A proposito di NSA
Paolo Bonavoglia
definizione epsilon-delta di limite sia una pietra miliare nella storia
della matematica e ho citato la NSA come alternativa, accennando ai suoi
vantaggi in campo didattico.
Non l'avessi mai fatto! Pare che NSA sia quasi una parolaccia per
alcuni; e ne e' nato un sotto-thread quanto mai ramificato nel quale mi
sono trovato a cercare di rispondere a domande e obiezioni alle quali
avevo risposto in altri rami fino ad avere io stesso difficolta' a
ritrovare il bandolo della matassa.
Mi permetto di aprire un nuovo thread solo per cercare di riassumere
alcuni punti chiave, e sperando di non incorrere in scomuniche per eresia:
1. Non sono affatto un fanatico o un evangelizzatore della NSA. In
realta' io sono molto piu' appassionato all'informatica ... L'approccio
NSA mi ha incuriosito, mi sono letto un po' di libri sull'argomento
(tutti in inglese, in italiano non c'e' nulla di nulla e forse anche il
tono delle repliche su questo NG fa capire il perche' di questo nulla) e
ho visto che c'erano interessanti aspetti didattici (non li ho
inventati io, ne parlavano gia' Godel e Robinson).
2. In effetti potrei anche eliminare la sigla NSA e parlare
semplicemente di approccio storico all'analisi, partendo dalle idee di
Leibniz.
3. I vantaggi di questo approccio derivano soprattutto dalla
possibilita' di anticipare derivate e integrali, senza dover passare
prima dalle forche caudine dei limiti e delle definizioni epsilon-delta.
4. Questo vale in particolare per le relazione con il programma di
Fisica. Qualcuno (p.es. Elio Fabri) ha inteso che io volessi sostenere
che con la NSA si capisce meglio la Fisica. Non ho mai detto nulla di
simile. La relazione logica e' diversa: la NSA mi consente di anticipare
derivate e integrali all'inizio della seconda liceo, quando si inizia il
programma di Fisica. In tal modo posso introdurre il concetto di
derivata mentre in Fisica introduco quelli di velocita' istantanea e di
accelerazione istantanea. E procedendo con il programma di Fisica fa
spesso comodo avere davanti studenti che sanno gia' che cosa siano
derivate e integrali. Tutto qui. Con l'approccio tradizionale derivate e
integrali si fanno alla fine dell'ultimo anno di corso, spesso in fretta
e furia per il ritardo del programma e quindi non sono spendibili altrove.
5. Secondo me nei licei si porra' prima o poi l'alternativa: o
rinunciare del tutto all'analisi restituendola all'Universita' (e ci
possono essere ottimi motivi a favore di questa scelta) o
ridimensionarla riducendola all'essenziale e l'approccio NSA (o Leibniz
se preferite) mi sembra il migliore per questo.
--
Un cordiale saluto
Paolo Bonavoglia
V E N E Z I A
Giorgio Pastore
...
> Mi permetto di aprire un nuovo thread solo per cercare di riassumere
> alcuni punti chiave, e sperando di non incorrere in scomuniche per eresia:
>
Suvvia, forse stai drammatizzando troppo.
> 1. Non sono affatto un fanatico o un evangelizzatore della NSA. In
> realta' io sono molto piu' appassionato all'informatica ... L'approccio
> NSA mi ha incuriosito, mi sono letto un po' di libri sull'argomento
> (tutti in inglese, in italiano non c'e' nulla di nulla
Veramente il primo libro sulla NSA che ho letto era Robinson tradotto
dalla Boringhieri... Vero che non ce ne sono stati molti altri ma forse
il problema è comune anche ad altri argomenti.
...
> 2. In effetti potrei anche eliminare la sigla NSA e parlare
> semplicemente di approccio storico all'analisi, partendo dalle idee di
> Leibniz.
Ecco, questo punto credo che andrebbe approfondito. Mi sembra che tu
consideri i due punti di vista equivalenti. A me sembra che la cosa sia
vera solo rinunciando al tratto caratteristico della NSA: la
dimostrazione dell' esistenza coerente col resto della matematica dei
numeri iperreali. Altrimenti cosa dovrebbe pensare un ragazzo che si
imbattesse nelle critiche di Berkeley agli infinitesimi ? Che B. era
un vecchio pazzo ?
A questo punto secondo me sarebbe meglio seguire davvero il percorso
storico per arrivare il prima possibile alle tecniche di calcolo e poi
ritornare alle definizioni basate sul concetto di limite.
Certo, mi rendo conto che questo punto di vista potrebbe essere
deformato dalla storia della mia esperienza di apprendimento e che un
approccio diverso potrebbe essere meno problematico di quel che mi
sembra. Proprio per questo, senza nessun desiderio di considerarti
eretico (e poi come potrei ? non sono un matematico io ;-) ) sto
cercando di capire meglio gli elementi che porti.
> 3. I vantaggi di questo approccio derivano soprattutto dalla
> possibilita' di anticipare derivate e integrali, senza dover passare
> prima dalle forche caudine dei limiti e delle definizioni epsilon-delta.
Capisco. Ma a parte che gli epsilon-delta si potrebbero anche spiegare
per bene, mentre capisco che si arriva molto più rapidamente alle
tecniche di calcolo (derivazione etc), cosa succede di concetti
collegati ? Penso ad esempio all' interpretazione della derivata come
coefficiente angolare della retta tangente o alle immediate connessioni
del metodo tradizionale con gli algoritmi numerici che si possono
implementare su un computer...
> 4. Questo vale in particolare per le relazione con il programma di
> Fisica.... Con l'approccio tradizionale derivate e
> integrali si fanno alla fine dell'ultimo anno di corso, spesso in fretta
> e furia per il ritardo del programma e quindi non sono spendibili altrove.
Pero' il problema potrebbe essere risolto anche anticipando l' analisi,
indipendentemente da quale.
> 5. Secondo me nei licei si porra' prima o poi l'alternativa: o
> rinunciare del tutto all'analisi restituendola all'Universita' (e ci
> possono essere ottimi motivi a favore di questa scelta)
Quali ? Io continup a chiedermi perché non sia possibile fornire a
tutti (licei e non) almeno un' informazione di base sul concetto di
derivata.
Giorgio
Paolo Bonavoglia
> Suvvia, forse stai drammatizzando troppo.
Veramente nelle intenzioni voleva essere piu' ironia che
drammatizzazione ... forse dovevo metterci una faccina.
> Ecco, questo punto credo che andrebbe approfondito. Mi sembra che tu
> consideri i due punti di vista equivalenti. A me sembra che la cosa sia
> vera solo rinunciando al tratto caratteristico della NSA: la
> dimostrazione dell'esistenza coerente col resto della matematica dei
> numeri iperreali. Altrimenti cosa dovrebbe pensare un ragazzo che si
> imbattesse nelle critiche di Berkeley agli infinitesimi ? Che B. era un
> vecchio pazzo ?
E' esattamente questo il motivo per cui introduco iperreali e parte
standard in un secondo tempo, appunto dopo aver parlato delle critiche
del Berkeley.
> A questo punto secondo me sarebbe meglio seguire davvero il percorso
> storico per arrivare il prima possibile alle tecniche di calcolo e poi
> ritornare alle definizioni basate sul concetto di limite.
Piu' o meno e' quello che faccio io. Dei limiti ne parlo alla fine della
terza liceo, partendo dai paradossi di Zenone e da qualche altra serie
notevole (p.es. armonica) e dal confronto tra infinito attuale e
infinito potenziale. Non insisto molto sul calcolo dei limiti che alla
fin fine si riduce a una serie di regolette e trucchi che non mi
sembrano molto formativi.
>
> Capisco. Ma a parte che gli epsilon-delta si potrebbero anche spiegare
> per bene, mentre capisco che si arriva molto più rapidamente alle
> tecniche di calcolo (derivazione etc), cosa succede di concetti
> collegati ? Penso ad esempio all'interpretazione della derivata come
> coefficiente angolare della retta tangente
Ma quella e' proprio una delle prime applicazioni che faccio del
concetto di derivata. L'anno precedente si e' visto
come trovare la tangente a una parabola con i metodi algebrici (delta =
0) e alla fine anche gli studenti piu' deboli riconoscono la
superiorita' del metodo delle derivate.
> del metodo tradizionale con gli algoritmi numerici che si possono
> implementare su un computer...
>
Intendi il metodo di Newton? In prima vediamo il metodo della bisezione
e delle corde, Newton mi piacerebbe inserirlo in futuro.
>
> Pero' il problema potrebbe essere risolto anche anticipando l' analisi,
> indipendentemente da quale.
Ma hai presenti i tempi di un liceo? Se a inizio seconda liceo (quarto
anno) iniziassi l'analisi standard con i limiti e l'epsilon-delta ci
perderei due mesi come minimo, perdendo buona parte dei vantaggi di
questo anticipo.
>
> Quali ? Io continup a chiedermi perché non sia possibile fornire a
> tutti (licei e non) almeno un' informazione di base sul concetto di
> derivata.
>
Ho citato la posizione "abolizionista" perche' e' stata sostenuta da
alcuni docenti universitari su un'altra mailing list a cui sono
iscritto. Il concetto e' "tanto al liceo gli studenti dell'analisi ne
capiscono poco o niente, meglio che si esercitino a ragionare con
problemi di geometria classica o di teoria dei numeri".
Ovviamente non e' questa la mia soluzione preferita. Credo che un
minimo di analisi dovrebbe far parte del bagaglio culturale di base.
In questo senso parlavo di ridimensionare e
anticipare l'analisi nei programmi liceali (a parte forse il liceo
scientifico).
--
Un cordiale saluto
Paolo Bonavoglia
V E N E Z I A
========================================================
Sito del Liceo Foscarini http://www.liceofoscarini.it/
Astronomia e Calendari
http://www.liceofoscarini.it/didattic/astronomia/astro/home.html
Giorgio Pastore
..
> Ma quella e' proprio una delle prime applicazioni che faccio del
> concetto di derivata. L'anno precedente si e' visto
> come trovare la tangente a una parabola con i metodi algebrici (delta =
> 0) e alla fine anche gli studenti piu' deboli riconoscono la
> superiorita' del metodo delle derivate.
Non ho capito come ottieni la interpretazione geometrica a partire da
un' approccio non-standard.
>> del metodo tradizionale con gli algoritmi numerici che si possono
>> implementare su un computer...
>>
> Intendi il metodo di Newton? In prima vediamo il metodo della bisezione
> e delle corde, Newton mi piacerebbe inserirlo in futuro.
No, pensavo piu' a metodi di differenze finite per le derivate
numeriche e formule di Newton-Cotes (trapezoidale p. es.) per gli
integrali. Mentre mi sembra semplice seguire il comportamento di un
integrale con la regola trapezoidale al crescere del numero di punti su
cui e' valutata la funzione, e quindi usando la strada del limite, vedo
piu' difficile lavorare con gli infinitesimi.
...
> Ma hai presenti i tempi di un liceo? Se a inizio seconda liceo (quarto
> anno) iniziassi l'analisi standard con i limiti e l'epsilon-delta ci
> perderei due mesi come minimo, perdendo buona parte dei vantaggi di
> questo anticipo.
Vermanete pensavo ad anticipare la cosa di uno o due anni... Pero'
questo sono pensieri in liberta' mai vermamente ponderati.
Giorgio
Paolo Bonavoglia
>
> Non ho capito come ottieni la interpretazione geometrica a partire da
> un' approccio non-standard.
>
Qual è la difficoltà? Pensa al coefficiente angolare della tangente come
al quoziente tra segmenti infinitesimi ... è uno dei punti di partenza
per arrivare al concetto di derivata.
Tra l'altro vale la pena di ricordare che esiste una variante della NSA
detta SIA (Smooth Infinitesimal Analysis) basata non su iperreali e
parte standard, ma appunto su fondamenti geometrici, in particolare sul
cosiddetto principio di microlinearita': ogni linea curva a livello
microscopico è lineare e conseguentemente gli infinitesimi vengono
definiti come numeri a quadrato nullo. (il testo di riferimento è
J.L.Bell A Primer of Infinitesimal Analysis - Cambridge Un.Press).
In ogni caso io uso l'approccio NSA essenzialmente per definire
continuità e derivata; per il resto non e' che lo svolgimento del
programma sia molto diverso da quello di un corso standard. Problemi di
massimo e minimo, di tangente a una curva, studi di funzione li affronto
in modo molto simile a quello standard. Solo lo studio degli asintoti e'
visto in modo un po' diverso.
>
> No, pensavo piu' a metodi di differenze finite per le derivate
> numeriche e formule di Newton-Cotes (trapezoidale p. es.) per gli
> integrali. Mentre mi sembra semplice seguire il comportamento di un
> integrale con la regola trapezoidale al crescere del numero di punti su
> cui e' valutata la funzione, e quindi usando la strada del limite, vedo
> piu' difficile lavorare con gli infinitesimi.
Perche' poi? La definizione di integrale e la dimostrazione del teorema
fondamentale dell'analisi con gli infinitesimi diventa molto semplice
(almeno per le funzioni continue, cosa che per il liceo basta e avanza).
Io introduco anche le formule dei trapezi e di Simpson per il calcolo
approssimato degli integrali.
> Vermanete pensavo ad anticipare la cosa di uno o due anni... Pero'
> questo sono pensieri in liberta' mai vermamente ponderati.
Su questa idea di anticipare l'analisi vedo che siamo d'accordo; fare
derivate e integrali (spesso in fretta e furia) alla fine dell'ultimo
anno e' collocazione decisamente infelice.
Certo si potrebbe anche pensare ad anticipare l'analisi restando
sull'approccio standard, p.es. con un approccio solo intuitivo al
concetto di limite. Per ora resto dell'idea che l'approccio NSA (o
quello storico) sia il piu' adatto in un liceo, per lo meno in un liceo
non scientifico come il mio (anche se i programmi di Matematica sperim.
PNI sono abbastanza simili a quelli dello scientifico).
LordBeotian
"Paolo Bonavoglia" <paolo...@tin.it> ha scritto
> Tra l'altro vale la pena di ricordare che esiste una variante della NSA
> detta SIA (Smooth Infinitesimal Analysis) basata non su iperreali e parte
> standard, ma appunto su fondamenti geometrici, in particolare sul
> cosiddetto principio di microlinearita': ogni linea curva a livello
> microscopico è lineare e conseguentemente gli infinitesimi vengono definiti
> come numeri a quadrato nullo. (il testo di riferimento è J.L.Bell A Primer
> of Infinitesimal Analysis - Cambridge Un.Press).
Da quello che ho potuto vedere questa SIA ha problemi ben più drammatici
della NSA: richiede la rinuncia al principio logico del terzo escluso.
Paolo Bonavoglia
>
> Da quello che ho potuto vedere questa SIA ha problemi ben più drammatici
> della NSA: richiede la rinuncia al principio logico del terzo escluso.
E' cosi'. Secondo Bell non e' affatto un difetto, e secondo lui la SIA
si sposa bene con le logiche intuizioniste, ma indubbiamente la cosa
puo' creare problemi a studenti abituati alla logica classica.
Per ora non ci proverei a introdurla a scuola anche se per molti versi
ha aspetti molto interessanti.
--
Giorgio Pastore
> Giorgio Pastore ha scritto:
>>
>> Non ho capito come ottieni la interpretazione geometrica a partire da
>> un' approccio non-standard.
>>
>
> Qual è la difficoltà? Pensa al coefficiente angolare della tangente come
> al quoziente tra segmenti infinitesimi ... è uno dei punti di partenza
> per arrivare al concetto di derivata.
Però ti perdi la possibilità di arrivare alla tangente come limite
delle secanti. Come li disegni su un grafico i segmenti infinitesimi ?
> Tra l'altro vale la pena di ricordare che esiste una variante della NSA
> detta SIA (Smooth Infinitesimal Analysis) basata non su iperreali e
> parte standard, ma appunto su fondamenti geometrici, in particolare sul
> cosiddetto principio di microlinearita': ogni linea curva a livello
> microscopico è lineare e conseguentemente gli infinitesimi vengono
> definiti come numeri a quadrato nullo. (il testo di riferimento è
> J.L.Bell A Primer of Infinitesimal Analysis - Cambridge Un.Press).
Interessante. Proverò a vedere se riesco a trovarlo. Grazie per le info.
Giorgio
Elio Fabri
> 4. Questo vale in particolare per le relazione con il programma di
> Fisica. Qualcuno (p.es. Elio Fabri) ha inteso che io volessi sostenere
> che con la NSA si capisce meglio la Fisica. Non ho mai detto nulla di
> simile.
Neanch'io. Tu avevi scritto:
> Poco, molto? Ovviamente la Fisica si puo' fare e in molte scuole si fa
> anche senza analisi ... ma sapendo un po' di analisi c'e' qualche
> vantaggio.
E io ho risposto:
> Ma scusa: il problema didattico di affrontare questi problemi e altri
> analoghi esiste ed e' stato variamente risolto da parecchio tempo, e
> nessuno si e' sognato di dire che stata usando la NSA.
> Questo per quanto riguarda la didattica della fisica.
Intendevo dire che e' ben noto che esiste un problema didattico
connesso alla necessita' in fisica di usare argomenti di analisi.
Essendo un problema antico e classico, se ne sono occupati in molti ed
e' stato risolto, piu' o meno bene, in diversi modi, senza pensare
alla NSA.
Casomai il difetto dell'approccio generalmente usato nelle nostre
scuole e' che nell'insegnamento della matematica non si fa nessun uso
di queste necessarie anticipazioni, che vengono viste come della
"robaccia da fisici".
Succede perfino quando l'insegnate delle due materie e' lo stesso :-<
Qualche volta e' davvero robaccia, ma non sempre e non
necessariamente, e sarebbe tanto di guiadagnato se ci fosse una
maggiore integrazione.
Restando nel puro ambito matematico pero' io non ho ancora capito come
funziona il tuo approccio.
Nota bene: non ho alcuna chiusura pregiudiziale, ma desiderio di
capire si'...
Vediamo se sono del tutto fuori strada: in sostanza, in un modo o
nellaltro, tu introduci gli infinitesimi come elementi non archimedei
dell'insieme numerico.
Ora sarebbe da capire se e come affronti il problema della definizione
dei reali, ma poi vedo un'altra difficolta'.
In geometria, parlando della retta euclidea, dovrai anche nominare il
postulato di Archimede: questo non ti crea una specie di
contraddizione?
--
Elio Fabri
Bruco
> la definizione epsilon-delta di limite sia una pietra miliare nella
> storia della matematica e ho citato la NSA come alternativa, accennando
> ai suoi vantaggi in campo didattico.
Sono assolutamente ignorante in materia, ma mi hai incuriosito: puoi
segnalarmi qualche testo (in rete e non) per introdurmi all'argomento?
Grazie.
LordBeotian
Arcobaleno
Elio Fabri wrote:
> Intendevo dire che e' ben noto che esiste un problema didattico
> connesso alla necessita' in fisica di usare argomenti di analisi.
> Essendo un problema antico e classico, se ne sono occupati in molti ed
> e' stato risolto, piu' o meno bene, in diversi modi, senza pensare
> alla NSA.
>
E questi metodi hanno funzionato bene, funzionano bene, e continueranno
a funzionare bene. Forse sarebbe il caso che tu(esperto del settore) ne
facessi qualche accenno. Perché si potrebbe pensare che senza Robinson
la tradizione didattica sull'analisi(una delle migliori tradizioni
didattiche delle varie branche della matematica) abbia seri problemi,
mentre non è così.
E' bene concentrarsi sulla didattica della matematica moderna sia a
scuola che all'università e non perdere tempo prezioso a rivoluzionare
didattiche che funzionano bene.
> Casomai il difetto dell'approccio generalmente usato nelle nostre
> scuole e' che nell'insegnamento della matematica non si fa nessun uso
> di queste necessarie anticipazioni, che vengono viste come della
> "robaccia da fisici".
>
E' vero. Ma anche l'anticipazione dell'analisi di Robinson senza il
rigore necessario è "robaccia di matematici".
Enrico Gregorio per es. dice che i diagrammi di Venn sono robaccia, ecc
ecc.
Questa "robaccia" esiste per le didattiche di tutte le discipline, sia
perché ci si rivolge a un uditorio non sempre motivato e composto di
adolescenti(persone che devono essere "iniziate" ai rudimenti).
Non è un tratto distintivo della didattica della fisica,ma di tutte le
discipline.
E' il prezzo che si paga per "iniziare" qualcuno a imparare qualcosa.
> Succede perfino quando l'insegnate delle due materie e' lo stesso :-<
>
> Qualche volta e' davvero robaccia, ma non sempre e non
> necessariamente, e sarebbe tanto di guiadagnato se ci fosse una
> maggiore integrazione.
>
> Restando nel puro ambito matematico pero' io non ho ancora capito come
> funziona il tuo approccio.
> Nota bene: non ho alcuna chiusura pregiudiziale, ma desiderio di
> capire si'...
>
Da quello che ho capito è "robaccia" che molto banalmente evita una
rigorosa introduzione ai limiti. Questo è tutto.
E per non essere accusati di fare della "robaccia", allora si dice che
la "robaccia" è stata sistemata dalla NSA, ovvero dalla non standard
analysis.
Che come tutte le parole inglesi più che "robaccia" sembra qualcosa
che fa tendenza:))
> Vediamo se sono del tutto fuori strada: in sostanza, in un modo o
> nellaltro, tu introduci gli infinitesimi come elementi non archimedei
> dell'insieme numerico.
>
Non penso che faccia questo. Probabilmente userà tutta una serie di
espedienti("robaccia"), come il problema della tangente, della
velocità istantanea, e senza introdurre in modo rigoroso il concetto
di limite, ne parla in modo informale.
Per es.
Fa vedere una curva alla lavagna, dice che bisogna trovare la tangente.
E poi si dice che al tendere dell'incremento a zero si arriva a
calcolare il coefficiente angolare.
> Ora sarebbe da capire se e come affronti il problema della definizione
> dei reali, ma poi vedo un'altra difficolta'.
> In geometria, parlando della retta euclidea, dovrai anche nominare il
> postulato di Archimede: questo non ti crea una specie di
> contraddizione?
>
Sii benevolo Elio:))
Perché a rigore si potrebbe bloccare qualsiasi discorso di
"iniziazione" alla matematica con la scusa di pretendere da subito il
massimo del rigore.
La didattica(come tu ci insegni) richiede ingegno, fantasia, capacità
di anticipare le problematiche di apprendimento dell'uditorio ecc ecc.
Il rigore in certi contesti è l'ultima cosa a cui far riferimento.
Concludo insistendo sul fatto che più che parlare di come
rivoluzionare una didattica che ha sempre funzionato, che funiona e che
funzionerà, è il caso (vedasi sperimentazioni in corso) di
concentrarsi sulla didattica della matematica moderna, cioè di creare
quel PONTE tra la matematica che si studa a scuola e quella che si
studia al primo anno in un normale corso di algebra, o di algebra
lineare, o di geometria.
E' in questi ambiti che manca il PONTE ed è qui che bisogna
sperimentare ed infatti si sta sperimentando.
Ciao
A.
p.s. dopo il liceo i ragazzi non vedranno la NSA. Questa NSA non crea
alcun ponte.
E' un nome per "coprire" quella "robaccia" che è invece la parte
migliore di ogni didattica!!
LordBeotian
"Arcobaleno" <arcobaleno...@libero.it> ha scritto
>E questi metodi hanno funzionato bene, funzionano bene, e continueranno
>a funzionare bene. Forse sarebbe il caso che tu(esperto del settore) ne
>facessi qualche accenno.
I modi li conosce chiunque abbia frequentato un liceo: consistono nel
trattare separatamente tanti casi specifici (come il moto rettilineo
uniforme, uniformemente accelerato, circolare uniforme) dando per buone una
serie di formule la cui giustificazione richiederebbe il ricorso a derivate o
integrali.
Arcobaleno
Bruco wrote:
> Sono assolutamente ignorante in materia, ma mi hai incuriosito: puoi
> segnalarmi qualche testo (in rete e non) per introdurmi all'argomento?
> Grazie.
>
Vedo che Lord B ti ha già consigliato un ottimo sito.
Cmq c'è anche questo:
http://www.unipv.it/webphilos_lab/dossena/AnalisiNonStandard.pdf. Sono
poche pagine e scritte bene.
Ciao:)
A.
Arcobaleno
LordBeotian wrote:
> I modi li conosce chiunque abbia frequentato un liceo: consistono nel
> trattare separatamente tanti casi specifici (come il moto rettilineo
> uniforme, uniformemente accelerato, circolare uniforme) dando per buone una
> serie di formule la cui giustificazione richiederebbe il ricorso a derivate o
> integrali.
>
Ora non mettiamo Elio Fabri sullo stesso piano di uno studente che ha
scaldato il banco di un liceo:))
Se hai la pazienza di rileggere quello che ha scritto Elio, noterai che
a un certo punto lascia intendere che ci si può introdurre all'analisi
partendo da argomenti di fisica e di matematica che altri definiscono
essere "robaccia".
E' probabile che si riferisca ad una serie di argomenti che tralasciano
un certo rigore e introducono lo studente al concetto di derivata,
integrale ecc..
Io per es. pensavo che si può partire dalle progressioni aritmetiche e
geometriche, poi fare una riflessione sui numeri naturali; sulla
costruzione della retta dei numeri. Problemi che nascono dalla
considerazione dell'infinito(i paradossi). I problemi del continuo; il
procedimento di induzione di Peano. Il problema dell'area in Archimede;
gli indivisibili; vedere cosa sono gli incrementi di una funzione; Il
problema della velocità istantanea; il problema della tangente ecc
ecc.
Tutti argomenti che non necessitano di epsilon e delta...
Inoltre, mi sembra che molti si siano lamentati(tu hai inaugurato un
thread sulla tua vicenda scolastica) del fatto che a scuola l'analisi
che si studia diventa una sorta di intralcio per quella che poi si
studia in seguito all'università.
E se al posto dell'analisi classica ti avesse spiegato l'analisi di
Robinson, non credi che avresti avuto più problemi?
IMHO in questi discorsi manca un po' di coerenza!
Ciao:)
A.
Kiuhnm
[...]
Mi aggancio al thread per segnalare questo:
http://lib.mexmat.ru/books/1864
Kiuhnm
fm2766
Non riesco a collegarmi al file
ed2k://|file|20050409_GFONSAWU.djvu|923829|e10190ab8fe4142d4d900589ba338e2f|o
Ho problemi col protocollo ed2k. Hai idea di come fare?
Kiuhnm
> Non riesco a collegarmi al file
> ed2k://|file|20050409_GFONSAWU.djvu|923829|e10190ab8fe4142d4d900589ba338e2f|o
> Ho problemi col protocollo ed2k. Hai idea di come fare?
Devi avere un client ed2k installato.
Per es.
http://prdownloads.sourceforge.net/emule/eMule0.47a-Installer.exe
Per maggiori informazioni:
http://www.emule-project.net/home/perl/general.cgi?l=1
Kiuhnm
Giorgio Pastore
...
> E' bene concentrarsi sulla didattica della matematica moderna sia a
> scuola che all'università e non perdere tempo prezioso a rivoluzionare
> didattiche che funzionano bene.
Ma cosa intendi per "matematica moderna" ? Quanto moderna ?
> Concludo insistendo sul fatto che più che parlare di come
> rivoluzionare una didattica che ha sempre funzionato, che funiona e che
> funzionerà,
Funziona ... per cosa ? La NSA non c' entra. Ma che fossimo nel
paradiso della didattica dell' analisi nelle superiori non me ne ero
accorto.
> ...è il caso (vedasi sperimentazioni in corso) di
> concentrarsi sulla didattica della matematica moderna, cioè di creare
> quel PONTE tra la matematica che si studa a scuola e quella che si
> studia al primo anno in un normale corso di algebra, o di algebra
> lineare, o di geometria.
...
Beh, io credo che il discorso sia un po' meno semplice. Il "ponte"
dovrebbe essere un effetto collaterale di una sana didattica della
matematica. Non un fine. A meno di non voler mettere anche l'
università nella scuola dell' obbligo :-)
E il discorso è delicato perché la storia del ponte potrebbe diventare
facilmente l' alibi per quello che io giudico essere l' aspetto più
deleterio e nocivo in assoluto di molta didattica attuale (senza
restringermi alla matematica): il voler anticipare in modo indebito
argomenti, nozioni, problematiche, col risultato di non andare oltre una
vuota ed inutile divulgazione e di abituare gli studenti all' idea di
non poter padroneggiare i concetti.
Giorgio
Paolo Bonavoglia
>
> Sono assolutamente ignorante in materia, ma mi hai incuriosito: puoi
> segnalarmi qualche testo (in rete e non) per introdurmi all'argomento?
> Grazie.
In rete si scarica gratis il gia' segnalato Keisler; l'impostazione e'
piuttosto vicina a quella standard.
Come testo relativamente facile (viene richiesta solo la conoscenza
della matematica a livello di liceo) e' quello gia' segnalato:
J.H.Henle, E.M.Kleinberg - Infinitestimal Calculus - Dover 2003.
usa una notazione e un'impaginazione un po' originale, ma e' forse
l'ideale per cominciare.
Se ti interessa anche la SIA alternativa alla NSA basata su una diversa
definizione di infinitesimo:
J.L.Bell - A Primer of infinitesimal Analysis - Cambridge Univ.Press.
Si trovano in rete su Amazon o sull'italiano Internet Bookshop a prezzi
piuttosto buoni grazie anche al favorevole cambio euro/dollaro.
Senz'altro meglio che acquistarli in una libreria universitaria.
--
Paolo Bonavoglia
>
> E questi metodi hanno funzionato bene, funzionano bene, e continueranno
> a funzionare bene. Forse sarebbe il caso che tu(esperto del settore) ne
> facessi qualche accenno. Perché si potrebbe pensare che senza Robinson
> la tradizione didattica sull'analisi(una delle migliori tradizioni
> didattiche delle varie branche della matematica) abbia seri problemi,
> mentre non è così.
Dunque la didattica "standard" dell'analisi nei licei funziona bene e
funzionera' sempre bene?
Fantastico! Comincio a pensare che viviamo su pianeti diversi.
Sul tuo evidentemente siete arrivati all'empireo delle soluzioni
perfette e non piu' perfettibili!!!
Pero' io diffido profondamente dalle soluzioni definitive.
La storia dovrebbe pure insegnarci che anche in matematica e fisica e'
difficile trovare qualcosa di definitivo. Popper diceva che ogni teoria
scientifica e' solo una congettura che puo' essere confutata.
Paolo Bonavoglia
>
> Intendevo dire che e' ben noto che esiste un problema didattico
> connesso alla necessita' in fisica di usare argomenti di analisi.
> Essendo un problema antico e classico, se ne sono occupati in molti ed
> e' stato risolto, piu' o meno bene, in diversi modi, senza pensare
> alla NSA.
>
Quale sarebbe questa soluzione? Nei libri di Fisica per i licei
(attualmente uso il classico Amaldi) non vedo soluzioni perfette e non
piu' perfettibili a questo problema. Penso p.es. a come giustificare il
fatto che in un moto circolare uniforme l'accelerazione e' diretta verso
il centro; con l'analisi e' relativamente facile; senza bisogna
arrampicarsi sugli specchi.
Comunque ripeto la NSA qui serve essenzialmente ad anticipare derivate e
integrali in modo relativamente indolore.
> Casomai il difetto dell'approccio generalmente usato nelle nostre
> scuole e' che nell'insegnamento della matematica non si fa nessun uso
> di queste necessarie anticipazioni, che vengono viste come della
> "robaccia da fisici".
Non capisco. Anticipazioni di cosa? Dell'analisi? Sarebbe piu' o meno
quello che faccio io?
Mi fai un esempio di questa "robaccia da fisici"?
>
> Restando nel puro ambito matematico pero' io non ho ancora capito come
> funziona il tuo approccio.
> Nota bene: non ho alcuna chiusura pregiudiziale, ma desiderio di
> capire si'...
>
> Vediamo se sono del tutto fuori strada: in sostanza, in un modo o
> nellaltro, tu introduci gli infinitesimi come elementi non archimedei
> dell'insieme numerico.
Esatto. Come numeri dx tali che 0 < dx < 1/N per ogni N.
In matematica si parte dal problema di definire in modo un po' piu'
rigoroso il concetto di funzione continua e di trovare un metodo
generale per trovare la tangente a una curva.
In fisica poco dopo si affronta il problema della velocita' istantanea e
si arriva a vedere l'equivalenza tra i due problemi.
> Ora sarebbe da capire se e come affronti il problema della definizione
> dei reali, ma poi vedo un'altra difficolta'.
I numeri reali nei programmi del liceo classico vengono definiti l'anno
prima, in prima liceo (terzo anno), con la definizione di Dedekind. In
genere e' un ostacolo molto duro, che sempre piu' spesso viene saltato
(da docenti e libri di testo) sostituendolo con un approccio "informale"
per approssimazioni successive (tipo approssimare radice di due partendo
da 1,4 < x < 1,5; 1,41 < x < 1,42 ...)
Il problema e' che questa definizione e' un po' un pesce fuor d'acqua
nel percorso di matematica al liceo e viene facilmente dimenticato dagli
studenti ...
In effetti non e' che l'introduzione dei numeri reali sia piu' indolore
di quella degli infinitesimi!
Piu' in generale io credo che in un liceo si debba spesso e volentieri
rinunciare a quel rigore che viceversa e' irrinunciabile in un corso
universitario di matematica. Esagerare con il rigore e con il formalismo
e' un ottimo modo per perdersi per strada l'80% della classe,
soprattutto in un liceo classico.
> In geometria, parlando della retta euclidea, dovrai anche nominare il
> postulato di Archimede: questo non ti crea una specie di
> contraddizione?
Anche il postulato di Archimede dovrebbe essere trattato al terzo anno.
Dico dovrebbe perche' nei libri di testo viene introdotto un po' di
sfuggita p.es. quando si dimostra il teorema dell'equivalenza dei
parallelogrammi di uguale base e altezza.
Comunque non vedo il problema, non piu' di quanto avvenga in terza liceo
(ultimo anno) quando si trattano le geometrie non euclideee. Tanto per
prevenire ogni commento malevolo, ricordo che le geometrie non euclidee
sono esplicitamente incluse nel programma di Matematica con
sperimentazione PNI.
--
Arcobaleno
Paolo Bonavoglia wrote:
> Comunque non vedo il problema, non piu' di quanto avvenga in terza liceo
> (ultimo anno) quando si trattano le geometrie non euclideee. Tanto per
> prevenire ogni commento malevolo, ricordo che le geometrie non euclidee
> sono esplicitamente incluse nel programma di Matematica con
> sperimentazione PNI.
>
Mi sembra che dai vari dialoghi nessuno ti stia proibendo di procedere
con il tuo programma(ministeriale o meno che sia, sperimentale o meno
che sia).
Sia io che Elio Fabri ti abbiamo detto che ci sono anche altre vie per
anticipare certi temi.
Detto questo, ti faccio i miei più sinceri auguri per la tua opera di
insegnante:)
Ciao:)
A.
Arcobaleno
Giorgio Pastore wrote:
> Arcobaleno wrote:
> ...
> > E' bene concentrarsi sulla didattica della matematica moderna sia a
> > scuola che all'università e non perdere tempo prezioso a rivoluzionare
> > didattiche che funzionano bene.
>
> Ma cosa intendi per "matematica moderna" ? Quanto moderna ?
>
Quello che hai capito tu, visto che hai dato pure delle risposte
basandoti su questa accezione:))
Ciao
A.
Giorgio Pastore
> Giorgio Pastore wrote:
...
>> Ma cosa intendi per "matematica moderna" ? Quanto moderna ?
>>
>
> Quello che hai capito tu, visto che hai dato pure delle risposte
> basandoti su questa accezione:))
Se chiedo, chiedo per capire. E, siccome non tutti intendono per
matematica moderna la stessa cosa, ho chiesto. Le risposte a cui ti
riferisci non capisco quali possano essere perché per me "matematica
moderna" non ha un' accezione univoca.
Giorgio
Paolo Bonavoglia
> Paolo Bonavoglia wrote:
>
>
> Però ti perdi la possibilità di arrivare alla tangente come limite
> delle secanti.
>
Ovviamente non arrivo alla tangente come limite delle secanti; del resto
non ci arrivo cosi' nemmeno l'anno precedente quando uso il metodo
algebrico (sistema con l'equazione del fascio di rette, e imporre Delta
= 0).
> Come li disegni su un grafico i segmenti infinitesimi ?
Non li disegno, disegno direttamente la tangente dicendo che tocca la
curva in un solo punto; alcuni libri usano lineette molto piccole.
Ok non sono veri infinitesimi, ma poi i punti che disegnamo sulla
lavagna sono veri punti o non piuttosto piccoli cerchi?
>
> Interessante. Proverò a vedere se riesco a trovarlo. Grazie per le info.
>
Io a suo tempo lo ho trovato su Amazon. Avevo anche cercato in una
libreria universitaria, ma prezzi e tempi erano meno buoni che su
Amazon. Puoi provare anche sull'italiano Internet Bookshop
(http://www.internetbookshop.it/hmepge.asp?) i tempi di solito sono
migliori, i prezzi non sempre.
Arcobaleno
Giorgio Pastore wrote:
> Se chiedo, chiedo per capire. E, siccome non tutti intendono per
> matematica moderna la stessa cosa, ho chiesto. Le risposte a cui ti
> riferisci non capisco quali possano essere perché per me "matematica
> moderna" non ha un' accezione univoca.
>
Questo che segue l'ho preso da Wikipedia.
Così rientriamo in topic:)
E' un breve riassunto della storia della didattica della matematica in
Italia.
I discorsi su cosa debba intendersi correttamente per matematica
moderna li lascio agli storici, io non me ne intendo. Cmq, per
matematica moderna, io intendo ESATTAMENTE quello a cui si riferisce
l'autore di quanto segue.
http://it.wikipedia.org/wiki/Insegnamento_della_matematica_in_Italia
Dall'unità d'Italia alla prima guerra mondiale
Nel 1867 si vollero introdurre nell'allora ginnasio superiore lo
studio della "geometria razionale" e gli Elementi di Euclide come libro
di testo di geometria; non si pensò che la sistemazione logica
euclidea doveva costituire il punto d'arrivo e non il punto di
partenza dello studio della geometria.
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La riforma Gentile
. . . . . . .
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Dopo la seconda guerra mondiale
Vediamo quali furono i principali progetti di riforma per la Scuola
italiana dal 1945:
1945 Programmi dei governi alleati per la Scuola media, i Licei e gli
Istituti magistrali
Vi fu un'inversione di tendenza rispetto alla Riforma Bottai del
1940: nella Scuola media i riferimenti di carattere storico diventano
opzionali ed il programma acquista un taglio pratico sperimentale. I
programmi per i Licei, invece, non presentano particolari novità e
così pure i programmi per il ginnasio, i cui contenuti sono
sostanzialmente quelli della Riforma Gentile. Ciò che muta nel
ginnasio è l'adozione di una impostazione metodologica che conduca
gradualmente i giovani alla piena consapevolezza dei concetti e delle
proprietà. C.M.n.155/45
C'è comunque da rimarcare il fatto che le buone indicazioni
metodologiche non trovano ampio consenso, né tra i docenti, né nei
libri di testo.
1946 Programmi per gli Istituti Tecnici
1952 Proposta di Riforma Gonella; Programmi della Consulta Didattica
La Riforma prevedeva un ciclo medio triennale (con tre indirizzi:
Classico, Tecnico, Normale) a seguito della Scuola elementare. Ai fini
dell'elaborazione del Programma, fu costituita dal Ministero una
Consulta Didattica, coordinata da Attilo Frajese. La Consulta stilò un
programma secondo il quale "sarebbe opportuno evitare nelle prime
classi del liceo l'introduzione di una sfilza di postulati, partendo
invece da proprietà evidenti per avviare il processo dimostrativo.
Inoltre la Consulta propose un'apertura verso le nuove correnti
matematiche che stavano girando in Europa da circa dieci anni,
affermano che sarebbe stato opportuno condurre lo studente alla
rielaborazione critico-storica di qualche argomento precedentemente
trattato, come saggio esemplificativo del processo ipotetico-deduttivo
e del valore di rigore della matematica".
Lo spirito innovativo che traspare dai programmi liceali e che vede la
matematica come disciplina eminentemente formativa, viene meno nei
programmi di Attilio Frajese per gli Istituti Tecnici, nei quali la
matematica assume una valenza fortemente strumentale e subordinata alle
materie professionali d'indirizzo.
1955 Programmi della Scuola Elementare
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L'influenza bourbakista
L'ondata bourbakista che ha travolto negli anni 1950 il mondo
accademico e la Scuola Secondaria ha portato un cambiamento radicale di
impostazione metodologica e di contenuti della didattica. Ciò può
essere ad esempio verificato andando ad analizzare la variazione subita
nel periodo dai programmi ministeriali e le conseguenti polemiche
apparse su numerose riviste di settore.
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Programmi ministeriali
L'avvento di una matematica chiaramente "useless for teaching and for
applications " e la distorta morale che da esse discese ebbe un effetto
devastante nella Scuola secondaria italiana che, con una serie
interminabile di ciclopiche riforme cercò di imporla senza vagliare
attentamente gli enormi problemi che una tale scelta comportava. Si
ricadde in un errore già commesso circa cento anni prima con
l'imposizione della geometria euclidea e degli Elementi di Euclide come
libro di testo.
Anche l'introduzione delle matematiche moderne, seppur necessaria, fu
sicuramente forzata e non sostenuta da un adeguato aggiornamento degli
insegnanti di matematica della Scuola secondaria.
1959 Convegno Organizzazione Europea di Cooperazione Economica (OECE) a
Royaumont; conferenza di Jean Dieudonné: "A bas Euclid"
Gli anni '60 si aprirono con vivaci dibattiti sull'insegnamento
della matematica. Legittimamente ci si chiede come gli sconvolgimenti
che la matematica ha vissuto negli ultimi cinquant'anni, con la
rapida transizione da una visione euclideo-kantiana ad una nuovo
assetto assiomatico di matrice hilbertiano-bourbakista, debbano
modificarne l'insegnamento. Nel 1959 a Royaumont, nei pressi di
Parigi, si tiene un Convegno promosso dall'OECE, dal titolo "le
nuove matematiche", con il preciso obiettivo di fare il punto
sull'attuale situazione dell'insegnamento della matematica nella
Scuola Secondaria. Durante una delle conferenze, Jean Dieudonné, uno
dei fondatori di Bourbaki, lanciò il grido "A bas Euclid", a voler
significare l'inattualità della geometria greca ma, più in
generale, di tutto l'insegnamento tradizionale.
1960 Commissione di Dubrovnik e Programmi
Conseguenza diretta del Convegno parigino fu la costituzione di una
Commissione incaricata di riscrivere i programmi per l'introduzione
delle nuove matematiche, epurate dall'eredità ellenica, nei cicli
della Scuola secondaria. Nel documento sono sottolineati
l'unitarietà ed il superamento di una visione separata
dell'algebra e della geometria.
1961 Convegno UMI-CIIM a Bologna; istituzione ministeriale di Classi
Pilota; Programmi Bosco per gli Istituti Tecnici
Costituisce la riposta italiana alle proposte di Dubrovnik. Viene
sottolineata l'importanza di un aggiornamento dell'insegnamento
della matematica. I partecipanti vengono invitati a stilare proposte
che tengano presente il carattere di unitarietà che la disciplina ha
assunto.
1963 Riforma Gui della Scuola media
1962-1964 Incontri di Gardone e Camaiore
Vengono proposti programmi fortemente influenzati da una visione
bourbakista della matematica. In particolare, nella premessa ai
programmi proposti a Lido di Camaiore viene rilevata sia l'urgenza di
mettere a disposizione degli insegnanti i necessari strumenti
bibliografici, sia la necessità di organizzare corsi di aggiornamento
da estendersi quanto più possibile alla totalità dei docenti liceali.
I partecipanti al Convegno, dopo ampia discussione , si sono trovati
concordi sul rilevare:
la funzione formativa della scuola liceale;
la necessità nella scuola liceale di un opportuno equilibrio delle
discipline letterarie, artistiche, storiche, filosofiche, scientifiche
(matematiche e sperimentali);
l'esigenza che tutte le discipline siano presenti nella scuola
liceale come discipline formative e ordinate alla successiva
specializzazione universitaria e non come strumento per la sola
preparazione tecnica e professionale;
l'esigenza che la scuola liceale dia accesso a tutte le facoltà
universitarie;
l'esigenza di una adeguazione dei contenuti e dei metodi attraverso
un rinnovamento aperto al progresso scientifico e culturale, pedagogico
e didattico.
1966-1967 Programmi di Frascati (proposte)
Ai due Convegni di Frascati, promossi dall'UMI-CIIM , parteciparono
numerosi docenti universitari impegnati nella ricerca didattica e
docenti di Scuola secondaria appositamente invitati. Al termine dei
convegni furono formulati due programmi, uno per il Biennio (1966) ed
uno per il Triennio dei licei (1967).
I programmi fanno riferimento a due finalità:
formare la mente del giovane introducendolo alla riflessione e al
ragionamento matematico
fornirgli alcuni semplici, ma fondamentali strumenti di comprensione e
di indagine.
Il programma formulato per il biennio liceale è il seguente:
I Anno
a) Nozioni elementari sugli insiemi e sulle corrispondenze. - richiami
sui naturali - quozienti - resto - divisibilità - algoritmo euclideo e
numeri primi. - riesame comparativo delle operazioni con numeri interi
(relativi) e razionali ed enunciazione delle relative proprietà
formali. - espressioni letterali ed eguaglianze notevoli fra numeri
rappresentabili da esse. Esercitazioni non complicate, nelle quali i
numeri siano rappresentati anche da lettere, per richiamare
l'aritmetica già studiata e abituare a semplificare le operazioni
razionali. - ordinamento dei numeri interi e razionali - valori
assoluti - proprietà formali delle diseguaglianze - classi di resto
modulo m. partizione di un insieme e relazioni di equivalenza.
b) Il piano come insieme di punti e le rette come suoi sottoinsiemi:
incidenza e parallelismo, direzione. - proprietà di ordinamento della
retta e partizione del piano. Segmenti, figure convesse: angoli e
poligoni.
II Anno:
a) Introduzione intuitiva dei numeri reali, enunciazione delle relative
proprietà. - i polinomi (in una variabile, introdotti come funzione).
Enunciato del principio di identità dei polinomi - operazioni con
polinomi - algoritmo euclideo della divisione fra polinomi - il caso
del divisore di primo grado; il teorema di Ruffini e le sue
conseguenze. - generalità sulle equazioni - equazioni di primo grado
in un'incognita - problemi relativi - frazioni razionali fratte. -
coordinate cartesiane sulla retta e sul piano - applicazioni -
diagrammi di semplici funzioni. - illustrazione su esempi tratti dalle
teorie svolte di qualche struttura significativa come quelle di anello,
gruppo, corpo ed eventuale reticolo, spazio metrico.
b) Congruenze (oppure isometrie) - confronto di segmenti -
perpendicolarità - traslazioni, rotazioni e simmetrie - applicazioni
ai segmenti, agli angoli, ai triangoli e ai poligoni - circonferenza e
cerchio - poligoni regolari - teorema di Talete e teorema di Pitagora.
Il programma minimo di matematica per il triennio liceale stabilito a
Villa Falconieri è il seguente:
III Anno
Il piano vettoriale geometrico: combinazioni lineari, coordinate,
traslazioni. Sistemi di equazioni lineari in due incognite. Equazione
cartesiana della retta, sistema di due rette. I radicali e le potenze
con esponente razionale. Equazioni di secondo grado sopra il corpo
reale. Numeri complessi. Prodotto scalare. Elementi di trigonometria
(seno, coseno, tangente. Teorema di addizione; teorema di Carnot,
teorema dei seni). Gruppo delle congruenze e delle similitudini del
piano.
IV Anno
Equazione cartesiana della circonferenza, dell'ellisse,
dell'iperbole e della parabola. Generalità sulle funzioni reali di
variabile reale. Funzioni monotone e loro inverse. Funzione
esponenziale e logaritmica. Progressioni aritmetiche e geometriche. Lo
spazio come insieme di punti. Le rette e i piani come suoi
sottoinsiemi. Incidenza e parallelismo. Semispazi. Spazio vettoriale
geometrico. Estensione allo spazio del prodotto scalare.
Perpendicolarità. Distanze. Angoli di rette e piani. Limiti,
continuità, derivate. Area delle figure piane: poligoni, cerchio.
Lunghezza della circonferenza.
V Anno
Solidi elementari e loro principali proprietà. Integrale definito.
Primitiva di una funzione. Volumi di solidi elementari. Aree delle
superfici di rotazione. Spazio vettoriale astratto. Suoi modelli e
applicazioni. Calcolo combinatorio. Elementi di calcolo delle
probabilità e semplici applicazioni alla statistica, alla teoria degli
errori, ecc... Ripensamenti e complementi.
Ripensamenti e complementi (a titolo esemplificativo)
Geometrie non euclidee con riferimenti storico-critici sullo sviluppo
del pensiero matematico. Ampliamento proiettivo dello spazio affine o
euclideo e proprietà grafiche fondamentali. Proprietà elementari
delle coniche. Introduzione alla logica matematica. Algebra di Boole.
Qualche tratto dell'evoluzione storica del pensiero matematico. Cenni
di teoria dei numeri. Varie forme di costruzione dei numeri reali.
Fondamenti della geometria. Elementi di calcolo numerico. Elementi di
topologia con applicazioni alle matematiche elementari. Elementi di
geometria analitica dello spazio. Elementi di teoria dei gruppi. Le
trasformazioni elementari e i loro gruppi. Sistemi di equazioni
lineari. Elementi della teoria dei giochi. Aspetti algebrici dei
problemi risolubili con riga e compasso. Fondamenti della cinematica
classica e della cinematica relativistica Equazioni di terzo grado ed
equazioni di quarto grado. Ricerca operativa. Programmazione lineare.
[modifica]
Alcune polemiche
In Italia i risultati raggiunti a Royaumont e a Dubrovnik (v. sopra)
non lasciarono indifferenti gli insegnanti della Scuola secondaria. Da
subito si intuì la necessità di prestare particolare attenzione per
evitare che la matematica moderna non si presentasse come un capitolo
nuovo riservato ad alcuni specialisti, ma come una concezione nuova di
tutto l'edificio matematico. E, in attesa dei programmi ufficiali, ci
si rese conto della necessità che ogni professore, fin da subito,
cercasse di completare le sue conoscenze, riflettesse sui problemi
pedagogici che pone l'insegnamento degli elementi della matematica
moderna, si compenetrasse della loro estrema importanza e apportasse la
sua collaborazione alla ricerca delle soluzioni.
Da questo momento in poi nella Scuola italiana è il caos. Del fatto
che le "matematiche moderne" generassero nella Scuola italiana uno
scompiglio senza precedenti, ci si rende conto immediatamente
sfogliando le riviste dedicate all didattica della matematica del
tempo. Ad esempio, tra il 1965 ed il 1967 sulla rivista Archimede, si
possono trovare interminabili serie di articoli che mettono a nudo il
disagio degli insegnanti italiani nei confronti di una matematica che
non hanno i mezzi per concepire e che provano imbarazzo nel cercare di
trasmettere durante le lezioni. È significativa una lettera di un
gruppo di insegnanti torinesi, pubblicata da questa rivista sul numero
di marzo-giugno del 1965, in cui si legge: "[...] dopo aver
meditato a lungo su tale programma [programma per l'insegnamento
della matematica nel primo biennio dei licei proposto negli incontri di
Camaiore poiché è nostro fermo intendimento di prepararci seriamente
all'insegnamento di domani, dobbiamo tristemente concludere che non
comprendiamo parecchi punti di esso, benché non solo da ieri ci
occupiamo di matematica moderna. [...].Noi ammettiamo che non si
possono chiudere gli occhi e le orecchie di fronte all'algebra
moderna, che, effettivamente, mediante essa si riesce meglio ad
impadronirsi di taluni concetti che prima restavano sempre definiti in
modo insoddisfacente[...] ma non comprendiamo perché in una scuola
secondaria occorra fare una trattazione così rivoluzionaria che ha
senso solo nei corsi universitari specifici per matematici [...]"
E solo qualche pagina dopo si legge: "Nel Seminario matematico
internazionale di Villa Falconieri (Frascati) nell'ottobre del 1964,
particolarmente il prof. Behnke ha esplicitamente riconosciuto che in
tutti i paesi interessati "un certo numero di professori -
soprattutto i più anziani - non vogliono cambiare i loro metodi di
insegnamento". Io direi che, non solo quel certo numero costituisce
la maggioranza, ma che allo stato attuale delle cose "non vogliono
perché non possono cambiare i loro metodi". È la loro preparazione
che non lo consente, e gli illustri docenti universitari che hanno
partecipato alla "tavola rotonda" lo sanno".
La situazione era aggravata dalla mancanza di manuali che fornissero le
linee guida agli insegnanti. Effettivamente in quegli anni, ad
esclusione di testi specifici di algebra astratta come quello di Lucio
Lombardo Radice " Istituzioni di algebra astratta"(1965) e quello di
Tullio Viola " Introduzione alla teoria degli insiemi" (1965), nel
panorama editoriale italiano non si intravvedeva altro.
L'unico testo dedicato all'insegnamento nella Scuola secondaria
appositamente redatto per le Classi Pilota, è quello di Armando
Chiellini "La matematica moderna nell'insegnamento secondario"
(1965). Bisogna però sottolineare che già nel 1963 è pubblicato, a
cura del Ministero della Pubblica Istruzione e dell'OECE, il testo
"Per un insegnamento moderno della matematica" , destinato alle Classi
Pilota. Tuttavia tale testo, così come le relazioni dei docenti delle
Classi Pilota e i risultati della sperimentazione, non viene diffuso in
tutte le scuole e quindi non può in alcun modo contribuire a
sensibilizzare verso la matematica moderna coloro, e che sono la
maggioranza, che non hanno insegnato in una classe pilota. Questo
scompiglio investe anche la Scuola media inferiore, che vede spesso
impiegati insegnanti sprovvisti di una cultura matematica specifica e
che, quindi, a maggior ragione non possiedono i mezzi per aggiornare il
proprio bagaglio di conoscenze . In quegli anni, per ovviare a questi
problemi, fioriscono anche una nutrita serie di progetti di nuovi corsi
di laurea per preparare docenti qualificati all'insegnamento della
matematica e delle osservazioni scientifiche nella Scuola media (ad
esempio, il progetto Morin e il progetto Prodi ). Per capire come sia
mutato in quegli anni l'insegnamento della matematica nella scuola
media inferiore, è sufficiente sfogliare l'indice di un libro per la
terza media degli anni 1960.
Ad esempio nel volume terzo del testo "Algebra, corso di matematica per
la Scuola Media" di Vincenzo Marseguerra (1967), accanto ad argomenti
usuali (insieme dei numeri razionali relativi, le operazioni
fondamentali, i problemi e le equazioni di primo grado ad una
incognita, la rappresentazione di funzioni, il diagramma) trovano ampio
spazio argomenti dal sapore prettamente bourbakista come
le trasformazioni geometriche
i movimenti e le uguaglianze
l'affinità e la similitudine
le strutture algebriche sull'insieme dei numeri relativi
le strutture algebriche sull'insieme dei numeri pari e dei numeri
dispari
le strutture algebriche sull'insieme dei giorni della settimana
strutture algebriche degli insiemi di Boole
un aspetto delle matematiche moderne
In particolare, in quest'ultimo capitolo si legge: "tale metodo di
studio di una struttura, non solo generalizza ma porta a stabilire
legami unitari fra i vari rami della matematica, offrendo la
possibilità di dare interpretazioni diverse alle proposizioni
specificando la natura degli elementi".
Queste parole non possono che rimandare all'introduzione degli
Elementi di Bourbaki. E non è un caso.
Infatti l'autore di questo testo faceva parte in quegli anni, insieme
a Ludovico Geymonat, Attilio Frajese, Francesco Severi, Aldo Chiellini
e altri, della redazione della rivista di matematica Archimede che,
oltre a raccogliere le proteste degli insegnanti di fronte al caos
delle riforme, usciva ogni due mesi con articoli di forte impronta
bourbakista di matematici più o meno noti o di semplici insegnanti di
Scuola secondaria.
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La posizione della Scuola Normale Superiore di Pisa
La matematica bourbakista sicuramente non può non aver lasciato tracce
in una in una istituzione così prestigiosa e ricettiva nei confronti
delle avanguardie della ricerca scientifica ma è fuori dubbio che tali
tracce non siano rintracciabili nelle prove che di anno in anno hanno
selezionato gli aspiranti normalisti. Al massimo, scorrendo i temi di
ammissione alla Scuola Normale Superiore di Pisa, si possono
rintracciare cenni vaghi ai complementi e ripensamenti proposti nei
convegni di Frascati.
Si può ritenere che alla Normale fu chiara la distinzione tra Bourbaki
e bourbakisti, distinzione necessaria tanto quanto la distinzione tra
Aristotele e gli aristotelici dell'ipse dixit che si rifiutavano di
guardare nel cannocchiale di Galileo.
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Dal Piano Nazionale per l'Informatica alle ultime riforme
1966-1972 Ingresso dell'Informatica nell'istruzione Tecnica
1977-1979 Riforma della Scuola media
1985 Programmi P.N.I. del Biennio; Programmi della Scuola elementare
1987 avvio del Progetto P.N.I.
1989 Programmi P.N.I. per il Triennio
Dal 1989 si è avuto un rapido susseguirsi di progetti che vanno
dall'avvio del Progetto Brocca (1990) alla Riforma degli Esami di
Maturità (1997), con conseguente introduzione dell'Esame di Stato
(1999) e ancora nel 2000 il Riordino dei Cicli e la proposta del 2001
per i Programmi della Scuola di Base.
Va ricordata la elaborazione da parte della CIIM della Matematica per
il cittadino
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Bibliografia
Carmelo Mammana (1992): La storia della didattica della matematica in
Italia: alcune riflessioni, Boll. Acc. Gioenia, Catania, 25, pp 195-210
Estratto da
"http://it.wikipedia.org/wiki/Insegnamento_della_matematica_in_Italia"
Poincarè
> Gli anni '60 si aprirono con vivaci dibattiti sull'insegnamento
> della matematica. Legittimamente ci si chiede come gli sconvolgimenti
> che la matematica ha vissuto negli ultimi cinquant'anni, con la
> rapida transizione da una visione euclideo-kantiana ad una nuovo
> assetto assiomatico di matrice hilbertiano-bourbakista, debbano
> modificarne l'insegnamento. Nel 1959 a Royaumont, nei pressi di
> Parigi, si tiene un Convegno promosso dall'OECE, dal titolo "le
> nuove matematiche", con il preciso obiettivo di fare il punto
> sull'attuale situazione dell'insegnamento della matematica nella
> Scuola Secondaria. Durante una delle conferenze, Jean Dieudonné, uno
> dei fondatori di Bourbaki, lanciò il grido "A bas Euclid", a voler
> significare l'inattualità della geometria greca ma, più in
> generale, di tutto l'insegnamento tradizionale.
Leggendo questa parte ieri sera mi hai fatto venire in mente, nella
speranza di non uscire troppo dall' andamento della discussione o se
preferite di non essere troppo OT (vi prego di scusarmi), che esiste un
libro sulle idee "provocatorie" di Dieudonné, il titolo è "Algèbre
linéaire et géométrie élémentaire" (1964). L'edizione italiana del
1970 Feltrinelli (collana diretta da Lombardo Radice - Vesentini) con
una lunga premessa di A. Pescarini. (Ne avevo fatto un piccolo cenno in
un thread con Tetis). Se mi avanza del tempo, già ridottissimo
rispetto ai miei interessi, vorrei leggere qualcosa in più su quel
testo.
Nell' introduzione l'autore scrive:
"Questo volume contiene un'esposizione particolareggiata e completa
delle nozioni e teoremi di algebra lineare elementare che dovrebbero
costituire il corredo minimo di uno studente di scuole secondarie
superiori nel momento in cui entra nelle classi propedeutiche
all'insegnamento universitario. L'orientamento generale dell'opera ed
il suo contenuto sono stati determinati dall'esigenza di preparare lo
studente ad assimilare il più facilmente possibile l'insegnamento
attualmente dato in queste classi propedeutiche, e che dovrebbe
sembrargli il prolungamento naturale di ciò che ha già appreso.
....io l'ho concepito come un libro per l'insegnante, cioè, in altri
termini, un'impalcatura solida sulla quale costruire un'insegnamento
orale vivo e adatto agli allievi che debbono riceverlo."
Capitoli:
1) Numeri reali
2) Gli assiomi della Geometria Euclidea
3) Spazi vettoriali
4) Geometria Affine piana
5) Geometria Euclidea piana
6) Geometria Affine a 3 dimensioni
7) Geometria Euclidea a 3 dimensioni
Appendici:
1) Sulla <<misura>> degli angoli
2) Geometria di una forma bilineare simmetrica. I termini
<<proiettivo>> e <<non euclideo>>
3) Inversione gruppo conforme
4) Quaternioni e rotazioni
Ci sarebbe da parlare anche su G. Choquet "L' insegnamento della
geometria" il quale cerca di "mediare" tra le proposte di Dieudonnè e
la situazione reale di quel periodo, avevo letto qualcosa qualche anno
fa. Un'interpretazione dei lavori di Choquet li ha sviluppati Lombardo
Radice - Mancini Proia con il lavoro sperimentale degli anni 75-80
(Gruppi di Ricerca in Didattica delle Matematiche) dal titolo "Il
metodo matematico".
La ventata di novità francese non ha attecchito in italia, forse è
stato un bene visto che in Francia dopo l'entusiasmo iniziale son
tornati sui propri passi, ora non ricordo bene il seguito della storia.
Però la cosa certa è che quando prendi in mano un testo di Geometria
universitario per la prima volta si fa molta fatica a comprendere del
perchè utilizza tale metodo, ma di questo si è parlato spesso in
questo ng.
Ciao
Poincarè
Arcobaleno
Poincarè wrote:
> Leggendo questa parte ieri sera mi hai fatto venire in mente, nella
> speranza di non uscire troppo dall' andamento della discussione
>
Ho riportato quella pagina web in modo tale che si potesse anche
commentare(come hai fatto prontamente tu) non solo negli aspetti
generali ma anche nelle varie proposte (programmi proposti) specifiche
per introdurre alla matematica moderna, lanciando quel ponte che manca.
Come già detto, a mio parere, dovremmo tutti (anche su questo ng)
partecipare ad una discussione serena e costruttiva su come creare un
ponte tra scuola e università.
Come diceva giustamente Giorgio Pastore, questo ponte non deve essere
una sorta di catalogo, cioè mettere tutto dentro per accontentare
tutti.
Si tratta di fare proprio quello che intendeva Dieudonné o lo stesso
Lucio Lombardo Radice.
E ti sono molto grato per aver citato quelle personalità.
Io spero che siano i fatti a far ragionare in un certo modo e non
l'ipse dixit di qualcuno(Dieudonné o Lombardo Radice nella
fattispecie).
o se
> preferite di non essere troppo OT (vi prego di scusarmi), che esiste un
> libro sulle idee "provocatorie" di Dieudonné, il titolo è "Algèbre
> linéaire et géométrie élémentaire" (1964). L'edizione italiana del
> 1970 Feltrinelli (collana diretta da Lombardo Radice - Vesentini) con
> una lunga premessa di A. Pescarini. (Ne avevo fatto un piccolo cenno in
> un thread con Tetis). Se mi avanza del tempo, già ridottissimo
> rispetto ai miei interessi, vorrei leggere qualcosa in più su quel
> testo.
>
Ho consultato velocemente più di un mese fa questo libro. E lo feci
proprio su tua indicazione.
E' probabile che i francesi siano abituati a fare piazza pulita del
passato e a lanciarsi subito in nuove avventure. Tuttavia il problema
esisteva e andava affrontato.
>
> Ci sarebbe da parlare anche su G. Choquet "L' insegnamento della
> geometria" il quale cerca di "mediare" tra le proposte di Dieudonnè e
> la situazione reale di quel periodo, avevo letto qualcosa qualche anno
> fa. Un'interpretazione dei lavori di Choquet li ha sviluppati Lombardo
> Radice - Mancini Proia con il lavoro sperimentale degli anni 75-80
> (Gruppi di Ricerca in Didattica delle Matematiche) dal titolo "Il
> metodo matematico".
>
Choquet non l'ho visto e se avrò la possibilità darò un'occhiata e
nel caso ti farò sapere il mio punto di vista.
Il Metodo matematico(come ti dissi) prima lo sfogliai rapidamente, poi
ne ho letto vari capitoli con più calma.
Non sto qui a parlarti di un libro sul quale dicevi di aver studiato al
liceo.
In questo nostro dialogo potrebbe essere interessante vedere
quell'opera con gli occhi di oggi e vederne tutta la capacità di
anticipazione dei problemi che si sono avuti.
Lombardo Radice e Mancini Proia in quel libro introducono al concetto
di gruppo in modo molto naturale e lo fa in stretta relazione col
programma di Klein, ma non si limita a quello e non rinuncia
all'astrazione del concetto stesso.
Come già ti dissi, molti autori di libri(di quei manuali universitari
per il primo anno) prima di scrivere qualcosa, dovrebbero leggersi i
libri di Lombardo Radice per prendere spunto.
Purtroppo siamo rimasti al palo, quelle sperimentazioni vennero
rigettate, forse perché troppo rivoluzionarie per l'epoca.
La didattica francese non ha attecchito nella scuola, ma
all'università mi sembra di sì.
>
> Però la cosa certa è che quando prendi in mano un testo di Geometria
> universitario per la prima volta si fa molta fatica a comprendere del
> perchè utilizza tale metodo, ma di questo si è parlato spesso in
> questo ng.
>
Allo stato attuale la colpa è da addebitarsi unicamente a chi
organizza i corsi universitari o a chi scrive certi libri, ben sapendo
che a scuola non usano Lombardo Radice o cose del genere.
Tuttavia, la didattica della matematica a scuola dovrebbe cambiare
gruadualmente, proprio per introdurre a quella matematica moderna che
viene affrontata al primo anno di corso a matematica, a fisica, a
ingegneria.
Ci sono sperimentazioni in corso e ne parlai proprio su questo ng con
uno studente di un liceo sperimentale. Almeno si familiarizzano con
certi termini, con qualche concetto.
Ma questi sono solo i primi passi di una tradizione didattica che è
ancora tutta da creare perché del tutto assente.
Una tradizione didattica si ottiene quando tantissimi studenti ricevono
da tanti maestri universitari delle conoscenze, che apprendono con un
determinato "metodo", e poi usereanno questo stesso "metodo" a scuola.
Non si tratta di meri contenuti, ma di metodi, e cioè di come far
capire certi concetti.
Lombardo Radice aveva le idee chiare. Quei tre volumi hanno una
impostazione precisa e un metodo preciso, e cioè usare fortemente la
geometria per introdursi alla matematica moderna, ovvero usare proprio
quel programma di Erlangen per sviscerarlo in modo che potesse fare da
"iniziazione" alla matematica moderna.
Se Dieudonné provocatoriamente diceva "abbassa Euclide"; Lombardo
Radice *costruttivamente* ha mostrato la via, senza abbandonare
Euclide, ma anzi, "usandolo" per introdurre alla geometria di Klein,
creando così un collegamento che solo gente di quello spessore
potevano fare.
Questo non significa che Lombardo Radice abbia fatto tutto in modo
perfetto, ma ha mostrato la via giusta. Nel mentre leggevo qualche
capitolo di quei tre volumi, mi venivano in mente delle idee per
chiarire ancora meglio certi passaggi.
Si è perso un treno purtroppo che a mio parere non verrà ripreso.
Ma questo è un trend che non riguarda solo la scuola. E' l'Europa
tutta che è in declino.
Infatti nei prossimi giorni, più che leggere roba sulla didattica,
leggerò un po' di sociologia di S. Acquaviva che ha scritto un libro
sull'Eclissi dell'Europa.
Sarebbe interessante sapere cosa fanno negli USA o in Giappone o
altrove.
Ma noi viviamo in Europa, cioè in Italia.
Ciao e grazie per il tuo intervento:)
A.
Poincarè
> Non sto qui a parlarti di un libro sul quale dicevi di aver studiato al
> liceo.
Solo una precisazione, tempo fa ho scritto:
"ripreso i testi utilizzati al liceo" è errato mea culpa,
intendevo dire:
"ripreso i testi che vengono (o venivano) utilizzati al liceo"
tipo Faggioli ......, Dodero....,altri
Non ho mai studiato al liceo.
Quel poco che so di Geometria l'ho imparato attraverso gli autori di
testi/dispense.
> Lombardo Radice e Mancini Proia in quel libro introducono al concetto
> di gruppo in modo molto naturale e lo fa in stretta relazione col
> programma di Klein, ma non si limita a quello e non rinuncia
> all'astrazione del concetto stesso.
>
> Come già ti dissi, molti autori di libri(di quei manuali universitari
> per il primo anno) prima di scrivere qualcosa, dovrebbero leggersi i
> libri di Lombardo Radice per prendere spunto.
Già
> Purtroppo siamo rimasti al palo, quelle sperimentazioni vennero
> rigettate, forse perché troppo rivoluzionarie per l'epoca.
Non proprio, i progetti sono stati riassunti in 4 "pubblicazioni" gli
autori:
- G. Prodi
- Lombardo Radice - Mancini Proia
- Speranza - Dell' Acqua
- Villani - Spotorno
"Queste esperienze riuscirono in parte ad entrare nelle attività
scolastiche (corsi sperimentali e non). Servirono molto per la
formazione degli insegnanti.
Ma la mancata riforma delle s.s. ben presto fece perdere le tracce di
questo lavoro.
Le riflessioni teoriche di questi progetti erano soprattutto legate
all'innovazione ma già si intravedevano anche le problematiche di
ricerca didattica riguardanti i processi d'apprendimento"
Non ricordo l'autore, sono solo alcuni fogli che avevo stampato tempo
fa, però in fondo ad uno di questi c'è una piccola citazione che dice
molto:
G.Prodi "Una scuola senza memoria", Lettera Pristem n° 24
> Ciao e grazie per il tuo intervento:)
> A.
Ciao
Poincarè
Elio Fabri
> E questi metodi hanno funzionato bene, funzionano bene, e
> continueranno a funzionare bene. Forse sarebbe il caso che tu(esperto
> che senza Robinson la tradizione didattica sull'analisi(una delle
> migliori tradizioni didattiche delle varie branche della matematica)
Forse c'e' un equivoco.
Io non parlavo di didattica della matematica, ma di come i fisici se
la cavano quando incontrano problemi che coinvolgono le idee base
dell'analisi.
Non ho niente di speciale da dire, appunto perche' il problema e le
soluzioni sono ben note:
- guardare una curva "con la lente" per far vedere che in piccolo si
confonde con la tangente...
- calcolare un'area come somma di tanti rettangolini...
Anche il problema dell'accelerazione nel moto circolare uniforme si
tratta senza difficolta' con metodi simili.
> ...
> Questa "robaccia" esiste per le didattiche di tutte le discipline, sia
> perch=E9 ci si rivolge a un uditorio non sempre motivato e composto di
> adolescenti(persone che devono essere "iniziate" ai rudimenti).
> Non =E8 un tratto distintivo della didattica della fisica,ma di tutte
> le discipline.
> E' il prezzo che si paga per "iniziare" qualcuno a imparare qualcosa.
Il mio discorso e' un po' diverso: un approccio intuitivo e privo di
rigore *puo* essere il punto di partenza per una successiva trattazione
piu' rigorosa.
Invece di solito si preferisce metterla cosi': quella e' la matematica
dei fisici, che fa soltanto schifo. Adesso vi faccio vedere io come si
fanno le cose per bene...
> ...
> Sii benevolo Elio:))
>
> Perch=E9 a rigore si potrebbe bloccare qualsiasi discorso di
> "iniziazione" alla matematica con la scusa di pretendere da subito il
> massimo del rigore.
No, scusa, non c'entra niente il "benevolo": io cerco di capire.
Mi domando: gli stessi ragazzi che sono stati introdotti a questi
"infinitesimi", sentono anche il postulato di Archimede?
Come si conciliano i due approcci?
Nota che se si parla del post. di A. la cosa ha senso solo perche' si
da' un minimo di approccio assiomatico alla geometria, quindi siamo
fuori dell'ambito dei discorsi intuitivi alla buona...
Ripeto: cerco di capire.
LordBeotian ha scritto:
> I modi li conosce chiunque abbia frequentato un liceo: consistono nel
> trattare separatamente tanti casi specifici (come il moto rettilineo
> uniforme, uniformemente accelerato, circolare uniforme) dando per
> buone una serie di formule la cui giustificazione richiederebbe il
> ricorso a derivate o integrali.
Puo' darsi che a volte o anche spesso si usi fare come dici.
Ma non e' la regola e non e' necessario.
Paolo Bonavoglia ha scritto:
> Dunque la didattica "standard" dell'analisi nei licei funziona bene e
> funzionera' sempre bene?
Arcobaleno dira' - se vuole - come la vede lui.
Per quanto mi riguarda, ho gia' chiarito che non parlavo di didattica
dell'analisi, e certo non mi sogno di sostenere che le soluzioni cui
ho accennato siano definitive e perfette.
Ho detto e dico pero' che visto che esistono, bisognerebbe conoscerle,
metterle in pratica, e vedere se funzionano oppure no.
> Quale sarebbe questa soluzione? Nei libri di Fisica per i licei
> (attualmente uso il classico Amaldi) non vedo soluzioni perfette e non
> piu' perfettibili a questo problema.
L'Amaldi non lo conosco. Per il resto vedi sopra.
> Penso p.es. a come giustificare il fatto che in un moto circolare
> uniforme l'accelerazione e' diretta verso il centro; con l'analisi e'
> relativamente facile; senza bisogna arrampicarsi sugli specchi.
Onestamente io questi specchi non li vedo, e non vedo neppure come
potresti usare l'analisi (derivata del vettore tangente? cerchio
osculatore?)
> Mi fai un esempio di questa "robaccia da fisici"?
Di nuovo, vedi sopra. Spero che sia comprensibile...
> I numeri reali nei programmi del liceo classico vengono definiti
> l'anno prima, in prima liceo (terzo anno), con la definizione di
> Dedekind. In genere e' un ostacolo molto duro, che sempre piu' spesso
> viene saltato
> ...
> In effetti non e' che l'introduzione dei numeri reali sia piu'
> indolore di quella degli infinitesimi!
Concordo.
> ...
> Anche il postulato di Archimede dovrebbe essere trattato al terzo
> anno. Dico dovrebbe perche' nei libri di testo viene introdotto un po'
> di sfuggita p.es. quando si dimostra il teorema dell'equivalenza dei
> parallelogrammi di uguale base e altezza.
>
> Comunque non vedo il problema, non piu' di quanto avvenga in terza
> liceo (ultimo anno) quando si trattano le geometrie non euclideee.
Infatti non mi hai risposto :) e ora non capisco che cosa c'entrino le
geometrie non euclidee.
Forse vuoi dire che le geometrie non euclidee vengono introdotte
dicendo "ragazzi, visto che il quinto postulato e' indipendente dagli
altri, proviamo a vedere che succede se lo rimpiazziamo con un altro".
Similmente, si puo' dire "proviamo a sostituire il post. di
Archimede"...
C'e' pero' la differenza che di una geom. non euclidea se ne puo'
anche fare a meno, mentre i tuoi numeri non archimedei ti sono
necessari...
> Tanto per prevenire ogni commento malevolo, ...
Non da parte mia, se e' a questo che pensavi :)
> ... ricordo che le geometrie non euclidee sono esplicitamente
> incluse nel programma di Matematica con sperimentazione PNI.
Bah, questo e' proprio l'ultimo argomento che prenderei in
considerazione :-))
--
Elio Fabri
Arcobaleno
Elio Fabri wrote:
cut
Come sempre sei stato molto chiaro ed esaustivo.
Come forse avrai letto, ho riportato un riassunto della storia della
didattica della matematica in Italia, preso da wikipedia.
Sarebbe molto interessante sapere il tuo autorevole punto di vista su
quel periodo cruciale, e cioè gli anni Sessanta, quando si cercò di
introdurre la matematica moderna a scuola.
A distanza di anni, come vedi quel periodo?
So(leggendo su internet) che ti sei interessato di didattica, e che(lo
hai detto tu varie volte) hai gli anni per poter dare un punto di vista
di chi ha vissuto quel periodo e può dare delle indicazioni alle nuove
generazioni.
Abbiamo citato Dieudonné, come Lombardo Radice(ma non sono i soli).
Hai avuto modo di conoscerli di persona?(conferenze ecc). Puoi dirci
qualcosa di più specifico in merito?
Mi permetto di farti questo genere di domande, perché una delle cose
più interessanti dei ng è la possibilità di mettere in contatto le
varie generazioni, così come permettere un dialogo tra specialisti e
non specialisti.
Ciao e grazie:)
A.
Paolo Bonavoglia
> Per quanto mi riguarda, ho gia' chiarito che non parlavo di didattica
> dell'analisi, e certo non mi sogno di sostenere che le soluzioni cui
> ho accennato siano definitive e perfette.
> Ho detto e dico pero' che visto che esistono, bisognerebbe conoscerle,
> metterle in pratica, e vedere se funzionano oppure no.
>
ai metodi per insegnare la Fisica senza analisi) le ho praticate spesso
in passato (ahime' non sono piu' tanto giovane!!). Non e' che fosse
impossibile insegnare i limiti in un liceo con l'approccio di
Weierstrass. Il problema e' che ci si perde un sacco di tempo con il
risultato che le derivate vengono introdotte negli ultimi mesi
dell'ultimo anno di corso e gli integrali proprio all'ultimo minuto e
sempre piu' spesso vengono addirittura "tagliati" dal programma.
Una conferma di questo: un mio ex-studente iscrittosi quest'anno a una
facolta' scientifica mi ha raccontato che il prof. di Fisica I e'
arrivato in aula convinto che tutti o quasi gli studenti sapessero che
cos'e' un integrale ed e' venuto fuori che il mio studente (proveniente
da un classico!!) era uno dei pochissimi a saperlo.
Lo ripeto: il vantaggio principale dell'approccio NSA e' di poter
anticipare derivate e integrali al penultimo anno dando loro maggior
dignita'.
> Onestamente io questi specchi non li vedo, e non vedo neppure come
> potresti usare l'analisi (derivata del vettore tangente? cerchio
> osculatore?)
>
Derivata del vettore tangente. Ci ho provato una sola volta finora ed ha
funzionato seppur con qualche difficoltà. Ma la giustificazione senza
analisi che ne da' l'Amaldi con una serie di disegni di vettori che
ruotano mi sembra molto piu' artificiosa e molto meno convincente. Forse
ne esistono altre piu' semplici?
> Forse vuoi dire che le geometrie non euclidee vengono introdotte
> dicendo "ragazzi, visto che il quinto postulato e' indipendente dagli
> altri, proviamo a vedere che succede se lo rimpiazziamo con un altro".
> Similmente, si puo' dire "proviamo a sostituire il post. di
> Archimede"...
Era questo che intendevo.
>
> C'e' pero' la differenza che di una geom. non euclidea se ne puo'
> anche fare a meno, mentre i tuoi numeri non archimedei ti sono
> necessari...
In effetti le geometrie non euclidee mi servono anche in relazione alla
relativita'. Due argomenti che cadono nell'ultimo quadrimestre
dell'ultimo anno.
Certo si puo' fare a meno di uno degli argomenti, ma allora tanto vale
fare a meno di tutti e due, cosa che avviene con classi in forte ritardo
di programma.
--
Un cordiale saluto
Poincarè
Paolo Bonavoglia ha scritto:
> Bruco ha scritto:
> >
> > Sono assolutamente ignorante in materia, ma mi hai incuriosito: puoi
> > segnalarmi qualche testo (in rete e non) per introdurmi all'argomento?
> > Grazie.
>
> In rete si scarica gratis il gia' segnalato Keisler; l'impostazione e'
> piuttosto vicina a quella standard.
>
> Come testo relativamente facile (viene richiesta solo la conoscenza
> della matematica a livello di liceo) e' quello gia' segnalato:
>
> J.H.Henle, E.M.Kleinberg - Infinitestimal Calculus - Dover 2003.
>
> usa una notazione e un'impaginazione un po' originale, ma e' forse
> l'ideale per cominciare.
>
> Paolo Bonavoglia
Premetto che anch' io non conosco nulla sul tema in questione,
però cercando "materiale" per altri interessi, navigando navigando
approdo alla seguente dispensa
www.dm.unipi.it/%7Edinasso/papers/it1.pdf
la quale mi indica una nuova rotta
www.math.uiowa.edu/%7Estroyan/InfsmlCalculus/FoundInfsmlCalc.pdf
spero sia materiale utile e chiedo venia nel caso non lo fosse.
Ciao
Poincarè
Paolo Bonavoglia
>
> Premetto che anch' io non conosco nulla sul tema in questione,
> però cercando "materiale" per altri interessi, navigando navigando
> approdo alla seguente dispensa
>
> www.dm.unipi.it/%7Edinasso/papers/it1.pdf
>
> la quale mi indica una nuova rotta
>
> www.math.uiowa.edu/%7Estroyan/InfsmlCalculus/FoundInfsmlCalc.pdf
>
> spero sia materiale utile e chiedo venia nel caso non lo fosse.
>
Grazie per la segnalazione. Ho scaricato il libro e ci sto dando
un'occhiata: segue l'ordine tradizionale (ma non storico): limiti -
derivate - integrali. A prima vista i limiti sono trattati in modo molto
simile a quello che ho usato in classe (ultimo anno).
Sembra senz'altro interessante.
OK ho qualcosa da leggere per i prossimi giorni.
--
Un cordiale saluto
Paolo Bonavoglia
V E N E Z I A
========================================================
Sito del Liceo Foscarini http://www.liceofoscarini.it/
Astronomia e Calendari
http://www.liceofoscarini.it/didattic/astronomia/astro/home.html
Elio Fabri
> Come sempre sei stato molto chiaro ed esaustivo.
> Come forse avrai letto, ho riportato un riassunto della storia della
> didattica della matematica in Italia, preso da wikipedia.
Non ce la faccio a star dietro a tutto...
> Sarebbe molto interessante sapere il tuo autorevole punto di vista su
> quel periodo cruciale, e cio=E8 gli anni Sessanta, quando si cerc=F2
> di introdurre la matematica moderna a scuola.
Autorevole? :-)
> A distanza di anni, come vedi quel periodo?
> So(leggendo su internet) che ti sei interessato di didattica, e che(lo
> hai detto tu varie volte) hai gli anni per poter dare un punto di
> vista di chi ha vissuto quel periodo e pu=F2 dare delle indicazioni
> alle nuove generazioni.
Eh si', l'eta' ce l'ho...
Pero' non ho seguito da vicino quel movimento. Il mio interesse era
assai piu' concentrato sulla didattica della fisica.
> Abbiamo citato Dieudonn=E9, come Lombardo Radice(ma non sono i soli).
> Hai avuto modo di conoscerli di persona?(conferenze ecc). Puoi dirci
> qualcosa di pi=F9 specifico in merito?
No. Per meglio dire, Lombardo Radice lo vedevo quando ero studente.
Ricordo che teneva un corso intitolato all'incirca "Algebre, anelli,
campi" che a me sembrava un titolo stranissimo :-)
Ho letto qualche suo scritto, e solo cercando nella mia biblioteca ho
scoperto ora che possiedo il primo volume di "Il metodo matematico".
Pero' debbo confessarti che non me ne ricordo niente.
Invece ricordo che conoscevo e apprezzavo molto i testi per la scuola
media di Emma Castelnuovo (figlia di Guido) che ho anche conosciuta di
persona.
Ma direi che siamo in tutt'altra direzione e temo che quella proposta
sia ormai dimenticata.
Sinceramente non mi sento preparato ad affrontare una discussione
approfondita sulla didattica della matematica. Sara' l'eta' o le
esperienze che ho fatto (anche di recente, con mio nipote...) ma mi
convinco sempre di piu' che il vero nodo non sono l'uno o l'altro
approccio, l'uno o l'altro metodo, ma gli insegnanti.
--
Elio Fabri