Sulle classi di equivalenza
Radicale
Enrico
mi spiego' le classi di equivalenza sui naturali.
Oggi improvvisamente m' e' diventato un po' meno confuso, e forse
riesco
addirittura a spiegarvelo.
Per semplificare al massimo il discorso, lavoriamo solo con i
naturali
N = {0,1,2, ...}
Intanto ogni proprieta' P(n) divide N in 2 classi di equivalenza.
Infatti ogni
numero ce l'ha o non ce l'ha, e quindi se metto in un gruppo tutti
quelli che
l' hanno e in un altro gruppo tutti quelli che non ce l'hanno ho 2
classi di
equivalenza. ... Giusto ? (ovviamente ammettiamo il terzo escluso).
"ogni" proprieta' P(n) ... E qui m'e' venuto un pensiero.
io considero 2 numeri che hanno la stessa classe come uguali (diciamo)
sotto quel *punto di vista* per me sono uguali.
immaginiamo l' insieme di *tutte* le classi di equivalenza.
E pero' io i numeri 1,2, ... li vedo tutti diversi. Percio' significa
che qualunque
relazione d'equivalenza io possa concepire, c'e' sempre un modo che fa
si
che i numeri "sfuggano" da quella relazione.
E si ... Praticamente ogni numero fa classe d'equivalenza a se stante.
Cioe' *puo' * far classe a se stante.
Ma ... Perche' accade questo ? Cioe' di deve essere "qualcosa" che
rende
ad esempio 1 diverso da 2 e questo qualcosa resiste ad ogni classe di
equivalenza ! Ma che e' questo qualcosa ? Cioe' perche' diavolo 1
diverso
da 2 ?
Il caos mentale prende poi completamente il sopravvento su radicale
vostro
quando penso a questo :
prendiamo l' insieme come dicevo prima di tutte le relazioni R di
equivalenza.
allora siccome 1 <> 2 <> 3 ... posso "immaginare" che per definire
questi
numeri
(comincia a uscirmi il fumo dalle recchie, chiamate un termoidraulico,
prima
che subentri il decesso)
debbo dire proprio che sono quelli che non soddisfano a nessuna
relazione
di equivalenza.
... Ma questa e' una relazione di equivalenza !
Che cazz ...
Giuseppe
> prendiamo l' insieme come dicevo prima di tutte le relazioni R di
> equivalenza.
> allora siccome 1 <> 2 <> 3 ... posso "immaginare" che per definire
> questi
> numeri
> (comincia a uscirmi il fumo dalle recchie, chiamate un termoidraulico,
> prima
> che subentri il decesso)
> debbo dire proprio che sono quelli che non soddisfano a nessuna
> relazione
> di equivalenza.
> ... Ma questa e' una relazione di equivalenza !
>
> Che cazz ...
Quando usi la parola *tutto* in matematica non è un guadagno di
informazioni ma una perdita, sei disposto persino a dire che 1,2,3
stanno nello stesso insieme. Piu' in generale sei disposto a
rinunciare a tutte le differenze!
Ora mettiti nell'ottica del tutte le relazioni di equivalenza. Se
guardi da questa ottica dire che 1 <> 2 <> 3 è falso!
La zanzara 76
>prendiamo l' insieme come dicevo prima di tutte le relazioni R di
>equivalenza.
>allora siccome 1 <> 2 <> 3 ... posso "immaginare" che per definire
>questi
>numeri
>(comincia a uscirmi il fumo dalle recchie, chiamate un termoidraulico,
>prima
>che subentri il decesso)
>debbo dire proprio che sono quelli che non soddisfano a nessuna
>relazione
>di equivalenza.
>... Ma questa e' una relazione di equivalenza !
Per avere una relazione di equivalenza si devono soddisfare tre
proprietà: riflessiva, simmetrica, transitiva. Ora, se dici che i
singoli numeri naturali, che non soddisfano nessuna relazione di
equivalenza, formano una classe di equivalenza caratterizzata proprio
dal fatto che nessuno soddisfa una relazione di equivalenza, allora
bisogna dimostrare che l’ultima relazione che proponi soddisfi le tre
proprietà.
Ma se analizziamo la questione, vediamo che la relazione di
equivalenza che proponi non può aversi: infatti se consideriamo due
numeri naturali che non soddisfano nessuna relazione di equivalenza,
allora tra di loro non vale la proprietà simmetrica e né quella
transitiva. In tal modo non è possibile stabilire una relazione di
equivalenza tra numeri che non ne soddisfano nessuna.
---
Saluti.
Enrico Gregorio
> ... Ho un pensiero confuso che mi si agita nella testa da quando
> Enrico mi spiego' le classi di equivalenza sui naturali.
>
> Oggi improvvisamente m' e' diventato un po' meno confuso, e forse
> riesco addirittura a spiegarvelo.
Temo che ti si sia confuso di pi�, invece.
> ...
> Il caos mentale prende poi completamente il sopravvento su radicale
> vostro quando penso a questo :
>
> prendiamo l'insieme come dicevo prima di tutte le relazioni R di
> equivalenza.
D'accordo.
> allora siccome 1 <> 2 <> 3 ... posso "immaginare" che per definire
> questi numeri (comincia a uscirmi il fumo dalle recchie, chiamate
> un termoidraulico, prima che subentri il decesso)
> debbo dire proprio che sono quelli che non soddisfano a nessuna
> relazione di equivalenza.
> ... Ma questa e' una relazione di equivalenza !
Una relazione pu� essere soddisfatta da una /coppia/ di numeri,
non da un numero da s�.
Teorema. Dato un insieme X e due elementi distinti a e b di X,
esiste una relazione di equivalenza R su X tale che la coppia
(a,b) non appartenga a R.
Dimostrazione. L'identit� � una relazione che soddisfa la
richiesta. QED
Immagino che tu volessi dire qualcosa di pi� sensato. Spero, almeno.
Ciao
Enrico
Radicale
> Per avere una relazione di equivalenza si devono soddisfare tre
> proprietà: riflessiva, simmetrica, transitiva.
Hai ragione. Mi sa che hai ragione ...
Ma non per quello che dici tu.
Sia E l' insieme di tutte le possibili relazioni d'equivalenza che si
possono definire su N.
per ogni relazione e appartenente ad E :
e(x,y) significa che i numeri x ed y soddisfano la relazione e.
La notazione me la sono inventata mo mo. Spero sia accettabile.
(non lo so come si scrivono, Enrico faceva cosi' : [x]. pero' un
elemento
solo non va bene poi le parenti quadre non hanno il nome ! come le
distinguiamo ?)
Sia g la relazione :
g(x,y) sse x ed y non soddisfano ad alcuna delle relazioni che
stanno dentro E.
Lo posso dire no ?
Domanda : che natura ha la g ?
Vediamo :
1.
simmetrica
g(x,y) -> g(y,x) ed e' vero perche' se x non sta in alcuna rel. eq.
con
y allora y non puo' stare con alcuna rel. eq. con x, perche' se fosse
e(y,x) allora per le proprieta' delle rel. eq. seguirebbe e(x,y)
contro
l' ipotesi.
2.
transitiva
g(x1,x2) and g(x2,x3) -> g(x2,x3)
Qui cade !
Se x1 non ha "niente a che fare" con x2 e x2 con x3, non possiamo
di per cio' solo dire che x1 non abbia niente a che fare con x3.
Corretto.
3.
g(x,x) e' perlomeno difficile da ingoiare. Anzi direi che PER OGNI
rel. eq. e abbiamo e(x,x). Non ci avevo pensato !
Bene. Per il resto ? DIci che sono cazzate ?
Radicale
> Immagino che tu volessi dire qualcosa di più sensato. Spero, almeno.
tieni *ben presente* che non sono affatto sicuro di quello che sto
per scrivere ! Quindi vacci piano a "calciarmi".
Si, vedi la risposta a Zanzara.
Volevo dire :
per ogni x,y di N, allora g(x,y) se e solo se e(x,y) e' falso per ogni
e
di E, dove E e' l' insieme di tutte le possibili relazioni
d'equivalenza
su N. g e' una relazione che intercorre tra x ed y quando tra x ed y
non intercorre *alcuna* relazione di equivalenza.
Poi ho tentato di esplorare la natura di questo essere vivente.
(sempre che esista, anzi determinare se esiste fa parte del
processo esplorativo)
Intanto e' (fortunatamente) falso che g sia a sua volta una relazione
di
equivalenza ! Non becca la proprieta' transitiva.
... Pero' e(x,x) e' vera per ogni e di E e per ogni x di N
Quindi g(x,x) non vale.
Poi non lo so, ci devo pensare. Qualche idea ? :-)
Pero' la prima parte del post l' avete totalmente passata sotto
silenzio. Eppure mi sembra che la domanda abbia un senso.
La ripeto :
1' tentativo di spiegarmi
siccome i numeri 1,2, ... sono tutti *diversi*, significa che
non si riesce a vederli uguali tra loro con *alcuna* relazione
d' equivalenza.
2' tentativo
qualunque sia la relazione d' equivalenza che mi posso immaginare,
ci sara' un aspetto per cui 1 differisce da 2. Capito ?
3' tentativo (supplisco alla qualita' con la quantita')
un numero puo' esser visto uguale ad un altro sotto uno o piu'
aspetti. Per esempio x = y se x - y e' divisibile per m
(cioe' e' *come se* x ed y fossero uguali)
ora io e te vediamo bene che 7 = 3(mod 2) e quindi sotto questo
aspetto 7 e 3 li "trattiamo" come uguali. Ma sempre io e te
sappiamo *bene* che 7 e 3 sono diversi. Evidentemente c'e'
allora un "aspetto" che ci consente di distinguerli e che
*resiste* a qualsiasi relazione d' equivalenza.
Ovvio no ?
Quindi esistera sempre un qualcosa che sta attaccato ai
numeri che li rende diversi rispetto a qualsiasi relazione d'
equivalenza.
... Diavolo. E che cosa e' ? Una specie di nocciolo duro che
sta dentro ogni numero.
Enrico Gregorio
> On 2 Ott, 17:15, La zanzara 76 <leonardomi...@hotmail.com> wrote:
>
> > Per avere una relazione di equivalenza si devono soddisfare tre
> > propriet�: riflessiva, simmetrica, transitiva.
L'hai detto. /Sorry/. :)
La tua relazione g � vuota: dati due elementi x e y c'� sempre almeno
una relazione di equivalenza in cui quei due elementi sono in
relazione, per esempio
{(x,x),(y,x),(x,y),(y,y)} U {(a,b) : a,b in N\{x,y}}.
� pi� facile scriverne la partizione associata: { {x,y}, N\{x,y} }.
Ciao
Enrico
Radicale
Non c'e' problema sono qui per imparare, ma prima vedi la risposta
che t' ho dato all' altro "ramo" del post.
> La tua relazione g è vuota: dati due elementi x e y c'è sempre almeno
> una relazione di equivalenza in cui quei due elementi sono in
> relazione, per esempio
>
> {(x,x),(y,x),(x,y),(y,y)} U {(a,b) : a,b in N\{x,y}}.
Non la capisco questa formulona
>
>È più facile scriverne la partizione associata: { {x,y}, N\{x,y} }.
Non ti capisco. Scusa.
Posso chiederti una cortesia ?
Se hai intenzione di rispondere ancora anche su *questo* ramo
del post (e mi auguro di si) potresti portare tutto su quell' altro
ramo ? Mi sarebbe piu' facile seguirti.
Enrico Gregorio
> On 2 Ott, 18:46, Enrico Gregorio <grego...@math.unipd.it> wrote:
> >
> > L'hai detto. /Sorry/. :)
>
> Non c'e' problema sono qui per imparare, ma prima vedi la risposta
> che t' ho dato all' altro "ramo" del post.
>
> > La tua relazione g � vuota: dati due elementi x e y c'� sempre almeno
> > una relazione di equivalenza in cui quei due elementi sono in
> > relazione, per esempio
> >
> > {(x,x),(y,x),(x,y),(y,y)} U {(a,b) : a,b in N\{x,y}}.
>
> Non la capisco questa formulona
> >
> >� pi� facile scriverne la partizione associata: { {x,y}, N\{x,y} }.
> Non ti capisco. Scusa.
>
> Posso chiederti una cortesia ?
> Se hai intenzione di rispondere ancora anche su *questo* ramo
> del post (e mi auguro di si) potresti portare tutto su quell' altro
> ramo ? Mi sarebbe piu' facile seguirti.
No, ritengo che sia meglio chiudere questa discussione. Studiati
le relazioni di equivalenza, prima di parlarne.
Ciao
Enrico
Radicale
> No, ritengo che sia meglio chiudere questa discussione. Studiati
> le relazioni di equivalenza, prima di parlarne.
... Ammazza che schiaffone !
Come vuoi.
Comunque ti tengo il broncio, sappilo.
Ma quell' altra parte del post continua ad avere un senso.
E secondo me non hai capito quello che voglio dire.
feynman
> Ma ... Perche' accade questo ? Cioe' di deve essere "qualcosa" che
> rende
> ad esempio 1 diverso da 2 e questo qualcosa resiste ad ogni classe di
> equivalenza ! Ma che e' questo qualcosa ? Cioe' perche' diavolo 1
> diverso
> da 2 ?
non sei sposato, vero?
ciao
feynman