In un ufficio di pesi e misure è disponibile un qualsivoglia numero di pesi dei tipi che vanno da 134 a 143 unità intere. Qual è il valore intero massimo che non si può misurare con questi pesi?
L'insieme dei valori ottenibili può essere pensato come l'unione dei seguenti intervalli:
intervallo 1) da 134 a 143 intervallo 2) da 2*134 a 2*143 . . . intervallo n) da n*134 a n*143
e così via
Al crescere di n questi intervalli si avvicinano sempre più fino a compenetrarsi. La condizione affinchè l'intersezione di due intervalli consecutivi sia non vuota è infatti
n*143 >= (n+1)*134
che porta a n>= 134/9 ovvero n>= 15
per n = 15 infatti si ha che l'ultimo valore del 15-esimo intervallo, ovvero 143*15 = 2145, supera il primo valore del 16-esimo intervallo, ovvero 134*16 = 2144.
In definitiva da 134*15 = 2010 in poi è possibile ottenere tutti i valori interi che si vogliono. Come ormai d'obbligo, il numero 134*15 - 1 = 2009 non cade ne nell'intervallo 15 ne nel 14 (143*14 = 2002)
Ovviamente sono sempre curioso di vedere una tua "versione dei fatti".
L'unica osservazione che vorrei fare ma che non cambia il risultato è questa: non è necessario che l'insieme precedente si intersechi con quello successivo per affermare che solo da lì in poi si generano tutti gli interi ma è sufficiente che sia contiguo.
Nel ns. caso si cerca infatti anche un solo valore che li separi
--------------------- Se prendo un elemento dall'insieme da 134 a 143 posso realizzare un numero del tipo 134+[0..9] nell'intervallo [134,2*134-1]
Se prendo due elementi anche ripetuti dall'insieme da 134 a 143 posso realizzare un numero del tipo 2*134+[0..2*9] nell'intervallo [2*134,3*134-1] ... Se prendo n elementi anche ripetuti dall'insieme da 134 a 143 posso realizzare un numero del tipo n*134+[0..n*9] nell'intervallo [n*134,(n+1)*134-1]
Dunque il massimo intero n tale che n*9<134-1 è n_max=14 Questo assicura l'esistenza di almeno un numero non generabile dalla combinazione opportuna degli interi da 134 a 143 nell'intervallo [n_max*134,(n_max+1)*134-1]
Ne consegue che (n_max+1)*134-1 è l'intero cercato ------------------
On 28 Giu, 23:28, "anbra1" <xyxanb...@tiscalixxxyxxx.it> wrote:
> Sostanzialmente è identico al tuo ragionamento.
> L'unica osservazione che vorrei fare > ma che non cambia il risultato > è questa: > non è necessario che l'insieme precedente > si intersechi con quello successivo > per affermare che solo da lì in poi si generano tutti gli interi > ma è sufficiente che sia contiguo.
Giusto infatti pensavo quello (come si può capire dalla disuguaglianza larga >= usata nelle formule) ma ho scritto male.
Sai che non ho capito bene la tua dimostrazione?
Perchè sottolinei che la somma di n numeri scelti tra 134 e 143 sta nell'intervallo [n*134,(n+1)*134-1]? Piuttosto sarebbe più utile notare che l'insieme di tali possibili somme coincide con l'intervallo [n*134, n*143] = [n*134, n*134 + 9n]. Anzi a dire il vero quello che dici è anche falso per n abbastanza grande. Prendi ad es. n = 15: 15*143 non sta in [15*134, 16*134 - 1]!
E poi come fai a saltare da qui alla disuguaglianza n*9<134-1? Che c'entra con quello detto finora? Perchè n deve soddisfare questa condizione?
Comunque, ammesso e non concesso questo passaggio, come si passa poi da tale disuguaglianza, all'affermare che
> Questo assicura l'esistenza di almeno un numero non > generabile dalla combinazione > opportuna degli interi da 134 a 143 > nell'intervallo [n_max*134,(n_max+1)*134-1]
> Ne consegue che (n_max+1)*134-1 è l'intero cercato
Non capisco proprio il nesso logico che lega le varie affermazioni tra loro... abbi pazienza.
Ok forse ci sono, però se posso esprimere il mio modesto giudizio affinchè qualcuno riesca a seguire il tuo ragionamento devi esprimere meglio la cosa (spero di non scatenare le tue ire...). Vediamo, tu intendi dire che se prendo tutte le possibili somme di n numeri tra 134 e 143 genero un intervallo che parte dal valore minimo n*134. Quello che vuoi imporre è che il valore massimo di tale intervallo termini almeno due numeri prima dell'inizio del successivo intervallo, in modo che tra un intervallo ed il successivo ci sia (almeno) un buco. In altre parole ci deve essere almeno un X(n) compreso tra la fine del primo intervallo che è n*134 + n*9 e l'inizio del successivo intervallo che è (n+1)*134, ovvero deve essere n*134 + n*9 < X(n) < (n+1)*134 Di qui troviamo che una condizione necessaria e sufficiente affinchè esista almeno un buco è che sia n <= 14 (bastando in tal caso esibire X (n) = (n+1)*134 - 1). Inoltre ovviamente, fissato n <= 14, degli X(n) che soddisfano la disuguaglianza il più grande è proprio (n+1)*134 - 1. Quindi prendendo il massimo n ed il massimo X(n) otteniamo quanto voluto.
> Ok forse ci sono, però se posso esprimere il mio modesto giudizio > affinchè qualcuno riesca a seguire il tuo ragionamento devi esprimere > meglio la cosa (spero di non scatenare le tue ire...).
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