esame fisica 1
aerog...@hotmail.com
tuttora... a un mese d distanza non riesco a risolvere... il problema
e questo...
ho un recipiente che e riempito fino all' orlo, vi e un foro alla base
che fa fluire l'acqua scoprire in quanto tempo si svuota
si considerino note le dimensioni del recipiente e del foro
il mio problema e questo per torricelli la velocita di efflusso e:
v=sqrt(2gh) ma h appunto varia... e facendo un integrale
(probabilmente sbagliato) rispetto ad h speravo di risolverlo, solo
che dal integrale ottengo giustamente una velocita espressa in m^2/s :
( quindi vi chiedo aiuto.... sto impazzendo
argo
> durante l'ultimo esame d fisica mi è stato consegnato un problema che
> tuttora... a un mese d distanza non riesco a risolvere... il problema
> e questo...
>
> ho un recipiente che e riempito fino all' orlo, vi e un foro alla base
> che fa fluire l'acqua scoprire in quanto tempo si svuota
> si considerino note le dimensioni del recipiente e del foro
>
Ti abbiamo gia risposo io e Dalet in fisf nelle ipotesi (non dette per
la verita')
che la pressione sull'acqua all'orlo Ps fosse la stess di quella fuori
Pa e che la superficie
F del foro fosse molto piu'piccola della superficie S dell'orlo
(inoltre supposta costante).
In caso si rimuovano questi vincoli e richiedendo che la sezione dl
recipiente possa cambiare con l'altezza
S=S(h)
avrai che l'equazione che governa il tutto (usando bernoulli e l'eq.
di continuita') e'
h'(t)=-F/S(h) sqrt[(2gh-2(Pa-Ps)/rho)/(1-F^2/S^2)]
dove h'(t) e' la derivata temporale dell'altezza del fluido h(t) e
rho e' la densitya' dell'acqua. Tale equazione
ovviamente si riduce alla precedente se F^2/S^2 e' tyracurabile,
Pa=Ps e le sezioni del fluido S(h) sono costanti.
Nota che h' si annulla per una certa altezza
h*=(Pa-Ps/grho)
in cui il liquido si arresta e smette di scendere se (Pa-Ps) e'
positivo.
Dopo aver risolto l'equazione differenziale (con dato iniziale
sull'altezza del fluido h(0)=h0)
determini il tempo di arrestamento t* ponendo h(t*)=h* che ti porta a
t*=sqrt[1-F^2/S^2]/F * int_[h*,h0] dh S(h)/sqrt(2gh-2(Pa-Ps)/rho).
Il problema successivo che forse e' interessante indagare e' chiedersi
per quali profili S(h) della sezione
del recipiente e' possibile avere tempi t* di arrestamento massimi e
minimi, una volta fissato il volume
V=int_[h*,h0]dh S(h)
e l'altezza ho del recipiente (cioe' fissata la sezione media).
E cioe' un problema variazionale lineare vincolato.
Si vede subito che il problema del massimo cosi' come e' posto non ha
soluzione a causa del denominatore
nell'integrale che si annulla ad un estremo ed e' semplice costruire
esempi con tempi di arresto infiniti.
Sul minimo invece si puo dire di piu'. Ad esempionel caso limite in
cui
Pa=Ps (fluisce via tutto) e F<<S avrai che il tempo
t* di uscita ha un estremo inferiore pari a 1/2 del tempo di uscita a
sezione S costante
t*>1/2 t*_{S=costante}.
Rimane aperta la ricerca del tempo massimo (e minmo nel caso
generico)
su almeno un classe ristretta di funzioni (o distribuzioni)
Ciao.
F. Satt.
> (probabilmente sbagliato) rispetto ad h speravo di risolverlo, solo
> che dal integrale ottengo giustamente una velocita espressa in m^2/s :
> ( quindi vi chiedo aiuto.... sto impazzendo
Una velocità espressa in m^2/s ?
Prova a ricontrollare
--
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feynman
> ho un recipiente che e riempito fino all' orlo, vi e un foro alla base
> che fa fluire l'acqua scoprire in quanto tempo si svuota
> si considerino note le dimensioni del recipiente e del foro
>
>
> il mio problema e questo per torricelli la velocita di efflusso e:
> v=sqrt(2gh) ma h appunto varia... e facendo un integrale
> (probabilmente sbagliato) rispetto ad h speravo di risolverlo
Poniamo:
S= superficie di base del recipiente
H=altezza livello iniziale
s= superficie del foro
h=altezza istantanea livello
V= volume istantaneo livello
v=sqrt(2gh) = velocità istantanea d'uscita
Hai il differenziale:
dV=S*dh
La portata di uscita è uguale alla variazione istantanea di volume:
s*v = -dV/dt
quindi:
dt = -dV/(s*v) = -S*dh/[s*sqrt(2gh)]
dt = -S/s*sqrt(2/g) * dh/[2sqrt(h)]
Integri questa relazione a sinistra tra 0 e T, a destra tra H e 0 ottenendo
infine:
T = S/s * sqrt(2H/g)
Come vedi quel che ottieni, anche dimensionalmente, è un tempo.
Probabilmente nel tuo integrale ti eri perso per strada qualche g.
ciao
feynman
Michele Falzone
Quello che scrivi non ha dimensione di una velocità ed è sbagliato.
Dire che conosci le dimensioni del recipiente e del foto, significa che
conosci la sezione s del foro e la sezione del recipiente S(h), il caso
più elementare è che S(h) sia costante.
Ritornando al tuo problema, conoscere la velocità in funzione dell'altezza
e la sezione del foro, vuol dire conoscere la portata volumetrica,
Qvol=v*s.
Il generico tempo elementare che serve per svuotare il generico elemento
di volume dV è dt=dV/Qvol, dove dV=S(h)*dh e Qvol=s*sqrt(2gh)
Quindi dt=(S(h)*dh)/(s*sqrt(2gh)), ora puoi integrare e trovarti il tempo
richiesto.
Ciao
argo
[...]
> determini il tempo di arrestamento t* ponendo h(t*)=h* che ti porta a
>
> t*=sqrt[1-F^2/S^2]/F * int_[h*,h0] dh S(h)/sqrt(2gh-2(Pa-Ps)/rho).
>
ops, ricopiando mi sono perso che anche sqrt[1-F^2/S^2]/F va sotto
l'integrale. Ciao.
Ho notato che tutti ti hanno risposto supponendo Pa=Ps e F<<S, ma non
e' il caso piu' generale.
Ciao