Congettura su un'equazione differenziale
El Filibustero
v>sqrt(k)*r
y"+y = k/(vr)^2 y^-3
con le condizioni iniziali y(0)=1/r; y'(0)=0 ha la soluzione
y(t) = sqrt(cos(t)^2/r^2 + k/v^2 sin(t)^2)
che presenta, per qualsiasi scelta dei parametri k,r,v, un periodo di pi,
un massimo in t=0 e minimo t=pi/2, un flesso in quel t tale che
y(t)=(k/(vr)^2)^(1/4).
Modificando l'equazione a secondo membro:
y"+y = k/(vr)^2 (y^-3 - a y^-2) con 0 < a <=r; v>sqrt(kr(r-a))
sempre con le condizioni iniziali y(0)=1/r; y'(0)=0, si ha un'equazione
differenziale che non ammette soluzione y(t) in forma chiusa, ma per cui si
puo' dire lo stesso che e' periodica e ha un massimo in t=0.
La congettura e' che y(t) abbia il primo minimo in un t strettamente minore
di pi/2. Si puo' dimostrare? Ciao
.
Si', avete indovinato: e' l'annoso (se ne discute dal 2009, infatti)
problema di Buggio. Se la congettura e' vera, si puo' finalmente rispondere
"falso" al terzo e quarto quesito del thread "Vero o falso?" su it.scienza.
Maurizio Frigeni
> Modificando l'equazione a secondo membro:
>
> y"+y = k/(vr)^2 (y^-3 - a y^-2) con 0 < a <=r; v>sqrt(kr(r-a))
>
> sempre con le condizioni iniziali y(0)=1/r; y'(0)=0, si ha un'equazione
> differenziale che non ammette soluzione y(t) in forma chiusa, ma per cui si
> puo' dire lo stesso che e' periodica e ha un massimo in t=0.
>
> La congettura e' che y(t) abbia il primo minimo in un t strettamente minore
> di pi/2. Si puo' dimostrare?
Probabilmente ci avevi gi� pensato, comunque la stada che mi sembra pi�
naturale � quella di ricavare un'espressione per y'^2 in termini di y
(si fa con i soliti metodi standard):
y'^2 = F(y).
L'espressione F(y) si annulla in y=1 e poi, nell'intervallo (0, 1), in
un solo altro punto y0, che si pu� ottenere esplicitamente come
soluzione di un'equazione di terzo grado. Questo valore y0 corrisponde
evidentemente al minimo cercato. Il valore di t corrispondente al minimo
si ottiene dunque integrando:
t0 = int(da y0 a 1) 1/sqrt(F(y)) dy.
Quindi per dimostrare che t0 < pi/2 non resta che valutare
l'integrale... Poi magari non ci si cava niente, ma � la prima cosa che
mi viene in mente.
> Si', avete indovinato: e' l'annoso (se ne discute dal 2009, infatti)
> problema di Buggio. Se la congettura e' vera, si puo' finalmente rispondere
> "falso" al terzo e quarto quesito del thread "Vero o falso?" su it.scienza.
Siccome non seguo it.scienza, mi potresti riassumere la questione?
Maurizio
--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.
Dalet
>El Filibustero <spal...@gmail.com> wrote:
>>Si', avete indovinato: e' l'annoso (se ne discute dal 2009, infatti)
>>problema di Buggio. Se la congettura e' vera, si puo' finalmente rispondere
>>"falso" al terzo e quarto quesito del thread "Vero o falso?" su it.scienza.
>Siccome non seguo it.scienza, mi potresti riassumere la questione?
Scusa El Filibustero, ma se volevi dire free.it.scienza.fisica
li' le domande che del thread "Vero o falso" non mi sembrano
le stesse che dici: assume un potenziale che scritto giusto
dovrebbe essere V(r)=-k(r-a)^2 per r>=a, nullo all'interno.
--
Saluti, Dalet
El Filibustero
>Probabilmente ci avevi gi� pensato,
no.
>comunque la stada che mi sembra pi�
>naturale � quella di ricavare un'espressione per y'^2 in termini di y
>(si fa con i soliti metodi standard):
>
>y'^2 = F(y).
Nella fattispecie?
>Siccome non seguo it.scienza, mi potresti riassumere la questione?
e' una considerazione qualitativa sull'orbita di un satellite S (di massa
unitaria, mettiamo) soggetto a una forza attrattiva centrale di centro O
(quasi elastica) del tipo -k(r-a), dove k,a sono costanti positive. In
realta', nella formulazione originale di Buggio, se r<a la forza e' nulla,
ma cio' e' irrilevante per la congettura.
Supponiamo che per t=0 S abbia una distanza r0>a da O. Se S e' dotato di
una velocita' v0 pari a vc:=sqrt(k r0 (r0-a)) normale al raggio SO, avra'
l'esatta forza centripeta per seguire una traiettoria circolare di centro
O. Ma se v0 fosse maggiore di vc, S si allontanerebbe da O finche'
l'accresciuta forza attrattiva (per via della maggiore distanza da O) non
lo richiama verso O. Buggio chiama apocentro questo punto, e alfa l'angolo
spazzato partendo t=0 fino ad arrivare ad esso. Si chiedeva se per
particolari k,a,r0>a,v0>vC alfa potesse essere uguale a pi. Io congetturo
che non e' nemmeno meta' di pi.
==========================================================================
L'analisi del problema nel caso di una forza perfettamente elastica -kr e'
molto semplice, perche' indicando con y **l'inverso** di OS in funzione
dell'angolo t spazzato si ottiene l'equazione differenziale
y"+y = k/(v0 r0)^2 y^-3
con condizioni iniziali y(0)=1/r0 e y'(0)=0 (essendo la direzione iniziale
della velocita' normale al raggio), che ammette la soluzione
y(t) = sqrt(cos(t)^2/r0^2 + k/v0^2 sin(t)^2)
con minimo in t=pi/2 indipendentemente da r0 e v0>vc=r0*sqrt(k). Infatti in
coordinate polari il grafico di rho=1/y(t) e' un'ellisse con semiasse
maggiore per t=pi/2. Nei termini detti sopra, alfa e' esattamente pi/2. Si
puo' dire anche che y(t) ha un flesso in quel t tale che y(t)=(k/(v0
r0)^2)^(1/4).
==========================================================================
Ora passiamo alla forza -k(r-a). E' come aggiungere un termine repulsivo
costante alla forza di prima, per cui si intuisce che a parita' di r0 e v0,
l'orbita sara' piu' larga. Di certo la concavita' di y(t) in t=0 e' piu'
negativa rispetto al caso precedente, e percio' intuitivamente y(t) cala
piu' rapidamente, raggiunge il flesso (che esiste anche in questo caso) e
il minimo prima rispetto al caso precedente: quindi alfa<pi/2. Ma come
dimostrarlo?
Su it.scienza ho fatto analisi approssimative per velocita' iniziali di
poco superiori alla velocita' vc del moto circolare. Una soluzione
approssimata di
y"+y = k/(v0 r0)^2 (y^-3 - a y^-2) con 0 < a <=r; v0 = sqrt(1+e) vc
sempre con le condizioni iniziali y(0)=1/r0; y'(0)=0, quando e>0 e' molto
piccolo e' la seguente:
y(t) =~ 1/r0 + e(r0-a)/(r0(a(e+3) - r0(e+4))) (1 - cos(sqrt(A)t))
dove A = 1 + (3r0-2a)/((r0-a)(1+e)).
Quindi le piccole oscillazioni nell'ampiezza dell'orbita hanno pulsazione
circa sqrt(A). A dipende da "e" e dal rapporto r0/a e non e' mai inferiore
a 1+3/(1+e), essendo r0>a e sono tanto piu' frequenti quanto piu' r0 e'
vicino ad a. Cosi' la congettura sembra confermata in questo caso, perche'
nel caso peggiore (a molto piccolo) alfa e' vicino a pi/2, come era da
aspettarsi per l'analisi della forza perfettamente elastica. Ciao
El Filibustero
>Scusa El Filibustero, ma se volevi dire free.it.scienza.fisica
>li' le domande che del thread "Vero o falso" non mi sembrano
>le stesse che dici: assume un potenziale che scritto giusto
>dovrebbe essere V(r)=-k(r-a)^2 per r>=a, nullo all'interno.
per il calcolo del primo apocentro, che e' quello che interessa, cio' e'
irrilevante, perche' fino al primo apocentro l'orbita sta tutta in r>a.
Ciao
Dalet
Si' ma non e' chiaro il problema, perche' in coordinate
polari da questo potenziale si avrebbe questo problema che
non lo so se e' il tuo:
la forza e':
f=f(r)=-k(r-a) grad(r)
ed allora l'equazione differenziale di moto e':
-k(r-a) grad(r) = ma
-k/m (r-a) u = d^2(ru)/dt^2 (essendo u=grad(r))
che con Binet diventa:
(1) -k/m(r-a) = -(2A'/r)^2 [1/r + d^2(1/r)/dtheta^2]
e quindi e' gia' cosa nota e studiatissima.
--
Saluti, Dalet
Maurizio Frigeni
> Nella fattispecie?
Semplifico un po' la tua notazione, ponendo:
y(t) = u(t)/r; c = k(r/v)^2; d = a/r;
col che l'equazione diventa:
u'' + u = c/u^3 - cd/u^2; u(0) = 1; u'(0) = 0.
Con la sostituzione standard: u'(t) = v(u(t)), si ottiene:
v' v = c/u^3 - cd/u^2 - u
che si pu� integrare in u, ottenendo:
v^2 = 2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2
(ho usato le condizioni iniziali per determinare la costante
d'integrazione).
Questa � l'espressione a cui alludevo per il quadrato della derivata
u'(t). L'espressione a secondo membro si annulla in 1 e per un altro
valore di u in (0, 1), chiamiamolo u0 = u(t0). Riscrivendo:
u'(t)/sqrt(2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2) = -1
se integriamo questa in t fra 0 e t0, otteniamo:
t0 = int(fra u0 e 1) du/sqrt(2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2).
Questa � un'espressione esplicita per t0, per� in pratica il calcolo non
� agevole. Forse se ne pu� fare una stima con opportune maggiorazioni.
Comunque qualche prova che ho fatto dando dei valori a c e d conferma la
tua ipotesi.
> L'analisi del problema nel caso di una forza perfettamente elastica -kr e'
> molto semplice
In questo caso, se ho capito bene il problema, direi che non serve
nessun calcolo: siccome sappiamo che in questo caso le orbite sono delle
ellissi, i punti in cui la velocit� � perpendicolare al raggio sono 4 (i
vertici dell'ellisse) e la distanza angolare fra di loro � esattamente
pi/2.
Tetis
Più che ad una risposta sono arrivato ad un progetto di ricerca :)
Partendo da questa osservazione ho applicato i metodi standard della
riduzione dell'ordine validi per il caso di potenziale centrale, il
che consiste nel considerare che il momento angolare è conservato e lo
stesso per l'energia, in particolare la conservazione del momento
angolare implica la possibilità di trasformare l'equazione
differenziale da equazione rispetto al tempo ad equazione
differenziale per r rispetto all'angolo in base al fatto che:
d\theta = (J^2/mr^2)dt
in modo che la quadratura per l'equazione differenziale derivante
dalla conservazione dell'energia può essere scritta al modo seguente:
d \theta = dz /(sqrt(1- (K/4)(1/z - 1/za)^2 -z^2)
dove:
K = kJ^2/mE^2
z = J/(sqrt(2m)r)
e za è il valore di z che corrisponde ad a. Tutto questo è standard.
E' standard anche che si debba integrare fra gli zeri del
denominatore, dove l'argomento sotto radice è maggiore di zero, per
ottenere la distanza angolare fra il peri-centro e l'apocentro. Nel
nostro caso capita che il punto di partenza dove il moto è puramente
angolare con velocità maggiore di quella necessaria al moto circolare,
è esattamente il pericentro, quindi non è affatto possibile con questa
condizione iniziale che il moto in seguito evolva verso una regione
r<a, questo è possibile solo se la condizione iniziale fosse a
velocità angolare minore della velocità di orbita circolare. Da questa
considerazione fisica segue una condizione analitica su za: za deve
essere maggiore di entrambi gli zeri dell'equazione suddetta. In
particolare si vede che il caso limite si ha per za = 1, in tal caso
esiste una soluzione immediata che è z = 1 e poi c'è un'altro zero
minore di 1 (rimane l'onere di provare che è effettivamente vero che
quest'altro zero deve essere minore o uguale di 1 come risulta in
effetti da altre considerazioni di carattere fisico che illustrerò fra
breve). Per questi motivi deve risultare za => 1 e da un'ispezione
delle soluzioni dell'equazione si ricava inoltre che questa condizione
è sufficiente affinché za risulti maggiore di entrambi gli zeri purché
K risulti non più grande di una soglia che dipende da za, ovvero
affinché il moto rimanga confinato esternamente alla regione in cui il
potenziale si annulla è necessario e sufficiente che za>1 & K <= soglia
(za). Di questa funzione di soglia so che:
soglia(za) -> oo per za->1
in base al fatto che per za = 1 la forza centripeta al momento
iniziale è nulla come anche il contributo dell'energia potenziale
all'energia, quindi E = T = 1/2 mv^2 risulta J/E = 2a^2/v: ora il
denominatore di questa espressione può essere arbitrariamente piccolo,
senza pregiudicare il fatto che il moto si svolga per r>a ad ogni
tempo successivo, infatti nel caso limite che v=0 il satellite
rimarrebbe esattamente dove si trova, quindi in questo caso K può
essere grande quanto si voglia. Rimane allora l'onere di provare
analiticamente che:
la disequazione:
1- (K/4)(1/z - 1/za)^2) -z^2 => 0
nel caso za=1 per qualsiasi valore di K è verificata in un intervallo
a sinistra di z=1. Infatti risulta, ponendo z=1+e:
(K/4)e^2 + o(e) <= e
purché sia e>0, per z-> 0 la funzione diventa negativa dunque c'è
effettivamente un secondo zero nell'intervallo (0,1). Moltiplicando
per z^2 si ottiene una quartica i cui eventuali flessi danno ulteriori
informazioni (mi riservo di calcolarli in fase di approfondimento), in
particolare al crescere di K l' intervallo di verifica dovrà
restringersi fino ad approssimarsi al solo punto z=1.
mi rimane da dimostrare che
per za<1 la disequazione ammette un intervallo di soddisfazione che
contiene za o risulta interamente maggiore di za.
per za=>1 ammette un intervallo di soddisfazione interamente minore di
za con al più un punto in comune purché K<soglia(za) funzione che
rimane da determinare.
mentre so che:
soglia(za) -> 1
per za -> oo
infatti in tal caso l'espressione al denominatore si riconduce
all'integrando per l'oscillatore armonico per cui vale la
disuguaglianza:
E/J => sqrt(k/m)
dove in particolare a destra compare la pulsazione naturale
dell'oscillatore ed il caso limite E/J = sqrt(k/m) si ha per moto
circolare. Questo è facile da verificare perché la disequazione si
riconduce ad una disequazione quadratica.
Con queste premesse occorre attrezzarsi in modo da dimostrare che
quando siano verificate queste condizioni risulta che l'integrale fra
gli zeri del denominatore di:
d \theta = dz /(sqrt(1- (K/4)(1/z - 1/za)^2 -z^2)
non sia maggiore di pi/2. Del che sono confidente, anche se sono
consapevole delle difficoltà di dimostrazione. Per una dimostrazione
basata su disuguaglianze mi sembra critico il contributo all'integrale
nei pressi degli zeri che certamente è significativo. Nel caso 1/za=0
l'integrale si risolve in forma elementare, nel caso generale si
riconduce ad un integrale ellittico ed è critica la conoscenza degli
zeri. E' possibile che una trattazione per serie permetta sia di
trattare le questioni aperte sugli intervalli di verifica della
disequazione che di ricondurre la dimostrazione ad una maggiorazione
dei termini di una serie numerica esprimibile in forma chiusa, in
particolare sfruttando la condizione che z<=za, ma non ho ancora
trovato una chiave di sviluppo adeguata all'intuizione. Del resto ho
letto il quesito solo intorno a mezzanotte e adesso sono passate le
tre ed è ora di andare a dormire.
El Filibustero
Bene, studiatissima. Quindi la congettura e' vera o falsa? Ciao
El Filibustero
>...
>Questa � l'espressione a cui alludevo per il quadrato della derivata
>u'(t). L'espressione a secondo membro si annulla in 1 e per un altro
>valore di u in (0, 1), chiamiamolo u0 = u(t0). Riscrivendo:
>
>u'(t)/sqrt(2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2) = -1
>
>se integriamo questa in t fra 0 e t0, otteniamo:
>
>t0 = int(fra u0 e 1) du/sqrt(2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2).
>
>Questa � un'espressione esplicita per t0, per� in pratica il calcolo non
>� agevole. Forse se ne pu� fare una stima con opportune maggiorazioni.
Maggiorazioni che non sono agevoli, proprio per la natura della radice non
banale u0 dell'equazione 2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2.
>> L'analisi del problema nel caso di una forza perfettamente elastica -kr e'
>> molto semplice
>
>In questo caso, se ho capito bene il problema, direi che non serve
>nessun calcolo:
Esatto: il caso della forza -kr serve solo come termine di paragone per il
caso piu' generale. Appunto facendo tale paragone, la tua espressione
u' = - sqrt{ 2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2 }
consente di dimostrare rigorosamente, almeno per c<1, alcune cose che avevo
intuito: aggiungendo il termine 2cd(1/u - 1), rispetto al caso della forza
perfettamente elastica,
- l'orbita e' piu' larga;
- l'apocentro e' piu' lontano, perche' u0 < sqrt(c)
La congettura pero' resta aperta. Ciao
Dalet
>On Tue, 5 Jan 2010 17:45:31 +0000 (UTC), Dalet wrote:
>>>per il calcolo del primo apocentro, che e' quello che interessa, cio' e'
>>>irrilevante, perche' fino al primo apocentro l'orbita sta tutta in r>a.
>>Si' ma non e' chiaro il problema, perche' in coordinate
>>polari da questo potenziale si avrebbe questo problema che
>>non lo so se e' il tuo:
>>la forza e':
>>f=f(r)=-k(r-a) grad(r)
>>ed allora l'equazione differenziale di moto e':
>>(1) -k/m(r-a) = -(2A'/r)^2 [1/r + d^2(1/r)/dtheta^2]
>>e quindi e' gia' cosa nota e studiatissima.
>Bene, studiatissima. Quindi la congettura e' vera o falsa? Ciao
Se con questo confermi che questo e' lo stesso moto che
chiedevi, ovvero se t'interessa l'andamento (qualitativo
generalmente, salvo alcuni casi particolari) allora poi
lo guardo, una risposta generica e' che le orbite stanno
entro una corona circolare e generalmente il moto non e'
periodico (Bertrand) ...a te - se non ho capito male -
interessa la frequenza con la quale il punto tocca le due
circonferenze che ho detto.
Dunque interessa la legge di percorrenza theta=theta(t),
quindi questa equazione differenziale:
rho-quadro theta-punto = 2A'= cost., se non sbaglio ma poi
guardo (A' e' la velocita' areolare).
Ps. Mi sa che forse si puo' pure fare che la circonferenza
interna abbia raggio a, cosi' si toglie la discontinuita'.
--
Saluti, Dalet
Dalet
>Dunque interessa la legge di percorrenza theta=theta(t),
>quindi questa equazione differenziale:
>rho-quadro theta-punto = 2A'= cost., se non sbaglio ma poi
>guardo (A' e' la velocita' areolare).
Be' l'ho un po' guardata, ma ho lasciato perdere l'equazione
di moto (percorrenza) perche' ecco cosa mi sembra risulti.
DATI
energia potenziale = b(rho - h)^2
forza centrale: f =-2b(rho - h)
rho_0 > h
b,h = costanti date
NOTAZIONI
coordinate polari: r,theta
r = rho - h
r >= h
U = br^2 (energia potenziale)
F = -2br
E = 1/2 mv_0^2 + U(r_0)
U_eff = br^2 + 1/2 mk^2/r^2
k=2A'
A'=velocita' areale
m = massa (corpo potenziato)
CONSIDERAZIONI QUALITATIVE
L'energia potenziale efficace e' definita strettamente
positiva, ha l'asse r=0 come asintoto rispetto al quale
e' anche simmetrica, ha un minimo (sarebbero due) in
r = sqrt(k*sqrt(m/(2b))), va a +inf per r -> +inf.
Mi sembra* percio' che sia un caso in cui non c'e' nessuna
famiglia di ellissi, solo una circonferenza e' possibile con
raggio r = sqrt(k*sqrt(m/(2b))), a patto che sia anche il
valore del raggio iniziale r_0, e che la velocita' iniziale
sia giusta, cioe': v_0 = sqrt(sqrt(bk^2/(2m))).
*pero' non son sicuro: dovrei pensarci meglio, ora l'ho
fatto in fretta, inoltre in questo schema si ha che il
raggio r puo' essere anche negativo per rho < h.
In aggiunta a questo il moto puo' svolgersi solo all'interno
della circonferenza definita da E=V_eff, cioe' vale per r la
seguente limitazione:
1/2 m[v_0 - (r*thetapunto)^2] + b(r_0^2 - r^2) >= 0
ed allora, visto che dr/dt e' negativa, vuol dire che il
punto tende asintoticamente (spirale asintotica) al centro.
(prima magari tocca una sola volta la circonferenza col
raggio sqrt(sqrt()) suddetto, se r_0 e' maggiore di esso)
--
Saluti, Dalet
Tetis
> On 5 Gen, 16:57, El Filibustero <spall...@gmail.com> wrote:
> in modo che la quadratura per l'equazione differenziale derivante
> dalla conservazione dell'energia può essere scritta al modo seguente:
>
> d \theta = dz /(sqrt(1- (K/4)(1/z - 1/za)^2 -z^2)
>
> dove:
>
> K = kJ^2/mE^2
>
> z = J/(sqrt(2m)r)
>
da integrare sull'intervallo che verifica la disequazione:
> 1- (K/4)(1/z - 1/za)^2) -z^2 => 0
>
risulta:
> per za<1 la disequazione ammette un intervallo di soddisfazione che
> contiene za e questo caso va quindi escluso.
> per za=>1 ammette un intervallo di soddisfazione interamente minore di
> za con al più un punto in comune purché K<soglia(za) funzione che
> rimane da determinare.
Nel caso za = 1 uno zero è immediatamente espresso da z = za, mentre
l'altro risulta in z<za. Per za = 1 ogni valore di K è permesso, ma
per za=oo solo i valori di 0<=K<=1 sono ammessi. In generale risulta
che la funzione può essere espressa come:
d \theta = (z^2 dz) /(sqrt(z^2- (K/4)(1 - z/za)^2 -z^4)
il cui denominatore è adesso la radice di una quartica, la cui
derivata seconda è particolarmente semplice:
2 -2(K/4(z_a)^2) - 12 z^2
e quindi questa quartica ammette due flessi simmetrici rispetto a z=0
solo se (1-K/(4za)^2)>0. Possiamo concludere con una limitazione
necessaria su K: J/E < 2za sqrt(m/k)
compatibile con l'osservazione che in generale K < soglia(za) e con
quanto sappiamo di soglia(za), ma ancora insufficiente a stabilire la
dipendenza funzionale di soglia(za) dal momento che:
> soglia(za) -> 1
>
> per za -> oo
>
> infatti in tal caso l'espressione al denominatore si riconduce
> all'integrando per l'oscillatore armonico per cui vale la
> disuguaglianza:
>
> E/J => sqrt(k/m)
L'intuizione mi suggerisce tuttavia che il valore di soglia debba
essere il valore di K per cui l'orbita risulta circolare. Sebbene
l'intuizione sia corretta da questa non discende altro che la seguente
condizione:
K(za) = 1/[(1-z/za)(1-z/(2za))^2]
dove K(za) == soglia(za) tuttavia da qui non si ricava alcuna
informazione utile su K(za). Il che è reso difficile dalla difficoltà
di esprimere la posizione degli zeri rispetto a za. Infatti il
discriminante di questa equazione è di quarto grado in K ed in za^2
quindi non si ottiene facilmente la funzione di soglia.
In conclusione, confrontando con i risultati di El Filibustero risulta
quanto segue:
la condizione che imposta in quel caso, di avere un valore r0>a per
cui r(0)=r0 ed r'(0)=0 da cui d <= 1 equivale, nel nostro schema, a
richiedere che za => 1 mentre la condizione K > soglia(za) si traduce,
nello schema di El Filibustero, in una condizione su c quando sia
assegnato d. In particolare la condizione di soglia che egli ottiene
equivale a chiedere che 1 sia uno zero doppio, ovvero che risulti: 2 -
2 c + 2 c d = 0 quindi a richiedere che c <= 1/(1-d), condizione la
cui corrispettiva non è altrettanto semplice da trovare nello schema
standard di soluzione.
Allora, in conclusione, considerando l'equazione integrale derivata da
Maurizio Frigeni a partire dallo schema di El Filibustero:
t0 = int(fra u0 e 1) du/sqrt(2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2)
risulta che u0 esiste sempre purché 0 <= c <= 1/(1-d). Il che magari è
di qualche utilità nella ricerca delle adeguate diseguaglianze
integrali. Anche in tal modo Risultano possibili entrambe le
situazioni: 2 soli zeri reali, ovvero 4 zeri reali (di cui gli altri
due per z < 0, come si evidenziava anche nello schema standard).
Tetis
wrote:
> El Filibustero <spall...@gmail.com> wrote:
> > Nella fattispecie?
>
> Semplifico un po' la tua notazione, ponendo:
>
> y(t) = u(t)/r; c = k(r/v)^2; d = a/r;
>
> col che l'equazione diventa:
>
> u'' + u = c/u^3 - cd/u^2; u(0) = 1; u'(0) = 0.
>
> Con la sostituzione standard: u'(t) = v(u(t)), si ottiene:
>
> v' v = c/u^3 - cd/u^2 - u
>
> che si pu integrare in u, ottenendo:
>
> v^2 = 2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2
>
> (ho usato le condizioni iniziali per determinare la costante
> d'integrazione).
>
> Questa l'espressione a cui alludevo per il quadrato della derivata
> u'(t). L'espressione a secondo membro si annulla in 1 e per un altro
> valore di u in (0, 1), chiamiamolo u0 = u(t0). Riscrivendo:
>
> u'(t)/sqrt(2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2) = -1
>
> se integriamo questa in t fra 0 e t0, otteniamo:
>
> t0 = int(fra u0 e 1) du/sqrt(2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2).
Non so quanto può essere utile, ma dall'esistenza di u0 < 1 si ricava
una condizione fra c e d:
c <= 1/(1-d)
dove certamente d=r/a < 1. La condizione si ottiene andando a cercare
il valore di c per cui u=1 è uno zero doppio ovvero imponendo che sia
nullo il resto della divisione del polinomio:
2cd(u - u^2) + c(u^2 - 1) + u^2 - u^4
per (u^2-1).
Tetis
Infine un'altra cosa che ho escogitato è che si può scrivere il nostro
polinomio in questa forma:
(u-1)(u-u0)(u^2 + (u0 +1)u + c/u0)
dove risulta conseguentemente:
d = (1/u0 - u0(u0+1)/c + 1)/2
Cioè:
t0 = int(fra u0 e 1) u du/sqrt((u-1)(u0-u)(u^2+(u0+1)u+c/u0)).
El Filibustero
>>Questa � l'espressione a cui alludevo per il quadrato della derivata
>>u'(t). L'espressione a secondo membro si annulla in 1 e per un altro
>>valore di u in (0, 1), chiamiamolo u0 = u(t0). Riscrivendo:
>>
>>u'(t)/sqrt(2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2) = -1
>>
>>se integriamo questa in t fra 0 e t0, otteniamo:
>>
>>t0 = int(fra u0 e 1) du/sqrt(2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2).
>>
>>Questa � un'espressione esplicita per t0, per� in pratica il calcolo non
>>� agevole. Forse se ne pu� fare una stima con opportune maggiorazioni.
>
>Maggiorazioni che non sono agevoli, proprio per la natura della radice non
>banale u0 dell'equazione 2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2.
Diceva Abel che un buon metodo per risolvere i problemi difficili e' di
esaminarli all'inverso. Qui e' inutile ostinarsi a esprimere u0 in funzione
di d: meglio fare il viceversa.
Caso delle alte velocita': c<1. La v0 e' maggiore di quella che fa fare la
traiettoria circolare nel caso della forza perfettamente elastica.
Per d>0, la radice u0 di 2cd(1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2 e'
certamente minore di sqrt(c). Invece di esprimerla in funzione di d,
scriviamo piuttosto d = (c-u0^2)(u0+1)/(2cu0) e sostituiamo d nella
formula: si ha
f = f_c,u0(u):= (c-u0^2)(u0+1)/u0 (1/u - 1) + c(1 - 1/u^2) + 1 - u^2
una funzione che si annulla in u0 e 1. Ora, f e' maggiore di
g = g_u0(u):= u0^2(1 - 1/u^2) + 1 - u^2
per ogni u in (u0,1). Infatti f-g vale (1-u)(u0-u)(u^2-c)/(u^2 u0) e i
fattori del numeratore sono rispettivamente positivo, negativo e negativo.
Ne segue che in (u0,1) si ha 1/sqrt(f) < 1/sqrt(g) e quindi
int(u=u0..1) 1/sqrt(f)) < int(u=u0..1) 1/sqrt(g) = pi/2
ossia t0 < pi/2.
Caso delle basse velocita': c>=1. Anche qui d = (c-u0^2)(u0+1)/(2cu0)
pero' bisogna distinguere due sottocasi.
1) 0 < d < 1-1/c. Il "vuoto" di forza non e' sufficientemente ampio per far
si' che la traiettoria si allarghi inizialmente. In questo caso esiste u0
compreso tra 1 e sqrt(c) tale da rendere quel d. Anche stavolta, per d>0,
u0<sqrt(c). Le traiettorie si stringono inizialmente, quindi u>=1. Anche
ora nell'intervallo (1,u0), f-g e' positiva e si arriva a concludere che t0
(che stavolta e' l'integrale per du=1..u0 di 1/sqrt(f)) e' minore di
int(du=1..u0) di 1/sqrt(g) che e' ancora pi/2.
2) 1-1/c < d < 1. La traiettoria con solo la forza elastica si stringe,
mentre quella col vuoto di forza si allarga. Stavolta u0<1, ed e' come il
caso delle alte velocita'. Congettura provata. Ciao
Maurizio Frigeni
> Qui e' inutile ostinarsi a esprimere u0 in funzione
> di d: meglio fare il viceversa.
Bellissima idea ed ottimo ragionamento. Complimenti.
Tetis
Ed a questo punto è sufficiente esprimere c in termini di d:
c = u0^2(u0+1)/(u0+1- 2 u0 d)
da cui, ricordando che 0<= d = a/r <= 1 risulta:
c => u0^2
da cui la disuguaglianza cercata che prova la congettura, infatti:
t0 = int(fra u0 e 1) u du/sqrt((u-1)(u0-u)(u^2+(u0+1)u+c/u0)) <= int
(fra u0 e 1) u du/sqrt((u-1)(u0-u)(u^2+(u0+1)u+u0)) =
= 1/2 int(fra u0 e 1) du^2/sqrt((u^2-1)(u0^2-u^2)) = pi/2
che è un integrale abeliano il cui valore è indipendente da u0, e
sappiamo infatti, anche per altra via (ad esempio integrando le
equazioni del moto in coordinate cartesiane anziché polari) che il
caso limite c = u0^2 corrisponde all'oscillatore armonico isotropo per
il qual caso l'integrale vale pi da cui t0 <= pi/2 e l'uguale vale per
c=u0^2. In questo modo risulta provata la congettura seguente:
se il satellite ha pericentro esterno alla distanza neutra (r=a),
l'apocentro precede pi/2.
Il caso che il punto iniziale sia apocentro, sia quando viene
raggiunta la cintura r=a che quando il moto rimane esterno ad essa.
Può comunque essere interessante considerare ulteriori situazioni, ad
esempio il caso r < a (assumendo che il potenziale non sia nullo come
nella proposta di Luciano, bensì sia ancora (k/2)(r-a)^2).
Cominciamo dall'osservazione che la disuguaglianza di cui sopra
continua ad esser valida anche se il punto di partenza è di apocentro,
infatti riman pur vero che 0 <= d=a/r <= 1 e dunque c=>u0^2, pertanto
il satellite raggiungerebbe il pericentro, se la forza continuasse ad
essere del tipo f = -k(r-a) anche per u>1/d, prima che l'angolo abbia
compiuto un quarto di circonferenza, tuttavia in corrispondenza di u=1/
d la concavità dell'orbita si inverte. Ragionando simmetricamente
risulta dunque trattato il caso che il punto iniziale fosse di peri-
centro, ma d = a/r > 1: infatti le equazioni del moto sono invarianti
per inversione temporale e quindi lo studio analitico conferma che in
tal caso per risulta u0 < 1/d < 1 ed ancora c=>u0^2.
Rimane solo da discutere cosa succede nel caso che per u>1/d non ci
siano forze. Occorre in particolare verificare che: |r '| < 1/ tan(t)
per r=a in quanto solo questo garantisce che il prolungamento della
retta tangente al moto nel momento di ingresso nella zona r<a, giunga
al peri-centro con angolo minore di pi/2.
Tetis
> On Wed, 06 Jan 2010 15:39:36 GMT, El Filibustero wrote:
> Diceva Abel che un buon metodo per risolvere i problemi difficili e' di
> esaminarli all'inverso. Qui e' inutile ostinarsi a esprimere u0 in funzione
> di d: meglio fare il viceversa.
Che è quanto avevo e fatto scritto ed inviato ier sera :-)
> Caso delle basse velocita': c>=1. Anche qui d = (c-u0^2)(u0+1)/(2cu0)
> pero' bisogna distinguere due sottocasi.
>
> 1) 0 < d < 1-1/c. Il "vuoto" di forza non e' sufficientemente ampio per far
> si' che la traiettoria si allarghi inizialmente. In questo caso esiste u0
> compreso tra 1 e sqrt(c) tale da rendere quel d. Anche stavolta, per d>0,
> u0<sqrt(c). Le traiettorie si stringono inizialmente, quindi u>=1. Anche
> ora nell'intervallo (1,u0), f-g e' positiva e si arriva a concludere che t0
> (che stavolta e' l'integrale per du=1..u0 di 1/sqrt(f)) e' minore di
> int(du=1..u0) di 1/sqrt(g) che e' ancora pi/2.
Ok, che è poi la situazione tempo simmetrica del caso 2)
Rimane però da verificare nella zona centrale, per r<a, nel caso non
ci siano forze, risulti:
|dr/dt| < r/tan(t)
cioè occorre provare che la retta tangente al moto interseca sempre
l'asse dell'apocentro dalla stessa parte dell'apocentro. Il che rimane
sempre intuitivo per confronto con il caso dell'oscillatore armonico
isotropo, però mi sembra comunque da dimostrare, dal momento che le
orbite nel caso di forze presenti invertono la concavità quando
oltrepassano r = a.
Dalet
>CONSIDERAZIONI QUALITATIVE
>L'energia potenziale efficace e' definita strettamente
>positiva, ha l'asse r=0 come asintoto rispetto al quale
>e' anche simmetrica, ha un minimo (sarebbero due) in
>r = sqrt(k*sqrt(m/(2b))), va a +inf per r -> +inf.
Fin qui Ok, ma il seguito non va, ricordavo male, dovrei
vederlo con piu' calma.
--
Saluti, Dalet