Una vaschetta origami
Che nickname ha costui?
una vaschetta in cui posso versare acqua senza che ne esca. Ci siamo
capiti? Le pieghe sono tali da non far uscire l'acqua, niente trucchi.
Ad es. il classico cartoccio non vale, l'acqua filtrerebbe tra i lembi
sovrapposti. Se faccio una scatoletta quadrata alzando i bordi o una
piramide rovesciata, l'acqua non esce.
Qual e' la soluzione per massimizzare la capacita' della mia vaschetta
e quanto vale questa capacita'?
Ciao!!! :o)
Livio
Che nickname ha costui?
Roberto Montaruli
Simpaticissimo!
Ma questa scatoletta origami deve essere anche autosufficiente nel
contenere acqua?
Mi spiego meglio: le pareti devono essere ripiegate in modo da essere
autoportanti e trattenere il liquido come si deve ?
oppure si puo' anche indicare una soluzione teorica supponendo che una
volta piegata la carta, questa resti in piega anche contro l'evidenza
fisica (per esempio operando un processo di solidificazione della forma
ottenuta con una lacca ideale) ?
Che nickname ha costui?
Giusta osservazione.
Io avevo pensato alla seconda che hai detto, il caso ipotetico che la
carta resti come uno l'ha piegata, come se il liquido contenuto fosse
leggerissimo. Penso che questa interpretazione ci faccia cercare
soluzioni estreme, e non credo, come spesso mi accade ideando cose del
genere, di avere gia' in tasca la soluzione ottimale.
Ciao!!! :o)
Livio
Giorgio Vecchi
news:1188327782.0...@22g2000hsm.googlegroups.com...
> On 28 Ago, 19:21, Roberto Montaruli <rmontar...@yahoo.com> wrote:
>> Che nickname ha costui? ha scritto:
>>
> carta resti come uno l'ha piegata, come se il liquido contenuto fosse
> leggerissimo. Penso che questa interpretazione ci faccia cercare
> soluzioni estreme, e non credo, come spesso mi accade ideando cose del
> genere, di avere gia' in tasca la soluzione ottimale.
>
Intervengo più che altro per salutare Livio (ciao!!!) ma non è che abbia
delle cose sconvolgenti da dire (sempre che abbia capito correttamente il
problema).
.
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Parto da un foglio quadrato di lato unitario e creo la vaschetta quadrata
sollevando i quattro bordi e sperando che in un qualche modo "stiano su".
Detta x l'altezza del bordo, il lato della base diventa 1-2x e il volume
totale x(1-2x)^2.
Il massimo si ha per x = 1/6 (trovato con le derivate, dopo almeno 25 anni
dall'ultima volta che le ho usate... :-) ), per un volume di 0,(074).
Più in là non vado. La piramide rovesciata ancora non me la figuro...
Ciao!
Giorgio
Il bragozzi
>
> Più in là non vado. La piramide rovesciata ancora non me la figuro...
>
> Ciao!
>
> Giorgio
Esempio di piramide a base triangolare ottenuta da un quadrato ABCD di
centro O.
Indicando con E il punto medio di AB, le pieghe sono costituite dalle
diagonali AC e BD in un verso e dal segmento OE nel verso opposto. Si
portano a coincidere A e B e si ottiene la piramide.
Se il quadrato e' di lato unitario, il volume e' (salvo i miei solti
errori) sqrt(2)/24, ossia circa 0,059, piu' piccolo di quello della
vaschetta quadrata.
Non so se ci siano modi diversi (ma probabilmente ci sono) per
ottenere una piramide da un foglio quadrato.
Giorgio Vecchi
> Esempio di piramide a base triangolare ottenuta da un quadrato ABCD di
> centro O.
> Indicando con E il punto medio di AB, le pieghe sono costituite dalle
> diagonali AC e BD in un verso e dal segmento OE nel verso opposto. Si
> portano a coincidere A e B e si ottiene la piramide.
> Se il quadrato e' di lato unitario, il volume e' (salvo i miei solti
> errori) sqrt(2)/24, ossia circa 0,059, piu' piccolo di quello della
> vaschetta quadrata.
> Non so se ci siano modi diversi (ma probabilmente ci sono) per
> ottenere una piramide da un foglio quadrato.
Bella la piramide triangolare! Se non sbaglioil volume dovrebbe essere
sqrt(3)/24 che fa ~0,072168. Sempre meno della vasca quadrata ma non cosě
meno...
Sono curioso di vedere cosa ha Livio nel cassetto... :-)
Ciao
Giorgio
Giorgio Vecchi
>
> Bella la piramide triangolare! Se non sbaglio il volume dovrebbe essere
> sqrt(3)/24 che fa ~0,072168. Sempre meno della vasca quadrata ma non così
> meno...
>
Oops. Ho considerato un'altezza della piramide di 0.5 che non è certo
giusta! E' meno (quanto?). Adesso provo a vedere se riesco a calcolarla.
Comunque il volume è inferiore. Vuoi dire che è giusta la tua formula...?
Ciao
Giorgio
Che nickname ha costui?
> "Che nickname ha costui?" <livio.zu...@yahoo.it> wrote in messagenews:1188327782.0...@22g2000hsm.googlegroups.com...
>
> > On 28 Ago, 19:21, Roberto Montaruli <rmontar...@yahoo.com> wrote:
> >> Che nickname ha costui? ha scritto:
>
> > Io avevo pensato alla seconda che hai detto, il caso ipotetico che la
> > carta resti come uno l'ha piegata, come se il liquido contenuto fosse
> > leggerissimo. Penso che questa interpretazione ci faccia cercare
> > soluzioni estreme, e non credo, come spesso mi accade ideando cose del
> > genere, di avere gia' in tasca la soluzione ottimale.
>
> Intervengo più che altro per salutare Livio (ciao!!!) ma non è che abbia
> delle cose sconvolgenti da dire (sempre che abbia capito correttamente il
> problema).
> .
> .
Ciao Giorgio!!!
Ti giuro che ho fatto il tuo stesso percorso, ponendo la derivata
prima a zero per trovare il volume massimo che vale 2/27, procedimento
insolito per me che son forzabrutista. E proprio per questo mi son
stupito che non venisse fuori, oltre al minimo per x=1/2, anche
l'altro per x=0. (Ma poi c'ho pensato un po'...)..
Poi l'ho costruita e, portando le orecchie fuori e accomodandole in
forma conica, ho visto che il volume puo' gia' aumentare. E anche
inclinando un po' le pareti, a mo' di tronco di piramide. Insomma,
c'e' da lavorare... ma poi sono andato per funghi.
Ciao, a presto!!! :o)
Livio
Il bragozzi
L'altezza dovrebbe essere
La base e' un triangolo equilatero di lato 1, a cui corrisponde
un'area di sqrt(3)/4.
Le facce oblique sono triangoli isosceli di base 1 e lato sqrt(2)/2,
ossia la semidiagonale del quadrato.
Dato che la base e' equilatera, i vari ortocentro, baricentro,
eccetera coincidono in un punto che dista sqrt(3)/3 dai vertici e
sqrt(3)/6 dai lati; su questo punto "cade" l'altezza del solido.
(sqrt(2)/2)^2 - (sqrt(3)/3)^2 = 1/2 - 1/3 = 1/6 , quindi l'altezza
della piramide e' sqrt(6)/6.
sqrt(3)/4 * sqrt(6)/6 / 3 = sqrt(2)/24
Giorgio Vecchi
> La base e' un triangolo equilatero di lato 1, a cui corrisponde
> un'area di sqrt(3)/4.
> Le facce oblique sono triangoli isosceli di base 1 e lato sqrt(2)/2,
> ossia la semidiagonale del quadrato.
> Dato che la base e' equilatera, i vari ortocentro, baricentro,
> eccetera coincidono in un punto che dista sqrt(3)/3 dai vertici e
> sqrt(3)/6 dai lati; su questo punto "cade" l'altezza del solido.
> (sqrt(2)/2)^2 - (sqrt(3)/3)^2 = 1/2 - 1/3 = 1/6 , quindi l'altezza
> della piramide e' sqrt(6)/6.
> sqrt(3)/4 * sqrt(6)/6 / 3 = sqrt(2)/24
Sì sì è tutto corretto. L'altezza della piramide si trova banalmente con
pitagora come cateto di un triangolo che ha metà lato come ipotenusa e
l'apotema come altro cateto.
Mi sembra che anche i conti siano tutti giusti.
Ciao!
Giorgio
Giorgio Vecchi
> Poi l'ho costruita e, portando le orecchie fuori e accomodandole in
> forma conica, ho visto che il volume puo' gia' aumentare. E anche
> inclinando un po' le pareti, a mo' di tronco di piramide. Insomma,
> c'e' da lavorare... ma poi sono andato per funghi.
Dunque, ammesso che si riesca a costruire una vaschetta con i bordi
inclinati e che "stia su" e ammesso che l'angolo migliore di inclinazione
per i bordi sia 45° e ammesso che abbia fatto tutti i calcoli giusti, trovo
un volume del tronco di piramide pari a ~0,083216 con una lunghezza del
bordo rialzato pari a 0,2726. Qui non ci ho nemmeno provato a usare le
derivate; sono andato a tentoni sfruttando Excel.
Se qualcuno lo controlla e lo conferma, sarebbe il massimo fino ad ora.
Ciao
Giorgio
Che nickname ha costui?
>
> Dunque, ammesso che si riesca a costruire una vaschetta con i bordi
> inclinati e che "stia su"
Pensiamola in lamierino, tipo Meccano ;o)
> e ammesso che l'angolo migliore di inclinazione
> per i bordi sia 45°
Qui, come disse Rubbia parlando della fusione a freddo, il buon Dio
sarebbe stato troppo buono!
> e ammesso che abbia fatto tutti i calcoli giusti, trovo
> un volume del tronco di piramide pari a ~0,083216 con una lunghezza del
> bordo rialzato pari a 0,2726. Qui non ci ho nemmeno provato a usare le
> derivate; sono andato a tentoni sfruttando Excel.
>
> Se qualcuno lo controlla e lo conferma, sarebbe il massimo fino ad ora.
Dunque sia
b il lato del fondo quadrato
Alfa l'angolo del bordo rispetto la verticale
L'altezza della vaschetta: h=(1-b)/2*cos(alfa)
L'altezza dell'ipotetica piramide completa: H=b/2/tan(alfa)+h
Il lato del bordo della vaschetta: B=b+(1-b)*sin(alfa)
Il volume cercato come differenza di due piramidi:
V=(B^2*H-b^2*(H-h))/3 s.e.&.o.
Tuo caso: b=0.4548 Alfa=45° V=0.083216 cvd
Ciao!!! :o)
Livio
Giorgio Vecchi
>
>> Dunque, ammesso che si riesca a costruire una vaschetta con i bordi
>> inclinati e che "stia su"
> Pensiamola in lamierino, tipo Meccano ;o)
Senza buchi, però! :-)
>> e ammesso che l'angolo migliore di inclinazione
>> per i bordi sia 45°
> Qui, come disse Rubbia parlando della fusione a freddo, il buon Dio
> sarebbe stato troppo buono!
:-)
Era per avere un punto di partenza... ;-)
> Tuo caso: b=0.4548 Alfa=45° V=0.083216 cvd
Sempre a tentoni, con alfa = 58° e x = 0,23 trovo V=~0,086415173 se&o.
E non sto ancora considerando tutta quell'abbondanza d'acqua (!) che
potrebbe stare nelle pieghe rese esterne e modellate a forma conica...
quella te la calcoli tu! :-)
Ciao!
Giorgio
Che nickname ha costui?
> "Che nickname ha costui?" wrote
>
>
>
> >> Dunque, ammesso che si riesca a costruire una vaschetta con i bordi
> >> inclinati e che "stia su"
> > Pensiamola in lamierino, tipo Meccano ;o)
>
> Senza buchi, però! :-)
Prometto che se vien fuori una bella soluzione e se non ci sono troppi
funghi, la cesello in lamiera.
>...
>
> Sempre a tentoni, con alfa = 58° e x = 0,23 trovo V=~0,086415173 se&o.
Confermo. E credo che su questa strada siamo alla frutta.
> E non sto ancora considerando tutta quell'abbondanza d'acqua (!) che
> potrebbe stare nelle pieghe rese esterne e modellate a forma conica...
> quella te la calcoli tu! :-)
E no! Le orecchie esterne funzionano solo per la vaschetta a
parallelepipedo!
Con la forma a tronco di piramide sarebbero delle vie di fuga. (Prova
a farne
una di carta.)
Bisognera' ancora trovare una forma piu' complessa che ci permetta di
non sciupare tutto 'sto materiale! :o)
Ciao!!! :o)
Livio
Giorgio Vecchi
>>
>> Sempre a tentoni, con alfa = 58° e x = 0,23 trovo V=~0,086415173 se&o.
> Confermo. E credo che su questa strada siamo alla frutta.
>> E non sto ancora considerando tutta quell'abbondanza d'acqua (!) che
>> potrebbe stare nelle pieghe rese esterne e modellate a forma conica...
>> quella te la calcoli tu! :-)
> E no! Le orecchie esterne funzionano solo per la vaschetta a
> parallelepipedo!
> Con la forma a tronco di piramide sarebbero delle vie di fuga. (Prova
> a farne
> una di carta.)
Cavolo, è vero! :-)
Però non è detto che debbano essere comunicanti con la vasca (se i bordi
rialzati collimano perfettamente) e quindi l'acqua potrebbe essere versata
indipendentemente in ciascuna di loro fino al livello "che ci sta". Cosa
dici?
> Bisognera' ancora trovare una forma piu' complessa che ci permetta di
> non sciupare tutto 'sto materiale! :o)
Bene, comincia tu! :-D
Ciao!
Giorgio
Nino
"Che nickname ha costui?" ha scritto nel messaggio
> ... ma poi sono andato per funghi.
Tornato da poco...
Boschi di abeti rossi sui 1500-1700 m
Buona raccolta (3 chili di porcini), belli sani,
ma con i cappelli in larga parte mangiati dalle lumache...
Nei giorni scorsi quasi solo finferli, un'infinità
fra muschio e mirtilli dai 1600 ai 2000 m :)
Ciao, Nino
Che nickname ha costui?
Ciao Nino. Loro non lo sanno, ma questo e' un tegame origami
per cucinare porcini al verd...
Ciao!!! :o)
Livio
Che nickname ha costui?
>
> Però non è detto che debbano essere comunicanti con la vasca (se i bordi
> rialzati collimano perfettamente) e quindi l'acqua potrebbe essere versata
> indipendentemente in ciascuna di loro fino al livello "che ci sta". Cosa
> dici?
Mmm... negherebbe la premessa che scartava soluzioni tipo cartoccio.
>
> > Bisognera' ancora trovare una forma piu' complessa che ci permetta di
> > non sciupare tutto 'sto materiale! :o)
>
> Bene, comincia tu! :-D
Forse pero' mi sbagliavo. Le orecchie potrebbero essere di forma
piramidale a base quadrangolare (quadrata, rombica o losanga) in modo
tale da portare tutto il bordo alla stessa altezza. In verita' avevo
nel cassetto una forma piu' elegante, ma ho paura che questa sia piu'
efficente. Ora faccio due calcoli (forse).
Ciao!!! :o)
Livio
Paolo Licheri
<livio...@yahoo.it> wrote:
>Ti giuro che ho fatto il tuo stesso percorso, ponendo la derivata
>prima a zero per trovare il volume massimo che vale 2/27, procedimento
>insolito per me che son forzabrutista. E proprio per questo mi son
>stupito che non venisse fuori, oltre al minimo per x=1/2, anche
>l'altro per x=0. (Ma poi c'ho pensato un po'...)..
>
>Poi l'ho costruita e, portando le orecchie fuori e accomodandole in
>forma conica, ho visto che il volume puo' gia' aumentare. E anche
>inclinando un po' le pareti, a mo' di tronco di piramide. Insomma,
>c'e' da lavorare... ma poi sono andato per funghi.
>
>Ciao, a presto!!! :o)
>Livio
Ciao a tutti, passavo da queste parti e ho pensato di partecipare alla
festa.
Avrei trovato un valoredi circa 0.78+, leggermente più alto del tuo,
lavorando da forzabrutista, con un po' di excel e un po' di CAD.
Dal punto di vista geometrico mi pare che funzioni, dal punto di vista
meccanico però ho qualche dubbio.
Dunque
dispongo il foglio a mo' di mezzo tubo di sezione ellittica, semiasse
maggiore orizzontale 0.42, semiasse minore 0.195.
La semicirconferenza dovrebbe essere pari a uno, l'area della
semiellisse pari a 0.186+
A questo punto nasce il problema meccanico: dovrei piegare le
estremità del tubo verso l'alto, per ottener i due tappi alti 0 .195
La lunghezza residua del tubo sarebbe quindi 0.61, e il volume 0.0784+
Ma sarà possibile fare questa piega?
Che ve ne pare?
ciao
paolo
Che nickname ha costui?
> On Thu, 30 Aug 2007 08:10:00 -0700, Che nickname ha costui?
>
> >Ti giuro che ho fatto il tuo stesso percorso, ponendo la derivata
> >prima a zero per trovare il volume massimo che vale 2/27, procedimento
> >insolito per me che son forzabrutista. E proprio per questo mi son
> >stupito che non venisse fuori, oltre al minimo per x=1/2, anche
> >l'altro per x=0. (Ma poi c'ho pensato un po'...)..
>
> >Poi l'ho costruita e, portando le orecchie fuori e accomodandole in
> >forma conica, ho visto che il volume puo' gia' aumentare. E anche
> >inclinando un po' le pareti, a mo' di tronco di piramide. Insomma,
> >c'e' da lavorare... ma poi sono andato per funghi.
>
> >Ciao, a presto!!! :o)
> >Livio
>
> Ciao a tutti, passavo da queste parti e ho pensato di partecipare alla
> festa.
> Avrei trovato un valoredi circa 0.78+, leggermente più alto del tuo,
> lavorando da forzabrutista, con un po' di excel e un po' di CAD.
> Dal punto di vista geometrico mi pare che funzioni, dal punto di vista
> meccanico però ho qualche dubbio.
> Dunque
> dispongo il foglio a mo' di mezzo tubo di sezione ellittica, semiasse
> maggiore orizzontale 0.42, semiasse minore 0.195.
> La semicirconferenza dovrebbe essere pari a uno, l'area della
> semiellisse pari a 0.186+
0.128+ l'hai sbagliato per vedere se eravamo attenti, eh?
> A questo punto nasce il problema meccanico: dovrei piegare le
> estremità del tubo verso l'alto, per ottener i due tappi alti 0 .195
> La lunghezza residua del tubo sarebbe quindi 0.61, e il volume 0.0784+
> Ma sarà possibile fare questa piega?
> Che ve ne pare?
Ciao Paolo, contavo sul tuo intervento. :o)
Vedo che sei lanciato verso una soluzione ben migliore di quella che
modestamente denunci. Quindi taccio.
Ciao!!! :o)
Livio
Paolo Licheri
<livio...@yahoo.it> wrote:
>> La semicirconferenza dovrebbe essere pari a uno, l'area della
>> semiellisse pari a 0.186+
>
>0.128+ l'hai sbagliato per vedere se eravamo attenti, eh?
Ho ricontrollato i miei appunti. Infatti era 0.1286+
evidentemente, ricopiando, non ho premuto bene il tasto 2 :-)
...
>Ciao Paolo, contavo sul tuo intervento. :o)
>Vedo che sei lanciato verso una soluzione ben migliore di quella che
>modestamente denunci. Quindi taccio.
Forse una curva diversa dall'ellisse? Ci stavo pensando, ma temo di
impazzire con i calcoli
>
>Ciao!!! :o)
>Livio
ciao
paolo
Giorgio Vecchi
> On Sat, 01 Sep 2007 04:13:24 -0700, Che nickname ha costui?
>
>>Ciao Paolo, contavo sul tuo intervento. :o)
>>Vedo che sei lanciato verso una soluzione ben migliore di quella che
>>modestamente denunci. Quindi taccio.
>
> Forse una curva diversa dall'ellisse? Ci stavo pensando, ma temo di
> impazzire con i calcoli
>>
Ciao Paolo!
Bella l'idea!
Mi ha fatto venire in mente che in passato mi è capitato per le mani un
contenitore fatto in quel modo. Era di cartone ma non mi ricordo più a cosa
servisse. Può essere che la curva debba essere un arco di circonferenza? Non
so...
Aspetto gli sviluppi e i calcoli (vostri!).
Ciao
Giorgio
carmine
> Forse una curva diversa dall'ellisse? Ci stavo pensando, ma temo di
> impazzire con i calcoli
prova con la catenaria. la formula è del tipo A(e^kx + e^-kx)
Che nickname ha costui?
>
> Forse una curva diversa dall'ellisse? Ci stavo pensando, ma temo di
> impazzire con i calcoli
>
Non vorrei buttarti fuori strada. Puo' essere che una curvatura del
semitubo diversa da quella ellittica ottimizzi meglio, non saprei. Non
era quello che obiettavo. E' facendo la giusta piegatura, anche
meccanicamente plausibile, che si supera quel volume di 0.0784.
Il calcolo esatto e' complicatino, non l'ho ancora fatto.
Puo' anche essere che sia ancora ottimizzabile.
Sapremo mai se abbiamo raggiunto il max?
Ciao!!! :o)
Livio
carmine
> On 1 Set, 13:51, Paolo Licheri <paolo.lich...@tin.it> wrote:
la catenaria è la forma della sezione assiale di un telo di plastica
flessibile fissato su un quadrato orizzontale quando si riempie d'acqua.
Che nickname ha costui?
>
> la catenaria è la forma della sezione assiale di un telo di plastica
> flessibile fissato su un quadrato orizzontale quando si riempie d'acqua.
Tra due punti A e B tracciamo un segmento rettilineo e una curva. A
parita' di lunghezza della linea curva, quale forma racchiude la
maggior area? Ellittica, parabolica, iperbolica, catenaria, altro? A
me pare, a naso, l'ellittica. Ma il naso, si sa, non fa matematica.
Ciao!!! :o)
Livio
Paolo Licheri
La complicazione nasce dal fatto che dobbiamo stabilire la distanza AB
ottimale, e questa non corrisponde necessariamente alla max. area
dell'ellissse, o comunque della figura interna alla curva prescelta.
Allungando AB diminuisce sì la profondità della vasca, ma ciò comporta
tappi più piccoli, e quindi vasca più lunga.
Mah. per il momento mi fermo qui e aspetto la tua soluzione.
ciao
paolo
Paolo Licheri
<livio...@yahoo.it> wrote:
> E' facendo la giusta piegatura, anche
>meccanicamente plausibile, che si supera quel volume di 0.0784.
Tappi inclinati? O magari curvi? Insomma, qualcosa che assomigli
all'interno di una classica vasca da bagno?
La vedo dura :-)
ciao
paolo
Che nickname ha costui?
> On Sat, 01 Sep 2007 08:10:02 -0700, Che nickname ha costui?
>
> > E' facendo la giusta piegatura, anche
> >meccanicamente plausibile, che si supera quel volume di 0.0784.
>
> Tappi inclinati? O magari curvi? Insomma, qualcosa che assomigli
> all'interno di una classica vasca da bagno?
> La vedo dura :-)
>
Meglio una figura:
http://img376.imageshack.us/img376/1910/origami1jc4.gif
La linea di piegatura e' data dall'intersezione di due cilindri
identici a base ellittica.
Purtroppo non sono ancora riuscito a calcolarne il volume completo.
Ciao!!! :o)
Livio
Che nickname ha costui?
> ...
> Mah. per il momento mi fermo qui e aspetto la tua soluzione.
No, no, sia chiaro, io non ho una "soluzione finale".
Non so neppure se sia meglio il tronco di piramide o la piega
ellittica.
Sospetto che nessuna delle due sia ottimale.
Non trascurerei i frattali. ;o)
Ciao!!! :o)
Livio
Giorgio Vecchi
> http://img376.imageshack.us/img376/1910/origami1jc4.gif
>
> La linea di piegatura e' data dall'intersezione di due cilindri
> identici a base ellittica.
> Purtroppo non sono ancora riuscito a calcolarne il volume completo.
>
Solo una piccola correzione della tua fomula riportata in figura. Se non
sbaglio dovrebbe essere, sempre utilizzando la formula (approssimata) di
Eulero:
PI*sqr(2(h^2+b^2/4)) = 2
da cui
b = sqr(8/PI^2-4h^2)
anche il volume dovrebbe essere diviso per 2.
V = PI*h*b/2*(1-2h)/2 + 4 orecchie
Per favore, fai una verifica perché potrei avere scritto cose tutte
sbagliate.
A questo punto però mi fermo perché le 4 orecchie non so come gestirle.
Escludendo le orecchie per h = 0,21 si trova un V massimo di ~0,07618.
Io non so niente di AutoCAD et similia. Ma non dovrebbero essere in grado di
calcolare il volume risultante dall'intersezione di solidi?
Ciao
Giorgio
P.S. La mia osservazione precedente sull'uso di un arco di circonferenza non
si riferiva alla ricerca di una curva per ottimizzare il volume, piuttosto
ad una curva che risultasse realizzabile come piega. L'ellisse mi dava
l'idea che non si potesse piegare senza ricorrere a stiramenti e
accartocciamenti. Però adesso mi sembra che sia piegabile anche in forma
ellittica.
Che nickname ha costui?
>
> Solo una piccola correzione della tua fomula riportata in figura. Se non
> sbaglio dovrebbe essere, sempre utilizzando la formula (approssimata) di
> Eulero:
>
> PI*sqr(2(h^2+b^2/4)) = 2
>
> da cui
>
> b = sqr(8/PI^2-4h^2)
>
> anche il volume dovrebbe essere diviso per 2.
>
> V = PI*h*b/2*(1-2h)/2 + 4 orecchie
>
> Per favore, fai una verifica perché potrei avere scritto cose tutte
> sbagliate.
L'ho fatto per vedere se eravate attenti :o) (In realta' sul mio
blocco note
b era il raggio). Quindi sono giuste le tue.
> A questo punto però mi fermo perché le 4 orecchie non so come gestirle.
Provero' appena saro' riuscito ad installare un linguaggio di
programmazione
su questo dannato pc che fa tutto, anche la birra, eccetto quello per
cui
avevamo progettato i pc.
> Escludendo le orecchie per h = 0,21 si trova un V massimo di ~0,07618.
E quindi comincio a pensare che non basti per battere il tronco di
piramide.
(Pero' ci sono ancora 2 tronchi di piramide, 3, n, i frattali, la
doppia curvatura
ellittica, a catenaria, iperbolica....
> Io non so niente di AutoCAD et similia. Ma non dovrebbero essere in grado di
> calcolare il volume risultante dall'intersezione di solidi?
Con il mio cad non sono capace. Paolo?
> P.S. La mia osservazione precedente sull'uso di un arco di circonferenza non
> si riferiva alla ricerca di una curva per ottimizzare il volume, piuttosto
> ad una curva che risultasse realizzabile come piega. L'ellisse mi dava
> l'idea che non si potesse piegare senza ricorrere a stiramenti e
> accartocciamenti. Però adesso mi sembra che sia piegabile anche in forma
> ellittica.
Confermo. E' qui in cartoncino sulla mia scrivania.
Ciao!!! :o)
Livio
Paolo Licheri
<livio...@yahoo.it> wrote:
>> Io non so niente di AutoCAD et similia. Ma non dovrebbero essere in grado di
>> calcolare il volume risultante dall'intersezione di solidi?
>
>Con il mio cad non sono capace. Paolo?
Potrei provarci, ma non ho capito bene la figura :-)
>Confermo. E' qui in cartoncino sulla mia scrivania.
Hai una fotocamera digitale?
ciao
paolo
Che nickname ha costui?
>
> >Con il mio cad non sono capace. Paolo?
>
> Potrei provarci, ma non ho capito bene la figura :-)
>
> >Confermo. E' qui in cartoncino sulla mia scrivania.
>
> Hai una fotocamera digitale?
Si, ma e' da reinstallare pure quella.
Ci vorra' qualche giorno di pazienza.
Ciao!!! :o)
Livio
Che nickname ha costui?
http://img213.imageshack.us/img213/4003/origami2wg6.gif
Ho aggiunto lo sviluppo, un tratteggio ed un tentativo di prospettiva.
Spero che sia piu' chiaro.
Ciao!!! :o)
Livio
Che nickname ha costui?
>
> http://img213.imageshack.us/img213/4003/origami2wg6.gif
>
> Ho aggiunto lo sviluppo, un tratteggio ed un tentativo di prospettiva.
> Spero che sia piu' chiaro.
>
Finalmente ho un linguaggio di programmazione sul mio pc!
Con un programmino di calcolo numerico (metodo degli spaghetti :o)) ho
trovato questo risultato per la vaschetta ellittica con bordi
ellittici:
h=.232
V=0.0852+
Anche se di poco, e' inferiore alla soluzione a tronco di piramide.
A presto!!! :o)
Livio
*******************************
Dim A, B, S_spag, L_spag, Pi, V, X, Y, Z
Text1 = ""
Pi = 4 * Atn(1)
'B = 0.21 'semiasse minore calcolato da Giorgio Vecchi (senza
orecchie)
For B = 0.2 To 0.24 Step 0.001
A = Sqr(8 / Pi ^ 2 - 4 * B ^ 2) / 2 'semiasse maggiore
dell'ellisse
S_spag = 0.001 'spessore spaghetto di sez quadrata
V = 0 'volume vaschetta
For Z = S_spag / 2 To A Step S_spag
For Y = S_spag / 2 To B Step S_spag
If Z ^ 2 / A ^ 2 + Y ^ 2 / B ^ 2 <= 1 Then 'sez ellittica
vaschetta
L_spag = 1 / 2 - B * Sqr(1 - Z ^ 2 / A ^ 2) 'lunghezza
spaghetto
V = V + S_spag ^ 2 * L_spag
End If
Next Y
Next Z
V = 4 * V
Text1 = Text1 + Str(B) + Str(V) + Chr$(13) + Chr$(10) 'stampa
DoEvents
Next B
Giorgio Vecchi
>> http://img213.imageshack.us/img213/4003/origami2wg6.gif
>>
>
>
> Finalmente ho un linguaggio di programmazione sul mio pc!
> Con un programmino di calcolo numerico (metodo degli spaghetti :o)) ho
> trovato questo risultato per la vaschetta ellittica con bordi
> ellittici:
>
> h=.232
> V=0.0852+
>
> Anche se di poco, e' inferiore alla soluzione a tronco di piramide.
>
Livio,
il metodo degli spaghetti me lo spieghi poi a voce la prima volta che ci
incontriamo di persona! (Ad un prossimo raduno, eventualmente...? ;-) )
Per ora mi fido ciecamente di te. Volevo però far notare che stiamo usando
per il calcolo del perimetro dell'ellisse e conseguentemente per il recupero
della lunghezza del semiasse maggiore (che finalmente ora si chiama "a"!) la
formula approssimata di Eulero. Questa non è molto affidabile per ellissi
schiacciate come la nostra arrivando a un errore di circa il 10% in più
sulla lunghezza del perimetro. Siccome noi partiamo dal perimetro per
ottenere a, ne dovrebbe conseguire che il valore di a è inferiore a quello
che in realtà è, con ripercussioni sul calcolo del volume.
Prima di abbandonare la vaschetta ellittica a favore di quella a tronco di
piramide varrebbe forse la pena provare ad utilizzare una formula più
affidabile (e un po' più complessa) per il calcolo del perimetro (il
problema è che bisogna rigirarla per trovare il semiasse maggiore e si
rischia [io in particolare] di perdere dei pezzi per strada).
Consiglierei di dare un'occhiata qui:
http://home.att.net/~numericana/answer/ellipse.htm#elliptic e di optare per
la formula di Ramanujan, quella contrassegnata dal numero (3).
Se qualcuno ci si mette...
Ciao
Giorgio
Che nickname ha costui?
> la formula di Ramanujan, quella contrassegnata dal numero (3).
>
> Se qualcuno ci si mette...
Penso che tu abbia, come al solito, proprio ragione.
Bisognera' proprio farlo, anche perche' io sto andando verso questa
sol:
http://img213.imageshack.us/img213/6103/origami3is9.gif
che puoi immaginare come tanti tronchi di piramide sovrapposti.
Con il solito metodo e con la formula di Eulero trovo:
h=0.261
V=0.0936
che per ora e' il piu' promettente.
E' che girare quella formulaccia e' una noia. Quasi quasi faccio un
altro integrale con gli spaghetti. In fondo per calcolare il perimetro
di un ellisse col pc, basta sommare corde piccole a piacere... :o)
A presto!!! :o)
Livio
Maurizio Frigeni
> Tra due punti A e B tracciamo un segmento rettilineo e una curva. A
> parita' di lunghezza della linea curva, quale forma racchiude la
> maggior area? Ellittica, parabolica, iperbolica, catenaria, altro? A
> me pare, a naso, l'ellittica.
Ciao Livio,
in realtà la curva che rende massima l'area è semplicemente una
semicirconferenza...
Maurizio
Che nickname ha costui?
Aspe'... se e' data la distanza tra A e B ed e' data la lunghezza
della linea, raramente ne puoi fare una semicirconferenza .
Ciao!!! :o)
Livio
Che nickname ha costui?
> Consiglierei di dare un'occhiata qui:http://home.att.net/~numericana/answer/ellipse.htm#elliptice di optare per
> la formula di Ramanujan, quella contrassegnata dal numero (3).
Io c'ho provato...
h=0.22
V=0.087289
Passa da un po' piu' piccolo a un po' piu' grande! Sara' giusto?
Ciao!!! :o)
Livio
**************************************************
Dim A, B, S_spag, L_spag, Pi, V, X, Y, Z
Dim K, E, F, G
Text1 = ""
Pi = 4 * Atn(1)
'B = 0.21 'semiasse minore calcolato da Giorgio Vecchi (senza
orecchie)
For B = 0.2 To 0.24 Step 0.001
'A = Sqr(8 / Pi ^ 2 - 4 * B ^ 2) / 2 'semiasse maggiore
dell'ellisse
NUOVO CALCOLO DEL SEMIASSE MAGGIORE:
K = 2 / Pi
E = 6
F = 8 * B - 6 * K
G = K ^ 2 + 6 * B ^ 2 - 6 * B * K
A = (-F + Sqr(F ^ 2 - 4 * E * G)) / 2 / E
S_spag = 0.001 'spessore spaghetto di sez quadrata
V = 0 'volume vaschetta
For Z = S_spag / 2 To A Step S_spag
For Y = S_spag / 2 To B Step S_spag
If Z ^ 2 / A ^ 2 + Y ^ 2 / B ^ 2 <= 1 Then 'sez ellittica
vaschetta
L_spag = 1 / 2 - B * Sqr(1 - Z ^ 2 / A ^ 2) 'lunghezza
spaghetto
V = V + S_spag ^ 2 * L_spag
End If
Next Y
Next Z
V = 4 * V
Text1 = Text1 + Str(B) + Str(A) + Str(V) + Chr$(13) + Chr$(10)
'stampa
DoEvents
Next B
Che nickname ha costui?
>
> Penso che tu abbia, come al solito, proprio ragione.
> Bisognera' proprio farlo, anche perche' io sto andando verso questa
> sol:
>
> http://img213.imageshack.us/img213/6103/origami3is9.gif
>
> che puoi immaginare come tanti tronchi di piramide sovrapposti.
> Con il solito metodo e con la formula di Eulero trovo:
>
> h=0.261
> V=0.0936
>
> che per ora e' il piu' promettente.
e che con Ramanujan diventa:
H=0.245
v=0.0963
Tutto da verificare, domani vado per funghi.
Ciao!!! :o)
Livio
Maurizio Frigeni
> Aspe'... se e' data la distanza tra A e B ed e' data la lunghezza
> della linea, raramente ne puoi fare una semicirconferenza .
Hai ragione, intendevo dire l'arco di circonferenza che insiste sulla
corda AB. Questo segue (se non sbaglio) dal fatto che, a parità di
perimetro, la curva che delimita l'area maggiore è la circonferenza.
Maurizio
Paolo Licheri
V= 0.08627+
(ma vedo che l'avete già superato)
Ho pensato che, anziché aggiungere le orecchie, è più semplice
sottrarre quello che non serve
Se ho interpretato bene le tue indicazioni
Con un CAD 3D costruisco un cilindro orizzontale, a sezione
semiellittica, con semiassi 42.02 e 19.58 (la semicirconferenza,
misurata col CAD risulta 99.99875 anziché 100.
Interseco le estremità del cilindo con altri due cilindri uguali al
primo.
Sottraggo dal primo cilindro le intersezioni con gli altri due.
http://img266.imageshack.us/img266/9955/origami3di2.jpg
Proverò se riesco a ottenere di meglio con qualche altra curva.
ciao
paolo
Che nickname ha costui?
Mi sa che non ti sbagli.
Dunque sarebbe saggio provare a rifare le nostre vaschette con archi
di cerchio.
Ciao!!! :o)
Livio
Paolo Licheri
<livio...@yahoo.it> wrote:
>
>http://img213.imageshack.us/img213/4003/origami2wg6.gif
>
>Ho aggiunto lo sviluppo, un tratteggio ed un tentativo di prospettiva.
>Spero che sia piu' chiaro.
>
Se ho capito bene, arrivo a V= 0.086278
(ma vedo che l'avete già superato)
Con un CAD3D costruisco un cilindro orizzontale a sezione
semiellittica.
Alle estremità lo interseco con due cilindri verticali uguali al
primo.
Sottraggo dal primo cilindro le intersezioni con gli altri due.
Con il cad misuro il volume rimasto.
http://img266.imageshack.us/img266/9955/origami3di2.jpg
ciao
paolo
Che nickname ha costui?
> Per ora ho trovato questo
> V= 0.08627+
> (ma vedo che l'avete già superato)
>
> Ho pensato che, anziché aggiungere le orecchie, è più semplice
> sottrarre quello che non serve
>
> Se ho interpretato bene le tue indicazioni
> Con un CAD 3D costruisco un cilindro orizzontale, a sezione
> semiellittica, con semiassi 42.02 e 19.58 (la semicirconferenza,
> misurata col CAD risulta 99.99875 anziché 100.
> Interseco le estremità del cilindo con altri due cilindri uguali al
> primo.
> Sottraggo dal primo cilindro le intersezioni con gli altri due.
>
> http://img266.imageshack.us/img266/9955/origami3di2.jpg
>
Magnifico!
Ciao!!! :o)
Livio
Giorgio Vecchi
> Mi sa che non ti sbagli.
> Dunque sarebbe saggio provare a rifare le nostre vaschette con archi
> di cerchio.
Ma ve', torna fuori l'idea dell'arco di circonferenza...
Ho provato a fare dei calcoli e trovo, senza orecchie, un volume di
0,073936358 con h = 0,22. Meno di quello trovato con l'ellisse, ma bisogna
vedere quanto incidono le orecchie e le approssimazioni nei calcoli.
E allora perché non prendiamo anche in considerazione il cono per le
caldarroste? :-)
Arrotolando il quadrato per fare coincidere due lati adiacenti si ottiene il
cono. Naturalmente non è autoportante, ma sorvoliamo. Inclinandolo in modo
che l'altezza cada sulla circonferenza di base e capovolgendolo, credo (a
occhio) che si ottenga il volume massimo sfruttabile per contenere acqua.
Probabilmente non batterà il record, ma vale la pena provare.
Bisognerebbe riuscire a calcolare l'area della base...
Ciao
Giorgio
Paolo Licheri
<livio...@yahoo.it> wrote:
>Piegando (senza tagliare e senza colla) un quadrato di carta ottengo
>una vaschetta in cui posso versare acqua senza che ne esca. Ci siamo
>capiti? Le pieghe sono tali da non far uscire l'acqua, niente trucchi.
>Ad es. il classico cartoccio non vale, l'acqua filtrerebbe tra i lembi
>sovrapposti. Se faccio una scatoletta quadrata alzando i bordi o una
>piramide rovesciata, l'acqua non esce.
>
>Qual e' la soluzione per massimizzare la capacita' della mia vaschetta
>e quanto vale questa capacita'?
>
>
>Ciao!!! :o)
>Livio
Ma l'acqua deve essere necessariamente allo stato liquido?
Perché, se ammettiamo il ghiaccio, riesco a ottenere un volume
1*1*infinito
Ho vinto qualcosa? :-)
ciao
paolo
Paolo Licheri
ho ripetuto il procedimento, facendo variare il rapporto tra i
semiassi a b.
L'ottimo si ha per a/2=1.83 circa
a=0.40295
b=0.22019
V=0.087273+
ciao
paolo
carmine
il cerchio è un caso particolare dell'ellisse a fuochi coincidenti e assi
uguali
Maurizio Frigeni
> ho ripetuto il procedimento, facendo variare il rapporto tra i
> semiassi a b.
> L'ottimo si ha per a/2=1.83 circa
>
> a=0.40295
> b=0.22019
> V=0.087273+
Confermo i tuoi risultati per la semiellisse. Il calcolo analitico mi dà
il max per
a=0.402913
b=0.220248
V=0.0872736
Ho provato anche con l'arco di circonferenza, ma ottengo nel caso
migliore V=0.0851922.
Teoricamente sarebbe possibile determinare la curva ottimale usando i
metodi del calcolo delle variazioni: ci ho provato ma l'equazione
differenziale che si ottiene è intrattabile.
Maurizio
Maurizio Frigeni
> io sto andando verso questa sol:
>
> http://img213.imageshack.us/img213/6103/origami3is9.gif
>
> che puoi immaginare come tanti tronchi di piramide sovrapposti.
> Con il solito metodo e con la formula di Eulero trovo:
>
> h=0.261
> V=0.0936
>
> che per ora e' il piu' promettente.
>
> e che con Ramanujan diventa:
> h=0.245
> V=0.0963
>
> Tutto da verificare, domani vado per funghi.
Da qualche giorno non vedo più messaggi su IHE, non so se è colpa del
mio server o dell'abbondanza di funghi...
Comunque volevo fare il punto sui risultati cha abbiamo finora. Pare
proprio che il metodo migliore finora sia quello che tu hai illustrato
qui sopra e che io chiamerei "cupola quadrata".
Se infatti rovesciamo la vaschetta ottenuta, otteniamo una cupola a base
quadrata con 4 falde. Tagliando la cupola con un piano perpendicolare
alla base e passante per i centri di due lati opposti del quadrato di
base, ottengo come sezione una curva descritta da una funzione f(x) che
dà l'altezza della cupola in funzione della distanza x dal centro della
base. Quindi avremo f(0)=h e f(a)=0, dove 2a è la lunghezza di un lato
di base. Sulla funzione abbiamo il vincolo che la lunghezza della curva
fra x=0 e x=a deve essere uguale a 1/2.
Il volume della cupola si calcola con un semplice integrale che
coinvolge f(x). Ho provato a trovare il volume massimo usando varie
forme per f. Per i calcoli ho usato la funzione NMaximize di
Mathematica, che permette di trattare i massimi vincolati. Ecco i
risultati.
Segmento: f(x) = h - (h/a)x
max: V=0.06415, a=0.408248, h=0.288675
(dà una piramide)
Ellisse: f(x) = h Sqrt[1 - (x/a)^2]
max: V=0.0963068, a=0.38546, h=0.243069
(questa dovrebbe essere la soluzione di Livio)
Parabola: f(x) = h(1 - (x/a)^2)
max: V=0.0863086, a=0.40319, h=0.265463
Arco di circonferenza:
f(x) = Sqrt[(a^2+h^2)^2/(2h)^2-x^2] - (a^2-h^2)/(2h)
max: 0.0926698, {a -> 0.384635, h=0.269225
Spezzata: f(x)=h per 0<x<c, f(x)= h+h(c - x)/(a - c) per x>c
max: V=0.0864197, a=0.391153, h=0.196714, c=0.26782
(dà il tronco di piramide)
Radice quadrata: f(x)= h Sqrt[1 - x/a]
max: V=0.0897422, a=0.394028, h=0.270946
Parabola cubica: f(x) = h(1 - (x/a)^3)
max: 0.0927441, a=0.39791, h=0.244065
Parabola quartica: f(x) = h(1 - (x/a)^4)
V=0.0948723, a=0.393437, h=0.229837
Parabola di sesto grado: f(x) = h(1 - (x/a)^6)
V=0.0952418, a=0.386351, h=0.212687
Parabola di ottavo grado: f(x) = h(1 - (x/a)^8)
V=0.0942016, a=0.38098, h=0.202816
Per il momento vince l'ellisse, ma non è detto che non si possa fare
meglio. Anche in questo caso determinare la f(x) ottimale è un problema
di calcolo delle variazioni, che però porta ad equazioni troppo
complicate. Sospetto che funzioni del tipo
f(x) = h(1 - (x/a)^n)^(1/m) (n e m interi)
potrebbero dare risultati interessanti, ma già con m=2 non riesco a fare
i calcoli...
E' tutto per il momento.
Maurizio
Maurizio Frigeni
> Per il momento vince l'ellisse, ma non è detto che non si possa fare
> meglio. Anche in questo caso determinare la f(x) ottimale è un problema
> di calcolo delle variazioni, che però porta ad equazioni troppo
> complicate.
Forse sono riuscito ad addomesticare le equazioni e a determinare la
curva ottimale per questo caso. La forma esplicita della curva è
piuttosto complicata, perché coinvolge le funzioni ipergeometriche.
Comunque usando questa curva ottengo (se non ho fatto errori) un volume
massimo
V = Gamma[3/4]^3/(8 pi Gamma[5/4]^2 Gamma[7/4]) = 0.0969671+
(Gamma[x] è la solita funzione di Eulero),
che in effetti batte (di poco) la semiellisse. Gli altri parametri
valgono:
a = Gamma[3/4]/(2 pi^(1/2) Gamma[5/4]) = 0.38138+
h = Gamma[3/4]^4/pi^2 = 0.228473+
Tutto ciò vale naturalmente solo nel caso della cupola e senza contare
l'eventuale reimpiego delle "orecchie" ottenute nelle piegature.
Che nickname ha costui?
>
> Da qualche giorno non vedo più messaggi su IHE, non so se è colpa del
> mio server o dell'abbondanza di funghi...
Un po' e' colpa dei funghi, ma ora mi occorreranno dei giorni per
digerire i tuoi calcoli!
Ciao!!! :o)
Livio
Maurizio Frigeni
> Un po' e' colpa dei funghi, ma ora mi occorreranno dei giorni per
> digerire i tuoi calcoli!
In realtà l'unica vera novità è nel mio post del 11/9, perché trovo una
curva che dà un volume migliore rispetto all'ellisse. Ho scritto che la
forma esplicita è complicata, però se si lascia sotto forma d'integrale
non è tanto male:
/ 1
f(x) = a | u^2/sqrt(1-u^4) du
/ x/a
dove
a = Gamma[3/4]/(2 pi^(1/2) Gamma[5/4]) = 0.38138+
come scrivevo nel post precedente.
Con questa scelta per f(x) il volume mi viene
V = Gamma[3/4]^3/(8 pi Gamma[5/4]^2 Gamma[7/4]) = 0.0969671+
che mi pare finora sia il più alto.
Maurizio
Che nickname ha costui?
Mi sembra di intuire che sia un bel risultato. :o)
E la lunghezza della curva come la calcoli?
Ciao!!! :o)
Livio
Maurizio Frigeni
> E la lunghezza della curva come la calcoli?
C'è la formula standard per la lunghezza:
/ a
L = | sqrt(1 + f'(x)^2) dx,
/ 0
che nel nostro caso diventa
/ 1
L = a | 1/sqrt(1-u^4) du.
/ 0
Il valore dell'integrale è esattamente 1/(2a) (usando il valore di a
dato nel post precedente), sicché L = 1/2.
Maurizio