rappresentazioni di un gruppo
Anton Gnurant
gruppo..
HO letto le definizioni ma non ho visto esempi concreti..
Se il gruppo G e' dato dalle classi di resto modulo 3, ad esempio, come
trovo le rappresentazioni ?
Mi pare di aver capito che le rappresentazioni sono matrici (operatori
lineari) che mi permettono di trasformare un elemento del gruppo in un
altro..
Grazie
ag
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Elio Fabri
> In nucleare e quantistica si adoperano spesso le rappresentazioni di
> un gruppo..
> HO letto le definizioni ma non ho visto esempi concreti..
> Se il gruppo G e' dato dalle classi di resto modulo 3, ad esempio,
> come trovo le rappresentazioni ?
> Mi pare di aver capito che le rappresentazioni sono matrici (operatori
> lineari) che mi permettono di trasformare un elemento del gruppo in un
> altro..
Perche' non si capisce bene che cosa vorresti sapere.
Poni la domanda in un NG di fisica, e sta bene. Pero' poi fai un
esempio che e' puramente matematico.
Dici che hai letto le definizioni, ma l'ultima cosa che scrivi non direi
che rispecchi la definizione che dovresti aver letto.
Altro problema e' che non si sa quanto sai di m.q., quanto di
matematica.
Insomma, ora provo a dire qualcosa, poi vediamo.
1. Definizione al livello di massima astrazione.
G e' un gruppo, V uno spazio vettoriale (su un certo campo K, che ora
non interessa.
Chiamo Aut(V) il gruppo degli automorfismi di V.
Sia ora dato un omomorfismo h: G --> Aut(V). Questa si chiama
"rappresentazione di G su V".
2. Un po' meno astratto.
G, V come sopra.
Un automorfismo di V e' un'applicazione lineare invertibile di V su se
stesso.
Se a ogni elemento g di G fai corrispondere un automorfismo h(g), con
le proprieta'
a) h(gg') = h(g) h(g')
b) h(g^-1) = [h(g)]^-1
allora hai definito una rappresentazione del gruppo G sullo
spazio vettoriale V.
3. Ancora meno astratto.
Sul solito V (supponiamo di dimensione finita) scegli una base {e_i},
si' che ogni elemento v di V e' rappresentato dalla n-pla v^i tale che
v = v^i e_i (somma sottintesa).
(Nota: le componenti v^i sono elementi di K.)
Allora un automorfismo di V manda v in un certo v', e le componenti
v^i in v'^i tali che
v'^i = A^i_k v^k.
L'automorfismo e' quindi caratterizzato dalla matrice A^i_k.
La rappresentazione di G di cui sopra fara' corrispondere a ogni
elemento g di G una matrice A, com proprieta' del tutto analoghe alle
a), b) scritte sopra.
Quanto alla tua domanda
> Se il gruppo G e' dato dalle classi di resto modulo 3, ad esempio,
> come trovo le rappresentazioni ?
cosi' formulata non permette risposta.
Puoi chiedere per es. "come trovo le rappres. reali" il che vuol dire
tutte le rappres. su uno spazio V definito sul campo R.
Ma anche cosi' posta la domanda ammette infinite soluzioni, perche' V
puo' avere dimensione qualsiasi, e non solo per questo.
Di regola e' piu' semplice trovare le rappres. complesse.
Le rappres. piu' semplici hanno dimensione 1, e sono fatte cosi':
gli elementi di G sono tre: [0], [1], [2].
Sia w la radice cubica dell'unita' con parte imm. positiva.
Allora eccoti le sole tre rappres. unidimensionali di G:
1) [0] |--> 1, [1] |--> 1, [2] |--> 1
2) [0] |--> 1, [1] |--> w, [2] |--> w^2
3) [0] |--> 1, [1] |--> w^2, [2] |--> w
Immagino che a questo punto avrai un sacco di domande.
Ne anticipo io qualcuna.
Le altre rappr. come si trovano?
Perche' e' piu' semplice lavorare in C?
E per un gruppo un po' piu' complicato come si fa?
E soprattutto la *grande* domanda: perche' sono importanti le rappr.
dei gruppi in m.q.?
Se davvero vuoi saperne di piu', potresti per es. provare a leggere
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/gruppi
--
Elio Fabri
marcofuics
> In nucleare e quantistica si adoperano spesso le rappresentazioni di un
> gruppo..
> HO letto le definizioni ma non ho visto esempi concreti..
Non e' una risposta da dare in poche righe (ma neanche in tante
righe). A matematica ci sono interi esami, ed anche interi libri su
quello che scrivi.... sara' perche' e' uno degli argomenti piu' vasti?
Io a questo punto mi sento solo di consigliarti un libro: Weil, MQ e
Group Theory (non ricordo esattamente il titolo adesso.... cerca in
biblio... ). Li' Weil affronta la MQ (quella dei fisici) usando un
punto di vista matematico con le rapp. dei Gruppi.
> Se il gruppo G e' dato dalle classi di resto modulo 3, ad esempio, come
> trovo le rappresentazioni ?
Bella questione, ma dipende. La domanda e' troppo generica... dipende
dal campo di applicazione e da quali vincoli stai imponendo... insomma
devi prendere meglio la mira.
> Mi pare di aver capito che le rappresentazioni sono matrici (operatori
> lineari) che mi permettono di trasformare un elemento del gruppo in un
> altro..
anche.... :)) eheheh
Matrici......
Ricordo all'esame il prof di Metodi mat della fisica mi chiese : Cosa
e' una matrice?
ennemila risposte che diedi, cercando di calibrare la mia.... non
servirono, anzi lo infastidivano. Al che dissi, " .. Mi arrendo... "
e lui:
<<Una tabella di numeri!!!!>>
Ciao