Produit vectoriel de deux vecteurs
Stef JM
Un produit vectoriel à *deux* vecteurs ne peut se définir que pour un espace
de dimension 3 et 7.
Si on suppose que les loi de la physique restent identiques et qu'on les
applique à un espace de dimension 4, on va être embéter avec les produits
vectoriels.
Il me semble que les équations de Maxwell avec leur divergence et
rotationnel en font grand usage de ce fameux produit.
Que faut-il conclure?
Pas d'univers possible en dim d'espace différente de 3 et 7?
Le cas dim=7 pourrait-il être intéressant?
Cordialement.
X post sur fsa et fsp
Suivi sur fsp
--
StefJM
Vincent PINTE
"Stef JM" <Ste...@StefJM.fr> a écrit dans le message de
news:bubrbm$bv6$8...@new-news.grenet.fr...
> Bonjour,
>
> Un produit vectoriel à *deux* vecteurs ne peut se définir que pour un
espace
> de dimension 3 et 7.
>
tu peux développer ?
> --
> StefJM
>
Vicnent
Jacques Fric
"Stef JM" <Ste...@StefJM.fr> a écrit dans le message de
news:bubrbm$bv6$8...@new-news.grenet.fr...
>
> Un produit vectoriel à *deux* vecteurs ne peut se définir que pour un
espace
> de dimension 3 et 7.
>
> Si on suppose que les loi de la physique restent identiques et qu'on les
> applique à un espace de dimension 4, on va être embéter avec les produits
> vectoriels.
>
> Il me semble que les équations de Maxwell avec leur divergence et
> rotationnel en font grand usage de ce fameux produit.
>
> Que faut-il conclure?
Que c'est un cas particulier.
Tu as une formulation des équations de Maxwell dans un espace 4D en RR,
beaucoup plus synthétique par ailleurs, et facilement généralisable en RG.
cf
http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG1F.htm#maxwel
Tu as d'autres concepts plus généraux comme le produit extérieur par exemple
qui s'applique quel que soit le nombre de dimensions.
Jacques
+++
Jacques Lavau
> Bonjour,
>
> Un produit vectoriel à *deux* vecteurs ne peut se définir que pour un espace
> de dimension 3 et 7.
> ...
> Que faut-il conclure?
> Pas d'univers possible en dim d'espace différente de 3 et 7?
>
> Le cas dim=7 pourrait-il être intéressant?
>
> Cordialement.
> --
> StefJM
>
Tu t'es encore planté.
Aucun produit de DEUX vecteurs n'a les symétries de UN vecteur.
Quant au décompte brut des coordonnées cartésiennes libres, tu t'es
planté aussi.
Pour tout espace vectoriel de dimension n, l'espace des tenseurs d'ordre
p a n^p coordonnées.
Si on antisymétrise, il reste n(n-1)/2 coordonnées libres et
indépendantes au 2e ordre, n(n-1)(n-2)/3! au troisième ordre, et ainsi
de suite.
Il n'y a que pour n = 3, que le nb de coordonnées libres du produit
extérieur de deux vecteurs est justement de trois. Mais avec toujours
toutes les symétries opposées. A n = 7, 7 x 6/2 = 21. Or 21 n'est pas
égal à 7.
Tu redécouvres bruyamment ce qui existe depuis 1844 (l'Ausdehnunglehre
de Grassmann), c'est à dire depuis cent cinquante neuf ans, sauf que
toi, tu te plantes systématiquement.
--
Le contrat social du scientifique inclut le mandat de se piloter en
exactitude : le système de production des connaissances, il est présumé
le piloter en exactitude et non en traditions, ni en stratégies de
pouvoir, ni en narcissisme, ni en corruption.
-- Jacques Lavau (retirer les anti et les spam pour le courriel)
http://perso.club-internet.fr/lavaujac/
Stef JM
>
> "Stef JM" a écrit
> > Bonjour,
> >
> > Un produit vectoriel à *deux* vecteurs ne peut se définir que pour un
> espace
> > de dimension 3 et 7.
> >
>
> tu peux développer ?
Pas trop. Je ne suis pas fort en dimension. ;-)
Il en a été question récemment sur fsm
fil initié par max , vendredi 9 janvier 2004 18:20, titre produit vectoriel
Auquel il a été répondu par Denis Feldmann :
<Début de citation>
Plus précisément, une application de (R^n) ^2 dans R^n ayant les propriétés
du produit vectoriel (bilinéarité, antisymétrie, ...) n'est possible que
pour n=3 et n=7 !
<Fin de citation>
Cela m'a rappeler de vieux souvenir et comme en ce moment, je bûche les
tenseurs pour comprendre les pages de Jacques Lavau sur les vecteurs,
tourneurs et liens avec les dimensions, cela m'a interpellé.
Je ne sais pas si c'est intéressant, mais comme le lien math-physique
m'intrigue, des avis de physiciens sont bienvenus.
--
StefJM
Jacques Fric
"Jacques Lavau" <nolavau...@cleube-intairnaite.efferre> a écrit dans le
message de news:400991cd$0$6978$7a62...@news.club-internet.fr...
J'avais effectivement lu et noté que le produit vectoriel " classique" était
spécifique à l'espace 3D ( on utilise le produit extérieur de façon
générale pour les tenseurs), mais je n'en avais pas noté la raison.
Merci pour ton explication on ne peut plus claire...
Jacques
+++
Vincent PINTE
"Stef JM" <Ste...@StefJM.fr> a écrit dans le message de
> Auquel il a été répondu par Denis Feldmann :
>
> <Début de citation>
> Plus précisément, une application de (R^n) ^2 dans R^n ayant les
propriétés
> du produit vectoriel (bilinéarité, antisymétrie, ...) n'est possible que
> pour n=3 et n=7 !
> <Fin de citation>
>
wep, j'ai zappé le film sur fsm
mais je vais aller revoir, c'est amusant cette sorte de propriété ( 3 et 7 )
alors qu'à la base, rien d'intuitif ....
D'un autre coté, si tu connais un peu fsm, tu dois savoir quelle valeur
accorder aux réponses de DF.
Vincent
Stef JM
[Dim 7 et 3]
> Tu t'es encore planté.
Sans doute l'automaticien travaille sur l'erreur du système.
Mais sur le coup du produit vectoriel de 2 vecteurs en dim 3 et 7, je ne
suis pas tout seul à me tromper.
Cf fsm et ma réponse à Vincent P.
> Aucun produit de DEUX vecteurs n'a les symétries de UN vecteur.
> Quant au décompte brut des coordonnées cartésiennes libres, tu t'es
> planté aussi.
> Pour tout espace vectoriel de dimension n, l'espace des tenseurs d'ordre
> p a n^p coordonnées.
> Si on antisymétrise, il reste n(n-1)/2 coordonnées libres et
> indépendantes au 2e ordre, n(n-1)(n-2)/3! au troisième ordre, et ainsi
> de suite.
> Il n'y a que pour n = 3, que le nb de coordonnées libres du produit
> extérieur de deux vecteurs est justement de trois. Mais avec toujours
> toutes les symétries opposées. A n = 7, 7 x 6/2 = 21. Or 21 n'est pas
> égal à 7.
Merci pour l'info. Il faut que je buche les tenseurs et ton site. (J'aime
assez la reflexivité de la logique, il faut y ajouter la logique
séquentielle, bien différente de la combinatoire...)
> Tu redécouvres bruyamment ce qui existe depuis 1844 (l'Ausdehnunglehre
> de Grassmann), c'est à dire depuis cent cinquante neuf ans, sauf que
> toi, tu te plantes systématiquement.
Faudra avertir Denis Feldmann sur fsm.
Ce serait charitable...
Mon cas personnel est sans importance. Qu'il soit désespéré ou non
d'ailleurs.
Cordialement.
--
StefJM
Jacques Lavau
"Ausdehnunsglehre" :
Aucun produit de DEUX vecteurs n'a les symétries de UN vecteur.
Quant au décompte brut des coordonnées cartésiennes libres, tu t'es
planté aussi.
Pour tout espace vectoriel de dimension n, l'espace des tenseurs d'ordre
p a n^p coordonnées.
Si on antisymétrise, il reste n(n-1)/2 coordonnées libres et
indépendantes au 2e ordre, n(n-1)(n-2)/3! au troisième ordre, et ainsi
de suite.
Il n'y a que pour n = 3, que le nb de coordonnées libres du produit
oblige : 1 3 3 1. Mais avec toujours toutes les symétries opposées.
A n = 7, 7 x 6/2 = 21. Or 21 n'est pas égal à 7.
Cela existe depuis 1844 (l'Ausdehnunsglehre de Grassmann), c'est à dire
depuis cent cinquante neuf ans, mais a été peu lu. Klein, puis Peano ont
un peu sorti Grassmann de l'oubli. En fait, il a fallu que ce soit
Ricci-Curbastro en 1888 qui refasse le travail sur la dérivation
covariante et le calcul différentiel absolu, pour que l'outil tensoriel
soit directement utilisable par les physiciens. Et c'est Woldemar Voigt
qui fut le premier physicien à s'en emparer (Pierre Curie avait alors
abandonné les cristaux pour travailler la radioactivité, puis a été
écrasé en 1906). Comme Voigt travaillait sur l'élasticité des cristaux,
tout le monde s'est mis à appeler l'outil indispensable "tenseur".
Comme le chant de guerre de l'armée du Rhin, composé par Rouget de
l'Isle, est entré à Paris avec un bataillon venant de Marseille...
Depuis, on l'appelle Marseillaise.
Stef JM
[A propos des dim 3 et 7 du produit vectoriel à 2 vecteurs]
> Que c'est un cas particulier.
Et un bel hasard, puisqu'on à 3 dimensions spatiales. (Hors cordes repliées,
compactées, etc...)
et pour 7?
Et Jacques Lavau contredit DF.
Ils ne peuvent pas avoir raison tous les deux!
A moins qu'on ne cause pas de la même chose?
> Tu as une formulation des équations de Maxwell dans un espace 4D en RR,
> beaucoup plus synthétique par ailleurs, et facilement généralisable en RG.
> cf
> http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG1F.htm#maxwel
>
> Tu as d'autres concepts plus généraux comme le produit extérieur par
exemple
> qui s'applique quel que soit le nombre de dimensions.
> Jacques
Merci, je vais lire. J'adore la philo quand il n'y a pas trop de maths.
--
StefJM
PetitTrot
"Stef JM" <Ste...@StefJM.fr> wrote in message
news:buddlc$nh$1...@new-news.grenet.fr...
En fait je pense qu'il est un peu malheureux que Gibbs et Heaviside soit
arrivé avec leur mathématique vectorielle. Il y avait déjà des mathématiques
plus intéressante pour cela (i.e. Grassmann) Toutefois, c'était vraiment
pratico pratique ces histoires de produits scalaire et vectoriel dans notre
monde 3D.
Avec les tenseurs on peut généraliser le produit vectoriel. Mais le problème
c'est qu'on perd totalement la notion de système de coordonnées. On se
retrouve avec une débauche d'indices et de sommation sous-entendu sur les
indices.
Il y a bien les formes différentielles (differential form) que je vois qui
sont
plus géométrique [que les tenseurs]...
bon! ok je m'éloigne du sujet ;-)
Mais je n'ai pu résister à l'invitation de StefJM avec son "des avis de
physiciens sont bienvenus"
Oncle Dom
nous a fait l'honneur d'écrire:
> (Pierre Curie avait alors abandonné les cristaux pour travailler la
> radioactivité, puis a été écrasé en 1906).
Tu as une façon très elliptique de raconter l'histoire des Sciences
Il est passé sous la presse hydraulique, ce pauvre Curie?
--
Oncle Dom
------------------
http://perso.wanadoo.fr/oncle.dom/
YBM
[...]
> Tu as une façon très elliptique de raconter l'histoire des Sciences
> Il est passé sous la presse hydraulique, ce pauvre Curie?
Non non, sa femme a saboté les freins du fiacre qui l'a écrasé...
Elle ne supportait pas qu'il lui explique la PNL.
Jacques Lavau
>>(Pierre Curie avait alors abandonné les cristaux pour travailler la
>>radioactivité, puis a été écrasé en 1906).
>
>
> Tu as une façon très elliptique de raconter l'histoire des Sciences
> Il est passé sous la presse hydraulique, ce pauvre Curie?
> --
> Oncle Dom
> ------------------
> http://perso.wanadoo.fr/oncle.dom/
>
Tu sais bien qu'il a eu le crâne fracassé par la roue d'un camion
(hippomobile, à cette époque).
"A quoi rêvait-il encore ?", aurait dit Marie. Dit l'histoire.
On se prend à rêver : s'il avait pu rencontrer Gregorio Ricci-Curbastro
à Paris...
Les ingénieurs savent que les usines qu'ils construisent, ou les
produits qu'ils inventent, ou mettent au point, ou fabriquent, sont un
confluent unique de faits plus ou moins fortuits, d'hommes uniques, de
rencontres imprévues. Ils sont contingents.
Les scientifiques sont souvent convaincus - et encore plus s'ils sont
marxistes - que toute découverte est inévitable et impersonnelle, qu'il
suffit d'attendre que quelqu'un se baisse pour la ramasser.
Cette vision est contredite par les faits, au moins en mathématiques, et
au moins en mathématisation de la physique. Les avancées, les oublis et
les reculades sont extrêmement contingents et hasardeux. En physique
aussi, des aveuglements collectifs mal explicables peuvent durer des
dizaines d'années.
Voire des siècles. L'expérience de Franklin sur la goutte d'huile étalée
sur un étang, techniquement les grecs anciens auraient pu la faire. Mais
ils n'aimaient pas expérimenter, et n'ont jamais développé une morale de
l'expérimentation.
Oncle Dom
nous a fait l'honneur d'écrire:
>> Tu as une façon très elliptique de raconter l'histoire des Sciences
>> Il est passé sous la presse hydraulique, ce pauvre Curie?
> Tu sais bien qu'il a eu le crâne fracassé par la roue d'un camion
> (hippomobile, à cette époque).
Bien sur, mais tous tes lecteurs ne le savent peut-être pas
> "A quoi rêvait-il encore ?", aurait dit Marie. Dit l'histoire.
... ou la légende. Je n'ai pas vérifié
> On se prend à rêver : s'il avait pu rencontrer Gregorio
> Ricci-Curbastro à Paris...
... La même réverie, orienté toujours dans le même sens, nous
permeyytait d'imaginer l'aviation au temps de Charlemagne, et même
avant. Il suffit de supprimer la parenthèse entre la science
alexandrine, et le XVIIème siècle.
---
> Voire des siècles. L'expérience de Franklin sur la goutte d'huile
> étalée sur un étang, techniquement les grecs anciens auraient pu la
> faire. Mais ils n'aimaient pas expérimenter, et n'ont jamais
> développé une morale de l'expérimentation.
[Mode Reverie: ON]
Bien sur, sans quoi ils eussent inventé la montgolfière en papyrus,
histoire de savoir si la légèreté d'un corps léger peut l'emporter sur
la lourdeur d'un corps lourd. Un raisonnement Shadok eut permis une
brillante invention
Et Jules César eut surveillé les mouvements des troupes gauloises
depuis des montgolfieres lui faisant des signaux
[Mode Reverie: OFF]
StefJM
> Jacques Lavau , alias <nolavau...@cleube-intairnaite.efferre>
> nous a fait l'honneur d'écrire:
>
>
>>>Tu as une façon très elliptique de raconter l'histoire des Sciences
>>>Il est passé sous la presse hydraulique, ce pauvre Curie?
>
>
>>Tu sais bien qu'il a eu le crâne fracassé par la roue d'un camion
>>(hippomobile, à cette époque).
>
> Bien sur, mais tous tes lecteurs ne le savent peut-être pas
Et tout cela nous éloigne du produit vectoriel.
Pourquoi les mathématiciens officiels disent dim 3 et 7, alors que
Jacques persiste et signe en corigeant ses fautes d'ortographes : dim 3 !?
J'aime pas trop me planter, et j'aime bien comprendre pourquoi!
--
StefJM
YBM
> Bonjour,
>
> Un produit vectoriel à *deux* vecteurs ne peut se définir que pour un espace
> de dimension 3 et 7.
Un lien vers la discussion sur fr.sci.maths résumée un peu cavalièrement
par StefJM serait peut être utile :
http://minilien.com/?DIRn0cd5pt
Jacques Lavau
Merci !
Michel de Montpellier
> Un produit vectoriel à *deux* vecteurs ne peut se définir que pour
> un espace de dimension 3 et 7.
En 2D ça donne un scalaire, en 3D un vecteur, en 4D un tenseur d'ordre
2,... Je ne saisis pas la dimension 7, il y a peut-être une ruse?
> Si on suppose que les loi de la physique restent identiques et qu'on
> les applique à un espace de dimension 4, on va être embéter avec les
> produits vectoriels.
>
> Il me semble que les équations de Maxwell avec leur divergence et
> rotationnel en font grand usage de ce fameux produit.
Si le nombre de dimensions de l'univers change brutalement, ça fera
pas mal de boulot pour les physiciens théoriciens qui devront revoir
leurs théories, et aussi pour les maçons qui devront rajouter des murs
pour fermer les maisons.
Le coup de Maxwell est intéressant: pour combiner 3 dimensions
d'espace et 1 de temps, il lui faut 4 équations. Ça se simplifie si on
décrète qu'il y a 4 dimensions (dont une spéciale) comme Einstein.
Enfin, ça simplifie pour les théoriciens, mais pour les autres
physiciens les équations de Maxwell restent les plus commodes.
Michel
Jacques Fric
"Jacques Fric" <fric.j...@free.fr> a écrit dans le message de
news:400a8255$0$29061$636a...@news.free.fr...
Juste un commentaire supplémentaire. Si on rapproche le produit vectoriel du
" produit extérieur" entre tenseurs, comme il semble naturel de le faire, il
faut quand même rappeler que le produit extérieur n'est défini que pour des
formes linéaires qui sont tenseurs covariants,( mais il est vrai que dans un
espace plat, en coordonnées cartésiennes, les composantes covariantes et
contravariantes d'un vecteur sont égales, on peut faire l'impasse
calculatoire) et que le le produit extérieur de deux vecteurs ( covariants)
est un tenseur antisymétrique 2 fois covariant. Ce qui n'est pas du tout un
"vecteur", qui est un tenseur de variance 1, mais comme , ainsi que tu le
démontres, ce tenseur antisymétrique n'a que 3 composantes indépendantes on
peut conventionnellement en coordonnées cartésiennes de cet espace Euclidien
( 3D) , définir un vecteur avec ces coordonnées. Dans ce cadre, c'est
conventionnel ( mais ça marche).
Jacques Lavau
Merci Yann de ce lien. Cela m'a permis d'aller voir ce NG, et d'ajouter
ceci :
Horst Kraemer wrote:
> On 9 Jan 2004 09:20:52 -0800, doryp...@webmails.com (max) wrote:
>
>
>> Jusqu'ici ,je connais le produit vectoriel pour seulement des vecteurs
>> de dimension 3.
>>
>> Ma question:peut-on définir le produit vectoriel pour des vecteurs de
>> dimension n>3?
>> Si oui,comment est-il défini?
>> ex: vecteur A=(a1,a2,a3,a4)
>> vecteur B=(b1,b2,b3,b4)
>> que vaut A^B?
>
>
>
> La réponse dépend des propriétés exigées pour le "produit".
>
> On peut définir dans R^n (n>=2) un produit multilinéaire et
> antisymmétrique de n-1 facteurs par la définition
>
> <Pr(x1,x2,..,x_{n-1}),x> = det(x1,x2,..,x_{n-1},x) pour tous les x
>
> Dans ce cas le produit de deux vecteurs du R3 en est un cas spécial
> pour n=3. Le "produit vectoriel" d'un seul vecteur dans R2 serait
>
> f(x,y) = (-y,x)
>
> Un produit bilinéaire et antisymmétrique de *deux* vecteurs n'existe
> que pour R3 et R7.
>
J'ai déjà abordé cette question en 1995, et mon article est paru en
décembre 1997, dans "Le nombre, une hydre à n visages; entre nombres
complexes et vecteurs", aux éditions de la Maison des Sciences de
l'Homme. Repris à l'adresse
http://perso.club-internet.fr/lavaujac/Mystification_.htm .
Je suis avant tout ingénieur et physicien, et m'inquiète donc des
épreuves de réalité.
Je n'avais pas traité le cas n=7, car personne ne se sert concrètement
des octaves de Cayley.
Le produit vectoriel s'est mis à flotter incréé dans l'air du temps, au
cours de la 2e moitié du 19e siècle, par habituation depuis les
quaternions de Hamilton.
On trouve par exemple l'expression "vector product" dans un cours sur
les quaternions, W.K. Clifford. Cela désigne les produits entre
imaginaires purs, autrement dit entre rotations.
Si l'on veut s'en servir sur le terrain réel, voici la difficulté qui
fait tout sauter : jamais le produit de DEUX vecteurs n'a les symétries
de UN vecteur, mais les symétries exactement opposée. Il faut permuter
les parties conservées et les parties retournées. Or depuis Pierre
Curie, nous sommes quand même avertis de l'importance des symétries en
physique, aussi bien au stade heuristique qu'au stade critique...
Alors que le produit de deux rotations est encore une rotation.
En fait l'entourloupe était déjà présente dès l'interprétation
géométrique des complexes, par Argand en 1806. 1 représente tantôt un
des vecteurs de base (en addition), tantôt pas de rotation du tout (en
multiplication). Et i représente tantôt l'autre vecteur de base du plan,
tantôt la rotation de Pi/2 dans le sens positif. La sémantique et
l'algèbre sont irrémédiablement en contradiction. On peut additionner et
multiplier entre eux toutes sortes de nombres, mais ce n'est pas vrai en
grandeurs physiques. Etant moins abstraites, elles sont soumises à
davantage de contraintes essentielles.
En agrandissant cette confusion entre cahier des charges algébriques et
cahier des charges sémantiques, Hamilton n'a fait qu'agrandir le
salmigondis.
Je présente la solution pédagogique en détail à partir de l'adresse
http://perso.club-internet.fr/lavaujac/Syntaxe0.htm