costruzioni con riga e compasso
superpollo
sto studiando il soggetto in modo "rigoroso" (ossia col compasso che
collassa, ossia senza usare il teorema di equivalenza
http://en.wikipedia.org/wiki/Compass_equivalence_theorem).
vi chiedo dunque aiuto per risolvere il seguente problema:
dati i vertici di un triangolo, costruire un quadrato inscritto nel
triangolo (vale a dire: con i 4 vertici sul perimetro).
nb: ovviamente ci sono (almeno) 3 soluzioni possibili.
nb2: non possiedo altri elementi oltre ai tre vertici, e non posso
tracciare punti a caso sul foglio.
bye
superpollo
> ciao a tutti.
>
> sto studiando il soggetto in modo "rigoroso" (ossia col compasso che
> collassa, ossia senza usare il teorema di equivalenza
> http://en.wikipedia.org/wiki/Compass_equivalence_theorem).
>
> vi chiedo dunque aiuto per risolvere il seguente problema:
>
> dati i vertici di un triangolo, costruire un quadrato inscritto nel
> triangolo (vale a dire: con i 4 vertici sul perimetro).
intendevo il perimetro del triangolo, savasandï¿œr...
bye
Maurizio Frigeni
> dati i vertici di un triangolo, costruire un quadrato inscritto nel
> triangolo (vale a dire: con i 4 vertici sul perimetro).
Chiama ABC il tuo triangolo e costruisci l'altezza AH. Sulla retta CB, a
partire da C e dalla parte opposta rispetto a B, costrusci D in modo che
CD = AH (trasporto del segmento). Congiungi D con A e traccia da C la
parallela ad AD, che interseca AB in P. P � un vertice del tuo quadrato,
gli altri si ottengono in modo ovvio.
La costruzione funziona solo se gli angoli in B e C sono acuti.
> nb: ovviamente ci sono (almeno) 3 soluzioni possibili.
Mmm... se un angolo � ottuso, direi di no.
> nb2: non possiedo altri elementi oltre ai tre vertici, e non posso
> tracciare punti a caso sul foglio.
La mia costruzione � generica: se vuoi minimizzare il numero di "mosse"
allora devi cercare di ottimizzare i passaggi.
Maurizio
--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.
Tetis
> ciao a tutti.
>
> sto studiando il soggetto in modo "rigoroso" (ossia col compasso che
> collassa, ossia senza usare il teorema di equivalenzahttp://en.wikipedia.org/wiki/Compass_equivalence_theorem).
??? Non ho capito. Il compasso è classico, oppure cosa?
> vi chiedo dunque aiuto per risolvere il seguente problema:
>
> dati i vertici di un triangolo, costruire un quadrato inscritto nel
> triangolo (vale a dire: con i 4 vertici sul perimetro).
>
> nb: ovviamente ci sono (almeno) 3 soluzioni possibili.
>
> nb2: non possiedo altri elementi oltre ai tre vertici, e non posso
> tracciare punti a caso sul foglio.
In ambito classico si tratta di risolvere un problema di proporzioni.
Ovvero trovare la parallela ad un dato lato (b) distante dal vertice
ad esso opposto un numero incognito h', supponendo che la distanza del
lato dal vertice opposto sia h, in modo che risulti quanto segue:
per Talete: h:h' = b:b'
in particolare vogliamo che h-h' = b'.
Quindi otteniamo:
h' = h^2/(b+h)
ovvero:
h-h' = bh/(b+h)
Questa equivale alla proporzione:
b:(h-h') = (b+h):h
e quindi sempre applicando Talete, dato che gli elementi b,h e b+h
sono facili da costruire, si può ottenere la costruzione seguente:
alla base si aggiunge un segmento come l'altezza quindi si chiude il
triangolo con lo stesso vertice e la base ampliata, e si traccia la
parallela che definisce un triangolo simile a quest'ultimo ma con base
b, ottenendo così facilmente un vertice del quadrato.
> bye
superpollo
> On 5 Gen, 15:45, superpollo <ute...@esempio.net> wrote:
>> ciao a tutti.
>>
>> sto studiando il soggetto in modo "rigoroso" (ossia col compasso che
>> collassa, ossia senza usare il teorema di equivalenzahttp://en.wikipedia.org/wiki/Compass_equivalence_theorem).
>
grazie della risposta a te e a frigeni (sono in pratica la stessa
costruzione, solo che to hai dimostrato che e' corretta).
il compasso puo' essere utilizzato per tracciare cerchi, e non per
riportare lunghezze da una parte all'altra del foglio da disegno.
bye
Tetis
> Tetis ha scritto:
>
> > On 5 Gen, 15:45, superpollo <ute...@esempio.net> wrote:
> >> ciao a tutti.
>
> >> sto studiando il soggetto in modo "rigoroso" (ossia col compasso che
> >> collassa, ossia senza usare il teorema di equivalenzahttp://en.wikipedia.org/wiki/Compass_equivalence_theorem).
>
>
> grazie della risposta a te e a frigeni (sono in pratica la stessa
> costruzione, solo che to hai dimostrato che e' corretta).
Si, si tratta infatti della medesima costruzione.
> il compasso puo' essere utilizzato per tracciare cerchi, e non per
> riportare lunghezze da una parte all'altra del foglio da disegno.
Ma perché complicarsi la vita, dato che vige il teorema di
equivalenza, tutto quello che puoi fare con l'uno puoi fare con
l'altro metodo, forse non hai un compasso a passo costante, devi usare
un programma di visualizzazione che non ha il compasso rigido, cioè
non tiene memoria delle distanze?
> bye
Tetis
> On 5 Gen, 18:46, superpollo <ute...@esempio.net> wrote:
> > il compasso puo' essere utilizzato per tracciare cerchi, e non per
> > riportare lunghezze da una parte all'altra del foglio da disegno.
>
> Ma perché complicarsi la vita, dato che vige il teorema di
> equivalenza, tutto quello che puoi fare con l'uno puoi fare con
> l'altro metodo, forse non hai un compasso a passo costante, devi usare
> un programma di visualizzazione che non ha il compasso rigido, cioè
> non tiene memoria delle distanze?
>
>
>
> > bye
Tieni presente che la complicazione può essere notevolmente superiore
rispetto al caso di compasso rigido, inoltre la dimostrazione che
viene fornita del teorema di equivalenza è evidentemente incompleta.
Infatti il teorema si basa sulla possibilità di costruire una
tassellamento in triangoli equilateri del piani, in modo che sia
possibile riportare le lunghezze anche nel caso che la distanza da
riportare sia superiore al doppio della distanza fra i punti base.
superpollo
> On 5 Gen, 18:46, superpollo <ute...@esempio.net> wrote:
>> Tetis ha scritto:
>>
>>> On 5 Gen, 15:45, superpollo <ute...@esempio.net> wrote:
>>>> ciao a tutti.
>>>> sto studiando il soggetto in modo "rigoroso" (ossia col compasso che
>>>> collassa, ossia senza usare il teorema di equivalenzahttp://en.wikipedia.org/wiki/Compass_equivalence_theorem).
>> grazie della risposta a te e a frigeni (sono in pratica la stessa
>> costruzione, solo che to hai dimostrato che e' corretta).
>
> Si, si tratta infatti della medesima costruzione.
>
>> il compasso puo' essere utilizzato per tracciare cerchi, e non per
>> riportare lunghezze da una parte all'altra del foglio da disegno.
>
> equivalenza, tutto quello che puoi fare con l'uno puoi fare con
> l'altro metodo, forse non hai un compasso a passo costante, devi usare
> non tiene memoria delle distanze?
gia'.
bye
Maurizio Frigeni
> il compasso puo' essere utilizzato per tracciare cerchi, e non per
> riportare lunghezze da una parte all'altra del foglio da disegno.
Basta usare il metodo di Euclide per trasportare i segmenti:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI2.html
Coso
<4b4350a1$0$1107$4faf...@reader4.news.tin.it>:
> nb2: non possiedo altri elementi oltre ai tre vertici, e non posso
> tracciare punti a caso sul foglio.
Questa cosa mi ha un po' incuriosito... in che senso non puoi tracciare
*punti a caso* sul foglio?
Voglio dire, normalmente se avessi bisogno di detto punto a caso puoi
sempre costruirlo deterministicamente e trattarlo come fosse a caso, no?
Per esempio, in sostanza per costruire una bisettrice prendi un punto a
caso su una delle due semirette... e, almeno normalmente, lo fai
riferendoti ad un segmento non nullo [quindi non a caso ma in modo
deterministico]... certo che, se non hai detto segmento a disposizione
ed e` vietato l'uso di un punto a caso, ci sono dei problemi... e` a
qualcosa di simile che si riferisce il divieto?
Ciao ciao
Claudio
superpollo
> Guardando il dito o seguendo la luna, superpollo scrisse in
> <4b4350a1$0$1107$4faf...@reader4.news.tin.it>:
>
>> nb2: non possiedo altri elementi oltre ai tre vertici, e non posso
>> tracciare punti a caso sul foglio.
>
> Questa cosa mi ha un po' incuriosito... in che senso non puoi tracciare
> *punti a caso* sul foglio?
> Voglio dire, normalmente se avessi bisogno di detto punto a caso puoi
> sempre costruirlo deterministicamente e trattarlo come fosse a caso, no?
> Per esempio, in sostanza per costruire una bisettrice prendi un punto a
> caso su una delle due semirette... e, almeno normalmente, lo fai
> riferendoti ad un segmento non nullo
forse mi sono espresso in modo un po' grossolano. con "punto a caso"
intendevo che non puoi costruire il punto (un punto puo' essere
costruito solo mediante intersezione).
se sul foglio hai due rette che si intersecano, non puoi costruire altri
punti oltre a quello dato come intersezione delle due rette. in
particolare non puoi costruire un altro punto sul lato dell'angolo che
dicevi.
bye
Tetis
wrote:
Il che però non dimostra l'equivalenza fra i due tipi di compasso,
bensì, certamente fra le due geometrie quando si includa anche la riga.
Coso
> se sul foglio hai due rette che si intersecano, non puoi costruire altri
> punti oltre a quello dato come intersezione delle due rette. in
> particolare non puoi costruire un altro punto sul lato dell'angolo che
> dicevi.
Si`, ora mi e` chiaro.
M'era solo venuto il dubbio che tu avessi una costruzione, per il tuo
problema, che richiedesse punti a caso... ed ero incuriosito perche`,
con a disposizione tre punti distinti [gia` due bastano], di punti
pseudocasuali [chiamiamoli cosi`] avresti potuto costruirne parecchi
piu` o meno dove volevi... Avevo insomma malinterpretato la tua
*giusta* precisazione.
Ciao ciao
Claudio