supporto di una misura di Borel
Valter Moretti
topologico di Hausdorff localmente compatto X ed una misura positiva
sigma-additiva mu : B(X) -> R+, dove B(X) è la sigma algebra di
Borel.
Definisco il supporto S di mu come il complemento all'unione di tutti
gli aperti di misura nulla. La domanda è: se E è un boreliano incluso
in X\S (per esempio X\S stesso) è vero che mu(E)=0?
Se la misura è internamente regolare allora è vero.
(Io lo proverei così. Se K è un compatto incluso nell'aperto X\S,
allora ammette un ricoprimento di aperti (quelli la cui unione è X\S)
con misura nulla. Data la compattezza posso estrarre un
sottoricoprimento finito. Per sub additività concludo che mu(K)=0.Se E
è un boreliano in X\S considero la classe di compatti K inclusi in E
(e quindi in S\K). Per regolarità interna: mu(E) = sup {mu(K) | K
compatto incluso in S} =0.)
La domanda è, se non sappiamo nulla riguardo alla regolarità interna
di mu, possiamo concludere che mu(E)=0
quando E è un boreliano che non interseca il supporto di mu?
Su wikipedia in inglese http://en.wikipedia.org/wiki/Support_%28measure_theory%29
la cosa è scritta in modo poco chiaro e sembrerebbe di si...ma non mi
pare affatto evidente.
Ciao, Valter
Enrico Gregorio
> Ciao e buon anno. Ho la seguente quetione. Prendo uno spazio
> topologico di Hausdorff localmente compatto X ed una misura positiva
> sigma-additiva mu : B(X) -> R+, dove B(X) � la sigma algebra di
> Borel.
> Definisco il supporto S di mu come il complemento all'unione di tutti
> gli aperti di misura nulla. La domanda �: se E � un boreliano incluso
> in X\S (per esempio X\S stesso) � vero che mu(E)=0?
> Se la misura � internamente regolare allora � vero.
> (Io lo proverei cos�. Se K � un compatto incluso nell'aperto X\S,
> allora ammette un ricoprimento di aperti (quelli la cui unione � X\S)
> con misura nulla. Data la compattezza posso estrarre un
> sottoricoprimento finito. Per sub additivit� concludo che mu(K)=0.Se E
> � un boreliano in X\S considero la classe di compatti K inclusi in E
> (e quindi in S\K). Per regolarit� interna: mu(E) = sup {mu(K) | K
> compatto incluso in S} =0.)
>
> La domanda �, se non sappiamo nulla riguardo alla regolarit� interna
> di mu, possiamo concludere che mu(E)=0
> quando E � un boreliano che non interseca il supporto di mu?
>
> Su wikipedia in inglese
> http://en.wikipedia.org/wiki/Support_%28measure_theory%29
> la cosa � scritta in modo poco chiaro e sembrerebbe di si...ma non mi
> pare affatto evidente.
Se non fai ipotesi di regolarit� sulla misura � chiaro che non puoi
concludere nulla: � la regolarit� che ti permette di fare ragionamenti
usando gli aperti o i chiusi o i compatti.
C'� un esempio di misura non regolare sul Rudin (esercizio 17 del
capitolo 2) dove mi pare di capire che la faccenda che dici non
funzioni.
Ciao
Enrico
Valter Moretti
> Valter Moretti <vmoret...@hotmail.com> scrive:
>
>
>
> > Ciao e buon anno. Ho la seguente quetione. Prendo uno spazio
> > topologico di Hausdorff localmente compatto X ed una misura positiva
> > Borel.
> > Definisco il supporto S di mu come il complemento all'unione di tutti
> > in X\S (per esempio X\S stesso) è vero che mu(E)=0?
> > Se la misura è internamente regolare allora è vero.
> > allora ammette un ricoprimento di aperti (quelli la cui unione è X\S)
> > con misura nulla. Data la compattezza posso estrarre un
> > (e quindi in S\K). Per regolarità interna: mu(E) = sup {mu(K) | K
> > compatto incluso in S} =0.)
>
> > di mu, possiamo concludere che mu(E)=0
> > pare affatto evidente.
>
> Se non fai ipotesi di regolarità sulla misura è chiaro che non puoi
> concludere nulla: è la regolarità che ti permette di fare ragionamenti
> usando gli aperti o i chiusi o i compatti.
>
Ciao, non credo che serva necessariamente la regolarità. Se lo spazio
topologico (che non assumo essere né di Hausdorff né a localmente
compatto) dal quale ricaviamo la sigma algebra di Borel è a base
numerabile puoi concludere che il complemento del supporto ha misura
nulla, senza dire niente sulla regolarità della misura: sia A l'unione
di tutti gli aperti di misura nulla (cioé il complemento del supporto
della misura), A è aperto ed è quindi misurabile, dato che lo spazio
topologico ammette una base numerabile allora, per noti teoremi,
possiamo scrivere A come l'unione di una sottoclasse numerabile della
classe di aperti di misura nulla. Per sigma-additività A deve avere
misura nulla.
Forse se ci mettiamo nell'ipotesi che ho scritto, e aggiungiamo che la
topologia sia T2 e loc compatta allora la misura risulta esserre
regolare ma non ne sono sicuro (se si richiede qualcosa di più e cioè
che lo spazio sia unione numerabile di compatti di misura finita
allora è sicuramente vero come prova il Rudin in qualche lemma da
qualche parte...)
> C'è un esempio di misura non regolare sul Rudin (esercizio 17 del
> capitolo 2) dove mi pare di capire che la faccenda che dici non
> funzioni.
Appena torno in ufficio ci guardo, grazie. Poi sarebbe il caso di
correggere l'articolo su wikipedia...
Ciao, Valter