trasforazioni di lorentz
t i j u a n a
linguaggio abbastanza semplice?
n.b. ho 19anni ma non č per la scuola!
--
grazie per l'attenzione ^_^ guido "tijuana" nasi
tiju...@libero.it
Luca
Sono le formule che collegano le cordinate spaziali (x,y,z) e il tempo
dello stesso evento (un certo corpo in movimento, un certo sistema in
evoluzione, un certo esperimento, ecc.) in due diversi sistemi di
riferimento. Quindi se conosciamo le cordinate spazio-temporali di un certo
"punto" (o meglio evento) in uno dei due sistemi tramite queste
trasformazioni possiamo calcolare le nuove cordinate dello stesso "punto"
nell'altro sistema.
Osservazione: i due sistemi di riferimento devo essere inerziali (cioè
devono essere o fissi o dotati di moto rettilineo uniforme rispetto a
sistemi di riferimento ad esempio solidali con le stelle fisse, anche se
pure questa è una piccola ma accettabile approssimazione). Quindi potremmo
avere anche uno dei due sistemi fissi e l'altro che si muove con una certa
velocità v rispetto ad esso. Caso generalmente studiato per spiegare la
relatività ristretta.
Si può vedere ad esempio che un oggetto avrà dimensioni differenti se
misurato sul sistema fisso o su quello in movimento, oppure che il tempo
trascorso tra due eventi sarà differente e così via. però queste sono le
conseguenze dell'utilizzo delle trasformazioni di lorentz, che tengono conto
del fatto che la luce nn ha velocità infinita ma costante e finita. se vuoi
che sia più rigoroso anche su questo secondo aspetto chiedimelo pure.
Spero di aver soddisfatto il tuo interesse
ciao ciao
--
Luca Derosa
space...@libero.it
Associazione Culturale Micene
www.associazionemicene.it
Gian Paolo
"Luca" <space...@libero.it> ha scritto :
> TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
>
> Osservazione: i due sistemi di riferimento devo essere inerziali (cioč
> devono essere o fissi o dotati di moto rettilineo uniforme rispetto a
> sistemi di riferimento ad esempio solidali con le stelle fisse, anche se
Un moto in grande scala si potrebbe dire rettilineo rispetto alle stelle
fisse, ma, dire che č un corpo č fermo rispetto ad esse, no.
Comunque il principio di relativitŕ di Galilei e "speciale" di Einstein
affermano che le leggi fisiche valgono su ogni sistema inerziale.
Un sistema č inerziale se si muove di moto rettilineo ed uniforme rispetto a
un altro pure inerziale, ma nessuno č privilegiato. Nessuno č fisso !
Quindi potremmo
> avere anche uno dei due sistemi fissi e l'altro che si muove con una certa
> velocitŕ v rispetto ad esso. Caso generalmente studiato per spiegare la
> relativitŕ ristretta.
Mi sembra invece chiaro che tu chiami fisso il sistema inerziale rispetto al
quale l'osservatore č in quiete, ma se "sale" sull'altro sistema di
riferimento, la situazione si inverte.
> Luca Derosa
Gian Paolo Bronzetti
Valter Moretti
> Comunque il principio di relatività di Galilei e "speciale" di Einstein
> affermano che le leggi fisiche valgono su ogni sistema inerziale.
>
Io direi meglio: "le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti i sistemi
di riferimento inerziali".
> Un sistema è inerziale se si muove di moto rettilineo ed uniforme rispetto a
> un altro pure inerziale
Scusa, non ho capito bene, questa sarebbe una definizione o un teorema?
Se e` un teorema e` vero, se e` una definizione non regge logicamente.
La definizione di sistema di riferimento inerziale e` difficile da darsi
perche` si cade facilmente in tautologie o ci si riferisce ad enti che
dovrebbero essere definiti a posteriori (ma non e` detto).
La definizione che uso io e` la seguente: un riferimento
e` inerziale se presi arbitrariamente dei corpi (in numero arbitrario) essi
tendono a muoversi di moto rettilineo a velocita` costante in tale riferimento
quando sono posti ad una distanza sufficientemente grande tra di loro
e da tutti gli altri corpi.
Ciao, Valter
Gian Paolo
> Gian Paolo wrote:
>
> > Comunque il principio di relatività di Galilei e "speciale" di Einstein
> > affermano che le leggi fisiche valgono su ogni sistema inerziale.
> >
> Io direi meglio: "le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti i
sistemi
> di riferimento inerziali".
Landau dice "sono identiche", io che non sono un fisico dico "valgono" e
ovviamente valgono le stesse leggi e nella stessa forma.
Non è un problema di sostanza, mi sembra, ma di comprensibilità da parte
degli interlocutori. Grazie !
> > Un sistema è inerziale se si muove di moto rettilineo ed uniforme
rispetto a
> > un altro pure inerziale
Il testo della frase era :
Un sistema è inerziale se si muove di moto rettilineo ed uniforme rispetto a
un altro pure inerziale, ma nessuno è privilegiato. Nessuno è fisso !
> Scusa, non ho capito bene, questa sarebbe una definizione o un teorema?
E' la premessa che da' per inteso la definizione di sistema inerziale e il
teorema per cui un sistema di riferimento che si muova ......, perchè
l'unica cosa che importava affermare era che non esistono sistemi di
riferimento privilegiati o fissi !
> La definizione che uso io e` la seguente: un riferimento
> e` inerziale se presi arbitrariamente dei corpi (in numero arbitrario)
essi
> tendono a muoversi di moto rettilineo a velocita` costante in tale
riferimento
> quando sono posti ad una distanza sufficientemente grande tra di loro
> e da tutti gli altri corpi.
In "Meccanica" il succitato L.V. Landau definisce come inerziale un sistema
di riferimento tale che rispetto ad esso lo spazio sia omogeneo ed isotropo
ed il tempo omogeneo. Con il formalismo Lagrangiano ne trae la legge
d'inerzia nella forma "in un sistema di riferimento inerziale, ogni moto
libero avviene con velocità costante e in grandezza e direzione".
In "Teoria dei campi" lo stesso Landau definisce inerziali "... sistemi di
riferimento nei quali il moto libero dei corpi, cioè dei corpi non
sottoposti all'azione di forze esterne, avviene a velocità costante."
Non ti sembra che venga usata come definizione una conseguenza della
definizione ? E inoltre non diventa così tautologico chiamare inerziale ciò
che è inerziale (in cui vale la legge d'inerzia), che è anche, mi sembra, la
tua definizione.
> Ciao, Valter
Ciao, Gian Paolo
Paolo Russo
>chi mi sa dire cosa sono le trsforazioni di Lorentz in due parole e in un
>linguaggio abbastanza semplice?
In due parole? Impossibile, se vuoi che si capisca qualcosa.
Cominciamo dalle trasformazioni galileiane, che si usano
nella meccanica classica (non einsteiniana).
Hai due sistemi di riferimento in moto reciproco. Diciamo che
qualcuno si piazza vicino a un treno e li' definisce una terna di assi
cartesiani e un riferimento temporale (un orologio, insomma).
Diciamo che l'asse x va nella direzione del moto del treno;
gli altri assi sono invece perpendicolari al treno. Questo
sistema di riferimento lo chiamiamo O(x,y,z,t).
Qualcun altro invece sale sul treno e li' definisce un altro
sistema di riferimento O'(x',y',z',t'). Per semplicita`, lo
sceglie in modo tale che ogni asse sia parallelo al suo
equivalente in O e in modo che, nell'istante t=0, le origini
dei due sistemi di riferimento coincidano e anche t'=0. Dato
pero' che il treno e` in moto lungo l'asse x/x' a velocita`
v, la distanza tra le origini dei due riferimenti aumenta col
tempo.
Problema: dato un evento nel sistema di riferimento O della
banchina, individuato tramite valori ben precisi per x, y, z
e t, quali sono le coordinate spazio-temporali dello stesso
evento nel sistema di riferimento O' del treno in movimento?
Nella cinematica classica la risposta e`:
t'=t
x'=x-vt
y'=y
z'=z
Queste sono le trasformazioni galileiane. Si puo` notare che
all'istante t=0 i due sistemi di coordinate coincidono; poi
dopo, per tempi successivi, x e x' differiscono sempre piu'.
Nella relativita` einsteiniana la risposta e`:
t'=(t-vx/c^2)/sqrt(1-v^2/c^2)
x'=(x-vt)/sqrt(1-v^2/c^2)
y'=y
z'=z
dove sqrt="radice quadrata", ^2="al quadrato", c="velocita`
della luce nel vuoto".
Queste sono le trasformazioni di Lorentz, che se non sbaglio
le ha ipotizzate prima di Einstein ma non le ha integrate in
una teoria decente, cosa che invece ha fatto Einstein.
Se si decide di misurare lo spazio in secondi (-luce) allora
c=1 (adimensionale) e le trasformazioni si semplificano:
t'=(t-vx)/sqrt(1-v^2)
x'=(x-vt)/sqrt(1-v^2)
y'=y
z'=z
pero` questa e` solo una notazione convenzionale che si usa
nelle formule, secondi e secondi-luce non sono la stessa
cosa. Nel seguito, per alleggerire i passaggi, usero` questa
convenzione; inoltre scrivero` "g" al posto di "sqrt(1-v^2)".
t'=(t-vx)/g
x'=(x-vt)/g
Questo per passare da O a O'. E per il passaggio inverso?
Semplice, se O' si muove a velocita` v rispetto a O, allora O
si muove a velocita` -v rispetto a O', quindi basta usare le
stesse formule, solo cambiando il segno a v (t+vx, x+vt). E`
facile verificare che passando da O a O' e poi di nuovo a O
si riottengono effettivamente i valori iniziali (tenendo
conto che g vale proprio sqrt(1-v^2)).
Dalle trasformazioni di Lorentz si possono dedurre tante
cose. Eccone alcune.
Dilatazione relativistica del tempo
Domanda: un intervallo di tempo T, misurato da un orologio
fermo nel sistema di riferimento O, quanto vale in O'?
Abbiamo dunque due eventi (ad esempio tic consecutivi
dell'orologio) che, in O, hanno la stessa posizione x
(l'orologio e` fermo) e tempi diversi a e b, con b=a+T. In O'
le posizioni dei due eventi sono diverse, ma la cosa non ha
importanza: quel che ci interessa e` la differenza T'=b'-a'.
a'=(a-vx)/g
b'=(b-vx)/g
T'=b'-a'=(b-vx)/g-(a-vx)/g=(b-a)/g=T/g
Dunque T'=T/g: essendo g<1, l'intervallo di tempo risulta
dilatato.
Contrazione relativistica delle distanze
Domanda: una sbarra che, ferma nel sistema di riferimento O,
ha lunghezza d (lungo l'asse x), quanto e` lunga nel
riferimento O'?
La sbarra ha dunque due estremi di ascisse pari ad a e b, con
b=a+d. Rispetto a O' questi estremi si muovono:
a'=(a-vt)/g
b'=(b-vt)/g
Tuttavia, per calcolare d'=b'-a', dato che a' e b' si
muovono, bisogna ovviamente calcolare la differenza tra b' e
a' "congelati" ad un certo istante t', non importa quale, ma
basta che sia lo stesso per entrambi. Quindi ci occorrono le
espressioni per a' e b' in funzione di t' e non di t. Bisogna
quindi usare le trasformazioni inverse:
a=(a'+vt')/g
b=(b'+vt')/g
a'=ag-vt'
b'=bg-vt'
d'=b'-a'=(bg-vt')-(ag-vt')=bg-ag=(b-a)g=dg
Dunque d'=dg; essendo g<1, la distanza risulta contratta.
La cosiddetta "somma relativistica delle velocita`"
Domanda: un oggetto che, nel riferimento O, e` in moto a
velocita` V, che velocita` ha in O'? Nel caso galileiano la
risposta sarebbe semplicemente V'=V-v (stando attenti ai
segni: velocita` negativa = moto verso le x decrescenti).
Poniamo per semplicita` che all'istante t=0 sia x=0 (e quindi
anche x'=0).
x=Vt
x'=(x-vt)/g=(Vt-vt)/g=t(V-v)/g
ma per calcolare V'=x'/t' ci occorre x' in funzione di t',
quindi ricorriamo alla trasformazione che lega x, t e t':
t'=(t-vx)/g
con x=Vt: t'=(t-vVt)/g t=gt'/(1-vV)
x'=t(V-v)/g=(gt'/(1-vV))(V-v)/g=t'(V-v)/(1-vV)
V'=x'/t'=(V-v)/(1-vV)
Dunque V'=(V-v)/(1-vV), anziche' V'=V-v. Se, per maggior
chiarezza, immaginiamo che il moto di O' rispetto ad O sia a
velocita` -v invece che v, otteniamo V'=(V+v)/(1+vV), dove la
formula classica prevede V'=V+v; da qui la dizione, per certi
aspetti infausta, di "somma relativistica delle velocita`".
(Ricordarsi che in effetti quell'1 e` in realta` un c^2).
Come caso particolare, se V=1 (cioe` V=c), V'=(1+v)/(1+v)=1.
Ossia, se qualcosa si muove alla velocita` della luce in un
sistema di riferimento, si muove alla stessa velocita` anche
in tutti gli altri. In verita` qui sto considerando solo il
moto lungo l'asse x, ma si puo` verificare anche in un caso
piu' generale; in realta` le trasformazioni di Lorentz sono
state escogitate proprio per far si' che la velocita` della
luce fosse la stessa in ogni sistema di riferimento.
Spesso, ragionando soltanto sulla base degli effetti appena
calcolati su distanze e intervalli di tempo, si arriva a
paradossi (es. il tempo di O' e` piu' lento di quello di O,
ma anche il tempo di O e` piu' lento di quello di O', dunque
il tempo di O' e` piu' lento di se stesso) che sono dovuti al
fatto che, nel calcolo di quegli effetti, si isola lo spazio
dal tempo e si trascurano quindi certi sfasamenti (spaziali e
temporali) che invece sono essenziali nel paradosso, Come
gia` spiegato, se si usano le trasformazioni di Lorentz per
passare da un sistema di riferimento a un altro e poi per
ritornare indietro, si riottengono i valori iniziali; non
c'e` verso di ottenere valori minori di se stessi. Quindi e`
bene, nei ragionamenti di questo tipo, usare direttamente le
trasformazioni di Lorentz invece degli effetti sopra
elencati.
Ciao
Paolo Russo
Valter Moretti
"Gian Paolo" <a_to...@inwind.it> ha scritto nel messaggio
news:Lmie8.21076$fa5.7...@twister2.libero.it...
> sistemi
> > di riferimento inerziali".
>
> Landau dice "sono identiche", io che non sono un fisico dico "valgono" e
> ovviamente valgono le stesse leggi e nella stessa forma.
> degli interlocutori. Grazie !
Va bene, diciamo la stessa cosa, basta intendersi...
>
> E' la premessa che da' per inteso la definizione di sistema inerziale e il
> teorema per cui un sistema di riferimento che si muova ......, perchč
> l'unica cosa che importava affermare era che non esistono sistemi di
> riferimento privilegiati o fissi !
>
OK
>
> In "Meccanica" il succitato L.V. Landau definisce come inerziale un
sistema
> di riferimento tale che rispetto ad esso lo spazio sia omogeneo ed
isotropo
> ed il tempo omogeneo. Con il formalismo Lagrangiano ne trae la legge
> d'inerzia nella forma "in un sistema di riferimento inerziale, ogni moto
> libero avviene con velocitŕ costante e in grandezza e direzione".
>
Conosco bene quel testo e per certi versi mi piace molto.
Pero` la definizione che usa mi piace molto poco,
specialmente perche` non e` per niente banale spiegare cosa voglia dire
"omogeneo" ed "isotropo" e Landau non e' che si sprechi su tali
definizioni: una apparentemente piu` semplice definizione richiede
in realta` concetti complicati.
> In "Teoria dei campi" lo stesso Landau definisce inerziali "... sistemi di
> riferimento nei quali il moto libero dei corpi, cioč dei corpi non
> sottoposti all'azione di forze esterne, avviene a velocitŕ costante."
Conosco anche quel testo e quello mi piace poco perche` fa un po`
di casino (anzi molto) quando definisce le "coordinate galieliane",
inoltre e` difficile capire da quel libro cosa significhi, in Relativita`
Generale, che ci sia gravita` in una regione di spaziotempo, dato che non
viene
mai definito cio` esplicitamente. Ne abbiamo discusso un sacco su questo
NG gli anni scorsi. Se fai una ricerca con Google ritrovi tutto.
> Non ti sembra che venga usata come definizione una conseguenza della
> definizione ? E inoltre non diventa cosě tautologico chiamare inerziale
ciň
> che č inerziale (in cui vale la legge d'inerzia), che č anche, mi sembra,
la
> tua definizione.
>
Secondo me per definire i riferimenti inerziali prima di tutto
non bisogna usare il concetto di forza. La questione io la vedo cosi`
nell'ambito della fisica classica ed in termini ideali (sia pur fisici):
cosa
succede ai corpi quando sono molto lontani tra di loro? Se hai un corpo
solo non si puo` dire nulla: puo` fare quello che vuole, puo` avere
qualunque
tipo di moto, basta mettersi nel riferimento opportuno. Se pero` hai
un certo numero di corpi le cose cambiano: allontanali tra di loro
tantissimo e poi lasciali andare imprimendo loro velocita` iniziali in
generale (rispetto a qualsiasi riferimento).
E` chiaro che in generale non potrai far avere loro il moto
che vuoi tu scegliendo tu il riferimento come nel caso di un corpo solo:
al piu` controlli il moto di uno di essi scegliendo un riferimento tu,
ma i moti degli altri non li controlli.
Il primo principio della dinamica classica, in quest'ottica, dice che
invece
succede una cosa interessante e tutt'elatro che ovvia: i corpi si muovono
(tendono a comportarsi cosi`quanto piu` li allontani) di moto rettilineo
uniforme *l'uno rispetto all'altro*.
In altre parole essi determinano una classe di riferimenti, in moto
rettilineo
uniforme l'uno rispetto agli altri, in cui i corpi in questione si muovono
di moto rettilineo uniforme (per definizione questi li chiamo riferimenti
inerziali).
Una volta che uno ha a disposizione tali riferimenti studia, in essi, quello
che
accade quando i corpi "si avvicinano" reciprocamente: allora non si
muoveranno
piu` di moto rettilineo uniforme nei riferimenti inerziali: il loro moto
presentera`
accelerazioni in tali riferimenti. A questo punto, e solo ora, per
descrivere la "deviazione" del moto rispetto a quello rettilineo uniforme,
entra in gioco
il concetto di forza (come funzione delle posizioni e velocita` reciproche),
ma non mi addentro perche` ci sarebbe da dire moltissimo. Volevo ancora
fare notare che cio` che "costringe i corpi lontani a muoversi di moto
relativo
rettilineo uniforme" non puo` in quest'ottica essere descritto dal concetto
di forza, benche` debba essere qualche tipo di "interazione" indescrivibile
nello schema Newtoniano. Cio`, in linea di principio puo` essere fatto in
relativita` generale dicendo che il moti (reciproci) inerziali sono tali
perche`
costretti dalla metrica dello spaziotempo. Pero` la questione perde gran
parte
della centralita`(perche` il primo principio enunciato come sopra si
riferirebbe
ad una *particolare* soluzione delle equazioni di Einstein per la metrica
dello
spaziotempo scale grandi, ma non cosmologiche che con buona approssimazione
descrive mediamente la fisica newtoniana. Inoltre, in RG,
esiste una generalizzazione del concetto di riferimento inerziale in senso
locale
che si e` rivelata molto piu` fruttuosa e che e` al centro della teoria
stessa.)
Ciao, Valter
rez
>Dunque d'=dg; essendo g<1, la distanza risulta contratta.
>La cosiddetta "somma relativistica delle velocita`"
Premetto che non ho letto tutto, ma appena qualcosa... mi
sa che pero`, cosi` come concludi, allora c'e` dilatazione
delle lunghezze:-)
Dovrebbe aversi invece che un segmento, giudicato unitario
dall'osservatore mobile: OP'=1, venga giudicato piu` corto
dall'osservatore fisso: OP=sqrt(1-betaquadro), beta=(v/c).
Ma forse da te hai considerato: d != OP; d' != OP'
--
Ci sentiamo | Remigio Zedda || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio | ||==> E-mail: remi...@tiscalinet.it
-------------| ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
/* Linux 2.2.19pre17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */
Paolo Russo
>Premetto che non ho letto tutto, ma appena qualcosa... mi
>sa che pero`, cosi` come concludi, allora c'e` dilatazione
>delle lunghezze:-)
Spero davvero non si capisca questo...
>Dovrebbe aversi invece che un segmento, giudicato unitario
>dall'osservatore mobile: OP'=1, venga giudicato piu` corto
>dall'osservatore fisso: OP=sqrt(1-betaquadro), beta=(v/c).
La tua obiezione sarebbe giusta per una sbarra solidale con
O'. Dato che, come hai premesso, non hai letto tutto,
probabilmente hai saltato la parte dove scrivo: "una sbarra
che, ferma nel sistema di riferimento O...".
Comunque, rileggendo, mi pare di aver scritto una cosa
discutibile:
>[...] otteniamo V'=(V+v)/(1+vV), [...]
>(Ricordarsi che in effetti quell'1 e` in realta` un c^2).
In effetti, anche se mi pare lecito scrivere c^2 al posto di
quell'1 per bilanciare dimensionalmente quel vV, poi dopo
bisogna comunque dividere tutto per c^2, quindi e` piu'
sensato lasciare in pace l'1 e dire che quell'1+vV e` in
effetti un 1+vV/c^2.
Ciao
Paolo Russo
P.S. Se scrivo c² al posto di c^2, riescono tutti a leggerlo
o e` non-standard?
rez
>[rez:]
>>Dovrebbe aversi invece che un segmento, giudicato unitario
>>dall'osservatore mobile: OP'=1, venga giudicato piu` corto
>>dall'osservatore fisso: OP=sqrt(1-betaquadro), beta=(v/c).
>La tua obiezione sarebbe giusta per una sbarra solidale con
>O'. Dato che, come hai premesso, non hai letto tutto,
>probabilmente hai saltato la parte dove scrivo: "una sbarra
>che, ferma nel sistema di riferimento O...".
Uhm.. per una sbarra (longitudinale) OP' pero` mi sa che non
andrebbe quella che ho scritto: e` un'altra cosa.
OP' giudicata dall'osservatore fisso avrebbe lunghezza:
sqrt[(1+betaquadro)/(1-betaquadro)] volte la misura stimata
dall'osservatore mobile.
>Comunque, rileggendo, mi pare di aver scritto una cosa
>discutibile:
>>[...] otteniamo V'=(V+v)/(1+vV), [...]
>>(Ricordarsi che in effetti quell'1 e` in realta` un c^2).
>In effetti, anche se mi pare lecito scrivere c^2 al posto di
>quell'1 per bilanciare dimensionalmente quel vV, poi dopo
>bisogna comunque dividere tutto per c^2, quindi e` piu'
>sensato lasciare in pace l'1 e dire che quell'1+vV e` in
>effetti un 1+vV/c^2.
Be' tanto in relativita` le grandezze se ne vanno a ramengo
facilmente.. basti pensare che l'energia e la massa differiscono solo
per una costante moltiplicativa, quasi fossero due aspetti diversi di
una medesima grandezza fisica:-)
Cmq, il non portarti dietro c non dava fastidio minimamente.
>P.S. Se scrivo c² al posto di c^2, riescono tutti a leggerlo
>o e` non-standard?
Qui da me e` perfetto e io vedo solo l'ascii puro e semplice.
Paolo Russo
>Uhm.. per una sbarra (longitudinale) OP' pero` mi sa che non
>andrebbe quella che ho scritto: e` un'altra cosa.
>OP' giudicata dall'osservatore fisso avrebbe lunghezza:
>sqrt[(1+betaquadro)/(1-betaquadro)] volte la misura stimata
>dall'osservatore mobile.
Uh? Perche'?
>>P.S. Se scrivo c² al posto di c^2, riescono tutti a leggerlo
>>o e` non-standard?
>Qui da me e` perfetto e io vedo solo l'ascii puro e semplice.
OK, in futuro lo usero` se nessuno protesta.
Ciao
Paolo Russo
rez
>[rez:]
>>Uhm.. per una sbarra (longitudinale) OP' pero` mi sa che non
>>andrebbe quella che ho scritto: e` un'altra cosa.
>>OP' giudicata dall'osservatore fisso avrebbe lunghezza:
>>sqrt[(1+betaquadro)/(1-betaquadro)] volte la misura stimata
>>dall'osservatore mobile.
>Uh? Perche'?
Se non ho preso un abbaglio, e` quel che si ottiene quando
semplicemente si passa dal riferimente fisso (O,x_i) a quello
mobile (O,x_i'). Se vuoi nella solita rappresentazione di Minkowski.
Si ha cioe` una dilatazione delle lunghezze, diverso -dicevo- dalla
contrazione: misuraOP=sqrt(1-betaquadro), che si ha pero` a giudizio
dell'osservatore fisso.
Paolo Russo
>Se non ho preso un abbaglio, e` quel che si ottiene quando
>semplicemente si passa dal riferimente fisso (O,x_i) a quello
>mobile (O,x_i'). Se vuoi nella solita rappresentazione di Minkowski.
>Si ha cioe` una dilatazione delle lunghezze, diverso -dicevo- dalla
>contrazione: misuraOP=sqrt(1-betaquadro), che si ha pero` a giudizio
>dell'osservatore fisso.
Uhm. No, non mi e` chiaro per niente. A meno che non stiamo
intendendo qualcosa di diverso per "lunghezza". Per esempio,
la distanza spaziale tra due eventi non segue la stessa regola
della lunghezza della sbarra (gli estremi della sbarra sono linee
di universo, non eventi), pero` non mi sembra nemmeno che si
arrivi a quello che hai scritto tu.
Puoi chiarire meglio i termini della questione?
Ciao
Paolo Russo
rez
Vediamo.. istantanea (foto) all'istante iniziale. E dunque in M_4
c'e` in aggiunta al solito riferimento cartesiano fisso (O;x_1,x_4)
il riferimento mobile (O;x_1',x_4') col primo asse che ha l'angolo
d'incidenza uguale ad arctg(beta) e simmetricamente, rispetto alla
bisettrice x_1=x_4, l'asse dei "tempi" x_4'=ct'.
La dilatazione delle unita` risulta calcolando misuraOP', essendo P'
un punto sull'asse x_1'. Ecco: [mis=misura, quad=al quadrato]
misOP'quad=misOAquad+misAP'quad
essendo A la proiezione (ortogonale) di P' su x_1.
Ma risulta:
misOA=1/sqrt(1-betaquad)
misAP'=beta/sqrt(1-betaquad)
e di qui dunque la formola dell'altro giorno, che riporto:
misOP'=sqrt[(1+betaquad)/(1-betaquad)]
Non dovrebbero per il momento interessare le linee orarie, ne' le
masse: penso dovrebbe essere solo una quistione geometrica, fammi
sapere.
the Volk
news:3C790C87...@alpha.science.unitn.it...
>
>
> Scusa, non ho capito bene, questa sarebbe una definizione o un teorema?
> Se e` un teorema e` vero, se e` una definizione non regge logicamente.
> La definizione di sistema di riferimento inerziale e` difficile da darsi
> perche` si cade facilmente in tautologie o ci si riferisce ad enti che
> dovrebbero essere definiti a posteriori (ma non e` detto).
> La definizione che uso io e` la seguente: un riferimento
> e` inerziale se presi arbitrariamente dei corpi (in numero arbitrario) essi
> tendono a muoversi di moto rettilineo a velocita` costante in tale riferimento
> quando sono posti ad una distanza sufficientemente grande tra di loro
> e da tutti gli altri corpi.
>
>
> Ciao, Valter
Quel sufficentemente non e´ ben definito....
Me la chiesero al concorsone questa domanda. Loro volevano che la
risposta
fosse:"Quando vale F=ma".
Ovviamente introdotte le forze apparenti F=ma vale anche in sistemi
rotanti
Io risposi:"E` una convenzione. Si assume un dato sistema di riferimento
inerziale e si classificano inerziali tutti i riferimenti in moto
rettilineo uniforme rispetto ad esso (ma con questo escluderei i sistemi
in caduta libera)".
Una terza definizione non mia e`:"un sistema dove i corpi non sono
soggetti
a forze gravitazionali cioe` forze che sono estensive rispetto alla
massa,
ad esclusione delle loro interazioni"
Ciao
the Volk
--
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Valter Moretti
> > La definizione che uso io e` la seguente: un riferimento
> > e` inerziale se presi arbitrariamente dei corpi (in numero arbitrario)
essi
> > tendono a muoversi di moto rettilineo a velocita` costante in tale
riferimento
> > quando sono posti ad una distanza sufficientemente grande tra di loro
> > e da tutti gli altri corpi.
> >
> >
> > Ciao, Valter
>
> Quel sufficentemente non e´ ben definito....
Sufficientemente lo intendo: si vede dal punto di vista
fisico che ad un certo punto le cose funzionano come
ho detto (cioe` dovrebbero funzionare cosi').
Questo e`l'unico contenuto fisico del primo principio,
altrimenti si riduce ad una tautologia.
La definizione e` fisica non matematica.
> Me la chiesero al concorsone questa domanda. Loro volevano che la
> risposta
> fosse:"Quando vale F=ma".
Al limite vale a posteriori, ma non e` certo fisica qullo che
volevano sentirsi dire...
> Ovviamente introdotte le forze apparenti F=ma vale anche in sistemi
> rotanti
> Io risposi:"E` una convenzione. Si assume un dato sistema di riferimento
> inerziale e si classificano inerziali tutti i riferimenti in moto
> rettilineo uniforme rispetto ad esso (ma con questo escluderei i sistemi
> in caduta libera)".
> Una terza definizione non mia e`:"un sistema dove i corpi non sono
> soggetti
> a forze gravitazionali cioe` forze che sono estensive rispetto alla
> massa,
> ad esclusione delle loro interazioni"
> Ciao
nessuna di queste definizioni ha senso perche` non puoi usare il
concetto di forza prima di definirlo. Oppure ne devi dare una def.
indipendente dalla def. di sistema inerziale.
La forza risulta essere una funzione delle sole posizioni
e velocita` dei corpi in esame riferite ad un rif. inerziale
inoltre, in rif inerziali, soddisfa il terzo principio, le forze
fittizzie no, per cui la tua risposta basata su una "convenzione"
non funziona.
Ciao, Valter
Paolo Russo
>La dilatazione delle unita` risulta calcolando misuraOP', essendo P'
>un punto sull'asse x_1'. Ecco: [mis=misura, quad=al quadrato]
>misOP'quad=misOAquad+misAP'quad
>essendo A la proiezione (ortogonale) di P' su x_1.
>Ma risulta:
>misOA=1/sqrt(1-betaquad)
>misAP'=beta/sqrt(1-betaquad)
>e di qui dunque la formola dell'altro giorno, che riporto:
>misOP'=sqrt[(1+betaquad)/(1-betaquad)]
OK, credo d'aver inquadrato la faccenda.
Il problema e` che misOA e` lungo l'asse x_1, dunque e` uno
spazio, mentre misAP' e` lungo l'asse x_4, quindi e` un
tempo; di conseguenza quello che calcoli come misOP' e` uno
strano miscuglio di spazio e tempo, un sqrt(x²+t²) (omettendo
come al solito il c² accanto al t²); non e` una lunghezza,
non ha a che fare con la contrazione delle lunghezze.
Somiglia alla distanza spaziotemporale, che e` sqrt(x²-t²)
cioe` sqrt(misOA²-misAP'²) e che ti verrebbe pari a 1, come
dev'essere, dato che la distanza spaziotemporale
e` invariante.
Ciao
Paolo Russo
rez
>[rez:]
>>La dilatazione delle unita` risulta calcolando misuraOP', essendo P'
>>un punto sull'asse x_1'. Ecco: [mis=misura, quad=al quadrato]
>OK, credo d'aver inquadrato la faccenda.
>Il problema e` che misOA e` lungo l'asse x_1, dunque e` uno
>spazio, mentre misAP' e` lungo l'asse x_4, quindi e` un
>tempo;
Ma no che diamine P' e` sull'asse x_1' il quale ha equazione
cartesiana: x_4=ßx_1.
In altre parole il vettore OP' e` un vettore spaziale, cioe`:
|x_1| > |x_4|, se x_1 e x_4 sono le coordinate di P' per
l'osservatore fisso.
E dunque P', in termini di riferimento mobile, ha da O distanza
puramente spaziale, cioe` distanza temporale nulla.
Unita` di misura essendo OU, con U intercettato dall'asse x_1'
sull'iperbole: x_1² - x_4² = 1.
Tolgo il mio pezzo in quota e lo riscrivo qui, con l'astuzia tua
dei quadrati e di beta (sottintendo anche le mis, vediamo se si
snellisce un po':-) tanto sono ovvie, non potendo essere vettori)
(1) OP'²=OA²+AP'²
essendo A la proiezione (ortogonale) di P' su x_1.
Ma risulta:
(2) OA=1/sqrt(1-ß²)
(3) AP'=ß/sqrt(1-ß²)
e di qui dunque:
(4) OP'=sqrt[(1+ß²)/(1-ß²)]
QED;^)
Forse e` in effetti un po' ingrato scrivere a macchina..
--
Ci sentiamo, | Remigio Zedda || Attenzione! campo "From:" alterato
rez
>[rez:]
[...]
>Si', nel riferimento mobile, ma solo li'. Il fatto che il
>vettore sia di tipo spazio non e` certo condizione
>sufficiente perche' la distanza temporale sia zero in tutti i
>sistemi di riferimento.
Infatti P, punto dell'asse x_1, e` anche punto (intercettato) della
parallela all'asse x_4' portata per P'. Tale parallela e` la storia
del punto P', mentre l'asse x_4' stesso lo e` dell'origine O, cioe`
dell'altro estremo del regolo unitario (ma unita` dell'osservatore
mobile!).
L'istante della foto che dicevo, e` infatti ovviamente t=0.
Il regolo e` solidale con l'osservatore mobile.
Questo infatti e` il modo per visualizzare le distanze temporali etc.
>>(1) OP'²=OA²+AP'²
>>essendo A la proiezione (ortogonale) di P' su x_1.
>>Ma risulta:
>>(2) OA=1/sqrt(1-ß²)
>>(3) AP'=ß/sqrt(1-ß²)
>>e di qui dunque:
>>(4) OP'=sqrt[(1+ß²)/(1-ß²)]
Te la giro cosi` (e lascio in quota questo precedente), tutto
in coordinate cartesiane ortogonali e unita` di misura del
riferimento fisso:
(5) O =(0;0)
(6) P =[sqrt(1-ß²);0]
(7) V =(1;0)
(8) P'=[1/sqrt(1-ß²);ß/sqrt(1-ß²)]
(9) A =[1/sqrt(1-ß²);0]
---O-------P---V----A------------------>x_1
Si riconosce a vista che per il modulo di OP si ha la ben nota
contrazione: |OP|=sqrt(1-ß²); e per |OP'| la dilatazione (4).
V e` vertice della solita iperbole: (x_1)² - (x_4)² = 1.
L'asse x_1' ha equazione cartesiana: x_4 = ßx_1.
Paolo Russo
>(5) O =(0;0)
>(6) P =[sqrt(1-ß²);0]
>(7) V =(1;0)
>(8) P'=[1/sqrt(1-ß²);ß/sqrt(1-ß²)]
>(9) A =[1/sqrt(1-ß²);0]
>---O-------P---V----A------------------>x_1
>Si riconosce a vista che per il modulo di OP si ha la ben nota
>contrazione: |OP|=sqrt(1-ß²);
Concordo su tutto quanto sopra.
>e per |OP'| la dilatazione (4).
E su questo no.
Dilatazione rispetto a cosa, tanto per cominciare?
Abbiamo detto che P', nel sistema di riferimento mobile, ha
per definizione coordinate (1,0). La (8) fornisce le sue
coordinate nel riferimento fisso. Dunque mi sembra tutto
perfettamente chiaro: la componente spaziale della distanza
OP' vale 1 nel riferimento mobile e 1/sqrt(1-ß²) in quello
fisso. Dunque da dove salterebbe fuori la dilatazione?
Riporto i tuoi passaggi:
>>>(1) OP'²=OA²+AP'²
>>>essendo A la proiezione (ortogonale) di P' su x_1.
>>>Ma risulta:
>>>(2) OA=1/sqrt(1-ß²)
>>>(3) AP'=ß/sqrt(1-ß²)
>>>e di qui dunque:
>>>(4) OP'=sqrt[(1+ß²)/(1-ß²)]
Secondo me il problema e` che, dopo aver applicato
correttamente le trasformazioni di Lorentz per passare da O'
a O, ritorni a O' con pure considerazioni geometriche, che
non tengono conto del fatto che gli assi non sono solo
ruotati, ma anche stiracchiati: hanno cambiato scala. Se nel
grafico usi assi graduati, cioe` disegni delle tacche sui
vari assi, devi mantenere una distanza inter-tacca lungo x_1'
maggiore di quella lungo l'asse x_1; in altre parole, non
puoi leggere dal grafico una distanza lungo x_1' senza tenere
conto del suo stiramento. Per rendersene conto basta
confrontare le coordinate x_1 e x_1' di P':
x_1(P')=1/sqrt(1-ß²)
x_1'(P')=1 (per definizione)
quindi x_1(P')>x_1'(P'), nonostante si veda subito a occhio
che |OA|<|OP'|; quindi le scale dei due assi x_1 e x_1' sono
diverse. Nel confronto tra x_1(P') e x_1'(P') ogni asse ha la
sua scala, mentre nel confrontare a occhio |OA| con |OP'| si
usa la scala di x_1 per entrambi i segmenti.
Quindi in effetti la (4) fornisce proprio il rapporto tra le
distanze inter-tacca degli assi.
Ciao
Paolo Russo
rez
>[rez:]
>>(5) O =(0;0)
>>(6) P =[sqrt(1-ß²);0]
>>(7) V =(1;0)
>>(8) P'=[1/sqrt(1-ß²);ß/sqrt(1-ß²)]
>>(9) A =[1/sqrt(1-ß²);0]
>>---O-------P---V----A------------------>x_1
>>Si riconosce a vista che per il modulo di OP si ha la ben nota
>>contrazione: |OP|=sqrt(1-ß²);
>Concordo su tutto quanto sopra.
>>e per |OP'| la dilatazione (4).
>E su questo no.
>Dilatazione rispetto a cosa, tanto per cominciare?
Delle unita` di misura, perche' i fronti d'onda si mantengano
sferici;-)
>Abbiamo detto che P', nel sistema di riferimento mobile, ha
>per definizione coordinate (1,0). La (8) fornisce le sue
>coordinate nel riferimento fisso. Dunque mi sembra tutto
>perfettamente chiaro: la componente spaziale della distanza
>OP' vale 1 nel riferimento mobile e 1/sqrt(1-ß²) in quello
>fisso. Dunque da dove salterebbe fuori la dilatazione?
Dal cambiamento di riferimento nel cronotopo.
>Riporto i tuoi passaggi:
>>(1) OP'²=OA²+AP'²
>>essendo A la proiezione (ortogonale) di P' su x_1.
>>Ma risulta:
>>(2) OA=1/sqrt(1-ß²)
>>(3) AP'=ß/sqrt(1-ß²)
>>e di qui dunque:
>>(4) OP'=sqrt[(1+ß²)/(1-ß²)]
>Secondo me il problema e` che, dopo aver applicato
>correttamente le trasformazioni di Lorentz per passare da O'
>a O, ritorni a O' con pure considerazioni geometriche, che
>non tengono conto del fatto che gli assi non sono solo
>ruotati, ma anche stiracchiati: hanno cambiato scala.
Be' ma e` appunto della scala che parlo: dilatazione delle unita`.
In altre parole, si passa dal sistema ortogonale (O;x,y)
al sistema ad assi obliqui (O;x',y').
Le formole sono:
(*) x=K(x'cosB+y'senB); y=K(x'senB+y'cosB)
essendo:
(**) B=arctgß; K=sqrt[(1+ß²)/(1-ß²)]; x=x_1; y=x_4=ct.
>Se nel
>grafico usi assi graduati, cioe` disegni delle tacche sui
>vari assi, devi mantenere una distanza inter-tacca lungo x_1'
>maggiore di quella lungo l'asse x_1; in altre parole, non
>puoi leggere dal grafico una distanza lungo x_1' senza tenere
>conto del suo stiramento. Per rendersene conto basta
>confrontare le coordinate x_1 e x_1' di P':
>x_1(P')=1/sqrt(1-ß²)
Uhm.. leggendo quest'ultimo tuo paragrafo ho la sensazione che
forse possiamo concludere.. voglio dire: tutto OK anche per me.
Ma perche' mai dici "x_1(P')" invece di A ?
>x_1'(P')=1 (per definizione)
>quindi x_1(P')>x_1'(P'), nonostante si veda subito a occhio
>che |OA|<|OP'|; quindi le scale dei due assi x_1 e x_1' sono
>diverse.
Be' ma mi sembrava chiaro (o per lo meno sottinteso) quando ho
dato: |OA|=1/sqrt(1-ß²)
>Nel confronto tra x_1(P') e x_1'(P') ogni asse ha la
>sua scala, mentre nel confrontare a occhio |OA| con |OP'| si
>usa la scala di x_1 per entrambi i segmenti.
>Quindi in effetti la (4) fornisce proprio il rapporto tra le
>distanze inter-tacca degli assi.
Si`, cio` che indicavo come dilatazione, e oggi con K [e che non
cancello dopo essermele calcolate a mano con carta e penna ;^) ].
Mi sa che abbiamo concluso.. certo che a voce sarebbe bastato
non piu` di qualche minuto:-)