Dimostrazione di un limite logaritmico
Max
Dovrei riuscire a ricavare che vale anche questo:
lim(n->infinito) log(n)/n^b --> 0
Unico indizio che il simpatico libro mi lascia � che: log(n)=1/b*log n^b
Questa relazione � semplice da capire, infatti: 1/b*log n^b=
b/b*log(n)=log(n)
Ma ancora non capisco come da questo posso ottenere il limite in
questione... :-(
Grazie anticipate ragazzi.
Simone
> A partire da: lim(n->infinito) log(n)/n --> 0 (gi� dimostrato dal mio libro)
>
> Dovrei riuscire a ricavare che vale anche questo:
> lim(n->infinito) log(n)/n^b --> 0
>
>
> Unico indizio che il simpatico libro mi lascia � che: log(n)=1/b*log n^b
>
Cambiamento di variabile nei limiti: poiche' n^b -> infinito, osservi
cje log(n^b)/n^b -> 0.
Enrico Gregorio
log n/n^b = (1/b) (b log n/n^b) = (1/b) (log(n^b)/n^b)
Adesso (1/b) � costante e il resto...
Tuttavia ricavare questo dal limite della successione log n/n �
illecito, se b non � intero. Occorre conoscere il limite di log x/x
(nel senso di funzione di variabile reale).
Ciao
Enrico
Max
>> Grazie anticipate ragazzi.
>
> log n/n^b = (1/b) (b log n/n^b) = (1/b) (log(n^b)/n^b)
>
> Adesso (1/b) � costante e il resto...
Perfetto :-)
> Tuttavia ricavare questo dal limite della successione log n/n �
> illecito, se b non � intero.
> Occorre conoscere il limite di log x/x
> (nel senso di funzione di variabile reale).
Sempre preciso nelle tue spiegazioni, in effetti una potenza a base
intera e esponente reale non avrebbe codominio definito in N, perci�
dicevi che era illecita?
Cmq se ricordo bene il libro diceva solo b>0, forse ha dato per
sottinteso che b fosse intero dal contesto(numeri naturali).
Grazie a te e a Simone.
Enrico Gregorio
> On Monday/4/01/2010 18:55, Enrico Gregorio wrote:
>
> >> Grazie anticipate ragazzi.
> >
> > log n/n^b = (1/b) (b log n/n^b) = (1/b) (log(n^b)/n^b)
> >
> > Adesso (1/b) � costante e il resto...
>
>
> Perfetto :-)
>
>
> > Tuttavia ricavare questo dal limite della successione log n/n �
> > illecito, se b non � intero.
> > Occorre conoscere il limite di log x/x
> > (nel senso di funzione di variabile reale).
>
>
> Sempre preciso nelle tue spiegazioni, in effetti una potenza a base
> intera e esponente reale non avrebbe codominio definito in N, perci�
> dicevi che era illecita?
Esattamente. Se b � intero (e ovviamente >0), log(n^b)/n^b � una
sottosuccessione di log n/n; perci� si pu� affermare che log(n^b)/n^b
ha lo stesso limite.
> Cmq se ricordo bene il libro diceva solo b>0, forse ha dato per
> sottinteso che b fosse intero dal contesto(numeri naturali).
Se b non � intero, nulla permette di dire che infiniti termini del
tipo n^b siano interi; e nemmeno questo, senza altre considerazioni,
permetterebbe di concludere.
Se invece consideriamo la funzione f(x) = log x/x (definita per x>0),
abbiamo che f'(x) = (1 - log x)/x^2; dunque f � decrescente per x>1.
Se b>0, la successione n^b tende a +inf, quindi la successione
log(n^b)/n^b ha lo stesso limite di f a +inf. Questo limite esiste
perch� il limite di log n/n � 0. :-)
Come vedi non si pu� usare solo che il limite di log n/n � 0.
Ciao
Enrico
Max
> Se invece consideriamo la funzione f(x) = log x/x (definita per x>0),
> abbiamo che f'(x) = (1 - log x)/x^2; dunque f � decrescente per x>1.
Il fatto che sia decrescente mi dice che va a zero per x-> infinito, esatto?
Cmq mi stai costringendo a ripetere parecchie cose per cercare di
seguirti, e questo � un bene, oltre che a mettermi altri dubbi in testa
per� e a farmi fumare il cervello! :-)
Ne approfitto per rivedere concetti sui quali potrei avere
lacune(disequazioni logaritmiche in questo caso):
Dire che f � decrescente per x>1 significa dire, per il criterio di
monotonia, che la sua derivata (1 - log x)/x^2 � minore o uguale a 0
quando x>1
Il denominatore della funzione derivata � sempre positivo, quindi la
derivata sar� negativa(o uguale a zero) quando log(x)>=1
che � uguale a dire(essendo la base e):
log(x)>=log(e) ---> x>=e
Quindi in base a questi calcoli(sicuramente sbagliati) mi trovo che la
funzione f � decrescente quando x>=e quindi non per x>1
Resta da capire dove ho sbagliato.
> Se b>0, la successione n^b tende a +inf, quindi la successione
> log(n^b)/n^b ha lo stesso limite di f a +inf.
Vediamo se ho afferrato: qui vuoi dire che se b>0(non intero)
log(n^b)/n^b � equivalente a log x/x � non a log(n)/n, perch� non siamo
pi� nell'ambito dei naturali..� quindi la dimostrazione di prima, usando
le tue parole diventa illecita.
> Questo limite esiste perch� il limite di log n/n � 0. :-)
Ecco qua mi son proprio perso: non hai appena detto che bisogna studiare
log x/x per ottenere log(n^b)/n^b con b non intero?
Ciao.
Enrico Gregorio
> On Monday/4/01/2010 22:17, Enrico Gregorio wrote:
>
> > Se invece consideriamo la funzione f(x) = log x/x (definita per x>0),
> > abbiamo che f'(x) = (1 - log x)/x^2; dunque f � decrescente per x>1.
>
> Il fatto che sia decrescente mi dice che va a zero per x-> infinito, esatto?
No; dice che � decrescente. :) Per x>1 � positiva, quindi ci� che puoi
dire � che ha limite a +inf e che questo limite � non negativo.
> Cmq mi stai costringendo a ripetere parecchie cose per cercare di
> seguirti, e questo � un bene, oltre che a mettermi altri dubbi in testa
> per� e a farmi fumare il cervello! :-)
Studiare serve a questo!
> Ne approfitto per rivedere concetti sui quali potrei avere
> lacune(disequazioni logaritmiche in questo caso):
>
> Dire che f � decrescente per x>1 significa dire, per il criterio di
> monotonia, che la sua derivata (1 - log x)/x^2 � minore o uguale a 0
> quando x>1
Se una funzione � derivabile e ha derivata non negativa in un intervallo
allora � crescente (in senso lato) in quell'intervallo. Viceversa, una
funzione derivabile e crescente in un intervallo ha derivata non
negativa in quell'intervallo.
> Il denominatore della funzione derivata � sempre positivo, quindi la
> derivata sar� negativa(o uguale a zero) quando log(x)>=1
> che � uguale a dire(essendo la base e):
> log(x)>=log(e) ---> x>=e
>
> Quindi in base a questi calcoli(sicuramente sbagliati) mi trovo che la
> funzione f � decrescente quando x>=e quindi non per x>1
� vero. Ma non cambia molto.
> Resta da capire dove ho sbagliato.
Non hai sbagliato. Ho messo 1 dove doveva andare e. :(
> > Se b>0, la successione n^b tende a +inf, quindi la successione
> > log(n^b)/n^b ha lo stesso limite di f a +inf.
>
> Vediamo se ho afferrato: qui vuoi dire che se b>0(non intero)
> log(n^b)/n^b � equivalente a log x/x � non a log(n)/n, perch� non siamo
> pi� nell'ambito dei naturali..� quindi la dimostrazione di prima, usando
> le tue parole diventa illecita.
Infatti.
> > Questo limite esiste perch� il limite di log n/n � 0. :-)
Avrei dovuto scrivere "questo limite � 0 perch� ...".
> Ecco qua mi son proprio perso: non hai appena detto che bisogna studiare
> log x/x per ottenere log(n^b)/n^b con b non intero?
Sappiamo che log x/x � decrescente per x>e; quindi ammette limite a
+inf. Siccome il limite calcolato su una successione che va a +inf
� 0, il limite della funzione � 0.
Ciao
Enrico
Max
> Sappiamo che log x/x � decrescente per x>e; quindi ammette limite a
> +inf. Siccome il limite calcolato su una successione che va a +inf
> � 0, il limite della funzione � 0.
E con questa tagliamo la testa al toro: in pratica servono
entrambe(funzione e successione) per tirar fuori quel limite, una ci
dice che esiste, e l'altra ci spiega quanto vale :-)
p.s.
Siccome sei un docente(tra l'altro mi chiedo se sia consono usare il
"tu" nei confronti di un docente, anche se in un contesto informale)
posso chiederti un parere su qualche testo?
Io ho Analisi 1 di Marcellini - Sbordone del 2002, e in alcuni punti lo
trovo un pochino ostico, in altri incompleto, e in altri ancora dispersivo.
Mi � capitato si sfogliare un testo di Salsa -Bramanti(mi pare del 1995)
e mi sembrava fatto meglio(oltre che pi� voluminoso e completo, anche
pi� facile da seguire), pi� chiaro nei concetti e meno fossilizzato
soltanto su formalismi matematici che a volte fanno perdere il senso dei
concetti...confermi questa mia impressione?(se conosci questi testi)
Inoltre cercherei qualche buon eserciziario: quelli che ho non mi
soddisfano a pieno...quali sono i migliori(per uno studente di
Ingegneria) a tuo parere?
Grazie.
Enrico Gregorio
> Siccome sei un docente(tra l'altro mi chiedo se sia consono usare il
> "tu" nei confronti di un docente, anche se in un contesto informale)
> posso chiederti un parere su qualche testo?
Qui si usa il tu. E di analisi non saprei indicare nulla: io usai il
Prodi. :)
Ciao
Enrico
Max
> Max<maxf...@despammed.com> scrive:
>
>> Siccome sei un docente(tra l'altro mi chiedo se sia consono usare il
>> "tu" nei confronti di un docente, anche se in un contesto informale)
>> posso chiederti un parere su qualche testo?
>
> Qui si usa il tu.
ok :-)