[Fisica Matematica] che forma ha il pianeta con la massima gravita' possibile?
El Filibustero
calcolo variazionale. Qual e' quel solido omogeneo, di volume e densita' (e
quindi massa) assegnati, la cui superficie possiede almeno un punto in cui
la forza gravitazionale (o, in generale, del tipo 1/distanza^2) e' la
massima possibile?
Dalet
Una domanda a risposta quasi scontata: vuoi dire l'attrazione
newtoniana - penso - perche' la gravita' comprende anche la
componente centrifuga e allora avresti assegnato anch'essa.
Se pero' c'e' invece rotazione, allora il solido e'
necessariamente un ellissoide di rotazione schiacciato,
perche' e' l'unica (Mac Laurin 1741) figura d'equilibrio.
In questo caso la risposta si trova gia' pronta.. eccola,
o meglio ecco la gravita' g:
g = GM/a^2 - a(3-5sen^2(phi))omega^2/2 + sGM/a^2 cos^2(phi).
(a = semiasse equatoriale; s = schiacciamento polare; resto
ovvio)
--
Saluti, Dalet
?manu*
Provo a dire qualcosa, anche se non l'ho verificato per bene...
Supponiamo di avere questo pianeta, e che il punto di gravit� massima
sia nell'origine degli assi. Supponiamo anche che la gravit�
nell'origina sia rivolta nella direzione dell'asse delle x. Allora
dovrebbero valere le seguenti propriet�:
1. il pianeta si trova tutto nel semispazio {x>0} perch� eventuali punti
con x<0 diminuirebbero la gravit� nell'origine;
2. il pianeta dovrebbe avere simmetria di rotazione rispetto all'asse
delle x;
Consideriamo allora la sezione del pianeta con z=0. Sulla frontiera di
questa sezione i punti dovrebbero dare lo stesso contributo alla
componente x della gravit� nell'origine, dunque:
3. il profilo del pianeta � un insieme di livello della funzione
x/(x^2+y^2)^(3/2).
E.
El Filibustero
>Una domanda a risposta quasi scontata: vuoi dire l'attrazione
>newtoniana - penso - perche' la gravita' comprende anche la
>componente centrifuga e allora avresti assegnato anch'essa.
esatto: niente rotazione.
>Se pero' c'e' invece rotazione, allora il solido e'
>necessariamente un ellissoide di rotazione schiacciato,
>perche' e' l'unica (Mac Laurin 1741) figura d'equilibrio.
>
>In questo caso la risposta si trova gia' pronta.. eccola,
>o meglio ecco la gravita' g:
>g = GM/a^2 - a(3-5sen^2(phi))omega^2/2 + sGM/a^2 cos^2(phi).
>
>(a = semiasse equatoriale; s = schiacciamento polare; resto
>ovvio)
Mi sono espresso male, perche' non hai assolutamente inquadrato la
questione. Lasciamo stare i pianeti in rotazione e la loro morfologia
d'equilibrio. Abbiamo 1 kg di pongo, di volume 1 dm^3. In che forma
dobbiamo modellarlo affinche' sulla sua superficie ci sia un punto con la
massima attrazione newtoniana consentita da 1 kg di materia distribuito con
densita' omogenea di 1 kg/dm^3? Ciao
Di passaggio a nord ovest
Sembra un esercizio da calcolo delle variazioni o meglio in merito a
disequazioni variazionali a frontiera libera (la superficie varia),
ma non son matematico e manco so se ho centrato il problema :D
?manu*
> 3. il profilo del pianeta � un insieme di livello della funzione
> x/(x^2+y^2)^(3/2).
Ci ho pensato anche stanotte, e mi pare che tutti i passaggi si
sistemano facilmente... Potrei avere dei dubbi su quale sia la formula
della forza gravitazionale, ma la funzione
f(x,y) = x/(x^2+y^2)^(3/2)
� molto sensata come risultato. Gli insiemi di livello passano tutti dal
punto (0,0) con tangente verticale, sono delle curve chiuse contenute
nel semipiano x>0 (i livelli positivi) e hanno una forma "ad uovo", come
si pu� verificare numericamente:
http://web.math.unifi.it/users/paolini/tmp/g.png
Insomma sono abbastanza convinto di questa soluzione.
E.
Di passaggio a nord ovest
Comunque pensandoci, ponendo delle restrizioni sul tipo di superficie
si pu� giungere a dei primi risultati.
Per esempio consideriamo corpi cilindrici....
Allora il problema diventa lo studio di una figura piana,
che � una linea chiusa.
Parlando di deformazioni di corpi cilindrici - che restano cilindrici -
si pu� dedurre che l' area della sezione � costante.
Quindi, partendo da una figura piana, si tratta di vedere come varia
la forza di gravit� in un punto (dell' involucro convesso?),
al variare della forma e si passa da una forma all' altra per mezzo di un'
omotopia.
Quindi possiamo prender come figura iniziale un cerchio di raggio 1,
e lo centriano nel' origine del sistema cartesiano 0xy.
E' facile intuire che il punto a massima gravit� per questa figura � l'
origine.
Ora per mezzo di un' omotopia possiamo passare da questa figura (cerchio) a
un' altra.
Ma semplifichiamo ulteriormente, come prima deformazione
al posto di un' omotopia consideriamo
una piccola traslazione della sezione AB sulla asse x
con A=(-1,0) B=(1,0). Otterniamo A'B'.
Si pu� dimostrare che nei punti (chiamiamoli P') del segmento A'B' traslato
la forza di gravit� data dai contributi della figura venutasi a creare �
inferiore a quella
che avevano i medesimi punti (denominati P) prima di essere traslati.
Inoltre nel punto O =(0,0) considerato prima e dopo la traslazione,
si ma maggiore forza di gravit� quando la figura � un cerchio,
perch� il contributo alla gravit� dato dal segmentino AA' (perduto)
non � compensato da quello acquistato BB' (acquistato)
(visto come varia la forza di gravit�, non linearmente
e con l' inverso del quadrato della distanza).
Quindi il centro di un disco � un massimo relativo.
Bruno Cocciaro
news:6kkXm.65709$813....@tornado.fastwebnet.it...
> Insomma sono abbastanza convinto di questa soluzione.
Resterebbe solo da dare significato fisico alla costante che da' il
livello. Tale costante e' decisa chiaramente dal volume, si tratta solo
di stabilire come.
Salvo errori, la f(x,y)=k indicata sopra, esplicitata come y=y(x,k), ed
espresso k in termini del volume dato V, dovrebbe essere:
y = Sqrt [ (x/k)^(2/3) - x^2 ]
con
1/k = [ (15/(4*Pi)) V^(1/3) ]^2
Detti rho la densita' e G la costante di gravitazione, il massimo valore
del campo g, che si ottiene nell'origine sara':
g = (4/5) Pi rho G (1/Sqrt(k)) = 3 rho G V^(1/3)
cioe' lo stesso campo che si otterrebbe se la data massa fosse tutta
concentrata a distanza V^(1/3)/Sqrt(3) dall'origine.
> E.
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Bruno Cocciaro
news:4b2dfb4b$0$1119$4faf...@reader1.news.tin.it...
> Salvo errori, la f(x,y)=k indicata sopra, esplicitata come y=y(x,k),
ed
ops ... era indicata sopra, ma se poi taglio la parte in cui ?manu*
riportava la funzione, chiaramente sopra non c'e' piu' niente. Per
completezza:
> f(x,y) = x/(x^2+y^2)^(3/2)
Maurizio Frigeni
> Potrei avere dei dubbi su quale sia la formula
> della forza gravitazionale, ma la funzione
>
> f(x,y) = x/(x^2+y^2)^(3/2)
>
> � molto sensata come risultato.
In effetti ho ritrovato la tua soluzione indipendentemente usando un
metodo variazionale. Nell'ipotesi che la distribuzione di massa abbia
simmetria cilindrica intorno all'asse x e passi per l'origine, la sua
forma � quella di un solido ottenuto facendo ruotare una certa curva
y(x) attorno all'asse x, con 0 <= x <= a.
Il campo gravitazionale nell'origine � dato da:
g = 2 pi rho (V/pi)^(1/3)* I,
dove rho � la densit�, V il volume e I � l'integrale:
I = int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(3/2)] dx;
notare che ho reso a, x, y adimensionali usando come unit� di misura
delle lunghezze (V/pi)^(1/3), visto che il volume V � fissato. Con
questa scelta l'equazione che esprime il vincolo dato dal volume � molto
semplice:
int_0^a y(x)^2 dx = 1.
Per trovare il massimo di I posso usare la versione variazionale del
metodo dei moltiplicatori di Lagrange: cerco un estremo del funzionale
ch ottengo aggiungendo ad I il vincolo, moltiplicato per un coefficiente
incognito t:
S = int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(3/2) - t y(x)^2] dx.
Un estremo di questo si pu� trovare usando le solite equazioni di
Eulero-Lagrange, che forniscono la soluzione:
y(x)^2 = (x/(2t))^(2/3) - x^2,
proprio del tipo da te indicato. Il moltiplicatore t si ricava
dall'equazione del vincolo, trovando:
(1/(2t))^(2/3) = (5/9)(3 + a^3)/a^(5/3),
ci� che d�:
y(x)^2 = [(5/9)(3 + a^3)/a^(5/3)] x^(2/3) - x^2.
Notare che la soluzione ha senso solo se il secondo membro � positivo,
cio� se:
x <= [(5/9)(3 + a^3)/a^(5/3)]^(3/4).
Ma y(x) deve essere definita almento fino ad x=a, per cui deve essere:
[(5/9)(3 + a^3)/a^(5/3)]^(3/4) >= a, il che fornisce: a <= (15/4)^(1/3).
L'integrale da rendere massimo � quindi:
I = int_0^a [1 - (9/5)^1/2 a^(5/6) x^(2/3)/(3 + a^3)^(1/2)] dx
= a - (9/5^(3/2))a^(5/2)/(3 + a^3)^(1/2).
Questa � una funzione monotona di crescente di a, quindi il massimo si
ottiene quando a = (15/4)^(1/3). Sostituendo questo valore ottengo
infine:
I = (6/25)^(1/3).
Riepilogando: il campo gravitazionale massimo vale:
g = 2 pi rho (V/pi)^(1/3)*(6/25)^(1/3),
con il solido dato dalla rotazione intorno all'asse x della curva:
y(x) = x^(1/3) [(15/4)^(4/9) - x^(4/3)], fra x = 0 e x = (15/4)^(1/3)
(in unit� di (V/pi)^(1/3)).
Per confronto, nel caso della sfera si ottiene invece I = (6/27)^(1/3),
quindi la differenza comunque � molto piccola.
Maurizio
--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.
Bruno Cocciaro
news:6kkXm.65709$813....@tornado.fastwebnet.it...
> Insomma sono abbastanza convinto di questa soluzione.
Caspita, pero' mi pare ci sia qualcosa che non torna.
Poniamo di avere a disposizione 1 m^3 di pongo, lo sistemiamo secondo la
funzione detta da te e nell'origine abbiamo un certo campo diretto verso
l'asse x.
A questo punto poniamo di avere un ulteriore mm^3 a disposizione. La
soluzione da te indicata direbbe che l'ulteriore mm^3 andrebbe spalmato
su tutta la superficie esterna ottenendo cosi' un nuovo solido di volume
1m^3+1mm^3 che pero' ha sempre lo stesso profilo data dalla f(x,y) solo
associata ad un livello diverso.
Pero', immaginiamo di mettere quel mm^3 tutto in prossimita' di un punto
(x0,y0). Il campo non sara' piu' diretto secondo l'asse x. Se
iniziassimo a "spalmare" il pongo, ad esempio mettendone 0.5 mm^3 in
(x0,y0) e 0.5 mm^3 in (x0,-y0) otterremmo di nuovo un campo diretto
lungo x che pero' avrebbe modulo *minore* di quello che si avrebbe nella
situazione precedente con tutto il mm^3 in (x0,y0).
Parrebbe andare in crisi l'ipotesi del tutto plausibile che il solido
soluzione del problema debba avere simmetria cilindrica attorno alla
direzione definita dal campo massimo. Mi pare strano, ma mi pare anche
plausibile quanto dico sopra, e a questo punto non saprei proprio che
pesci prendere.
> E.
Ciao.
marcofuics
Ciao
Questo problema ha 2 punti di risoluzione
1) Scrivere per bene le eq.ni integrali e trovare il minimo...:
Cercare dunque quel particolare contorno SIGMA [non bucato] di un
certo Volume V in cui ogni dV contribuisce sul dSIGMA attraverso k/d^2
2) Ragionarci sopra e trovare il risultato con considerazioni di
simmetria.
Io ti consiglio la 2
Perche' e' piu' semplice
Perche' (soprattutto) si puo' fare :))
Il trucco ci sta per risolvere la cosa (GAUSS).
cometa_luminosa
wrote:
[...]
> Per trovare il massimo di I posso usare la versione variazionale del
> metodo dei moltiplicatori di Lagrange: cerco un estremo del funzionale
> ch ottengo aggiungendo ad I il vincolo, moltiplicato per un coefficiente
> incognito t:
> S = int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(3/2) - t y(x)^2] dx.
> Eulero-Lagrange, che forniscono la soluzione:
> y(x)^2 = (x/(2t))^(2/3) - x^2,
Non mi e' chiaro come scrivi le equazioni di Lagrange qui.
> proprio del tipo da te indicato. Il moltiplicatore t si ricava
> dall'equazione del vincolo, trovando:
> (1/(2t))^(2/3) = (5/9)(3 + a^3)/a^(5/3),
E qui non ho capito come trovi t dall'equazione del vincolo.
Puoi spiegarmelo?
Grazie,
ciao.
cometa_luminosa
[...]
> Pero', immaginiamo di mettere quel mm^3 tutto in prossimita' di un punto
> (x0,y0). Il campo non sara' piu' diretto secondo l'asse x. Se
> iniziassimo a "spalmare" il pongo, ad esempio mettendone 0.5 mm^3 in
> (x0,y0) e 0.5 mm^3 in (x0,-y0) otterremmo di nuovo un campo diretto
> lungo x che pero' avrebbe modulo *minore* di quello che si avrebbe nella
> situazione precedente con tutto il mm^3 in (x0,y0).
A parte il fatto che, visto che la densita' e' uniforme, saresti
comunque costretto a mettere il secondo pezzetto da 0.5 mm^3 in una
porzione di spazio (leggermente) differente da quella in cui hai posto
il primo (ma puo' darsi che comunque il campo sia lo stesso maggiore,
rispetto alla situazione simmetrica, anche se non mi e' facile
vederlo), pero' il punto e' che tu adesso stai risolvendo un problema
diverso da quello dell'OP, perche' aggiungi del volume *dopo* aver
calcolato il volume che fornisce il massimo del campo, e benche'
fisicamente possa sembrare la stessa cosa, in realta' matematicamente
non lo e' (e quindi neanche fisicamente...).
El Filibustero
>In effetti ho ritrovato la tua soluzione indipendentemente usando un
>metodo variazionale. Nell'ipotesi che la distribuzione di massa abbia
>simmetria cilindrica intorno all'asse x e passi per l'origine, la sua
>forma � quella di un solido ottenuto facendo ruotare una certa curva
>y(x) attorno all'asse x, con 0 <= x <= a.
Congratulazioni a te e ?manu*. Effettivamente, con l'ipotesi di simmetria
cilindrica il problema si semplifica di molto. C'e' un ragionamento
sintetico per provare che la simmetria cilindrica e' necessaria per avere
un estremante della forza?
>Il campo gravitazionale nell'origine � dato da:
>
>g = 2 pi rho (V/pi)^(1/3)* I,
>
>dove rho � la densit�, V il volume e I � l'integrale:
>
>I = int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(3/2)] dx;
Non dovrebbe essere
I = int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(1/2)] dx
? Ciao
Bruno Cocciaro
news:7da32797-eb50-46e0...@a21g2000yqc.googlegroups.com...
> On 20 Dic, 11:57, "Bruno Cocciaro" <b.cocci...@comeg.it> wrote:
> [...]
> > Pero', immaginiamo di mettere quel mm^3 tutto in prossimita' di un
punto
> > (x0,y0). Il campo non sara' piu' diretto secondo l'asse x. Se
> > iniziassimo a "spalmare" il pongo, ad esempio mettendone 0.5 mm^3 in
> > (x0,y0) e 0.5 mm^3 in (x0,-y0) otterremmo di nuovo un campo diretto
> > lungo x che pero' avrebbe modulo *minore* di quello che si avrebbe
nella
> > situazione precedente con tutto il mm^3 in (x0,y0).
>
> A parte il fatto che, visto che la densita' e' uniforme, saresti
> comunque costretto a mettere il secondo pezzetto da 0.5 mm^3 in una
> porzione di spazio (leggermente) differente da quella in cui hai posto
> il primo (ma puo' darsi che comunque il campo sia lo stesso maggiore,
> rispetto alla situazione simmetrica, anche se non mi e' facile
> vederlo),
Ero partito da 1m^3 di pongo aggiungendone 1 mm^3 proprio allo scopo di
sottolineare che nel limite di piccoli incrementi di pongo il discorso
e' corretto (cioe', in quel limite, i due 0.5 mm^3 di pongo vengono
posti alla stessa distanza dall'origine in entrambi i casi).
Vedere che la situazione asimmetrica da' luogo a campo maggiore rispetto
a quella simmetrica direi che sia abbastanza semplice:
hai un vettore iniziale, poniamo
(1000,0,0)
al quale in un caso si aggiunge un vettore di tipo
(2 cos(theta), 2 sin(theta), 0)
nell'altro caso si aggiunge un vettore
(cos(theta), sin(theta), 0) + (cos(theta), -sin(theta), 0) = (2
cos(theta),0,0).
Risulta del tutto evidente che nel primo caso (solido ottenuto
asimmetrico) il modulo del campo e' maggiore.
> pero' il punto e' che tu adesso stai risolvendo un problema
> diverso da quello dell'OP, perche' aggiungi del volume *dopo* aver
> calcolato il volume che fornisce il massimo del campo, e benche'
> fisicamente possa sembrare la stessa cosa, in realta' matematicamente
> non lo e' (e quindi neanche fisicamente...).
Direi che la situazione presentata da me sia facilmente generalizzabile.
Avendo 1m^3+1mm^3 di pongo, ponendolo in maniera simmetrica, secondo la
funzione riportata da ?manu*, si ha un campo in modulo minore rispetto
al campo che si avrebbe mettendo l'ultimo mm^3 tutto spalmato tutto
dallo stesso lato.
Il che prova che il solido proposto da ?manu* non da' nell'origine il
campo massimo per il dato volume di pongo.
Mi viene il sospetto che il solido trovato da ?manu* sia quello che in
un punto della superficie (l'origine) da' luogo al campo minimo
ottenibile per fissate densita' e volume.
Ho provato a calcolare il campo nell'altro punto in cui l'asse x
interseca la superficie, ma ottengo un integrale che non riesco a
risolvere.
cometa_luminosa
> "cometa_luminosa" <alberto.r...@virgilio.it> wrote in message
> > A parte il fatto che, visto che la densita' e' uniforme, saresti
> > comunque costretto a mettere il secondo pezzetto da 0.5 mm^3 in una
> > porzione di spazio (leggermente) differente da quella in cui hai posto
> > il primo (ma puo' darsi che comunque il campo sia lo stesso maggiore,
> > rispetto alla situazione simmetrica, anche se non mi e' facile
> > vederlo),
>
> Ero partito da 1m^3 di pongo aggiungendone 1 mm^3 proprio allo scopo di
> sottolineare che nel limite di piccoli incrementi di pongo il discorso
> e' corretto (cioe', in quel limite, i due 0.5 mm^3 di pongo vengono
> posti alla stessa distanza dall'origine in entrambi i casi).
> Vedere che la situazione asimmetrica da' luogo a campo maggiore rispetto
> a quella simmetrica direi che sia abbastanza semplice:
> hai un vettore iniziale, poniamo
> (1000,0,0)
> al quale in un caso si aggiunge un vettore di tipo
> (2 cos(theta), 2 sin(theta), 0)
> nell'altro caso si aggiunge un vettore
> (cos(theta), sin(theta), 0) + (cos(theta), -sin(theta), 0) = (2
> cos(theta),0,0).
> Risulta del tutto evidente che nel primo caso (solido ottenuto
> asimmetrico) il modulo del campo e' maggiore.
Si, adesso mi e' piu' chiaro, grazie.
> > pero' il punto e' che tu adesso stai risolvendo un problema
> > diverso da quello dell'OP, perche' aggiungi del volume *dopo* aver
> > calcolato il volume che fornisce il massimo del campo, e benche'
> > fisicamente possa sembrare la stessa cosa, in realta' matematicamente
> > non lo e' (e quindi neanche fisicamente...).
>
> Direi che la situazione presentata da me sia facilmente generalizzabile.
> Avendo 1m^3+1mm^3 di pongo, ponendolo in maniera simmetrica, secondo la
> funzione riportata da ?manu*, si ha un campo in modulo minore rispetto
> al campo che si avrebbe mettendo l'ultimo mm^3 tutto spalmato tutto
> dallo stesso lato.
Eh no! Avendo a disposizione 1m^3 + 1mm^3 fin dall'inizio, tu lo
disponi secondo la successiva curva di livello e non secondo la
precedente (quella che da' 1 m^3 di volume) quindi non puoi
confrontare la tua configurazione con quella simmetrica precedente!
> Il che prova che il solido proposto da ?manu* non da' nell'origine il
> campo massimo per il dato volume di pongo.
> Mi viene il sospetto che il solido trovato da ?manu* sia quello che in
> un punto della superficie (l'origine) da' luogo al campo minimo
> ottenibile per fissate densita' e volume.
Ma come e' possibile questo? Fissate densita' e volume e' facile
trovare solidi che forniscono un campo minore di quello, basta pensare
ad un solido allungato in cui la maggior parte della massa e' a grande
distanza...
?manu*
> Congratulazioni a te e ?manu*. Effettivamente, con l'ipotesi di simmetria
> cilindrica il problema si semplifica di molto.
In realt� � molto semplice imbastire una dimostrazione completa. Prendi
la candidata soluzione A che abbiamo gi� descritto e supponi sia invece
B la soluzione ottimale, che ti d� un campo massimo nello stesso
punto (l'origine) e con la stessa direzione (l'asse delle x). Siccome A
e B hanno, per ipotesi, lo stesso volume, se sono diversi puoi trovare
dei punti di A che non stanno in B e dei punti di B che non stanno in A.
Supponendo che A e B siano entrambi aperti (ipotesi di comodo,
fisicamente sensata e che comunque si potrebbe anche eliminare), puoi
trovare una piccola palletta tutta contenuta in A\B e un'altrettanto
piccola palletta tutta contenuta in B\A. Ora per come � stato costruito
A la palletta fuori da A d� un contributo al campo nell'origine
inferiore alla palletta in A. Scambiando le due pallette in B otterresti
quindi un insieme B' migliore di B. Dunque B non era ottimo.
Questo ragionamento dimostra che se l'insieme ottimale c'� esso � A.
Bisognerebbe poi dimostrare che effettivamente l'insieme ottimale
esiste, ma questo dovrebbe essere banale, mettendosi nello spazio degli
insiemi misurabili con la distanza data dalla misura della differenza
simmetrica.
E.
Maurizio Frigeni
> > S = int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(3/2) - t y(x)^2] dx.
> > Un estremo di questo si pu� trovare usando le solite equazioni di
> > Eulero-Lagrange, che forniscono la soluzione:
> > y(x)^2 = (x/(2t))^(2/3) - x^2,
>
> Non mi e' chiaro come scrivi le equazioni di Lagrange qui.
Come ha giustamente rilevato El Filibustero, la versione corretta � in
realt� questa:
S = int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(1/2) - t y(x)^2] dx;
mi scuso per il refuso, che probabilmente � la causa della tua domanda.
Comunque le equazioni di E.-L. in questo caso sono molto semplici,
perch� la funzione integranda non dipende dalla derivata y'(x) e quindi
si scrivono semplicemente uguagliando la derivata parziale rispetto a y
della funzione integranda a zero:
(d/dy)[1 - x/(x^2 + y^2)^(1/2) - t y^2] = 0, cio�:
xy/(x^2 + y^2)^(3/2) - 2ty = 0,
da cui si ricava facilmente appunto: y^2 = (x/(2t))^(2/3) - x^2.
> E qui non ho capito come trovi t dall'equazione del vincolo.
Il vincolo �: int_0^a y(x)^2 dx = 1. Sostituendo qui l'espressione per
y^2 trovata sopra, si ottiene:
int_0^a [(x/(2t))^(2/3) - x^2] dx = 1, cio�:
(3/5)a^(5/3)/(2t)^(2/3) - (1/3)a^3 = 1, da cui:
1/(2t)^(2/3) = (1 + (1/3)a^3)(5/3)/a^(5/3)
= (3 + a^3)(5/9)/a^(5/3).
Maurizio Frigeni
> Non dovrebbe essere
>
> I = int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(1/2)] dx
Hai ragione: � un errore di trascrizione, che poi si � propagato per
copia-incolla anche ad altre formule. I risultati comunque non sono
affetti da questo errore, perch� nei calcoli che ho fatto I era proprio
quello scritto qui sopra.
Socratis
"Bruno Cocciaro" <b.coc...@comeg.it> ha scritto nel messaggio
> Parrebbe andare in crisi l'ipotesi del tutto plausibile che il solido
> soluzione del problema debba avere simmetria cilindrica attorno alla
> direzione definita dal campo massimo. Mi pare strano, ma mi pare anche
> plausibile quanto dico sopra, e a questo punto non saprei proprio che
> pesci prendere.
Hai mai provato a considerare l'Origine come una sfera D = x
che sia dentro una sfera D = 3x ?? (D=diametro)-
Il senso � di avere 1 come distanza lineare imterna fra le due sfere.
In Realt� il rapporto gravitazionale va calcolato come Volume/Area.
Se e solo se i corpi sono due si ha : ( V/A)^2.
Beato chi riesce a completare il concetto.
( Poich� dubito di averlo espresso compiutamente.)
Socratis.
Bruno Cocciaro
> Eh no! Avendo a disposizione 1m^3 + 1mm^3 fin dall'inizio, tu lo
> disponi secondo la successiva curva di livello e non secondo la
> precedente (quella che da' 1 m^3 di volume)
d'accordo, e dopo aver disposto il pongo secondo la successiva curva di
livello tolgo a sinistra la parte in piu' rispetto a quella che avrei se
avessi solo 1 m^3 di pongo e piazzo tale parte a destra. Il volume e'
sempre lo stesso pero' mi pare che sulla punta avrei un campo in modulo
maggiore.
Cioe' il confronto lo faccio sempre con solidi di volume 1m^3+1mm^3, la
differenza fra i due casi e' solo nella disposizione della massa.
> > Il che prova che il solido proposto da ?manu* non da' nell'origine
il
> > campo massimo per il dato volume di pongo.
> > Mi viene il sospetto che il solido trovato da ?manu* sia quello che
in
> > un punto della superficie (l'origine) da' luogo al campo minimo
> > ottenibile per fissate densita' e volume.
>
> Ma come e' possibile questo? Fissate densita' e volume e' facile
> trovare solidi che forniscono un campo minore di quello, basta pensare
> ad un solido allungato in cui la maggior parte della massa e' a grande
> distanza...
eh si' avevo detto una stupidaggine. Mettendo il pongo su un disco
schiacciatissimo, al centro si ha un campo tendente a zero.
?manu*
> Pero', immaginiamo di mettere quel mm^3 tutto in prossimita' di un punto
> (x0,y0). Il campo non sara' piu' diretto secondo l'asse x. Se
> iniziassimo a "spalmare" il pongo, ad esempio mettendone 0.5 mm^3 in
> (x0,y0) e 0.5 mm^3 in (x0,-y0) otterremmo di nuovo un campo diretto
> lungo x che pero' avrebbe modulo *minore* di quello che si avrebbe nella
volevi dire *maggiore*?
> situazione precedente con tutto il mm^3 in (x0,y0).
>
> Parrebbe andare in crisi l'ipotesi del tutto plausibile che il solido
> soluzione del problema debba avere simmetria cilindrica attorno alla
> direzione definita dal campo massimo.
No, non capisco in che modo giungi a questa conclusione.
E.
superpollo
> Beato chi riesce a completare il concetto.
"Beati voi quando gli uomini vi odieranno e quando vi metteranno al
bando e v'insulteranno e respingeranno il vostro nome come scellerato
... ma guai a voi che ora ridete, perch� sarete afflitti e piangerete ..."
Socratis
"superpollo" <ute...@esempio.net> ha scritto nel messaggio
> Socratis ha scritto:
>
> > Beato chi riesce a completare il concetto.
Perch� non � bene rivelare le cose segrete del cielo.
Socratis.
cometa_luminosa
wrote:
> cometa_luminosa <alberto.r...@virgilio.it> wrote:
> > > S = int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(3/2) - t y(x)^2] dx.
> > > Eulero-Lagrange, che forniscono la soluzione:
> > > y(x)^2 = (x/(2t))^(2/3) - x^2,
>
> > Non mi e' chiaro come scrivi le equazioni di Lagrange qui.
>
> realtà questa:
> S = int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(1/2) - t y(x)^2] dx;
No, non era questa la causa della mia domanda. Vedi dopo.
> Comunque le equazioni di E.-L. in questo caso sono molto semplici,
> perché la funzione integranda non dipende dalla derivata y'(x) e quindi
> si scrivono semplicemente uguagliando la derivata parziale rispetto a y
> della funzione integranda a zero:
> (d/dy)[1 - x/(x^2 + y^2)^(1/2) - t y^2] = 0, cioè:
> xy/(x^2 + y^2)^(3/2) - 2ty = 0,
> da cui si ricava facilmente appunto: y^2 = (x/(2t))^(2/3) - x^2.
Va bene. Quello che non mi tornava, visto che non avevo mai visto il
metodo dei moltiplicatori di Lagrange insieme alla variazione di un
integrale, era il fatto che quando si varia un integrale del tipo
Int_a^b f[ y(x), y'(x), x]dx nel modo "standard" (da cui poi si
ottengono le equazioni di Eulero-Lagrange), si tengono fissi gli
estremi a e b, mentre invece qui:
int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(1/2) - t y(x)^2] dx
non lo puoi fare, visto che devi far variare anche il parametro a (non
lo conosci ancora visto che non conosci la forma del corpo). Dunque,
scrivendo anche il vincolo nella funzione integranda, si puo' fare la
variazione dell'integrale *come se* il parametro a fosse un valore
fisso?
> > E qui non ho capito come trovi t dall'equazione del vincolo.
>
> Il vincolo è: int_0^a y(x)^2 dx = 1. Sostituendo qui l'espressione per
> y^2 trovata sopra, si ottiene:
> int_0^a [(x/(2t))^(2/3) - x^2] dx = 1, cioè:
> (3/5)a^(5/3)/(2t)^(2/3) - (1/3)a^3 = 1, da cui:
> 1/(2t)^(2/3) = (1 + (1/3)a^3)(5/3)/a^(5/3)
> = (3 + a^3)(5/9)/a^(5/3).
Grazie,
ciao.
cometa_luminosa
> > x/(x^2+y^2)^(3/2).
>
> Ci ho pensato anche stanotte, e mi pare che tutti i passaggi si
> sistemano facilmente... Potrei avere dei dubbi su quale sia la formula
> della forza gravitazionale, ma la funzione
>
> f(x,y) = x/(x^2+y^2)^(3/2)
>
> punto (0,0) con tangente verticale, sono delle curve chiuse contenute
> nel semipiano x>0 (i livelli positivi) e hanno una forma "ad uovo", come
>
> http://web.math.unifi.it/users/paolini/tmp/g.png
Ho provato a disegnare x/(x^2+y^2)^(3/2) in coordinate polari con
Mathcad, ma la forma mi viene diversa, ovvero una specie di sfera
schiacciata verso l'origine: una specie di "goccia di mercurio"
appoggiata nel piano x = 0 e deformata per gravita'.
non capisco se ho sbagliato qualcosa.
A proposito, ora che ci penso, non sara' mica che una goccia di
liquido appoggiata ad un piano e deformata per gravita' e' proprio la
forma che stiamo cercando? %-)
Bruno Cocciaro
> Bruno Cocciaro ha scritto:
> > Pero', immaginiamo di mettere quel mm^3 tutto in prossimita' di un
> > punto (x0,y0). Il campo non sara' piu' diretto secondo l'asse x. Se
> > iniziassimo a "spalmare" il pongo, ad esempio mettendone 0.5 mm^3 in
> > (x0,y0) e 0.5 mm^3 in (x0,-y0) otterremmo di nuovo un campo diretto
> > lungo x che pero' avrebbe modulo *minore* di quello che si avrebbe
>
no no, volevo proprio dire minore.
Come dicevo a cometa_luminosa, se il campo generato nell'origine da 1
m^3 di pongo, disposto secondo la maniera da te indicata, fosse, in
opportune unita', g=(10000,0,0), aggiungendo 1 mm^3 in (x0,y0) il campo
sarebbe g+dg con dg=(2cos(theta), 2sin(theta),0). Aggiungendo invece 2
parti di 0.5 mm^3, rispettivamente in (x0,y0,0) e (x0,-y0,0), il campo
sarebbe g+dg' con dg'=(cos(theta),sin(theta),0) +
(cos(theta),-sin(theta),0)=(2cos(theta),0,0).
Risulta evidentemente |g+dg|>|g+dg'|.
cometa_luminosa
> Ho provato a disegnare x/(x^2+y^2)^(3/2) in coordinate polari
Ovvero ho scritto x/(x^2+y^2)^(3/2) = cost -->
--> r*cos(teta)/r^3 = cost
--> cos(teta) = cost*r^2
r(teta) = k*Rad[cos(teta)].
Maurizio Frigeni
> Quello che non mi tornava, visto che non avevo mai visto il
> metodo dei moltiplicatori di Lagrange insieme alla variazione di un
> integrale, era il fatto che quando si varia un integrale del tipo
> Int_a^b f[ y(x), y'(x), x]dx nel modo "standard" (da cui poi si
> ottengono le equazioni di Eulero-Lagrange), si tengono fissi gli
> estremi a e b, mentre invece qui:
> int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(1/2) - t y(x)^2] dx
> non lo puoi fare, visto che devi far variare anche il parametro a (non
> lo conosci ancora visto che non conosci la forma del corpo).
No, attenzione: io fisso a e trovo y(x) estremale *per quel valore di
a*. In tal modo trovo un valore massimo che dipende da a. Poi *dopo*
vado a vedere per quale valore di a ottengo il massimo assoluto.
BTW: l'applicazione dei moltiplicatori di Lagrange in un problema
variazionale non � che l'ho mai visto su un testo, ma non vedo perch�
non dovrebbe tornare...
Elio Fabri
> Consideriamo allora la sezione del pianeta con z=0. Sulla frontiera di
> questa sezione i punti dovrebbero dare lo stesso contributo alla
> componente x della gravità nell'origine, dunque:
Non riesco a capire perche'.
Maurizio Frigeni ha scritto:
> In effetti ho ritrovato la tua soluzione indipendentemente usando un
> metodo variazionale.
> ...
> I = int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(3/2)] dx;
A me l'esponente viene 1/2, non 3/2.
Nel dubbio, mi sono fermato qui...
--
Elio Fabri
?manu*
> ?manu* ha scritto:
>> Consideriamo allora la sezione del pianeta con z=0. Sulla frontiera di
>> questa sezione i punti dovrebbero dare lo stesso contributo alla
> Non riesco a capire perche'.
Perch� se ci fossero punti che contribuiscono meno e punti che
contribuiscono di pi�, prendo uno di quelli che contribuiscono meno e lo
metto in una posizione in cui contribuisce di pi�. Nell'altro messaggio
ho spiegato meglio la cosa.
Credo che questo metodo di chiami il "principio della vasca da bagno".
E.
?manu*
> "?manu*" <pao...@no.spam.unifi.it> wrote in message
> news:Z0sXm.66134$813....@tornado.fastwebnet.it...
>> Bruno Cocciaro ha scritto:
>>> Pero', immaginiamo di mettere quel mm^3 tutto in prossimita' di un
>>> punto (x0,y0). Il campo non sara' piu' diretto secondo l'asse x. Se
>>> iniziassimo a "spalmare" il pongo, ad esempio mettendone 0.5 mm^3 in
>>> (x0,y0) e 0.5 mm^3 in (x0,-y0) otterremmo di nuovo un campo diretto
>>> lungo x che pero' avrebbe modulo *minore* di quello che si avrebbe
>> volevi dire *maggiore*?
>
> no no, volevo proprio dire minore.
Boh, non capisco. Se la forza gravitazionale ￜ rivolta verso destra e
aggiungo della massa a destra, la forza aumenta, non diminuisce...
E.
?manu*
> r(teta) = k*Rad[cos(teta)].
S�, la curva � questa.
E.
Maurizio Frigeni
> > I = int_0^a [1 - x/(x^2 + y(x)^2)^(3/2)] dx;
> A me l'esponente viene 1/2, non 3/2.
Vero, � stato un mio errore di copiatura, vedi la mia risposta a El
Filibustero. Ma il calcolo l'ho fatto con la versione giusta e dovrebbe
essere corretto.
Bruno Cocciaro
> Bruno Cocciaro ha scritto:
> > "?manu*" <pao...@no.spam.unifi.it> wrote in message
> > news:Z0sXm.66134$813....@tornado.fastwebnet.it...
> >> Bruno Cocciaro ha scritto:
> >>> Pero', immaginiamo di mettere quel mm^3 tutto in prossimita' di un
> >>> punto (x0,y0). Il campo non sara' piu' diretto secondo l'asse x.
Se
> >>> iniziassimo a "spalmare" il pongo, ad esempio mettendone 0.5 mm^3
in
> >>> (x0,y0) e 0.5 mm^3 in (x0,-y0) otterremmo di nuovo un campo
diretto
> >>> lungo x che pero' avrebbe modulo *minore* di quello che si avrebbe
> >> volevi dire *maggiore*?
> >
> > no no, volevo proprio dire minore.
>
> aggiungo della massa a destra, la forza aumenta, non diminuisce...
Si', ma il punto e'
a) aggiungere due masse uguali una a destra sopra e l'altra a destra
sotto
oppure
b) aggiungerle entrambe a destra sopra.
Nel caso b) si ottiene un campo totale maggiore che nel caso a).
Arcobaleno
>
>
> Boh, non capisco. Se la forza gravitazionale è rivolta verso destra e
> aggiungo della massa a destra, la forza aumenta, non diminuisce...
>
>
Ciao:)
Non sarebbe il caso a tuo parere di inquadrare questo problema
nell'ambito della RG? Cosa ne pensi?
A.
Bruno Cocciaro
news:4b2dfb4b$0$1119$4faf...@reader1.news.tin.it...
> espresso k in termini del volume dato V, dovrebbe essere:
>
> y = Sqrt [ (x/k)^(2/3) - x^2 ]
> con
> 1/k = [ (15/(4*Pi)) V^(1/3) ]^2
qui c'e' un errore. Il valore corretto e':
1/k = [ ( (15/(4*Pi)) * V ) ^(1/3) ]^2
> Detti rho la densita' e G la costante di gravitazione, il massimo
> valore del campo g, che si ottiene nell'origine sara':
>
> g = (4/5) Pi rho G (1/Sqrt(k)) = 3 rho G V^(1/3)
usando il valore corretto di k si ha:
g = (4/5) Pi rho G (1/Sqrt(k)) = 3 (15/(4*Pi))^(-2/3) rho G V^(1/3)
cioe'
g = (Pi)^(2/3) rho G V^(1/3) * 3 * (4/15)^(2/3) =
2 (Pi)^(2/3) rho G V^(1/3) * (6/25)^(1/3)
cioe' lo stesso risultato riportato da Maurizio Frigeni su ism.
?manu*
> "?manu*" <pao...@no.spam.unifi.it> wrote in message
> news:b7wXm.66511$813....@tornado.fastwebnet.it...
>> Bruno Cocciaro ha scritto:
>>> "?manu*" <pao...@no.spam.unifi.it> wrote in message
>>> news:Z0sXm.66134$813....@tornado.fastwebnet.it...
>>>> Bruno Cocciaro ha scritto:
>>>>> Pero', immaginiamo di mettere quel mm^3 tutto in prossimita' di un
>>>>> punto (x0,y0). Il campo non sara' piu' diretto secondo l'asse x.
> Se
>>>>> iniziassimo a "spalmare" il pongo, ad esempio mettendone 0.5 mm^3
> in
>>>>> (x0,y0) e 0.5 mm^3 in (x0,-y0) otterremmo di nuovo un campo
> diretto
>>>>> lungo x che pero' avrebbe modulo *minore* di quello che si avrebbe
>>>> volevi dire *maggiore*?
>>> no no, volevo proprio dire minore.
>> aggiungo della massa a destra, la forza aumenta, non diminuisce...
>
> Si', ma il punto e'
> a) aggiungere due masse uguali una a destra sopra e l'altra a destra
> sotto
> oppure
> b) aggiungerle entrambe a destra sopra.
>
> Nel caso b) si ottiene un campo totale maggiore che nel caso a).
Sￜ, ma questo ragionamento non dice molto. Che ci siano corpi non
simmetrici migliori di corpi simmetrici ￜ normale. Dovresti trovare un
corpo non simmetrico migliore di quel particolare corpo simmetrico che
abbiamo detto essere il minimo.
E.
Bruno Cocciaro
> Bruno Cocciaro ha scritto:
> > Si', ma il punto e'
> > a) aggiungere due masse uguali una a destra sopra e l'altra a destra
> > sotto
> > oppure
> > b) aggiungerle entrambe a destra sopra.
> >
> > Nel caso b) si ottiene un campo totale maggiore che nel caso a).
>
> S�, ma questo ragionamento non dice molto. Che ci siano corpi non
> simmetrici migliori di corpi simmetrici � normale. Dovresti trovare un
> corpo non simmetrico migliore di quel particolare corpo simmetrico che
> abbiamo detto essere il minimo.
Non so se ho capito bene la tua obiezione. Forse e' la stessa che mi ha
gia' fatto cometa_luminosa.
Se e' cosi' ti rispondo come ho gia' risposto a lui.
Ipotizziamo che il volume del corpo sia 1m^3+1mm^3. La tua soluzione
prevede che
a')quel volume di pongo venga modellato in quel dato modo simmetrico.
Adesso
b') togliamo dalla parte inferiore uno strato di pongo molto sottile
(pari a 0.5 mm^3) e depositiamolo nella parte superiore.
Fare cio' equivale a ripetere per molte volte quanto dico sopra nel
punto b). Se e' vero che nel caso b) si ottiene un campo maggiore che
nel caso a), a maggior ragione nel caso b') si ottiene un campo maggiore
che nel caso a').
Comunque, proprio mentre mi alzavo mi stava venendo il dubbio che, a far
per bene i conti, si possa affermare che b) dia un campo maggiore che
a). E' vero che si aggiungono massettine infinitesime, quindi che si
mettano entrambe in (x0,y0,0) o una in (x0,y0,0) e l'altra in
(x0+dx,y0+dy,0) il campo generato dalle due massetine e', nel limite, lo
stesso. Pero' questo campo che si aggiunge e' a sua volta infinitesimo.
In sostanza, abbiamo un campo
(g,0,0)
al quale si aggiunge nel caso a) un campo
(dg cos(theta)), dg sin(theta), 0) + (dg cos(theta)), -dg sin(theta),
0)=
(2 dg cos(theta)), 0, 0)
nel caso b) si aggiunge
(dg cos(theta)), dg sin(theta), 0) + (dg' cos(theta')), dg' sin(theta'),
0)
con dg'<~dg e theta'~theta.
Senza esplicitare dg' in termini di g e dg, theta' in termini di theta
non si puo' dire che il modulo di (g,0,0)+il campo ottenuto in b) e'
maggiore del modulo di (g,0,0)+il campo ottenuto in a).
Il discorso che facevo io, basato sul fatto che
dg cos(theta) + dg' cos(theta'))~2 dg cos(theta),
non regge in quanto il caso b) da' un valore della componente x del
campo solo approssimativamente uguale (ma minore) al valore della
componente x che si ha nel caso a), quindi non e' detto che la presenza
di una componente y non nulla nel caso b) comporti un modulo maggiore di
quello che si ha in a) (dove la componente y e' nulla).
El Filibustero
>El Filibustero ha scritto:
>> Congratulazioni a te e ?manu*. Effettivamente, con l'ipotesi di simmetria
>> cilindrica il problema si semplifica di molto.
>
>In realt� � molto semplice imbastire una dimostrazione completa.
Un'argomentazione analoga per la necessita' della simmetria cilindrica per
l'ottimo che pero' prescinde dalla soluzione A gia' descritta (e forse
risponde completamente alle obiezioni di Cocciaro) potrebbe essere la
seguente.
Supponiamo che B sia un corpo con un punto O della sua superficie in cui il
vettore F di campo e' massimo (e diretto lungo l'asse x, mettiamo). Se B
non e' simmetrico cilindricamente rispetto all'asse x, esistono degli
anelli con asse x non completamente pieni di materia. Il contributo a F
lungo la componente x di un elemento di materia su un anello di raggio y e
centro con distanza x da O e' appunto proporzionale a x/(xx+yy)^(3/2). Dato
un anello X non completamente pieno, esiste certamente un anello Y
contenente materia il cui contributo e' inferiore a quello su X: spostando
materia da Y a X (visto che su X c'e' posto), la componente x di F aumenta.
Non importa se con quello spostamento si aggiunge una componente di forza
ortogonale a x, perche' il modulo della forza aumenta comunque. Quindi F
non poteva essere il massimo: B deve essere simmetrico cilindricamente
rispetto x. Ciao
sempre_radicale
> Il trucco ci sta per risolvere la cosa (GAUSS).
Scusa Ma', ma che significa un pianeta con
la massima gravita' possibile ? Mi spieghi ?
marcofuics
Cioe'... trova quella forma solida (di densita' uniforme) descritta da
una figura 3d, per la quale esiste un punto tale dove la attrazione
gravitazionale e' massima [a parita' di massa totale]
Bruno Cocciaro
news:u9gui511f850mjqn1...@4ax.com...
> Un'argomentazione analoga per la necessita' della simmetria cilindrica
per
> l'ottimo che pero' prescinde dalla soluzione A gia' descritta (e forse
> risponde completamente alle obiezioni di Cocciaro)
Direi di si', unitamente al mio ultimo post nel quale mostravo perche'
era sbagliato il mio discorso che pero', per quanto sbagliato, poteva
comunque restare plausibile. La tua dimostrazione di necessita' della
simmetria cilindrica anche a me pare che chiuda il discorso.
Luciano Buggio
> Un problema IMHO difficilissimo (pero' magari gia' noto e risolto) di
> calcolo variazionale. Qual e' quel solido omogeneo, di volume e densita' (e
> quindi massa) assegnati, la cui superficie possiede almeno un punto in cui
> la forza gravitazionale (o, in generale, del tipo 1/distanza^2) e' la
> massima possibile?
Bel problema di massimo.
Faccio un'ipotesi, così, a naso (non ho fatto nessun calcolo).
Che sia il polo maggiore dell'uovo [equazione polare della sua sezione
massima longitudinale r=sen(t)^2] ?
La cosa che mi induce a ipotizzarlo è che l'evoluta dell'uovo ha un
punto in comune (che è il solo) con l'uovo, e questo punto è proprio
il polo maggiore (quello a maggior curvatura)
Ciò significa che nel polo maggiore la curvatura è infinita, come dire
che c'è una “punta”.
Ma ciò, per la nostra intuizione, fa a pugni col fatto che le due
tangenti lì si sovrappongono.
Questo fatto è interessante per l'economia, da una parte, e la resa
massima,dall'altra, dei contributi gravitazionali dalle direzioni in
un intorno piccolissino della giacitura del piano tangente, appunto,
il polo in questione.
Ciao.
Luciano Buggio
Luciano Buggio
radicale
Ma questo punto deve stare per forza sulla
superficie della figura solida o puo' stare
anche /fuori/ o /dentro/ la figura ?
marcofuics
Vabbe'... il succo del problema nn cambia..... ma forse lo dobbiamo
lasciare sulla superficie.
Lo hai seguito il thread?
Che te ne sembra?
radicale
E' interessante ma troppo difficile per
me ...
?manu*
Pu� stare dove vuoi, ma vedrai che gli conviene stare sulla superficie.
E.
cometa_luminosa
> Può stare dove vuoi, ma vedrai che gli conviene stare sulla superficie.
Scusa se mi intrometto qui, ma vorrei chiederti di nuovo se confermi
che la figura e' quella che hai linkato qui:
http://web.math.unifi.it/users/paolini/tmp/g.png
perche' a me, come ho gia' scritto, viene differente (una specie di
sfera schiacciata verso il piano x=0).
?manu*
>
> Scusa se mi intrometto qui, ma vorrei chiederti di nuovo se confermi
> che la figura e' quella che hai linkato qui:
>
> http://web.math.unifi.it/users/paolini/tmp/g.png
s�, confermo. L'asse delle x � un po' allungato... guarda le misure.
> perche' a me, come ho gia' scritto, viene differente (una specie di
> sfera schiacciata verso il piano x=0).
Non so che dire. L'equazione polare che avevi dato � giusta. Se hai un
disegno postalo da qualche parte...
E.
Luciano Buggio
(cut)
>
> >http://web.math.unifi.it/users/paolini/tmp/g.png
>
(cut)
Non ho seguito il dibattito ed ho visto questo grafico solo dopo aver
postato il mio contributo.
In tema di conferme vorrei che tu mi assicurassi, avendo tu fatto i
calcoli, che nel tuo uovo la gravità al polo minore (ninor
curvatura) è maggiore di quella al polo maggiore (maggior curvatura),
e dirmi se questo è generalizzzabile a tutte le uova (ovali con poli
diversamente curvati), compreso il mio..
Ciao.
luciano buggio
Luciano Buggio
>
> Mi viene il sospetto che il solido trovato da ?manu* sia quello che in
> un punto della superficie (l'origine) da' luogo al campo minimo
> ottenibile per fissate densita' e volume.
> Ho provato a calcolare il campo nell'altro punto in cui l'asse x
> interseca la superficie, ma ottengo un integrale che non riesco a
> risolvere.
Mi sono deciso a dare un'occhiata al dibattito ed ho trovato questo,
che mi sembra interesante.
particella di sodio.
Luciano Buggio
> particella di sodio.
Se interessa, per lavorarci meglio (ma non credo), l'equazione
cartesiana del mio uovo (cià girato, col polo maggiore nell'origine)
è:
(x^2+y^2)^3/2=2Rx^2
R è il semiasse maggiore.
Luciano Buggio
Di passaggio a nord ovest
> Comunque pensandoci, ponendo delle restrizioni sul tipo di superficie
> si pu� giungere a dei primi risultati.
>
> Per esempio consideriamo corpi cilindrici....
> Allora il problema diventa lo studio di una figura piana,
> che � una linea chiusa.
> Parlando di deformazioni di corpi cilindrici - che restano cilindrici -
> si pu� dedurre che l' area della sezione � costante.
>
> Quindi, partendo da una figura piana, si tratta di vedere come varia
> la forza di gravit� in un punto (dell' involucro convesso?),
> al variare della forma e si passa da una forma all' altra per mezzo di un'
> omotopia.
> Quindi possiamo prender come figura iniziale un cerchio di raggio 1,
> e lo centriano nel' origine del sistema cartesiano 0xy.
Ok
> E' facile intuire che il punto a massima gravit� per questa figura � l'
> origine.
> Ora per mezzo di un' omotopia possiamo passare da questa figura (cerchio)
> a un' altra.
>
> Ma semplifichiamo ulteriormente, come prima deformazione
> al posto di un' omotopia consideriamo
> una piccola traslazione della sezione AB sulla asse x
> con A=(-1,0) B=(1,0). Otterniamo A'B'.
> Si pu� dimostrare che nei punti (chiamiamoli P') del segmento A'B'
> traslato
> la forza di gravit� data dai contributi della figura venutasi a creare �
> inferiore a quella
> che avevano i medesimi punti (denominati P) prima di essere traslati.
> Inoltre nel punto O =(0,0) considerato prima e dopo la traslazione,
> si ma maggiore forza di gravit� quando la figura � un cerchio,
> perch� il contributo alla gravit� dato dal segmentino AA' (perduto)
> non � compensato da quello acquistato BB' (acquistato)
> (visto come varia la forza di gravit�, non linearmente
> e con l' inverso del quadrato della distanza).
>
> Quindi il centro di un disco � un massimo relativo.
^^^^^^^^^^^^^^^^^
Massimo nel centro del disco? Assolutamente no!
E' un palese errore,. un abbaglio,
e nessuno mi ha corretto il mio post, ahi ahi ahi :(
Meglio segnalarlo; sai mai i posteri.... :p
MA dov
Ciauuuz
cometa_luminosa
>
> > Scusa se mi intrometto qui, ma vorrei chiederti di nuovo se confermi
> > che la figura e' quella che hai linkato qui:
>
> >http://web.math.unifi.it/users/paolini/tmp/g.png
>
>
> > perche' a me, come ho gia' scritto, viene differente (una specie di
> > sfera schiacciata verso il piano x=0).
>
> disegno postalo da qualche parte...
L'ho postato qui:
http://www.thenakedscientists.com/forum/index.php?action=dlattach;topic=27694.0;attach=10920
Elio Fabri
> Perché se ci fossero punti che contribuiscono meno e punti che
> contribuiscono di più, prendo uno di quelli che contribuiscono meno e
> lo metto in una posizione in cui contribuisce di più. Nell'altro
> messaggio ho spiegato meglio la cosa.
>
> Credo che questo metodo di chiami il "principio della vasca da bagno".
Ovvio, ora che me l'hai spiegato...
Quello che mi turba assai e' come mai non mi fosse venuto in mente, e
soprattutto come mai l'idea mi riesca nuova, cosi' come il nome del
principio.
Cmq grazie.
--
Elio Fabri
Tetis
Forse perché è un metodo relativamente nuovo dell'analisi convessa,
c'è un libro di analisi che è tutto basato su questi argomenti: il
Loss and Lieb. Anche in quel caso dopo che lo leggi ti chiedi e come
mai non è stato escogitato prima, fa una certa impressione vedere
dimostrata una serie di risultati classici piuttosto difficili di
teoria delle funzioni armoniche, e quindi di teoria dei campi,
dimostrati in due balletti con questo genere di principi.
cometa_luminosa
> > che la figura e' quella che hai linkato qui:
>
> >http://web.math.unifi.it/users/paolini/tmp/g.png
>
Hai ragione, dopo aver "stirato" un po' il mio disegno lungo l'asse x
viene la stessa forma. La cosa curiosa pero' e' che non sono riuscito
a riconoscere la stessa forma finche' non ho separato una sola curva
dalle altre (cancellandole) nel tuo disegno...
Effetto ottico?
Ciao.
cometa_luminosa
http://en.wikipedia.org/wiki/Nephroid
http://www.mathcurve.com/courbes2d/nephroid/nephroid.shtml
Tetis
> El Filibustero ha scritto:
>
> > Congratulazioni a te e ?manu*. Effettivamente, con l'ipotesi di simmetria
> > cilindrica il problema si semplifica di molto.
>
> la candidata soluzione A che abbiamo già descritto e supponi sia invece
> B la soluzione ottimale, che ti dà un campo massimo nello stesso
> punto (l'origine) e con la stessa direzione (l'asse delle x). Siccome A
> e B hanno, per ipotesi, lo stesso volume, se sono diversi puoi trovare
> dei punti di A che non stanno in B e dei punti di B che non stanno in A.
> Supponendo che A e B siano entrambi aperti (ipotesi di comodo,
> fisicamente sensata e che comunque si potrebbe anche eliminare), puoi
> trovare una piccola palletta tutta contenuta in A\B e un'altrettanto
> piccola palletta tutta contenuta in B\A. Ora per come è stato costruito
> A la palletta fuori da A dà un contributo al campo nell'origine
> inferiore alla palletta in A.
Probabilmente avete già discusso di questo con Bruno e Cometa
Luminosa, comunque scritto in questo modo mi sembra che si possa
obiettare legittimamente che stai assumendo la tesi nella
dimostrazione, infatti per costruzione A è l'ottimo fra le geometrie a
simmetria cilindrica ed invece si vuole dimostrare che lo sia anche
fra le geometrie qualsiasi. E' comunque sufficiente considerare le
sezioni piane, ad x costante, e dimostrare con lo stesso modo che
proponi che la sezione piana di massima componente x dell'attrazione
gravitazionale è quella circolare. Infatti si può considerare la
componente x, di un elemento dx dy, posto a distanza y come una misura
secondaria oltre quella euclidea e si sta cercando la geometria di
misura massima fra quelle che hanno area costante. In generale per una
misura la cui densità è una funzione continua le cui curve di livello
descrivono un sistema regolare (ogni insieme di livello è cioè un
insieme connesso di codimensione 1) si può dimostrare agevolmente, nel
modo che proponi, che la geometria cercata coincide con la parte di
spazio, di volume dato, che ha per bordo un insieme di livello.
> Scambiando le due pallette in B otterresti
> quindi un insieme B' migliore di B. Dunque B non era ottimo.
>
> Questo ragionamento dimostra che se l'insieme ottimale c'è esso è A.
> Bisognerebbe poi dimostrare che effettivamente l'insieme ottimale
> esiste, ma questo dovrebbe essere banale, mettendosi nello spazio degli
> insiemi misurabili con la distanza data dalla misura della differenza
> simmetrica.
>
> E.
Tetis
> La figura di cui stiamo parlando e' simile alla "Nefroide":
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Nephroidhttp://www.mathcurve.com/courbes2d/nephroid/nephroid.shtml
Ricordo che già una volta avevamo incontrato questa curva in questo
ng. Ma non ne ricordo più esattamente il motivo, solo che quella volta
era emersa in coordinate polari nella forma:
r(t) = a (sen(t))^(1/2)
non mi riesce di ritrovare il thread. Anche l'interpretazione è
piuttosto graziosa, in pratica si considera una sfera vista da un
punto proprio della medesima e si applica la mappa:
r --> sqrt(r).
Si tratta esattamente della sestica:
r^6 = a^4 r^2 sen^2(t)
(x^2+y^2)^3 = a^4 y^2
Anche quella volta avevo cercato, senza successo, se fosse una curva
nota in letteratura.
Tetis
> On 24 Dic, 13:51, cometa_luminosa <alberto.r...@virgilio.it> wrote:
>
> > La figura di cui stiamo parlando e' simile alla "Nefroide":
>
>
> Ricordo che già una volta avevamo incontrato questa curva in questo
> ng. Ma non ne ricordo più esattamente il motivo, solo che quella volta
> era emersa in coordinate polari nella forma:
>
> r(t) = a (sen(t))^(1/2)
>
> non mi riesce di ritrovare il thread. Anche l'interpretazione è
> piuttosto graziosa, in pratica si considera una sfera vista da un
> punto proprio della medesima e si applica la mappa:
>
> r --> sqrt(r).
>
> Si tratta esattamente della sestica:
>
> r^6 = a^4 r^2 sen^2(t)
>
> (x^2+y^2)^3 = a^4 y^2
>
> Anche quella volta avevo cercato, senza successo, se fosse una curva
> nota in letteratura.
Il potenziale prodotto da un dipolo d è espresso come d grad(1/r)
ovvero se il dipolo è lungo x:
2 d x/(x^2+y^2)^(3/2)
la cui superficie equipotenziale è proprio della forma:
k x^2 = (x^2+y^2)^3
forse era a proposito del potenziale di dipolo che avevamo già
incontrato questa sestica?
Luciano Buggio
> la cui superficie equipotenziale è proprio della forma:
>
> k x^2 = (x^2+y^2)^3
>
> forse era a proposito del potenziale di dipolo che avevamo già
> incontrato questa sestica?
Il campo del dipolo mi pare sia col secondo termine sotto radice, se
non erro:
k x^2 = (x^2+y^2)^3/2
Che in in coordinate polari è:
r=sin(t)^2
Vi prego, rispondetermi.
Perchè non mi dite che dico cazzate, se le dico?
Lo si può stabilire, no?
Non mi offendo mica!
L.B.
Elio Fabri
> Forse perch=E9 =E8 un metodo relativamente nuovo dell'analisi
> convessa, c'=E8 un libro di analisi che =E8 tutto basato su questi
> argomenti: il Loss and Lieb. Anche in quel caso dopo che lo leggi ti
> impressione vedere dimostrata una serie di risultati classici
> piuttosto difficili di teoria delle funzioni armoniche, e quindi di
> teoria dei campi, dimostrati in due balletti con questo genere di
> principi.
--
Elio Fabri
Tetis
> > la cui superficie equipotenziale è proprio della forma:
>
> > k x^2 = (x^2+y^2)^3
>
> > forse era a proposito del potenziale di dipolo che avevamo già
> > incontrato questa sestica?
>
> Il campo del dipolo mi pare sia col secondo termine sotto radice, se
> non erro:
>
> k x^2 = (x^2+y^2)^3/2
Non parlo del campo di dipolo, che del resto è un vettore, ma del
potenziale di dipolo che è esattamente quello che ho scritto prima.
Familiarmente per dipolo lungo l'asse z è d*z/r^3 dove z/r è funzione
dei soli angoli ed è proporzionale ad Y_{1,0} (cioè, come giusto, non
dipende dall'angolo azimutale, per via della simmetria cilindrica del
potenziale rispetto intorno al vettore di dipolo) in generale è \vec
{d} \dot \vec{r} / r^3.
Quindi esplicitando r = (x^2+y^2)^(1/2) risulta:
V = d z/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
e quindi:
(dz/V)^2 = (x^2+y^2+z^2)^3
come equazione della superficie esterna del volume e specializzata al
piano y = 0:
kz^2 = (x^2 + z^2)^3
cioè l'equazione della superficie che si ricava con il metodo
variazionale.
Tetis
Penso di essermi ricollegato a quello che dici, l'equazione che hai
scritto è l'equazione delle curve integrali del campo di dipolo,
ovvero di curve ortogonali alle curve isopotenziali che sono emerse in
questo thread. Il modo più veloce per riconoscere la circostanza è
scrivere i due sistemi di curve in forma di luogo di zeri di funzioni
algebriche:
per le isopotenziali:
(x^2+y^2)^3 - ax^2 = 0
per le curve integrali del campo (dette anche linee del campo):
(x^2+y^2)^3 - by^4 = 0
a questo punto si considera il prodotto scalare del gradiente della
prima funzione algebrica e del gradiente della seconda equazione
algebrica ed imponendo la condizione che siano verificate entrambe le
equazioni ho ottenuto che questo prodotto scalare è nullo. Q.E.D.
Infatti:
3(x^2+y^2)^2 (2x,2y) -(2ax,0)
3(x^2+y^2)^2 (2x,2y) -(0,4by^3)
danno luogo al prodotto scalare:
36(x^2+y^2)^5 -12ax^2 * (x^2+y^2)^2 - 24by^4 * (x^2+y^2)^2
e sostituendo in 4ax^2 e by^4 -> 4(x^2+y^2)^3 risulta l'ortogonalità.
Si può vedere questo sistema di curve ortogonali come limite di un
altro sistema di curve algebriche: le isopotenziali e le linee di
campo di due cariche uguali e contrarie. Ma di che ordine sono queste
altre curve, a me risultano di ottavo ordine, ma non ho
ricontrollato.
A proposito di potenziali e campi un sistema di superfici piuttosto
ricco di proprietà sofisticate è dato dalle quartiche che intervengono
nella soluzione dell'equazione di Laplace, i cosiddetti sistemi di
coordinate ciclidiche. Esiste un nesso fra queste ultime coordinate e
le curve testé discusse?
Infine un'ultima osservazione: la componente zeta del campo
gravitazionale generato da una massa puntiforme è identica al
potenziale del campo di dipolo orientato nella medesima direzione zeta
e quindi le sue linee di livello sono ancora una volta le sestiche
emerse indipendentemente da questo thread.
Luciano Buggio
(buggio wrote)
> > > Che in in coordinate polari è:
> > > r=sin(t)^2
>
> Penso di essermi ricollegato a quello che dici, l'equazione che hai
> scritto è l'equazione delle curve integrali del campo di dipolo,
> ovvero di curve ortogonali alle curve isopotenziali che sono emerse in
> questo thread.
Più semplicemente, si può dire che è l'equazione (questo "doppio
uovo") che dà l'intensità del campo elettrico (e conseguente
magnetico) emesso dal dipolo oscillante su un piano qualsiasi che lo
contiene (t=0 è la direzione in cui è collocato il dipolo stesso)?
Ma veniamo, per cortesia, al problema di massimo posto da El
Filibistero.
r=sin(t)^2 (limiitiamoci a 0<=t<=p, a considerare cioè solo metà
della curva)
E' un ovale con asse maggiore e minore, e curvature diverse ai due
estremi dell'asse maggiore, che chiamerò poli.
Chiamiamolo uovo.
Non che sia l'unica curva ad uovo che si possa trovare, ma mi pare che
non risponda ai requisiti quella trovata qui non mi ricordo da chi, il
quale anche parlava di forma ad uovo di un suo diartamma:
------------------------------------------
> http://web.math.unifi.it/users/paolini/tmp/g.png
sì, confermo. L'asse delle x è un po' allungato... guarda le misure.
------------------------------------------
La figura è quella di un uovo, ma poi vien detto che l'asse maggiore è
allungato, ed allora, riportando la forma alle sue proporzioni, ne
vien fuori una mela.
Ma inglobiamo tra le candidate alla soluzione del problema di massimo
anche le curve chiuse a forma di cerchio schiacciato da una parte,
anzichè "allungato" da una parte.
Quindi non capisco cosa c'entri un'altra curva qui proposta,
un'epicicloide con passo uguale alla semicirconferenza deferente su
cui la piccola circonferenza rotola, che non vale perchè il caco si è
spiaccicato sulla tavola, e non esiste il polo minore.
In ogni modo non ho capito se è stata trovata la soluzione al problema
posto con questo 3d, mi pare di no.
Mi pare che siamo fermi alla domanda (che tra l'altro non ho fatto
io, io l'ho solo rilanciata perchè mi sembrava andare verso la
verifica della ipotesi da me fatta col mio uovo)
**E' maggiore la gravità al polo maggiore o al polo minore?***
Qualcuno nel frattempo ha smesso di giocare col pongo e si è messo a
fare i calcoli (io non ne sono capace):-)?
Tu che mi dici?
E' candidato il polo maggiore (quello con maggior curvatura, poi
naturalemne bisogna vedere anche tutti gli altri punti della curva) o
quello minore?
Luciano Buggio
http://www.lucianobuggio.altervista.org
Tetis
> On 25 Dic, 04:19, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>
> (buggio wrote)
>
> > > > Che in in coordinate polari è:
> > > > r=sin(t)^2
>
> > Penso di essermi ricollegato a quello che dici, l'equazione che hai
> > scritto è l'equazione delle curve integrali del campo di dipolo,
> > ovvero di curve ortogonali alle curve isopotenziali che sono emerse in
> > questo thread.
>
> Più semplicemente, si può dire che è l'equazione (questo "doppio
> uovo") che dà l'intensità del campo elettrico (e conseguente
> magnetico) emesso dal dipolo oscillante su un piano qualsiasi che lo
> contiene (t=0 è la direzione in cui è collocato il dipolo stesso)?
Quante cose che metti sullo stesso piano. Il campo elettrico ed il
campo magnetico prodotti da un dipolo oscillante sono differenti. Le
considerazioni fatte riguardano con certezza solo l'approssimazione di
campo prossimo, ovvero il limite elettrostatico oppure, eventualmente,
il limite magnetostatico. E' chiaro che nell'approssimazione di campo
prossimo, per un dipolo oscillante, il campo magnetico H è
trascurabile. Poi, come farebbe questo doppio uovo di cui tu parli a
dare l'intensità del campo elettrico? Io so per certo che il gradiente
della funzione algebrica di cui io parlavo (x^2+y^2+z^2)^3 = (V/d)^2
z^2 dà il campo di direzioni del campo elettrico, come ho spiegato e
le linee integrali, su qualsiasi piano che contenga il vettore di
dipolo, di questo campo di direzioni può essere descritto dalla curva
di cui tu parli ed ha equazioni polari del tipo di quella riportata in
cima a questo post. Infine, la direzione in cui è orientato il dipolo
è tangente al "doppio uovo" di cui parli, cioè è parallella all'asse
minore, pensa alle linee di campo di una barra magnetica se ti risulta
più semplice. Ovviamente, invece le curve isopotenziali di cui
parlavamo io, manu e Maurizio sono, nell'origine, ortogonali alla
direzione del dipolo.
> Ma veniamo, per cortesia, al problema di massimo posto da El
> Filibistero.
>
> r=sin(t)^2 (limiitiamoci a 0<=t<=p, a considerare cioè solo metà
> della curva)
>
> E' un ovale con asse maggiore e minore, e curvature diverse ai due
> estremi dell'asse maggiore, che chiamerò poli.
> Chiamiamolo uovo.
> Non che sia l'unica curva ad uovo che si possa trovare, ma mi pare che
> non risponda ai requisiti quella trovata qui non mi ricordo da chi, il
> quale anche parlava di forma ad uovo di un suo diartamma:
>
> ------------------------------------------
>
> >http://web.math.unifi.it/users/paolini/tmp/g.png
>
> sì, confermo. L'asse delle x è un po' allungato... guarda le misure.
> ------------------------------------------
Le ovali hanno spesso forme molto lontane dalle uova, ma continuano a
chiamarsi ovali, molti si accontentano della definizione: curva
chiusa, bordo di un dominio convesso, con almeno un asse di simmetria,
io preferisco aggiungere l'ipotesi che il bordo sia liscio.
> La figura è quella di un uovo, ma poi vien detto che l'asse maggiore è
> allungato, ed allora, riportando la forma alle sue proporzioni, ne
> vien fuori una mela.
Non c'è modo di deformare un corpo convesso ad una mela che non è
convessa.
> Ma inglobiamo tra le candidate alla soluzione del problema di massimo
> anche le curve chiuse a forma di cerchio schiacciato da una parte,
> anzichè "allungato" da una parte.
Ma perché avere pregiudizi sulle soluzioni? Uno imposta il problema e
la/e soluzione/i che ottiene è/sono quella/e. Prima di leggere gli
altri contributi io stesso ho impostato il problema in termini
variazionali per simmetria cilindrica ed ho ottenuto la sestica:
(x^2+y^2)^3 = ky^2
per poi riscoprire con calma che si tratta della curva isopotenziale
di dipolo. Quella che proponi tu non è una soluzione per questo
problema, sebbene le sia imparentata dal fatto che si tratta delle
linee di campo di dipolo. Se poi uno ha un argomento solido per
aspettarsi a priori che la soluzione sia per esempio curva di livello
per una funzione armonica ed è capace, con qualche altro argomento, di
divinarne l'ordine allora va bene, in caso contrario, boh?
> Quindi non capisco cosa c'entri un'altra curva qui proposta,
> un'epicicloide con passo uguale alla semicirconferenza deferente su
> cui la piccola circonferenza rotola, che non vale perchè il caco si è
> spiaccicato sulla tavola, e non esiste il polo minore.
Io non ho proposto alcuna epicicloide e nemmeno Manu o Maurizio, o
Bruno, chi ne ha parlato? Chissà se c'è un nesso? Ne so così poco che
non escluderei uno strano gioco di dualità fra evolventi o caustiche
che porti dall'una all'altra, per lo meno in qualche approssimazione.
Ad esempio riportando lungo l'asse ortogonale ad ogni punto un
segmento proporzionale alla curvatura dell'isopotenziale di dipolo si
ottiene una curva angolosa nel punto di curvatura minima che è zero,
ma se si considera la linea delle curvature per la curva del campo di
dipolo si ottiene una curva con cuspide. Infatti l'andamento nei
pressi del dipolo della linea di campo di dipolo è approssimato dalla
curva: y = x^(3/2) la cui derivata seconda a meno di una costante va
come x^(-1/2) che è una cuspide. Il che però largamente esula dalla
specificità del problema, senza, però, essere meno stimolante.
> In ogni modo non ho capito se è stata trovata la soluzione al problema
> posto con questo 3d, mi pare di no.
Ma si che è stata trovata non solo una soluzione candidata bensì
proprio l'unica soluzione.
> Mi pare che siamo fermi alla domanda (che tra l'altro non ho fatto
> io, io l'ho solo rilanciata perchè mi sembrava andare verso la
> verifica della ipotesi da me fatta col mio uovo)
> **E' maggiore la gravità al polo maggiore o al polo minore?***
>
> Qualcuno nel frattempo ha smesso di giocare col pongo e si è messo a
> fare i calcoli (io non ne sono capace):-)?
pongo: das :-)
> Tu che mi dici?
> E' candidato il polo maggiore (quello con maggior curvatura, poi
> naturalemne bisogna vedere anche tutti gli altri punti della curva) o
> quello minore?
Il polo dove la curvatura della superficie è nulla è risultato quello
di massima gravità nel caso della soluzione.
> Luciano Buggiohttp://www.lucianobuggio.altervista.org
Tetis
>
> (buggio wrote)
>
> > > > Che in in coordinate polari è:
> > > > r=sin(t)^2
>
> > Penso di essermi ricollegato a quello che dici, l'equazione che hai
> > scritto è l'equazione delle curve integrali del campo di dipolo,
> > ovvero di curve ortogonali alle curve isopotenziali che sono emerse in
> > questo thread.
>
> Più semplicemente, si può dire che è l'equazione (questo "doppio
> uovo") che dà l'intensità del campo elettrico (e conseguente
> magnetico) emesso dal dipolo oscillante su un piano qualsiasi che lo
> contiene (t=0 è la direzione in cui è collocato il dipolo stesso)?
Ecco, mi sono riconnesso anche con questo. Si può dire che per il
campo elettromagnetico a grande distanza: la potenza per unità di
angolo solido con angolo azimutale \theta rispetto alla direzione del
dipolo, a distanza R assegnata, per una frequenza caratteristica ben
definita è I=I_max sen(\theta)^2. Il diagramma polare corrispondente è
sempre quello di una sestica, come già si è detto, riportando
spazialmente per ogni direzione un punto a distanza proporzionale
all'intensità radiante in quella direzione si descrive una superficie
di equazione: (x^2+y^2+z^2)^3 = a(x^2+y^2)^2. La sua forma è la stessa
della forma delle linee integrali del campo prossimo, ma diversa,
dalla forma delle isopotenziali, che sono invece le soluzioni del
problema posto: (x^2+y^2+z^2)^3 = b z^2 e che al variare di b formano
un sistema di superfici ortogonali. Per quanto riguarda l'ampiezza
massima del campo elettrico radiante a distanza assegnata l'equazione
è quella di semplici circonferenze passanti per l'origine: |E| = |
E_max| sen(\theta), l'equazione algebrica di queste superfici è una
quartica: (x^2+y^2+z^2)^2 =a(x^2+y^2). E lo stesso per il campo
magnetico. Tuttavia riguardo alla direzione di questi campi le cose
vanno molto diversamente: le linee di campo del campo magnetico ad un
tempo dato sono semplici circonferenze intorno all'asse del dipolo,
mentre per il campo elettrico, che nell'approssimazione di campo
vicino dà luogo a curve di equazione polare ancora del tipo sen(\theta)
^2, nell'approssimazione radiativa dà invece luogo a semplici
circonferenze, di equazione, nelle coordinate di un piano, ad esempio
del piano x,z: (x^2+y^2) = k. Questi linee integrali chiuse sono
caratteristiche, come vedi, di campi non conservativi che cioè non
derivano dal gradiente di un potenziale, diversamente dalle linee
integrali del campo prossimo.
Luciano Buggio
Mi spiace averti fatto impiegare quel tempo per precisare le
caratteristiche del campo d adipolo, fcenbdoti restare fuori tema.
Comunque ti ringrazio.
On 26 Dic, 01:32, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
-------------------
>
> Le ovali hanno spesso forme molto lontane dalle uova, ma continuano a
> chiamarsi ovali, molti si accontentano della definizione: curva
> chiusa, bordo di un dominio convesso, con almeno un asse di simmetria,
> io preferisco aggiungere l'ipotesi che il bordo sia liscio.
>
> > La figura è quella di un uovo, ma poi vien detto che l'asse maggiore è
> > allungato, ed allora, riportando la forma alle sue proporzioni, ne
> > vien fuori una mela.
>
> Non c'è modo di deformare un corpo convesso ad una mela che non è
> convessa.
Scusa intendevo per "mela" non la sezione meridiana di una mela, che
presenterebbe una concavità, ma la proiezione meridiana di una mela,
la sua ombra proiettata di fianco.
Ho usato la mela per restare in gastronomia: meglio sarebbe stato
parlare di una palla di gelatina appoggiata sul piatto. o di un palla
di gomma fotografata a contatto con una parete su cui sta rimbalzando
a metà del rimbalzo, anche se secondo me nessuna delle due va ancora
bene perchè dalle parti del polo minore la curva diventa un segmento,
come nel profilo della mela.
Ho differenziato questa forma perchè credevo che comunque gli "ovali"
di rotazione (che comprendono anche una parte gli elisssoidi di
rotazioni intorno all'asse maggiore), abbiano o meno un solo asse per
la simmetria speculare, dovessero comunque avere l'asse maggiore che
congiunge i due poli.
>
>
> > Quindi non capisco cosa c'entri un'altra curva qui proposta,
> > un'epicicloide con passo uguale alla semicirconferenza deferente su
> > cui la piccola circonferenza rotola, che non vale perchè il caco si è
> > spiaccicato sulla tavola, e non esiste il polo minore.
>
> Io non ho proposto alcuna epicicloide e nemmeno Manu o Maurizio, o
> Bruno, chi ne ha parlato?
Non so chi, dovrei andare a riguardfare: questo è il link che ha
fornito.
http://en.wikipedia.org/wiki/Nephroid
> > E' candidato il polo maggiore (quello con maggior curvatura, poi
> > naturalemne bisogna vedere anche tutti gli altri punti della curva) o
> > quello minore?
>
> Il polo dove la curvatura della superficie è nulla è risultato quello
> di massima gravità nel caso della soluzione.
Qui finalmente ho una risposta: ma non dici quel'è la curva.
Qual'è? Ne è stato tracciato qui il diagramma?
Inoltre, non capisco come ad un polo, sia esso anche il minore, la
curvatura sia nulla.
Ne sei sicuro?
Ciao.
Luciano Buggio
http://www.lucianobuggio.altervista.org
cometa_luminosa
> Tetis ha scritto:
> > Io non ho proposto alcuna epicicloide e nemmeno Manu o Maurizio, o
> > Bruno, chi ne ha parlato?
>
> Non so chi, dovrei andare a riguardfare: questo è il link che ha
> fornito.
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Nephroid
Il link l'ho postato io, ma ho spiegato che la Nefroide e' *simile*
alla curva cercata, non che e' uguale. Prendendo, invece dell'esatta
Nefroide del link ( rho(teta) = Rad [10 + 6cos(2teta)] ), quella
particolare: rho(teta) = Rad [(1/2) + (1/2)cos(2teta)] = |cos(teta)|,
risulta che il raggio di questa Nefroide e' il quadrato di quello
della curva cercata.
Luciano Buggio
E' questa la soluzione del problema di massimo posto da El
Filibustero?
Confermate tutti che il punto in cui la gravità è massima è il "polo
minore" (a sinistra nella figura)?
Scusate la pignoleria, voglio essere certo di avere capito bene.
Luciano buggio.
Luciano Buggio
Scusate, ho dimenticato di incollare.
E' questa la curva?
http://www.thenakedscientists.com/forum/index.php?action=dlattach;top...
Luciano Buggio
Luciano Buggio
(cut)
> E' questa la curva?
>
> http://www.thenakedscientists.com/forum/index.php?action=dlattach;top...
>
> Luciano Buggio
Stavolta non appare.
Provo così:
http://www.google.com/url?sa=D&q=http://www.thenakedscientists.com/forum/index.php%3Faction%3Ddlattach%3Btopic%3D27694.0%3Battach%3D10920&usg=AFQjCNHMKYvk_2n68t1XcwqTBFVkdXeUqQ
L.B.
cometa_luminosa
> Stavolta non appare.
> Provo così:http://www.google.com/url?sa=D&q=http://www.thenakedscientists.com/fo...
>
Si, e' questa. Il punto con la massima gravita' e' quello a sinistra,
ovvero il centro della circonferenza.
Luciano Buggio
Ti ringrazio.
Ho trovato in questo 3d che in quel punto la curvatura è nulla.
(definisco raggio di curvatura quello della massima circonferenza
internamente tangente nel punto: se la curvatura è nulla tale raggio è
infinito).
Confermi?'.
Ciao.
Luciano.Buggio
Luciano Buggio
Thetis
> > E' candidato il polo maggiore (quello con maggior curvatura, poi
> > naturalemne bisogna vedere anche tutti gli altri punti della curva) o
> > quello minore?
>
> Il polo dove la curvatura della superficie è nulla è risultato quello
> di massima gravità nel caso della soluzione.
Curvatura nulla?
Sei sicuro?
Definisco raggio di curvatura quello della massima circonferenza
internamente tangente nel punto: se la curvatura è nulla tale raggio è
infinito..
Confermi?'.
Ciao.
Luciano.Buggio
cometa_luminosa
> Thetis
>
> > > E' candidato il polo maggiore (quello con maggior curvatura, poi
> > > naturalemne bisogna vedere anche tutti gli altri punti della curva) o
> > > quello minore?
>
> > Il polo dove la curvatura della superficie è nulla è risultato quello
> > di massima gravità nel caso della soluzione.
>
> Curvatura nulla?
> Sei sicuro?
> Definisco raggio di curvatura quello della massima circonferenza
> internamente tangente nel punto: se la curvatura è nulla tale raggio è
> infinito..
> Confermi?'.
Si, la curvatura e' nulla in x = 0 (punto di massima gravita' della
superficie); nell'altro polo (x = 1 nella curva che ho postato) la
curvatura invece e' non nulla.
Comunque la definizione di raggio di curvatura e' differente: e' il
raggio del cerchio osculatore.
Luciano Buggio
Credo che ci sia una sola definizione di raggio di curvatura.
Probabilmene quella che ho chiamato "la massima circonferenza
internamente tangente" è nient'altro che il cerchio osculatore.
Però abbi pazienza: Se la curvatura è tanto minore quanto maggiore è
il raggio di curvatura, per curvatura nulla che cosa si intende?
Quanto vale il raggio di curvatura per curvatura nulla in un punto?
Luciano Buggio
Grazie per la risposta.
Fatal_Error
"Luciano Buggio" <bug...@libero.it> ha scritto nel messaggio
news:fa4d2270-ddf3-45b0...@a21g2000yqc.googlegroups.com...
>Quanto vale il raggio di curvatura per curvatura nulla in un punto?
Curvatura nulla, raggio di curvatura infinito....
Patrizio
> > Curvatura nulla?
> > Sei sicuro?
> > Definisco raggio di curvatura quello della massima circonferenza
> > internamente tangente nel punto: se la curvatura è nulla tale raggio è
Tale def. di curvatura e' errata(*). La curvatura K
(inverso del raggio di curvatura R) di una curva y = f(x) e'
K = y''/[(1+(y')^2]^(3/2) (1),
ammesso che nel punto di interesse x_0
y' e y'' esistano o almeno esistano i loro limiti
(qualcuno mi corregga se l'enunciato che ho dato
non e' 'preciso', non sono un addetto ai lavori).
Per esempio, se y = 1/2*x^2 (parabola), la curvatura
sul vertice (x_0 = 0, y = f(0) = 0), risulta, per la (1),
(y' = x = 0; y'' = 1) K(f(0)) = 1/[1+0^2]^(3/2) = 1
e quindi R(f(0)) = 1/1 = 1 e questo e'
il raggio del cerchio osculatore (vedi sotto quanto
scrive cometa_luminosa).
> > infinito..
Se, per x ----> x_0, K(f(x_0)) ----> 0 e' evidente
che R(f(x_0)) ivi tende a inf. (e viceversa, prova a
calcolare la K(g(x)) con g(x) = x^(1/2) per x ----> 0
da destra.
> > Confermi?'.
>
> Si, la curvatura e' nulla in x = 0 (punto di massima gravita' della
> superficie); nell'altro polo (x = 1 nella curva che ho postato) la
> curvatura invece e' non nulla.
scusatemi, ho seguito poco in questo lungo thread,
qual e' la forma analitica della funzione di cui stiamo
parlando?
> Comunque la definizione di raggio di curvatura e' differente: e' il
> raggio del cerchio osculatore.
(*) - Secondo la *tua* definizione, R non potrebbe
mai tendere a infinito (o a 0): prova con
f(x) = radice(1-x^4)
in x = 0, oppure x = 1.
grazie,
Patrizio
Luciano Buggio
> On 29 Dic, 01:28, cometa_luminosa <alberto.r...@virgilio.it> wrote:
>
> > > Confermi?'.
>
> > Si, la curvatura e' nulla in x = 0 (punto di massima gravita' della
> > superficie); nell'altro polo (x = 1 nella curva che ho postato) la
> > curvatura invece e' non nulla.
>
> scusatemi, ho seguito poco in questo lungo thread,
> qual e' la forma analitica della funzione di cui stiamo
> parlando?
>
> > Comunque la definizione di raggio di curvatura e' differente: e' il
> > raggio del cerchio osculatore.
>
> (*) - Secondo la *tua* definizione, R non potrebbe
> mai tendere a infinito (o a 0): prova con
> f(x) = radice(1-x^4)
> in x = 0, oppure x = 1.
Nemmeno io sono un addetto ai lavori.
Se ho insistito qui per avere la conferma che 'per curvatura nulla in
un punto avremmo raggio di curvaura infinito, e perchè questo non mi
pare possibile se non per tutti i punti di una retta o di un segmento.
Col che risulterebbe impossibile che un punto solo (come il punto in
questione, il polo minore della curva proposta come soluzione al
problema di massimo posto da El Filibustero).la curvatura sia
nulla:Quella curva dovrebbe essere per un tratto sovrapposta all'asse
delle y, ed intal caso non avrebbe un punto di polo maggiore, ed
inoltre ci sarebbero problemi di "raccordo" coi tratti curviline: da
che valore di y (uno positivo ed uno negativo), in su e in giù, la
curva cessa di avere curvatura nulla, di essere cioè un segmento?
Ed in quei punti la derivata prima non avrebbe una punta e la seconda
una discontinuità?
Nessun problema invece per quanto riguarda la curvatura infrinita
(R=0):
La curva chiusa in coordinate polari che io ho proposto
r=sin(t)^2 (0<t<p)
ha curvatura infinita al polo maggiore, dove ha un punto in comune
(l'unico) con la sua evoluta.
ciao
Luciano Buggio
http://www.lucianobuggio,altervista,org
> grazie,
> Patrizio
Tetis
Insisti a dire che il cerchio osculatore deve rimanere interno, ma
questo non è implicato dalla sua definizione. Dati tre punti per essi
passa un sol cerchio, avvicinando progressivamente due punti (sulla
curva) ad un punto terzo si delinea un processo di limite, procedendo
analiticamente ad impostare questo limite si trova facilmente il
raggio di curvatura se la curva è parametrizzata dall'ascissa del
grafico ed ha tangente orizzontale nel punto, la curvatura è in tal
caso la derivata seconda. Tipico esempio è la parabola: y(x) = x^2 che
ha curvatura 2 e raggio di curvatura 1/2, in tal caso se confronti
l'equazione della metà inferiore del cerchio osculatore, che contiene
il punto di tangenza:
1/2(1 - sqrt(1-(2x)^2))
con l'equazione della parabola:
x^2
trovi che il cerchio osculatore è interamente esterno alla parabola.
In particolare se metti a sistema le due equazioni trovi che i punti
di intersezione fra queste curve sono esattamente tre: il punto di
tangenza ed i punti estremi di definizione della metà inferiore
circonferenza: x^2 = 1. Per quanto riguarda esempi di curve il cui
raggio di curvatura tende ad infinito quando i tre punti si
approssimano ad uno solo basta considerare la curva:
y(x) = x^4.
ma anche la curva:
y(x) = |x|^3
entrambe queste curve hanno derivata seconda continua in zero (sebbene
la derivata terza della seconda sia invece discontinua) e la derivata
è nulla.
Patrizio
> On 29 Dic, 09:42, Patrizio <patrizio.pan-2...@libero.it> wrote:
> > On 29 Dic, 01:28, cometa_luminosa <alberto.r...@virgilio.it> wrote:
> Buggio wrote
> Nemmeno io sono un addetto ai lavori.
> Se ho insistito qui per avere la conferma che 'per curvatura nulla in
> un punto avremmo raggio di curvaura infinito, e perchè questo non mi
> pare possibile se non per tutti i punti di una retta o di un segmento.
Le rette sono un caso ovvio.
Le curve che hanno (in almeno un punto) K nulla
sono infinite: basta che y'' = 0: (vedi espressione
che hai tagliato, la (1)) !
Tutto cio' che dici di seguito mostra o che non
hai chiaro il concetto di curvatura, o (forse)
il concetto stesso di derivata. Al limite, forse,
che non lo *vuoi* accettare, ma questo e' un
tuo problema.
> Col che risulterebbe impossibile che un punto solo (come il punto in
> questione, il polo minore della curva proposta come soluzione al
> problema di massimo posto da El Filibustero).la curvatura sia
> nulla:Quella curva dovrebbe essere per un tratto sovrapposta all'asse
> delle y, ed intal caso non avrebbe un punto di polo maggiore, ed
> inoltre ci sarebbero problemi di "raccordo" coi tratti curviline: da
> che valore di y (uno positivo ed uno negativo), in su e in giù, la
> curva cessa di avere curvatura nulla, di essere cioè un segmento?
> Ed in quei punti la derivata prima non avrebbe una punta e la seconda
> una discontinuità?
> ciao
>
> Luciano Buggiohttp://www.lucianobuggio,altervista,org
Ciao Patrizio
Luciano Buggio
Adesso la cosa mi è abbastanza chiara: era questo che volevo, la
definizione di osculatore: io conoscevo solo quella definizione di
curvatura, e non avevo mai trovato che non è vero che la tangenza deve
essere solo interna.
Evidnetemente il testo in cui l'ho trovata (che non ricordo quale
fosse, ma spiegava nel dettaglio le evolute e mi era piaciuto molto) è
da buttare.
Grazie di nuovo..
Luciano Buggio
http://www.lucianobuggio.altervista.org
Luciano Buggio
> On 29 Dic, 11:04, Luciano Buggio <bugg...@libero.it> wrote:
>
> > On 29 Dic, 09:42, Patrizio <patrizio.pan-2...@libero.it> wrote:
> > > On 29 Dic, 01:28, cometa_luminosa <alberto.r...@virgilio.it> wrote:
> > Buggio wrote
> > Nemmeno io sono un addetto ai lavori.
> > Se ho insistito qui per avere la conferma che 'per curvatura nulla in
> > un punto avremmo raggio di curvaura infinito, e perchè questo non mi
> > pare possibile se non per tutti i punti di una retta o di un segmento.
>
> Le rette sono un caso ovvio.
>
> Le curve che hanno (in almeno un punto) K nulla
> sono infinite: basta che y'' = 0: (vedi espressione
> che hai tagliato, la (1)) !
>
> Tutto cio' che dici di seguito mostra o che non
> hai chiaro il concetto di curvatura,
Infatti.
Ma l'avevo definita, e bastava che qualcuno subito, quattro o cinque
post fa,mi dicesse che quella definizione era sbagliata.
> o (forse)
> il concetto stesso di derivata.
Questo no, non lo permetto.
Luciano Buggio.
http://www.lucianobuggio.altervsta.org
Patrizio
> On 29 Dic, 14:34, Patrizio <patrizio.pan-2...@libero.it> wrote:
> > On 29 Dic, 11:04, Luciano Buggio <bugg...@libero.it> wrote:
>
> > > On 29 Dic, 09:42, Patrizio <patrizio.pan-2...@libero.it> wrote:
> > > > On 29 Dic, 01:28, cometa_luminosa <alberto.r...@virgilio.it> wrote:
> > > Buggio wrote
> > > Nemmeno io sono un addetto ai lavori.
> > > Se ho insistito qui per avere la conferma che 'per curvatura nulla in
> > > un punto avremmo raggio di curvaura infinito, e perchè questo non mi
> > > pare possibile se non per tutti i punti di una retta o di un segmento.
>
> > Le rette sono un caso ovvio.
>
> > Le curve che hanno (in almeno un punto) K nulla
> > sono infinite: basta che y'' = 0: (vedi espressione
> > che hai tagliato, la (1)) !
>
> > Tutto cio' che dici di seguito mostra o che non
> > hai chiaro il concetto di curvatura,
>
> Infatti.
> Ma l'avevo definita, e bastava che qualcuno subito, quattro o cinque
> post fa,mi dicesse che quella definizione era sbagliata.
Tetis te l'ha mostrato in maniera molto chiara,
ma tutto sembra che tu non avessi recepito la (mia) (1).
Quando, rispondendomi, dicevi che
">Quella curva dovrebbe essere per un tratto sovrapposta all'asse
> delle y, ed intal caso non avrebbe un punto di polo maggiore, ed
> inoltre ci sarebbero problemi di "raccordo" coi tratti curviline: da
> che valore di y (uno positivo ed uno negativo), in su e in giù, la
> curva cessa di avere curvatura nulla, di essere cioè un segmento?"
ho avuto la nettissima sensazione sulla tua comprensione
del significato della derivazione (vattelappesca): segmento
lineare che non si sa bene come raccordarlo al resto della
curva (ridicolissimo, LOL), da cui il (mio) commento sotto.
> > o (forse)
>
> > il concetto stesso di derivata.
>
> Questo no, non lo permetto.
Urge dimostrazione !
> Luciano Buggio.http://www.lucianobuggio.altervsta.org
Ciao Patrizio
cometa_luminosa
> Se ho insistito qui per avere la conferma che 'per curvatura nulla in
> un punto avremmo raggio di curvaura infinito, e perchè questo non mi
> pare possibile se non per tutti i punti di una retta o di un segmento.
Non e' necessario che tu abbia un segmento per avere curvatura nulla,
e' sufficiente che la curva possa essere *approssimata ad un segmento*
almeno *al secondo ordine*, ovvero che la differenza tra la curva e la
circonferenza tenda a zero piu' velocemente del quadrato
dell'incremento della variabile:
Parametrizzando la curva e la circonferenza con la variabile s e
definendo Delta s = s - s0, s0 = valore di s nel punto di contatto; A
(s) = punto sulla curva; C(s) = punto sulla circonferenza, si ha:
lim (Delta s-->0) [A(s) - C(s)]/(Delta s)^2 = 0.
Tetis
> On 29 Dic, 14:09, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> >... che il cerchio osculatore deve rimanere interno, ma
> > questo non è implicato dalla sua definizione. Dati tre punti per essi
> > passa un sol cerchio, avvicinando progressivamente due punti (sulla
> > curva) ad un punto terzo si delinea un processo di limite, procedendo
> > analiticamente ad impostare questo limite si trova facilmente il
> > raggio di curvatura se la curva è parametrizzata dall'ascissa del
> > grafico ed ha tangente orizzontale nel punto, la curvatura è in tal
> > caso la derivata seconda. Tipico esempio è la parabola: y(x) = x^2 che
> > ha curvatura 2 e raggio di curvatura 1/2, in tal caso se confronti
> > l'equazione della metà inferiore del cerchio osculatore, che contiene
> > il punto di tangenza:
>
> Adesso la cosa mi è abbastanza chiara: era questo che volevo, la
> definizione di osculatore: io conoscevo solo quella definizione di
> curvatura, e non avevo mai trovato che non è vero che la tangenza deve
> essere solo interna.
> Evidnetemente il testo in cui l'ho trovata (che non ricordo quale
> fosse, ma spiegava nel dettaglio le evolute e mi era piaciuto molto) è
> da buttare.
Che strano, eppure proprio nel caso della evolvente del cerchio è
immediato dimostrare che il cerchio osculatore interseca l'evolvente
nel punto di tangenza, come anche che la curvatura può essere infinita
nel punto di contatto fra evolvente e curva (cosa che del resto mi
sembra di aver capito che non ti desse problemi). In pratica nel libro
che hai consultato non era mai mostrato che l'evoluta di una cubica in
un punto di flesso è asintotica alla retta ortogonale alla curva?
> Grazie di nuovo..
> Luciano Buggiohttp://www.lucianobuggio.altervista.org
cometa_luminosa
Tipico esempio è la parabola: y(x) = x^2 che
> ha curvatura 2 e raggio di curvatura 1/2, in tal caso se confronti
> l'equazione della metà inferiore del cerchio osculatore, che contiene
> il punto di tangenza:
>
> 1/2(1 - sqrt(1-(2x)^2))
>
> con l'equazione della parabola:
>
> x^2
>
> trovi che il cerchio osculatore è interamente esterno alla parabola.
Ma esterno in che senso?
Il cerchio osculatore a quella parabola in x = 0 e':
(y - 1/2)^2 + x^2 = 1/4
e sta nel semispazio y > 0.
Luciano Buggio
Sia una curva, quella che vuoi, tangente ad una retta.
Il senso è che se ci muoviamo sul segmento fino al punto di tangenza e
poi sulla curva,"improvvisamente" c'è un "cambio" di curvatura" , da
nulla a non nulla, o meglio, incontriamo la curvatura, che primna no
c'era e mi pare che il passaggio non sia nel continuo, o sì?.
Certo posso sbagliarmi ed in tal caso subito mi adeguerò.
Ma che cosa succede alla derivata in quel punto?
Ciao.
Luciano Buggio
cometa_luminosa
...
> Sia una curva, quella che vuoi, tangente ad una retta.
> Il senso è che se ci muoviamo sul segmento fino al punto di tangenza e
> poi sulla curva,"improvvisamente" c'è un "cambio" di curvatura" , da
> nulla a non nulla, o meglio, incontriamo la curvatura, che primna no
> c'era e mi pare che il passaggio non sia nel continuo, o sì?.
> Certo posso sbagliarmi ed in tal caso subito mi adeguerò.
> Ma che cosa succede alla derivata in quel punto?
Prendi, ad esempio, la curva y = x^2, che e' tangente in (0,0) alla
retta y = 0.
Se tu definisci la nuova curva f(x) come:
f(x) = 0, per x < 0
= x^2, per x > 0
allora f(x) risulta continua in tutto R, e lo stesso vale per la
derivata (calcolata, in x = 0, mediante il limite del rapporto
incrementale).
Prova con altre curve.
cometa_luminosa
> f(x) = 0, per x < 0
> = x^2, per x > 0
Intendevo scrivere:
f(x) = 0, per x <= 0
= x^2, per x > 0.
(Ovviamente andrebbe bene anche con x=0 nel secondo ramo invece che
nel primo).
Tetis
Che strano però, perché il concetto di evoluta e di evolvente sono
generalmente presentati in combinazione e nel caso dell'evolvente,
poniamo della circonferenza, è immediato dimostrare che il cerchio
osculatore, interseca l'evolvente nel punto di tangenza (nel senso che
le parti di circonferenza osculatrice che stanno da parti opposte
rispetto al punto di tangenza stanno da parti opposte rispetto alla
curva). Inoltre è semplice dimostrare che il raggio di curvatura tende
a zero, e quindi la curvatura ad infinito, nel punto in cui evoluta ed
evolvente si intersecano, ma questo mi sembra che in effetti non ti
creasse problemi. Quindi nel libro che hai consultato non è mai
illustrato un esempio di curva la cui evoluta sia asintotica ad una
qualche retta ortogonale alla curva? Del resto inversamente basta
considerare l'evolvente del grafico di 1/x^2 (limitatamente
all'intervallo [-1,1] per fissare le idee), come esempio di curva a
curvatura nulla e raggio di curvatura infinito per x = 0
> Grazie di nuovo..
> Luciano Buggiohttp://www.lucianobuggio.altervista.org
Al contrario, grazie a te.
Luciano Buggio
Ma nessuno nega che la derivata prima sia continua!
Solo che ha uno spigolo, e quindi la derivata seconda lì è
discontinua, perchè il limite del rapporto incrementale sinistro ed il
limite del rapporto incrementale destro, che nella f(x) coincidono,
nella f '(x) sono diversi.
Ma io parlavo di curvatura, e sostenevo che anche il raggio di
curvatura salta, passando nel punto 0 da infinito ad un valore finito.
Qui è discontinua l'evoluta.
Ciao.
Luciano Buggio
http://www.lucianobuggio.alterivsta.org
Tutto qui.
>
> Prova con altre curve.
Luciano Buggio
> On 29 Dic, 17:16, Luciano Buggio <bugg...@libero.it> wrote:
>
>
> > da buttare.
>
> Che strano però, perché il concetto di evoluta e di evolvente sono
> generalmente presentati in combinazione e nel caso dell'evolvente,
> poniamo della circonferenza, è immediato dimostrare che il cerchio
> osculatore, interseca l'evolvente nel punto di tangenza (nel senso che
> le parti di circonferenza osculatrice che stanno da parti opposte
> rispetto al punto di tangenza stanno da parti opposte rispetto alla
> curva).
nulla:-)
Cos'è l'evolvente di una circonferenza?
Partiamo dall'evoluta.
L'evoluta di una circonferenza è un punto, il suo centro, giusto?
Quindi l'evolvente del punto è una circonferenza.
Di che cosa è evoluta la circonferenza, cioè qual'è la sua evolvente?
Ci ho pensato ma non mi viene niente.
Naturalmente non è detto che ci sia una soluzione.
(cut)
> Del resto inversamente basta
> considerare l'evolvente del grafico di 1/x^2 (limitatamente
> all'intervallo [-1,1] per fissare le idee), come esempio di curva a
> curvatura nulla e raggio di curvatura infinito per x = 0.
Si, certo, gli andamenti asindoci prevedono all'infinito curvatura
nulla.
Ma in tali andamenti la curva "tocca solo ad infinito" la retta a cui
si avvicina sempre più con curvatura sempre diminuzione.
Se abbiamo invece una curva, come nell'esempio trattato con Cometa
Luminosa, che invece si schiaccia sulla retta sovrapponendosi ad essa
da un certo punto in poi?
Ciao.
Luciano Buggio.
http://www.lucianobuggio.altervista.org
Archaeopteryx
> qual'è la sua evolvente? Ci ho pensato ma non mi
> viene niente. Naturalmente non è detto che ci sia
> una soluzione.
ma lo fai apposta vero? :D
http://it.wikipedia.org/wiki/Evoluta
Fatal_Error
>Ma io parlavo di curvatura, e sostenevo che anche il raggio di
>curvatura salta, passando nel punto 0 da infinito ad un valore finito.
Mi sa che devi rivedere il tuo concetto di "salta"... Se non hai una cuspide
o un punto angoloso, non esiste nessun "salto"! Ma forse pu� aiutarti vedere
la faccenda in un modo diverso: puoi sempre approssimare la funzione
nell'intorno di un punto in termini di un polinomio di grado n, con un
errore infinitesimale... Bene, le derivate in quel punto diventano cos� i
coefficienti delle curve polinomiali di grado n che approssimano la funzione
in quel punto; quindi per n=1 otteniamo una retta (che � la retta tangente
in quel punto), per n=2 una parabola che, appunto, ti da informazioni sulla
curvatura in quel punto. Ora, avendo ridotto il problema ad un polinomio,
dove li metti i "salti"?