[OrmaGandalf] GNews: Pizzata e dintorni...
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Orleo Marinaro
Dec 13, 2012, 9:31:01 AM12/13/12
to OrmaGandalf
[OrmaGandalf] GNews: Pizzata e dintorni...
mercoledì 19 dicembre 2012 ci vediamo alle 19:30 alla pizzeria di Porta Garibaldi in corso Como 6
per la tradizionale serata natalizia dell confLez; poi alle 21 faremo l'ultima confLez del 2012, riprendermo mercoledì 9 gennaio 2013, continuando la cavalcata tra vita, coscienza e struttura della realtà.
Intanto come aveva chiesto Barbara posto il testo che stiamo discutendo, che si può trovare online anche qua
Al testo ho aggiunto due pezzi: uno sul riassunto sulla Lagrangiana, con l'idea che il selettore sia il Principio di Minima Azione, e poi una chicca di alcuni anni fa, un sunto programmatico un po' denso,
dal titolo "Rappresentazione e Realtà", come anticipo delle discussioni di gennaio e febbraio.
:-)
Orleo
P.S.: per leggere il notebook allegato potete scaricare gratuitamente il CDF dal sito
Intanto metto in chiaro l'allegato, anche se in alcune parti non è formattato bene
Rotazioni e vita
Non sono proprio questi ordini di grandezza enormi che non ci permettono alcune "verifiche" essenziali~? Per quanto riguarda il legame tra rotazione di spin e rotazioni spazio-temporali che tu consideri come seme della vita, devo ammettere che mi interesserebbe sapere come...
(Sia chiaro ... non lo dico con ironia ... )
Stefano~ 8 -)
Sì, è proprio in questi salti di ordine di grandezza che si annida l'essenza dell'indeterminazione quantistica.
Per quanto riguarda il legame tra rotazione di spin e rotazioni spazio-temporali lo lascio al prossimo msg perché questo è già così pieno.
Un po' in ritardo, questo è il prossimo msg :-)
Una rotazione a prima vista sembrerebbe un semplice fatto geometrico : la simmetria rispetto a due punti fissi.
Se ne analizziamo le implicazioni fisiche, tuttavia, siamo immediatamente proiettati nel core della struttura della realtà.
Per darne un'idea intuitiva, consideriamo quali grandezze fisiche siano connesse intimamente al concetto di rotazione: una grandezza fondamentale è quella di momento della quantità di moto o momento angolare o momento cinetico.
Ogni corpo macroscopico in moto è caratterizzabile dal fatto che compie sempre una rotazione: in genere quando si studia a livello elementare la cinematica si parte quasi sempre dal moto traslatorio, che è visto in maniera totalmente diversa dalle rotazioni. Una volta per tutte va acquisito, al di là di ultimi retaggi aristotelici o tolemaici, che ogni traslazione è equivalente, nell'ambito euclideo e a maggior ragione negli altri ambiti, ad una rotazione con raggio di curvatura infinito. In questo senso tutti i moti sono rotatori.
La descrizione geometrica di un corpo in rotazione è rappresentata da un operatore di rotazione assimilabile nella maggior parte dei casi ad una matrice. Una rotazione che faccia fare al corpo un giro completo su se stesso lascia il corpo nella stessa forma: da questo punto di vista la simmetria che rivela tale rotazione completa è detta simmetria identica. Si capisce quindi che la matrice che rappresenta una rotazione completa non sia altro che la matrice identità, cioè la matrice che in un prodotto di matrici lascia inalterato l'altro fattore e che ha sulla diagonale, la principale, che va dall'alto verso il basso, da sinistra a destra, tutta una serie di uni (tanti quante sono le dimensioni dello spazio in cui avviene la rotazione) e nel resto degli zeri.
MatrixForm[IdentityMatrix[4]]
(1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
)
Det[IdentityMatrix[3]]
1
La matrice identità ha associato un determinante uguale a uno (il prodotto di tutti gli elementi della diagonale principale, nel caso della matrice identica; in generale, per ogni matrice quadrata il determinante è la differenza delle somme dei prodotti degli elementi di tutte le diagonali discendenti da sinistra verso destra e angolate fino a raggiungere la stessa lunghezza della principale meno le somme dei prodotti degli elementi di tutte le diagonali ascendenti sempre da sinistra verso destra e angolate fino a raggiungere la stessa lunghezza della principale). Per questo ogni matrice candidata a rappresentare una rotazione deve avere associato un determinante uguale a uno per mantenere la continuità tra le rotazioni possibili.
m={{1,2,3},{1,2,3},{5,1,7}};
MatrixForm[m]
Det[m]
(1 2 3
1 2 3
5 1 7
)
0
1 -2 3 1 -2
-4 2 3 -4 2
5 1 -7 5 1
(1*2*(-7))+(-2*3*5)+(3*(-4)*1)-((5*2*(3))+(1*3*1)+(-7*(-4)*(-2)))
-33
In tal senso una matrice che ha determinante diverso da uno non è una rotazione: le matrici a determinante uguale a uno sono le matrici unitarie. Gli elementi che caratterizzano una matrice di rotazione piana (cioè su un piano) dipendono dall'angolo di rotazione tramite le funzioni circolari o trigonometriche: seno e coseno. In particolare una rotazione di angolo theta del piano (x,y) trasporta un generico punto P in una nuova posizione P' che si può calcolare moltiplicando il vettore (x,y) per la matrice di rotazione: come risultato,
si ha per la nuova ascissa, x' = x cos(theta) + y sin(theta)
e per la nuova ordinata, y' = -x sin(theta) + y cos(theta).
In questo caso, proprio perché la rotazione avviene nel piano, che è uno spazio a due dimensioni, la matrice di rotazione è formata da due righe e due colonne:
la prima riga è il vettore bidimensionale ( cos(theta),sin(theta)),
la seconda riga è il vettore bidimensionale (-sin(theta),cos(theta)): se la rotazione è completa l'angolo di rotazione è un angolo giro che in radianti misura 2 pi greco. Il coseno di 2 pi greco è 1, il seno di 2 pi greco è 0 e la matrice va a coincidere con la matrice identità:
prima riga, vettore (1,0),
seconda riga, vettore (0,1), facendo il prodotto della diagonale principale otteniamo 1, quindi abbiamo verificato quanto detto sopra.
Nello spazio euclideo, cioè in quello spazio in cui la distanza si calcola col teorema di Pitagora, gli elementi di rotazione sono le funzioni pitagoriche, cioè le funzioni che soddisfano la relazione pitagorica (cos(theta))^2 + (sin(theta))^2 = 1.
Al variare della struttura dello spazio è presumibile che vari la dipendenza funzionale dall'angolo di rotazione, ma la struttura della matrice di rotazione deve mantenersi, in particolare, deve mantenersi che ad essa sia associato un determinante uguale a uno.
Infatti è proprio così: nello spazio di Lobatchevskij la struttura dello spazio non è più di tipo euclideo, cioè piatta, a curvatura nulla, ma è di tipo iperbolico, cioè curva, a curvatura negativa costante: anzi è proprio tale curvatura negativa che fornisce la struttura iperbolica.
Fondamentalmente la struttura iperbolica si riflette nel fatto che la somma esistente nel teorema di Pitagora si trasforma in una differenza, cioè i coefficienti dei quadrati dei cateti invece di essere tutti +1, almeno uno diventa -1 e tutti gli altri si mantengono positivi. Ricordo che in geometria analitica cartesiana una circonferenza è data da x^2 + y^2 = r^2 dove r è il raggio della circonferenza, una costante, e un'iperbole è data da x^2 - y^2 = r^2 dove r è una costante: la diversità tra le due strutture sta nei segni dei coefficienti, (+1,+1) per la circonferenza, e questa è la base per il concetto euclideo di distanza, (+1,-1) per l'iperbole.
Questo cambiamento di segnatura muta la dipendenza funzionale degli elementi della matrice di rotazione per lo spazio iperbolico: invece di funzioni circolari dobbiamo usare funzioni iperboliche, il coseno iperbolico e il seno iperbolico. La relazione pitagorica che dava 1 per la somma dei quadrati del coseno circolare e del seno circolare diventa la relazione iperbolica: differenza del quadrato del coseno iperbolico e del quadrato del seno iperbolico uguale a 1.
Poiché ogni matrice di rotazione deve avere determinante uguale a uno, la matrice la cui prima riga è formata dal vettore bidimensionale (ch(psi),sh(psi)) e la cui seconda riga dal vettore bidimensionale (sh(psi),ch(psi)) rappresenta la rotazione di angolo psi di un piano iperbolico.
L'angolo psi della rotazione del piano iperbolico costituito dall'asse temporale spazializzato e dalla direzione x di un moto traslatorio ha un'interpretazione fisica profonda e significativa: la tangente iperbolica dell'angolo di rotazione esprime la velocità relativa di due sistemi inerziali in moto di traslazione uniforme uno rispetto all'altro in unità naturali, cioè rapportata alla velocità della luce. Nella frase precedente sono condensati i due principi fondamentali fisici su cui Einstein si è basato per scoprire la teoria della relatività: il principio di relatività di Galileo e l'indipendenza della velocità della luce dal moto della sorgente luminosa.
Proprio per questo intrinseco significato le rotazioni di un piano iperbolico i cui due assi sono uno l'asse temporale spazializzato, cioè ct, l'altro la direzione spaziale del moto di traslazione a velocità V, cioè x, rappresentano le trasformazioni di Lorentz della relatività ristretta, in particolare il coseno iperbolico ch(psi) rappresenta il famoso fattore di contrazione di Lorentz-Fitzgerald.
Con quanto detto ho rafforzato il concetto che tutti i moti macroscopici di un corpo sono rotazioni.
Questa frase verrebbe rafforzata ulteriormente se facessimo delle considerazioni a livello della Teoria della Relatività Generale nella quale non esistono più rotazioni piane, ma solo rotazioni curve, e neppure a curvatura costante, ma variabile.
Per il momento ci basta questo livello di profondità perché invece di andare verso il grande macroscopico voglio andare verso l'intrinsecamente piccolo, microscopico.
È notevole che la composizione di due trasformazioni di Lorentz non colineari, cioè che non riguardino moti nella stessa direzione, ma in direzioni diverse, non sia commutativa. Questa non commutatività rafforza il concetto che le trasformazioni di Lorentz siano rotazioni nello spazio pseudoeuclideo di Minkowskij, perché le rotazioni già a livello elementare non sono commutative.
Infatti consideriamo due rotazioni di 90\[Bullet], pi greco mezzi, di un libro posto su un tavolo: la prima rotazione sia di 90\[Bullet] verso destra, con asse di rotazione (i due punti fissi) perpendicolare al tavolo, la seconda rotazione sia una rotazione di 90\[Bullet] verso l'alto con asse di rotazione che va da sinistra a destra.
Avendo due rotazioni abbiamo due possibilità per eseguirle: prima la prima e poi la seconda, oppure prima la seconda e poi la prima. Quando componiamo la prima possibilità otteniamo:
1. Il libro chiuso ha la faccia col titolo davanti
2. Ruotiamo di 90\[Bullet] verso destra, asse verticale
3. Il libro è di traverso con la costa parallela al nostro petto
4. Ruotiamo di 90\[Bullet] verso l'alto con asse sinistra-destra
5. Il libro è posto con la costa orizzontale verso l'alto e ora parallela al nostro petto si trova il fondo della copertina con le scritte che salgono verso l'alto.
Componiamo la seconda possibilità:
1. Il libro chiuso ha la faccia col titolo davanti
2. Ruotiamo di 90\[Bullet] verso l'alto con asse sinistra-destra
3. Il libro è capovolto, la costa è sulla sinistra, davanti a noi parallela al nostro petto si trova il fondo della copertina, con le scritte rovesciate che vanno da destra a sinistra
4. Ruotiamo di 90\[Bullet] verso destra, asse verticale
5. Rivolta verso noi, capovolta, c'è la costa del libro, la faccia sul lato sinistro, il fondo sul lato destro.
Come si vede le posizioni finali (le 5.) non sono le stesse nei due casi.
Questo vuol dire che la composizione delle due rotazioni non è commutativa, cioè scambiando l'ordine con cui si eseguono le rotazioni non otteniamo la stessa giacitura del libro. Invece 3 + 4 dà lo stesso risultato di 4 + 3, oppure 5 x 4 è uguale a 4 x 5. Noi siamo abituati al fatto che con i numeri vale la proprietà commutativa. Invece con le rotazioni no. Neppure con le matrici, che rappresentano rotazioni. Neppure con le trasformazioni di Lorentz, che sono rotazioni dello spazio-tempo.
La non commutazione è una proprietà fisica fondamentale.
Se un corpo ruota, la sua rotazione genera la grandezza fisica detta momento angolare: come si misura questa grandezza? Prendiamo come riferimento l'asse di rotazione e chiamiamolo asse z. Sull'asse z definiamo un punto O detto polo di riferimento. Il corpo in rotazione abbia un punto P che non stia sull'asse di rotazione: sia r il vettore P - O. Possiamo tranquillamente pensare che tutto il corpo sia una massa puntiforme m posta nel punto P. La retta individuata dal vettore P - O formi un angolo theta con l'asse z. Allora la distanza del punto P dall'asse z è rsin(theta). Il punto P ruotando attorno a z possiede una velocità v il cui vettore giace su un piano perpendicolare all'asse z e passante da P, inoltre questo vettore è tangente alla circonferenza di rotazione in ogni suo punto, in particolare nel punto P. La grandezza del momento angolare è una grandezza vettoriale che ha la direzione dell'asse z, quindi risulta perpendicolare al piano formato dalla retta del vettore v e dalla retta che intercetta la distanza rsin(theta), distanza che è anche il raggio della circonferenza di rotazione. Il verso del vettore momento angolare è dato dalla chiralità destrorsa o regola della mano destra: se le dita della mano destra si avvolgono sull'asse zeta secondo la direzione della velocità, allora il pollice destro indica il verso del momento angolare. La grandezza scalare del momento angolare è data dal prodotto delle tre grandezze scalari: massa m, velocità v, come modulo, e raggio di rotazione rsin(theta). Indicando con l il modulo del momento angolare si ha l = mvrsin(theta). Conoscendo il calcolo vettoriale si poteva dire in maniera più sintetica, ma con lo stesso contenuto di informazione, che il vettore momento angolare è dato dal prodotto vettoriale del raggio vettore per il vettore quantità di moto o vettore impulso. Ciò che adesso mi interessa porre sotto attenzione sono le dimensioni fisiche della grandezza momento angolare. In estrema sintesi deve avere le dimensioni del prodotto di una massa per una velocità per una distanza. In notazioni di Mach (simili, perché devo scrivere gli esponenti in parentesi tonde con l'operatore ^ come operatore di elevazione a potenza) si ha:
[l] = [M][L][L][T]^(-1) = [M]^(1)[L]^(2)[T]^(-1), che vuol dire dimensioni di una massa, una lunghezza al quadrato e un tempo alla meno uno.
È interessante individuare a quale grandezza fisica sia dimensionalmente affine il momento angolare.
Facciamo l'analisi dimensionale dell'energia: il punto di partenza più opportuno può essere il fatto che per misurare l'energia ci si riferisce al lavoro che tale energia può compiere. Il lavoro è una grandezza meccanica pari al prodotto della forza per lo spostamento effettuato proiettato nella direzione della forza stessa.
A sua volta la forza è il prodotto della massa per l'accelerazione quindi in sintesi abbiamo:
[energia] = [M] ^(1)[L]^(1)[T] ^(-2)[L]^(1) cioè l'energia dimensionalmente è
[energia] = [M] ^(1)[L]^(2)[T] ^(-2), una massa per una lunghezza al quadrato per un tempo alla meno due.
Le dimensioni dell'energia non sono quelle del momento angolare, ma è facile notare che basta moltiplicare l'energia per un tempo per ottenere le stesse dimensioni fisiche.
Per questo è corretto affermare che il momento angolare ha le stesse dimensioni della grandezza fisica che si ottiene dal prodotto dell'energia per il tempo.
Quest'ultima grandezza fisica è una grandezza meccanica, molto nota durante il secolo dei lumi, che ha un nome significativo per ciò che rappresenta.
Tale grandezza si chiama azione e rappresenta la maniera con cui la Fisica tiene conto delle azioni che noi compiamo nello spazio-tempo.
La natura intrinseca pertanto del momento angolare è quella di essere un'azione.
In questo senso ogni rotazione ha associata una azione.
Per quanto nella nostra intuizione ogni cosa che ruoti non possa che ruotare con continuità, da un punto di vista fisico il destino della continuità di una rotazione è associato alla continuità della azione: se l'azione ha atura continua le rotazioni hanno natura continua, altrimenti no.
Naturalmente, lo sviluppo della Fisica e la Natura hanno già risposto.
È curioso come si è succeduta la storia di questa risposta, perché la Natura risponde anche quando non le si fanno domande dirette: per esempio Planck non aveva posto tale domanda quando la Natura gli rispose inducendolo a introdurre la costante h: invece Einstein pose proprio questa domanda diretta e scoprì che la costante di Planck era tale risposta, spiegandolo ovviamente allo stesso Planck.
La risposta fu che l'azione non è continua, ma si esplica in quanti d'azione.
Esiste il quanto minimo d'azione al di sotto del quale non esiste più azione perché la struttura in cui l'azione si esplica, lo spazio-tempo, si destruttura.
La discontinuità dell'azione si ripercuote su tutte le grandezze fisiche, per cui l'energia è discontinua a sua volta.
Ma in particolare risulta quantizzato lo spazio, per cui le rotazioni, che mantengono tra l'altro una chiara componente geometrica, sono a loro volta discontinue.
Ciò ci risulta parecchio controintuitivo, ma la Natura è libera, anche a dispetto della nostra intuizione.
Il fatto che le rotazioni siano discontinue ha un grande impatto sulla struttura delle rotazioni stesse.
Infatti la discontinuità introduce un concetto estremamente sottile nello scenario, lo spazio-tempo, in cui operano le grandezze fisiche.
Dovrebbe essere stato abbastanza sottinteso, nel racconto fatto, che finora quando ho parlato di rotazioni intendevo prevalentemente rotazioni nello spazio-tempo.
La discontinuità delle rotazioni induce discontinuità nello spazio-tempo.
Come avviene ciò?
Ovviamente è uno dei grandi misteri della Natura.
L'unica strada che si è riusciti a scoprire è aver capito che le rotazioni riescono a trasmettere la loro struttura allo spazio-tempo, per cui quando si arriva a livello della discontinuità lo spazio-tempo si destruttura e il concetto di rotazione perde consistenza logica, ma la struttura della rotazione si mantiene, senza più essere una rotazione spaziotemporale.
Questo è il punto sottile da comprendere: la discontinuità delle rotazioni implica l'esistenza di una grandezza fisica che intrinsecamente ha una struttura legata alla struttura di una rotazione, ma che non è una rotazione perché nel livello di discontinuità in cui ci troviamo lo spazio-tempo si è già destrutturato e non può contenere la rotazione.
Chiaramente, allontanandoci dalla discontinuità, grandi numeri di questa grandezza devono fare emergere la rotazione, cioè il momento angolare.
Questa grandezza fisica venne scoperta e intuita nel 1925 e ricevette il nome di spin: nonostante il significato del termine inglese, tale nome è intraducibile perché deve ricordare il "sapore" di una rotazione, senza essere una rotazione, proprio come il sorriso del gatto (lo stregatto) in "Alice nel Paese delle Meraviglie".
Lo spin è una grandezza squisitamente quantistica.
A sua volta l'operatore associato, o spinore, è rappresentabile tramite matrici, le famose matrici di Pauli. Sono proprio queste matrici che contengono legami con la base della vita.
Che cos'è la vita? è il titolo di un famoso libro di Schroedinger del 1945: in esso viene sviluppata un'intuizione di Erwin Schroedinger, quella dei cristalli aperiodici, che risultò precorritrice del concetto di DNA, molto prima che venisse intuito da Erwin Chargaff ed esposto dal duo Crick e Watson.
Naturalmente le basi della vita hanno fondamenti quantistici, quindi microscopici, ma il punto di vista più consolidato che si ha sulla vita è ovviamente macroscopico per cui voglio ora procedere dal livello macroscopico verso il livello di descrizione microscopico.
Tipicamente a livello macroscopico, la vita ha caratteristiche specifiche, che definiscono una sua sfera specifica. Per secoli e millenni è stata contrapposta alla materia, intesa come non vita. In quasi tutte le filosofie e religioni un punto debole è stato l'accettare il connubio della vita con la materia: paradossalmente per quanto la materia non sia vita, la vita senza materia non è data. Mentre la materia è ciò che è immoto, immobile, senza cambiamenti, la vita è cambiamento, crescita, variazione.
La caratteristica fondamentale della vita è la varietà.
(...continua...)
:-)
Orleo
Ciao a tutti,
ho messo nell'area File l'nb
Lagrangiana00.nb
che completa la discussione sulle simmetrie e le leggi di
conservazione (teorema della Noether).
Sotto trovate alcune citazioni dall'nb, le parti più discorsive, ma
che danno la caratteristica del quadro di riferimento.
Ho raccolto i punti più notevoli e significativi.
Chiaro che vanno considerati all'interno del resto del nb.
:-)
Orleo
1. "Lagrangiana: è la derivata dell'azione rispetto al tempo, ovvero
la rapidità con cui una azione si esplica nel tempo."
2. "(tra queste traiettorie possibili ce n'è una possibile che verrà
davvero realizzata, la reale: il Principio di Minima Azione agisce
come un selettore, la Selezione Naturale delle traiettorie possibili,
ed è quindi il prodromo dell'Evoluzione della Materia, ovvero della
Realtà)"
3. "possiamo sostituire la variazione della velocità con la derivata
temporale della variazione della posizione. Questo è un fatto
grandioso che permette di portare il processo di variazione fino
all'interno della struttura intima dello spaziotempo. Cioè, in altre
parole, il Calcolo delle Variazioni ha un campo di applicazione
vastissimo, tanto che può essere applicato anche alla Relatività
Generale, per non parlare della Quantistica, la quale nasce
propriamente dalla Logica della Relatività Generale."
4. "va ricordato che le variazioni della posizione e della velocità
sono comunque degli infinitesimi, anche se non raggiungono
completamente lo spaziotempo: infatti delta non opera nel tempo,
quindi non opera nella realtà reale, ma nella realtà possibile, che è
una realtà virtuale, concetto al quale stiamo cominciando ad abituarci
anche evolutivamente, data l'esperienza quotidiana di ciascuno di noi
col mondo dei computer, pensiamo semplicemente ad internet e a tutti i
suoi mondi in network (mondi come strutture di Kripke)."
5. "ma ormai è evidente che il primo termine non c'è perché la
variazione del tempo non possiamo farla (questa che sembra una pensata
strampalata di Lagrange in realtà nasconde l'intuizione di una verità
profonda, che proviene, disvelata da Einstein, dalla struttura della
Relatività Generale: il tempo è quella dimensione spaziale che non
possiamo percorrere come vogliamo, avanti e indietro, come invece
possiamo fare nelle altre tre dimensioni spaziali, nella nostra realtà
possiamo percorrere il nostro tempo solo in una direzione, dal passato
verso il futuro, come avviene, durante una caduta libera, lungo la
direzione della dimensione spaziale di caduta, (Principio di
Equivalenza di Einstein). Quindi è vero che il tempo nella nostra
realtà non possiamo proprio variarlo)."
6. "la seconda contiene di più della prima l'effetto del tempo. Per
capire come può essere questo fatto, pensiamo alla nostra esperienza
quotidiana: l'esperienza di posizione è la più ricorrente e la più
esplorata dalla nostra specie, come da tutti gli esseri viventi,
ovviamente. Invece un mondo basato sulle velocità non riusciamo a
intuirlo in alcun modo (come dimostrano purtroppo i numerosi incidenti
stradali dovuti ad alte velocità non percepite), essendo fuori
dall'esperienza di specie (questo vuol dire che io considero che
l'intuizione è esperienza di specie consolidata), proprio al contrario
di un mondo basato sulle posizioni. Questo fatto accade perché la
velocità è un sinolo intrecciato (entangled se fossimo a livello
quantistico) di posizione e tempo: la parte che proviene dalla
posizione spaziale ce la fa apparire manipolabile, come è lo spazio
per la nostra pratica quotidiana, la parte che proviene dal tempo ce
la rende intrattabile e controintuitiva. Così anche in questo
contesto, in quanto ogni costruzione teorica esplora il percorso
filogenetico della nostra evoluzione, è proprio sull'intrattabile che
dobbiamo rivolgere la nostra attenzione, per cercare di trattarlo,
fiduciosi che la parte temporale nella variazione sarà in qualche modo
messa in condizioni di non nuocere (quindi facciamo una diramazione:
analizziamo solo un addendo dell'integrale, quello più sensibile
all'effetto tempo, questo):"
7. "in una parola la trasversalità, possiamo immaginare il seno e il
coseno come il prototipo di una fluttuazione che esplora la
trasversalità dimensionale di qualsiasi grandezza fisica"
8. "funzioni del tempo: sono esse che descrivono, una volta trovate,
le equazioni orarie che rappresentano nel tempo il moto delle parti
libere del sistema. Per quanto queste equazioni siano la condizione
necessaria affinché la variazione prima dell'azione sia nulla,
tuttavia questa determinazione contiene intrinsecamente una
indeterminazione, che, invece di sconvolgere, è foriera di una ricca e
feconda raccolta di frutti, tanto che da questa indeterminazione, che
potremmo chiamare determinazione di gauge o determinazione di scala,
intuitivamente l'indeterminazione intrinseca dello zero, emerge in
ultima istanza il Principio di Indeterminazione stesso."
9. "prima considerazione: la Lagrangiana di una particella libera
potrebbe dipendere dalla posizione? Cioè chiediamoci se una particella
libera può cambiare il suo stato fisico a seconda del punto in cui si
trova. Se cambiasse il suo stato fisico a seconda della posizione che
occupa essa non sarebbe più libera, in quanto deve esistere qualche
causa materiale che gli fa cambiare stato fisico. Per cui una
particella libera non può dipendere dalla posizione dello spazio
occupata. Cioè per una particella libera (condizione di astrazione
ideale, come si è già detto) lo spazio deve apparire omogeneo."
10. "cioè le simmetrie della Lagrangiana di una particella libera
rivelano che il moto di una particella libera può essere solo un moto
inerziale, un moto rettilineo e uniforme: questo è il Principio di
Inerzia scoperto da Galileo in gioventù."
11. "Avendo ottenuto che la Lagrangiana di una particella libera
dipende solo dal quadrato della velocità, cerchiamo di dare forma
concreta a questa dipendenza. Sfruttando il Principio di Inerzia
abbiamo trovato questa dipendenza, per trovare la forma concreta
dobbiamo usare di nuovo il Principio di Inerzia su se stesso. Cioè
l'ambiente in cui vale il Principio di Inerzia si chiama Sistema
Inerziale. Se abbiamo due sistemi inerziali, in ciascuno opera il
Principio di Inerzia. La socialità dei principi di inerzia si chiama
Principio di Relatività."
:-)
Orleo
Rappresentazione e Realtà
Il soggetto di fronte al continuo scambio con l'ambiente riduce le possibilità combinatorie degli eventi organizzando.
L'insieme delle organizzazioni è la rappresentazione.
Poiché le organizzazioni sono un prodotto di riduzione esse in generale semplificano, in quanto astrazioni, il concreto. È un dato strutturale quindi che la rappresentazione non riproduca la molteplicità degli eventi.
Il concreto, nella rappresentazione del soggetto, tende a presentarsi come astrazione complessa, ma l'ordine di questa complessità è sempre inferiore a quello posto dal concreto; per cui non soltanto strutturalmente, ma anche per metodologia la rappresentazione del concreto è una riduzione di complessità. Questa riduzione è motivo di stabilità nella rappresentazione perché più è basso l'ordine della complessità più è stabile la struttura.
Tuttavia l'ambiente altamente complesso, indubbiamente, è instabile strutturalmente.
Si pongono quindi problemi di controllo.
In genere, la stazionarietà del persistere di determinate rappresentazioni induce nel soggetto una riduzione di complessità nella struttura dei controlli; in parte questa azione è giustificata dalla necessità di eliminare le ridondanze. La semplificazione dei controlli divarica ulteriormente l'adattabilità, per così dire il "fitness", tra rappresentazione e realtà.
Questa divaricazione è fonte di tensione nel circuito dei controlli. Il tentativo di annullare la divaricazione ed attenuare la tensione che ne deriva produce iterazioni successive con biforcazioni e autoriferimenti. Appaiono forme che si autoriproducono o si dissolvono. Il processo di formalizzazione assume caratteristiche determinanti: emerge il principio di non contraddizione e la serialità. Nasce la successione e il tempo evolutivo, nasce la storia.
La storia è quindi la memoria reale di controlli iterati successivamente su rappresentazioni: non esiste né la provvidenza né il caso nella storia, il processo evolutivo è legato agli archetipi strutturali delle iterazioni successive.
È la topologia, differenziale e algebrica, che può spiegare le fasi evolutive e i cambiamenti, in parole thomiane, le catastrofi morfogenetiche dello sviluppo.
La finitezza della rappresentazione induce nell'ambiente la caratteristica della complessità. La complessità viene attribuita di volta in volta alla rappresentazione e alla realtà: si genera una fluttuazione di complessità. Ad ogni passaggio di attribuzione di complessità dalla realtà alla rappresentazione si opera una riduzione di complessità che genera stabilità nella rappresentazione. Sopravviene tensione tra l'instabilità strutturale della realtà e la stabilità strutturale della rappresentazione. Questa tensione è rappresentabile come condizione di non equilibrio.
Il regime di fluttuazione in condizione di non equilibrio, stimolato da instabilità, può giungere ad autoriferirisi e creare ordine, cioè strutture dissipative ordinate, come in reazioni chimiche autocatalitiche, reazioni di Belousov-Zhabotinski, o in processi termodinamici tipo la struttura ordinata delle celle di convezione nell'instabilità di Bénard.
Fatto importante:
dato un sistema esiste sempre un'estensione di ambiente che dota il sistema di un isomorfismo ad autoriferimento proprio.
È possibile rappresentarsi a questo punto la coscienza come insieme di isomorfismi autoriferentisi.
L'intreccio tra coscienza e inconscio si situa nell'autoriferimento: definendo come isomorfismo ogni trasformazione che mantiene il significato, l'autoriferimento consiste di processi a feedback di strutture ricorsive sempre più profonde. Durante queste ricorsioni la semantica mantenuta dall'isomorfismo assume continuamente il ruolo di spazialità nel ciclo successivo, con la spazialità tridimensionale primordiale come elemento iniziale fuori ciclo. Il ciclo può essere a n passi, n comunque grande.
L'attenzione cosciente ne vede solo i primi, i restanti si immergono all'infinito nell'inconscio. Citando Matte Blanco, è possibile quindi concepire l'inconscio come insiemi infiniti, cioè come una struttura astratta bi-logica, in cui vale il principio di contraddizione e il principio di simmetria.
È possibile definire soggetto qualunque sistema dotato di isomorfismo ad autoriferimento proprio.
In tal modo viene eliminato ogni attributo di assoluto all'idea di soggetto.
Protocollo Epistemico: Istituzione e Produzione
È necessaria l'accumulazione (l'iterazione), vale a dire il progredire nella storia, per colmare nel tempo la tensione strutturale generata dal rapporto rappresentazione-realtà.
In quanto memoria reale la storia spazializza il tempo: "il tempo è lo spazio dello sviluppo umano"; questa spazializzazione permette la rappresentazione dei processi iterativi.
La comunicazione tra diverse rappresentazioni avviene tramite protocolli, protocolli epistemici che subiscono le leggi precedentemente accennate. Incessantemente i ruoli dei vari protocolli oscillano tra stabilità ed instabilità: più il protocollo è stabile più ci si avvicina ad un ruolo istituzionale, più il protocollo è instabile più diventa prevalente il ruolo produttivo, quasi che in questo caso stabilità sia più da intendere nel senso di staticità.
In tal modo in genere la storia la "subiamo" sotto due aspetti: l'istituzione e la produzione. L'istituzione in quanto mediazione sociale estrinseca, la produzione in quanto mediazione sociale intrinseca. Il nesso della mediazione sociale che lega produzione e istituzione è il punto da esplicitare.
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Supponiamo che possano esistere spiegazioni di esperimenti fisici molto più economiche usando una particolare versione di geometria piuttosto che un'altra. Potrebbe aver senso dire che quella geometria è "vera". Dal punto di vista di un fisico che voglia usare la geometria "corretta" può avere qualche senso distinguere tra la "vera" geometria ed altre geometrie. Ma al di là del semplicismo i fisici trattano sempre con approssimazioni e situazioni idealizzate, per cui bisogna fare estrema attenzione nel dire che quel tipo di geometria che un fisico preferirebbe usare rappresenti la "vera geometria", poiché nei fatti i fisici useranno sempre una varietà di differenti geometrie scegliendo in ogni data situazione quella che sembra la più semplice e la più conveniente. Per giunta un fisico non studia solo lo spazio a 3 dimensioni in cui viviamo. Ci sono intere famiglie di "spazi astratti" con cui si fanno calcoli, spazi che hanno proprietà geometriche totalmente differenti dallo spazio fisico in cui viviamo. Come si potrebbe affermare che la "vera geometria" è definita dallo spazio in cui Urano e Nettuno orbitano attorno al sole? Esiste lo "spazio di Hilbert" in cui ondeggiano le funzioni d'onda della meccanica quantistica; c'è lo "spazio degli impulsi" dove dimorano le componenti di Fourier; c'è lo "spazio duale" dove s'impennano i vettori di stato; c'è lo "spazio delle fasi" dove sibilano configurazioni di molte particelle.
Non c'è motivo per cui le geometrie di tutti questi spazi debbano essere le stesse; infatti non lo sono.
Leggendo il libro di Hofstadter "Gödel, Escher, Bach" mi chiedevo: che strano, perché non compie un passo ulteriore di sintesi riconoscendo l'universalità dell'iterazione successiva, poi ho trovato la risposta in un suo articolo per le Scienze, nei Temi Metamagici, su Feigenbaum: non l'aveva ancora letto.
Come esempio di isomorfismo che induce il significato può essere curioso presentare un sistema descritto da Hofstadter: il sistema pq.
Esistono tre simboli distinti nel sistema pq:
p q -, le lettere p e q ed il trattino.
Il sistema pq ha un numero infinito di assiomi: non potendoli scrivere tutti definiamo ciò che può essere un assioma in modo tale che sia facile determinare l'esisto della procedura decisionale di assiomaticità di una stringa composta di p, q e trattini.
Definizione: xp-qx- è un assioma, ogni volta che x è composto solo di trattini. "x" sta per sequela di trattini in ambedue i punti in cui si incontra.
Per esempio, - -p-q- - - è un assioma. Invece l'espressione "xp-qx-" non è un assioma del sistema pq perché "x" non appartiene al sistema pq: più che altro è uno schema assiomatico.
Il sistema pq ha soltanto una regola d'inferenza:
Regola: supponiamo che x, y, z stiano per stringhe particolari contenenti soltanto trattini. Supponiamo inoltre che si sappia che xpyqz è un teorema. Allora xpy-qz- è un teorema.
Per esempio, sia x "- -", y "- - -", z "-". La regola dice:
se - -p- - -q- è un teorema, anche - -p- - -q- lo è.
- -p-q- - - - è un teorema?
È possibile deciderlo partendo dal più semplice degli assiomi (-p-q- -) e applicando ripetutamente la regola d'inferenza.
-p-q- -\[Implies]-p- -q- - -\[Implies]-p- - -q- - - - questo ha già 4 trattini finali.
- -p-q- - -\[Implies]- -p- -q- - - - questo ha già 4 trattini finali e 2 iniziali, ma in mezzo ne ha 2 invece di 1. Non potendo scegliere altri assiomi semplici, è chiaro che non è un teorema.
Risulta comunque evidente, se non risulta basta pensarci ripetutamente, che il sistema pq ha un qualche legame con l'addizione. Ciò che si percepisce come legame è l'isomorfismo tra teoremi pq ed addizioni. L'isomorfismo è una qualche trasformazione che conserva l'informazione. La parola "isomorfismo" si applica quando due strutture complesse possono essere "mappate" una sull'altra, in modo tale che per ciascuna parte di una struttura esista una parte corrispondente nell'altra struttura, dove "corrispondente" significa che le due parti giocano un ruolo simile nelle loro rispettive strutture.
In genere un matematico si rallegra quando scopre un isomorfismo tra due strutture che conosce.
È spesso un "fulmine a ciel sereno" ed una fonte di meraviglia. La percezione di un isomorfismo tra due strutture note è un avanzamento significativo nella conoscenza e probabilmente sono queste percezioni di isomorfismo che creano i significati nella mente.
Per il sistema pq-addizione l'isomorfismo consiste nella corrispondenza tra le parti delle due strutture:
p\[LongLeftRightArrow]più - -\[LongLeftRightArrow]due
q\[LongLeftRightArrow]uguale - - -\[LongLeftRightArrow]tre
-\[LongLeftRightArrow]uno eccetera
Si può chiamare la corrispondenza simbolo - parola con nome : interpretazione.
Teoria della conoscenza: scienza in quanto autoriferimento, conoscenza.
Bibliografia di riferimento
1. I. Prigogine e I. Stengers - La nuova alleanza. Longanesi, 1979
2. P. Glansdorff, I. Prigogine - Thermodynamic Theory of Structure, Stability and Fluctuations. Whiley, 1971
3. G. Nicolis, I. Prigogine - Self-Organization in Non-Equilibrium Systems from Dissipative Structures to Order
Through Fluctuations. Whiley, 1977
4. René Thom - Parabole e Catastrofi. Il Saggiatore, 1980
5. René Thom - Stabilità strutturale e morfogenesi. Einaudi, 1980
6. Lev Landau - Fisica Statistica. Editori Riuniti, 1975
7. P.A.M. Dirac - Fisica Statistica. Boringhieri, 1959
8. D.R. Hofstadter - Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. Basic Books, 1979
9. I. Matte Blanco - L'inconscio come insiemi infiniti. Einaudi, 1981
10. D.R. Hofstadter - Temi Metamagici. Le Scienze, aprile 1982
11. D.R. Hofstadter - Temi Metamagici. Le Scienze, febbraio 1982
12. R. Pierantoni - Riconoscere e Comunicare. Boringhieri, 1977
13. Karl Marx - Introduzione alla Critica dell'Economia Politica. Editori Riuniti, 1951
14. N. Luhman - Potere e complessità sociale. Il Saggiatore, 1979
15. M. Schetzen - The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems. Wiley, 1980
16. V.I. Arnold - Equazioni differenziali ordinarie. Edizioni Mir, 1979
17. V.I. Arnold - Metodi matematici della meccanica classica. Editori Riuniti, 1980
18. E. Mach - La meccanica nel suo sviluppo storico-critico. Boringhieri, 1968
:-)
Orleo
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