Due nozioni di varietà: incudine e martello alla ricerca del ferro cesellato.
Teti_s
materiale che riguarda le differenti nozioni di varietà disponibili nella
matematica contemporanea. Sono alla ricerca di uno schema adatto per
esprimere una nozione generalizzata di costante del moto. Nel sito:
http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold
In particolare trovo due frasi:
PRIMA FRASE
Scheme-theoretically, a manifold is a locally ringed space, whose structure
sheaf is locally isomorphic to the sheaf of continuous (or differentiable,
or complex-analytic, etc.) functions on Euclidean space. This definition is
mostly used when discussing analytic manifolds in algebraic geometry.
SECONDA FRASE
The broadest common definition of manifold is a topological space locally
homeomorphic to a topological vector space over the reals. This omits the
point-set axioms, allowing higher cardinalities and non-Hausdorff manifolds;
and it omits finite dimension, allowing structures such as Hilbert manifolds
to be modeled on Hilbert spaces, Banach manifolds to be modeled on Banach
spaces, and Fréchet manifolds to be modeled on Fréchet spaces. Usually one
relaxes one or the other condition: manifolds without the point-set axioms
are studied in general topology, while infinite-dimensional manifolds are
studied in functional analysis.
Mi chiedo che relazione ci sia fra queste due nozioni: ovvero la seconda
accezione di varietà rientra nella prima? Viceversa? In particolare della
seconda accezione come vedete c'è la richiesta che lo spazio topologico sia
sui reali, mentre nella prima c'è la restrizione al fascio delle funzioni
continue sollo spazio euclideo. Queste condizioni mi sembrano restrittive
rispetto a quello che cerco, una nozione che mi aspetto più ampia, forse
sbagliando.
Allora vi faccio un'esempio concreto di quello che cerco. Consideriamo un
toro: R^2/([0,1]x[0,1]) la relazione di equivalenza è quella desumibile
naturalmente dalla riduzione delle coordinate modulo 1, ed in particolare il
sottoinsieme di coordinata y=0. Questo sottoinsieme è un cerchio. Ad ogni
punto (x,y) del toro posso associare un'orbita rettilinea: (x,y) + (v_x,
v_y) t. Se v_x e v_y sono incommensurabili ottengo che quest'orbita è densa
nel toro. Ed in particolare sulla circonferenza. In particolare la
traiettoria interseca la circonferenza sulle seguenti classi di equivalenza:
a eq b sse esiste n in Z tale che a-b = (v_y / v_x) n Mod(1). Ovvero
esistono due interi m,n in modo che a-b = (v_y/v_x)n - m. Questa si chiama
sezione di Poincaré.
Io osservo che questo insieme è stato costruito a partire da una relazione
di equivalenza del tutto simile alla seguente: a eq b sse a=b Mod (1)
ovvero: "a eq b sse esiste n in Z in modo che a - b = n. Tuttavia c'è una
differenza fondamentale: le classi di equivalenza per questo insieme sono
topologicamente rappresentabili su un cerchio che eredita la topologia della
retta, quindi di fatto costituiscono naturalmente una buona varietà rispetto
alla caratterizzazione finito dimensionale riportata al link di cui sopra.
La sezione di Poincaré, diversamente non è necessariamente compatibile con
la topologia di R nel senso che due punti separati rispetti alla topologia
di R risultano entrambi infinitamente vicini a ciascuna classe di
equivalenza se v_x / v_y è irrazionale. Non di meno sul cerchio insiste una
infinità non numerabile di punti a coppia a coppia non equivalenti. Questi
punti possono essere usati in linea di principio per caratterizzare le
classi di equivalenza distinte e quindi possono essere usate per costruire
una funzione "costante del moto" generalizzata. Dove sta la
generalizzazione? Ad ogni punto della circonferenza corrisponde un solo
punto rappresentativo. Si deve trattare quindi di una funzione non continua
da R in R. Mentre le costanti del moto sono solitamente funzioni continue.
Ora il punto è esattamente questo: la continuità che non è verificata
rispetto ad R può essere tuttavia ripristinata rispetto ad una topologia
differente?
Il ragionamento che faccio è il seguente: v_y/v_x ammette approssimazioni
razionali, e risulta che la minima distanza fra due punti dell'orbita si
riduce al crescere dell'ordine di approssimazione. Se p/q è
l'approssimazione con numeri coprimi, np/q mod(1) = Parte_intera (np/q) = np
mod(q). Essendo p coprimo con q il più piccolo resto modulo q è 1. (in caso
contrario l'algoritmo di Euclide convergerebbe a tale resto minimo, per
l'identità di Bezout). Allora la minima distanza fra due punti della classe
di equivalenza è data da 1/q. L'intera classe di equivalenza è formata da
tutti i punti equidistanti 1/q, ma attenzione perchè questi punti non sono
esplorati consecutivamente secondo l'ordine ciclico della retta, ma secondo
l'ordine ciclico dei resti. Ad ogni modo una costante del moto può essere
individuata, in questo caso, in modo del tutto analogo al momento angolare
per l'oscillatore armonico isotropo come un funzione della fase.
Torniamo un momento al moto sul toro: quello che rimane rigorosamente
costante nel caso isotropo ovvero se v_x = v_y è x-y e quindi cos(x)sen(y) -
sen(x) cos(y) = sen(x-y). Se invece v_x = p e v_y = q risulta costante
qx-py. E risulta che sen(qx - py) può essere sviluppato in un polinomio di
Chebichev nelle variabili canoniche ordinarie sen(x), p cos(x), sen(y),q
cos(y) Ponendo y = 0 si trova il valore iniziale sen( q x_0 ) che è
conservato durante la dinamica. Queste costanti del moto, viste nello spazio
delle configurazioni relativo ad assegnati valori delle energie E_x E_y,
descrivono curve di Lissajous come luoghi dei rispettivi polinomi di
Chebichev.
Adesso pensiamo di aumentare progressivamente l'ordine di approssimazione,
ad esempio mediante lo sviluppo in frazioni continue di v_x / v_y troncato
ad ordini via via maggiori. Abbiamo un'intera sequenza di costanti del modo,
ma nessun modo ovvio di condurre il limite sui reali. Abbiamo anche una
sequenza di denominatori d'approssimazione: q_n con i relativi domini
fondamentali per le classi di equivalenza, tutti nei pressi dello zero. Di
un punto del cerchio, relativamente a questo problema concreto è importante
conoscere i resti modulo q_n perchè questo codifica l'informazione relativa
alla gerarchia delle costanti.
Il problema in definitiva è trovare una topologia per queste sequenze di
interi associate ai punti sul cerchio e sulle sequenze di funzioni che abbia
la seguente proprietà: se due punti sono non equivalenti modulo v_x/v_y
allora sono discriminabili da questa topologia, mentre appartengono
definitivamente ad una sequenza di intorni decrescente di un punto ad essi
equivalenti, ovvero la topologia non risolve punti equivalenti, inoltre il
limite della sequenza di polinomi di Chebichev converge al medesimo valore,
mentre converge a valori differenti se due punti non sono equivalenti.
Ammesso e non concesso che questo sia possibile avremmo ottenuto una
coordinazione, mediante sequenze infinite di interi, della circonferenza ed
uno spazio topologico che a meno di stranezze ulteriori non è riconducibile
ad una nozione di varietà finito dimensionale con atlanti e carte e
coordinate reali. Tuttavia mi sembrerebbe un'ingiustizia ed una
discriminazione nei loro confronti il caso che questo tipo di spazi stia in
una categoria affatto distinta dalle varietà. Cioè per dirla in altri
termini occorrerebbe un'estensione del concetto di varietà ulteriore
rispetto alle due che ho indicato in cima a questa discussione oppure
basterebbero le estensioni già indicate?
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