Sistemi dinamici perplessità sulla definizione di costante del moto.
Teti_s
varietà algebrica. La sua descrizione può essere data per mezzo di una
semplice equazione algebrica
x^2+y^2 = k.
z = 0
Consideriamo adesso le due equazioni:
x (theta) = sqrt(k) cos(theta).
y(theta) = sqrt(k) sen(theta)
z(theta) = 0
questa curva insiste infinite volte sulla circonferenza. Evidentemente
abbiamo due funzioni: f1,f2 tali che tutti i punti toccati dalla curva e
solo quelli, sono sulla curva.
Fra le strutture geometriche che possono essere pensate come parte di uno
spazio euclideo vi propongo la seguente. Consideriamo l'insieme dei punti di
equazione:
x(u) = (5 + cos(u)) cos(pi u)
y(u) = sen(pi u)
z(u) = sen(u)
si tratta di una figura geometrica molto semplice: un'elica che si avvolge
intorno ad un toro con due periodi differenti. Esisterà una coppia di
funzioni f1,f2 continue da R^3 ad R tale la curva che ho descritto insista
sul luogo geometrico dei punti che verificano entrambe le equazioni:
f1(x,y,z) = 0
f2(x,y,z) = 0
e tale che viceversa non sia possibile trovare un punto che verifichi
entrambe le equazioni e che non sia toccato almeno una volta dalla curva ?
La risposta a questa domanda è negativa. Il motivo è che assegnato un punto
sul toro la curva passa infinite volte vicino a quel punto. Due funzioni che
fossero costanti su così tanti punti sarebbero costanti su tutto l'intorno,
ma ci sono punti dell'intorno che non vengono mai toccati dalla curva.
Nella teoria dei sistemi dinamici si trova la seguente definizione comune ad
alcuni testi: si dice che una funzione continua da R^3xR in R è una costante
del moto per la curva oraria in R^3: x(u),y(u),z(u) sse f(x(u),y(u),z(u),u)
è costante. Ora è evidente che la struttura topologica della curva oraria
R^4:
id(u)
x(u)
y(u)
z(u)
è totalmente differente da quella dalla traiettoria in R^3. In effetti mi
riesce di trovare ben tre funzioni continue con la proprietà richiesta.E nel
caso di un sistema dinamico hamiltoniano separabile, ad n gradi di libertà,
con curve orarie in 2n+1 dimensioni ben 2n "costanti del moto". In generale,
nel migliore dei casi: oscillatore armonico isotropo in tre dimensioni si
trovano agevolmente 5 costanti del moto indipendenti. Ma nel caso anisotropo
incommensurabile le costanti del moto indipendenti dal tempo e fra loro
scendono a 3 che sono esattamente sufficienti a ridurre il problema a
quadrature, ma rimangono 5 se si ammette la definizione dipendente dal
tempo.
In conclusione: due diverse definizioni conducono a risultati qualitativi
profondamente differenti.
Esistono libri come Landau, Gantmacher e Goldstein che non esitano ad usare
la definizione di costante del moto con dipendenza dal tempo (senza nemmeno
specificare che siano funzioni continue) , e si spingono a dire che questo
sono integrali del moto, anche se poi Goldstein e Landau fanno dei discorsi
vaghi sul fatto che non tutti gli integrali del moto hanno la stessa
importanza: Landau parla di integrali che discendono da simmetrie ed annota:
queste grandezze, dette conservative, sono additive. Esistono altri libri,
come Arnold, Fasano Marmi, Gallavotti(?) , Dell'Antonio, Marsden Abraham,
che formalizzano i discorsi vaghi quanto suggestivi di Landau fin da
principio, andando un poco a discapito della suggestionabilità giovanile, ed
escludono, fra l'altro, l'eventualità che in un sistema con hamiltoniana
indipendente dal tempo gli integrali del moto dipendano dal tempo. ( in
generale sono campi vettoriali di simmetria sulla varietà simplettica
associata all'hamiltoniana e (pertanto/ ovvero in virtù del fatto che) sono
addizionabili, e generano un'algebra di Lie rispetto alle parentesi di
Poisson, e quindi danno luogo a simmetrie del sistema, o viceversa possono
essere desunte da simmetrie del sistema)
qui finisce l'esposizione delle perplessità, insieme all'osservazione che
nella carriera universitaria di uno studente queste sfumature possono
rappresentare delle formidabili zavorre e motivo di riflessione per anni,
come anche delle semplici curiosità a cui non si fa nemmeno in tempo a
tentare di rispondere che già arrivano domande ancora più impegnative sulla
riuscita di queste nozioni in meccanica quantistica. Ora vorrei invitare
quelli che hanno avuto la pazienza di leggere fin qua di introdurre
eventuali ulteriori spunti ed osservazioni circa questa eterogeneità
terminologica che di certo possa averli colpiti nel corso degli studi e
vorrei proseguire però con un esame delle cause di questa eterogeneità
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PERCHE' ?
E' evidente che c'è un poco di confusione che deriva da tentativi di vulgata
dei testi classici della meccanica analitica che non sono ancora giunti ad
un approdo didattico adeguato, ma forse anche da una nozione non proprio
nitida e sedimentata di simmetria, di spazio, di tempo. Quindi esistono
livelli di difficoltà molto differenti nelle presentazioni della meccanica,
alcune sono di carattere soggettivo legati ai limiti dell'autore, altre di
carattere storico geografico, legate alla tradizione di riferimento
dell'autore, altre di carattere fondamentale, legate alla ricerca. Il
riferimento "inconscio" di molti dei testi di meccanica avanzati è
probabilmente il programma di Erlangen. Esistono dei tentativi di spingersi
oltre questo riferimento, che mi sembrano piuttosto sporadici quanto di
dubbia riuscita. Uno è stato compiuto da Jet Nestruev con l'uso di una
nozione di varietà piuttosto rivoluzionaria di carattere intrinseco ed al
tempo stesso legato alla percezione dinamica dello spazio e del tempo. Lo
stesso Arnold per contro tenta un altro superamento di questa prospettiva,
ma più che altro si limita a descrivere dei nessi fra strutture simplettiche
(e conservative) e strutture di contatto. Non mi sembra che ci sia un'idea
nitida ed univoca sul modo più unificante ed efficace di procedere, però
magari potete smentirmi con esempi differenti. Un personaggio che mi ha
impressionato per l'ampiezza di prospettiva matematizzante è un fisico
teorico brasiliano che parte da una prospettiva di analisi funzionale capace
di trattare unitariamente meccanica classica e quantistica. Argo dovrebbe
conoscerlo.
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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Teti_s
> Fra le strutture geometriche che possono essere pensate come parte di uno
> spazio euclideo vi propongo la seguente. Consideriamo l'insieme dei punti
di
> equazione:
>
> x(u) = (5 + cos(u)) cos(pi u)
> y(u) = sen(pi u)
> z(u) = sen(u)
non cosě, bensě:
x(u) = (5 + cos(u)) cos(pi u)
y(u) = (5 + cos(u)) sen(pi u)
z(u) = sen(u)