particella in un campo elettrico e magnetico
Federico Effe
Una particella di carica q si trova in una regione in cui vi e' un campo
elettrico E = ( 0 , E_0 , 0 ).
Le equazioni del moto sono
m x'' = 0
m y '' = q E_0
mz'' = 0
----------------- Caso 2 -----------------
Una particella di carica q si trova in una regione in cui vi e' un campo
magnetico B = ( 0 ,0 , B_0 ).
Le equazioni del moto sono
m x'' = q B_0 y'
m y '' = - q B_0 x'
mz'' = 0
----------------- Caso 3 -----------------
Una particella di carica q si trova in una regione in cui vi sono un
campo elettrico E = ( 0 , E_0 , 0 ) ed uno magnetico
B = ( 0 ,0 , B_0 ).
Le equazioni del moto sono
m x'' = q B_0 y'
m y '' = q E_0 - q B_0 x'
mz'' = 0
----------------- Dilemma -----------------
Le equazioni del moto del caso 3 si riducono a quelle dei casi 1 e 2
quando, rispettivamente, B_0 o E_0 tendono a zero. E ci siamo.
Le soluzioni delle equazioni del moto del caso 3 restituiscono quelle
del caso 2 per E_0 che va a zero. E ci siamo.
Le soluzioni delle equazioni del moto del caso 3 NON restituiscono
quelle del caso 1 per B_0 che va a zero, perche' contengono B_0 al
denominatore.
Come e' possibile un' asimmetria del genere ?! Cosa mai la origina ?
----------------- Saluti etc. -----------------
Per chi fosse interessato ai dettagli dei calcoli che mostrano quanto
sopra detto e' disponibile un notebook di Mathematica che posso postare qui.
Vi ringrazio per l'attenzione e vi saluto cordialmente.
Federico
Enrico SMARGIASSI
> Le soluzioni delle equazioni del moto del caso 3 NON restituiscono
> quelle del caso 1 per B_0 che va a zero, perche' contengono B_0 al
> denominatore.
Io ho provato a prendere il limite per B->0 nel caso di particella
inizialmente ferma ed il limite e' quello giusto: le equazioni per B->0
si riducono effettivamente a quelle in assenza di B. In sostanza,
bisogna dimostrare che lim{x->0}[1/x(1/x sen x)]=0, che pero' e' facile.
Enrico SMARGIASSI
> lim{x->0}[1/x(1/x sen x)]=0
Scusa, ho scritto male. E' lim{x->0}[1/x(1-1/x sen x)]=0
Giorgio Bibbiani
> ----------------- Caso 1 -----------------
> Una particella di carica q si trova in una regione in cui vi e' un
> campo elettrico E = ( 0 , E_0 , 0 ).
> Le equazioni del moto sono
> m x'' = 0
> m y '' = q E_0
> mz'' = 0
> ----------------- Caso 2 -----------------
> Una particella di carica q si trova in una regione in cui vi e' un
> campo magnetico B = ( 0 ,0 , B_0 ).
> Le equazioni del moto sono
> m x'' = q B_0 y'
> m y '' = - q B_0 x'
> mz'' = 0
> ----------------- Caso 3 -----------------
> Una particella di carica q si trova in una regione in cui vi sono un
> campo elettrico E = ( 0 , E_0 , 0 ) ed uno magnetico
> B = ( 0 ,0 , B_0 ).
> Le equazioni del moto sono
> m x'' = q B_0 y'
> m y '' = q E_0 - q B_0 x'
> mz'' = 0
> quando, rispettivamente, B_0 o E_0 tendono a zero. E ci siamo.
> Le soluzioni delle equazioni del moto del caso 3 restituiscono quelle
> del caso 2 per E_0 che va a zero. E ci siamo.
> Le soluzioni delle equazioni del moto del caso 3 NON restituiscono
> quelle del caso 1 per B_0 che va a zero, perche' contengono B_0 al
> denominatore.
> Come e' possibile un' asimmetria del genere ?! Cosa mai la origina ?
Bel problema!
Risolvo il caso 3.
Pongo h = q E_0 / m, k = q B_0 / m,
le equazioni del moto diventano:
x'' = k y'
y '' = h - k x'
z'' = 0,
che hanno soluzione, per le date condizioni iniziali sulle posizioni
e sulle velocita':
x(t) = x_0 + [ht + y'_0 (1 - cos(kt)) + sin(kt) * (x'_0 - h / k)] / k
y(t) = y_0 + [y'_0 * sin(kt) + (x'_0 - h/k) * (cos(kt) - 1)] / k
z(t) = z_0 + z'_0 * t,
nel limite per B_0 -> 0, cioe' per k -> 0, si ottiene:
x(t) = x_0 + x'_0 * t
y(t) = y_0 + y'_0 * t + 1/2 * h * t^2
z(t) = z_0 + z'_0 * t,
cioe' le equazioni orarie in presenza del solo campo elettrico,
nel limite per E_0 -> 0, cioe' per h -> 0, si ottiene:
x(t) = x_0 + [y'_0 (1 - cos(kt)) + sin(kt) * x'_0] / k
y(t) = y_0 + [y'_0 * sin(kt) + x'_0 * (cos(kt) - 1)] / k
z(t) = z_0 + z'_0 * t,
cioe' le equazioni orarie in presenza del solo campo magnetico.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
cometa_luminosa
[...]
> Le soluzioni delle equazioni del moto del caso 3 NON restituiscono
> quelle del caso 1 per B_0 che va a zero, perche' contengono B_0 al
> denominatore.
Non esattamente.
Per semplicita' (ma l'essenza non cambia), poniamo x(0) = y(0) = z(0)
= 0 e lo stesso con le velocita' iniziali: x'(0) = y'(0) = z'(0) = 0.
Allora la soluzione e':
x(t) = (E_0/B_0) t [1 - cos(wt)]
y(t) = -(E_0/B_0) t sen(wt)
dove w = qB_0/m
Se B_0 tende a 0, devi sviluppare il sen(wt) e cos(wt):
sen(wt) ~ wt
cos(wt) ~ 1 - (wt)^2/2
percio':
x(t) ~ (E_0/B_0) t [(wt)^2/2] = (1/2)(q/m)^2*E_0*B_0*t^3
y(t) ~ -(E_0/B_0) t sen(wt) = -E_0*(q/m)*t^2
che, per B_0 che tende a 0 si riducono a:
x(t) = 0
y(t) = -E_0*(q/m)*t^2
che sono proprio le soluzioni del tuo Caso 1.
Ciao.
Federico Effe
Vero, vero, vero. Dopo aver postato qui avevo infine ottenuto il
risultato giusto facendo il limite con Mathematica ...