytuacjach.
>> Pozdrawiam
>> K
>
> sobie pytanie, co by było gdyby taki chaos wystąpił dla jakichś
> parametrów i dla wybranej funkcji falowej. Konsekwencje chaosu dla
> iterowanych funkcji klasycznych są również ciekawe, ale gdyby przenieść
> je na funkcje Q, to należałoby przemyśleć sporo spraw.
Może to i ciekawe ale jaki proces fizyczny odpowiadałby iteracji funkcji
falowej?
Oczywiścei jest wiele mozliwych przedstawień mechaniki kwantowej ale za
wiodące
uznaje sie to w przestrzeni Hilberta. Funkcje falowe sa w tym
przedstawieniu wektorami w tej ( na ogół nieskończenie wymiarowej)
przestrzeni.
Nie ma w takiej przestzreni pojęcia iteracji funkcji: odpowiadałoby mu
skłądanie funkcji to jednak nie jest nijak zdefiniowane. W szczególności
należałoby sprawdzic, czy taka złozona funkcja nadał byłaby elementem
tej przestrzeni.
Funkcje falowe moga byc róznej postaci i niektóre sa po prosru
wielomainami np. trygonometrycznymi: powiedzmy w atomie wodoru orbitale
maja postac jakos tam modulowanych przestrzennie wielomianów
trygonometrycznych ( sferyki harmoniczne). Z pewnościa ich iteracja
prowadziłaby dla różnych parametrów do niestabilności róznefgo rodzaju,
jesli chodzi o same wartości funkcji ( np. ich części rzeczystych).
Mysl·ę, że co do samej mozliwości to nie ma w tym wiele interesującego.
BYć moze ( puszcza to wodze fantazji bo juz za duzo zapomniałęm z tych
rzeczy żeby pisac kompetentnie) mozna by wymyslec cos takiego:
mamy rodzinę stanów kwantowych parametryzwana jednym parametrem: np. jak
w prostokątnej oo studni potencjalu gdzie szerokość studni jest jedyną
liczba wpływająca na wynik. Załóżmy teraz, że dokonujemy pomiarów w
takim ukłądzie ale pomiar przejawia się jako rzutowanie na jakieś
wektory stanu zupełnie inne niz stany własne układu. Np. przyrząd
pomiarowy nie jest w stanie czegos pomierzyć i wynik jest cuz: losowy. W
pewnym sensie to co wtedy zobaczysz to będzie rozkłąd wektorów jednej
bazy w innej ( ta druga bęzie opisywać mozliwe stany ukłądu pomiarowego,
na podstawie których będziemy starać się odtworzyc stan ukłądu który
obserwujemy). Jesli będziemy zmieniac parametr, może sie okazac, że dla
pewnej jego wartości oba układy sa bardziej zgodne niz dla innych. Dla
pewnych wartości zajdzie rodzaj "dopasowania" stanów własnych i wówczas
pomiary będa rzeczywiście oddawac prawdziwe energie i stany włąsne
ukłądu mieroznego. Jednak zmieniając parametr dostaniesz także i
sytuacje inne, kiedy będziemy mieli bardziej losowe wyniki. W pewnym
sensie to co będziemy widzieli to będzie interferencja funkcji falowych,
ale dla dostatecznie skomplikowanych ukaładów, moze to by przypominało
chaos?
K
kakaz
>( sferyki harmoniczne).
;-) sam sie juz uśmiałęm.
K
Wojciech Szczepankiewicz
Zadałeś taką liczbę pytań, że trudno sensownie odpowiedzieć na
wszystkie. Aby uszczknąć problem zastosowałbym metodę, którą podobno
używał Dirac. Zastanówmy się nad jedną, może dwiema rzeczami.
To, że w przestrzeni Hilberta nie ma zdefiniowanej iteracji funkcji, to
nie oznacza, że nie wolno nam o tym myśleć. Gdybyśmy sobie tego zakazali
to możemy powiedzieć, że fizyka ma już wszystko zrobione, no może
pozostało kilka drobiazgów, które niedługo się dadzą wygładzić :))))
Warto się zastanowić nad własnościami takiej chaotycznej iteracji w
fizyce klasycznej.
- Pierwszą własnością jest lokalność wyników iteracji. Oznacza to, że
mimo, iż dziedzina funkcji może być określona między -INF a +INF, to
iteracja daje punkty jedynie w małym obszarze tej dziedziny.
- Drugą własnością jest dyskretność takiej iteracji. Oznacza to, że
iteracja powoduje "skoki" między punktami, x(n), x(n+1), x(n+2)... nie
jest to operacja ciągła, a rzekłbym, że ściśle kwantowa :)
- Trzecią własnością jest to, że sporządzając mapę powrotną iteracji
(return map) odtwarza się wartości funkcji iterowanej w obszarze
wyznaczonym przez iterowaną dziedzinę. Innymi słowy - jej kształt.
Te trzy własności mają kapitalne znaczenie dla teorii kwantowej.
Wymienię te, które wydają się istotne.
1. Jeśli funkcja falowa jest iterowana, to odtwarzany jest jedynie mały
obszar jej dziedziny.
2. Iteracja jest procesem dyskretnym, który można uznać za obraz
chaotycznego pojawiania się cząstki to tu, to tam.
3. Odtwarzane są wartości funkcji falowej, czyli jej kształt jedynie w
skończonym obszarze, mimo, że funkcja jest określona matematycznie w
całej przestrzeni. Ta własność ma niezwykłe konsekwencje.
Co do wektorów w przestrzeni Hilberta, no cóż będą sobie, tak jak były,
ale strasznie się podziurawią :))))
Pozdrawiam, Wojtek
kakaz
> To, że w przestrzeni Hilberta nie ma zdefiniowanej iteracji funkcji,
> to nie oznacza, że nie wolno nam o tym myśleć.
> - Pierwszą własnością jest lokalność wyników iteracji. Oznacza to, że
> mimo, iż dziedzina funkcji może być określona między -INF a +INF, to
> iteracja daje punkty jedynie w małym obszarze tej dziedziny.
> - Drugą własnością jest dyskretność takiej iteracji. Oznacza to, że
> iteracja powoduje "skoki" między punktami, x(n), x(n+1), x(n+2)... nie
> jest to operacja ciągła, a rzekłbym, że ściśle kwantowa :)
> - Trzecią własnością jest to, że sporządzając mapę powrotną iteracji
> (return map) odtwarza się wartości funkcji iterowanej w obszarze
> wyznaczonym przez iterowaną dziedzinę. Innymi słowy - jej kształt.
W mechanice klasycznej ukłądy chaotyczne pojawiają sie na dwa sposoby:
1. jako ukłądy ciągłe: musza wtedy mieć co najmiej 3 wymiary. Układy
opisywane równaniami rózniczkowymi nie sa chaotyczne w 1 i 2 wymiarach.
2. jako ukłądy dysketne: wówczas juz układ jednowymiarowy może mieć
zachowania chaotyczne.
W obydwu przypadkach iteracja funkcji jest pewnym modelem dynamiku
ukłądu. Oznacza to ze stan ukłądu w chwili n zadany jest w przestrzeni
konfiguracyjnej ( lub fazowej) za pomoca punktu x_n a w chwili n+1 jako
x_n+1 dla ukłądu dyskretnego, zas w wypadku ukłądu ciągłęgo mamy do
czyneinia z np. dziwnym atraktorem, mieszaniem itp. własnościami.
> Te trzy własności mają kapitalne znaczenie dla teorii kwantowej.
Żadna z tych własności _nie_ma_ żadnego znaczenia dla mechaniki
kwantowej gdyz w mechanice tej nie znamy procesu odpowiadającego
skłądaniu funkcji falowych. nie ma on żadnej interpretacji fizycznej,
nie jestes także w stanie podac żadnego równania które miałoby tu jakies
znaczenie.
Przybliże Ci to zagadnienie inaczej: niech f będzie funkcja falowa
pewnego ukłądu kwantowego. Niech g będzie funkcja sin(cos(sin(log())).
Ciekawe jakie byłyby właśności g(f)? z pewnością bardzo ciekae, a może
nawet głebokie. Ale ich znaczenie _fizyczne_ jest zerowe. Chyba że
potrafisz jako funkcje ( lub funkcjonał) g wskazac jakies wyrażenie
mające znaczenie fizyczne - to znaczy _interpretację_
Składac funkcje dla samego składania mozna.
> Wymienię te, które wydają się istotne.
> 1. Jeśli funkcja falowa jest iterowana, to odtwarzany jest jedynie mały
> obszar jej dziedziny.
> 2. Iteracja jest procesem dyskretnym, który można uznać za obraz
> chaotycznego pojawiania się cząstki to tu, to tam.
> 3. Odtwarzane są wartości funkcji falowej, czyli jej kształt jedynie w
> skończonym obszarze, mimo, że funkcja jest określona matematycznie w
> całej przestrzeni. Ta własność ma niezwykłe konsekwencje.
> Co do wektorów w przestrzeni Hilberta, no cóż będą sobie, tak jak
> były, ale strasznie się podziurawią :))))
Tego nie wiadomo. Np. Czy złożenie takich funkcji z L_2 jest funkcja z
L_2? czy granica takich funkcji jest nadal funkcja z L_2? np. funkcja
cząstki swobodnej to N*e^( -iCx*p) jesli teraz x=N*e^(-iCx*p) to
złożenie jest skomplikowana funkcja o której trudno a priori powiedzieć,
ze np. spełnia równanie Schrodingera w jakims tam układzie
wsp/reprezenacji itp. Prawie na pewn tak nie jest - zmiana zmiennych w
równaniu Schrodingera daje konkretne przekszatłcenia ff i iteracji chyba
tam nie ma.
nie znaczy to że całośc jest bezwartościowa: jak cos wymyslisz daj znac,
ale na razie to co proponujesz to bardzo luźmy pomysł typu "to samo
tylko bardziej".
Pozdrawiam
K
Wojciech Szczepankiewicz
> Wojciech Szczepankiewicz wrote:
>> To, że w przestrzeni Hilberta nie ma zdefiniowanej iteracji funkcji,
>> to nie oznacza, że nie wolno nam o tym myśleć.
> To prawda: mysleć zawsze wolno.
>> Te trzy własności mają kapitalne znaczenie dla teorii kwantowej.
> Żadna z tych własności _nie_ma_ żadnego znaczenia dla mechaniki
> kwantowej gdyz w mechanice tej nie znamy procesu odpowiadającego
> skłądaniu funkcji falowych. nie ma on żadnej interpretacji fizycznej,
> nie jestes także w stanie podac żadnego równania które miałoby tu jakies
> znaczenie.
Zgadzam się, że taka iteracja OBECNIE nie ma żadnego znaczenia w
mechanice kwantowej. Idzie o to, czy rozważać sytuację, gdyby miała, czy
jej nie rozważać. Jeśli nie rozważać, to sprawę możemy zakończyć.
Pozdrawiam,
Wojtek
kakaz
on powiedział jak rozróżnia pytania nad którymi warto pracowac od pytan
nad którymi nie warto. Okazuje się, że jego zdaniem to nad czym warto
pracowac mozę byc wręcz trywialne albo bardzo dziwne, ale _musi_ byc
osadzone w jakims szerokim sensie. W tym sensie mozna analizowac
interacje funkcji falowej o ile umiesz tkai szerszy sens podac. Moim
zdnaiem nie umiesz, bo nawet nie umiesz zdefiniowac czym _fizycznie_ i
_matematycznie_ taka operacja jest.
Istnieje operacja polegająca na zaminei reprezentacji funkcji falowej w
mechanice kwantowej. Polega ona na zmianie bazy rozkłądu w przestzreni
Hilberta. Raz możesz pracowac w przestzreni pędów, raz w przestzreni
położeń, obie reprezentacje łączy transformacja w tych przestzreniach,
które formalnie ma postac tr. Fouriera.
Znajdź coś podobnego dla iteracji ff, a dostaniesz Nobla - to zaklepane
i pewne.
Pozdrawiam
K
Wojciech Szczepankiewicz
Wydaje mi się, że mogę zasugerować sens takiej operacji, ale to zaczyna
się ocierać o publikację, zatem dyskusję należy przenieść na płaszczyznę
prywatną.
Pozdrawiam,
Wojtek
kakaz
> kakaz pisze:
>> zdnaiem nie umiesz, bo nawet nie umiesz zdefiniowac czym _fizycznie_ i
>> _matematycznie_ taka operacja jest.
>
> Wydaje mi się, że mogę zasugerować sens takiej operacji, ale to zaczyna
> się ocierać o publikację, zatem dyskusję należy przenieść na płaszczyznę
> prywatną.
potrafił podac sens takiej operacji mogłoby to byc niebanalne, jak
sądzę.
K
kakaz
> Wydaje mi się, że mogę zasugerować sens takiej operacji, ale to zaczyna
> się ocierać o publikację, zatem dyskusję należy przenieść na płaszczyznę
> prywatną.
poniewaz temat wątku mówi o chaosie i zjawiskach kwantowych, podam tu
linka ktorego dzis znalazłem, a ktory jest na pewno warty uwgi:
http://chaosbook.org/
Autorzy:
Predrag Cvitanović, Roberto Artuso, Ronnie Mainieri, Gregor
Tanner, Gábor Vattay, Niall Whelan and Andreas Wirzba
Perełka!
Pozdrawiam
K