Coriolis ?
Mathieu Trentesaux
En papotant avec des amis autour d'un feu, je jouais avec le tisonnier.
Constitué de deux branches à bouts arrondis, j'essayais de le faire tenir en
équilibre. C'est impossible bien sur, je le sais pour avoir si souvent essayé de
tenir ma chaise sur deux pieds durant ma passionnante scolarité (hum).
Et pourtant... à un moment, je l'ai laché et il est resté droit comme la
justice, en équilibre. Je n'en revenais pas et mes amis me regardaient avec un
air bizarre...
Je suis allé chercher 4 feuilles de papier à cigarettes, que j'ai placées
délicatement de chaque coté des branches du tisonnier et j'ai constaté qu'un
seul grain de poussière placé à quelques milimètres du point contact au sol
d'une des branches maintenait l'équilibre.
Ca à tenu un bon quart d'heure, il n'y avait pas de vent et nous retenions notre
respiration... et puis il est tombé tout seul, sans raison apparente.
La question : c'est qui qui me l'a fait tomber, c'est coriolis ? et s'il avait
été orienté autrement, il serait encore debout ?
Mathieu
lgmdmdlsr
>
> En papotant avec des amis autour d'un feu, je jouais avec le
tisonnier.
> Constitué de deux branches à bouts arrondis, j'essayais de le faire
tenir
> en équilibre. C'est impossible bien sur, je le sais pour avoir si
souvent
> essayé de tenir ma chaise sur deux pieds durant ma passionnante
> scolarité (hum).
Il est dommage qu'autant de gens gardent un mauvais souvenir de
l'école.
> Et pourtant... à un moment, je l'ai laché et il est resté droit
comme la
> justice, en équilibre. Je n'en revenais pas et mes amis me
regardaient
> avec un air bizarre...
>
> Je suis allé chercher 4 feuilles de papier à cigarettes, que j'ai
placées
> délicatement de chaque coté des branches du tisonnier et j'ai
constaté
> qu'un seul grain de poussière placé à quelques milimètres du point
> contact au sol d'une des branches maintenait l'équilibre.
>
> Ca à tenu un bon quart d'heure, il n'y avait pas de vent et nous
> retenions notre respiration... et puis il est tombé tout seul, sans
raison
> apparente.
>
> La question : c'est qui qui me l'a fait tomber, c'est coriolis ? et
s'il avait
> été orienté autrement, il serait encore debout ?
La force de Coriolis n'agit que sur les objets en mouvements, donc ça
n'est pas elle la coupable.
Par contre il est fort probable que le tisonnier ait été soumis à un
mouvement imperceptible soit du sol (microséisme ou dilatation sous
l'effet du foyer voisin), soit un micro courant d'air.
(au fait sur le coup vous avez battu tous les records d'apnée,
félicitation!)
Autre hypothèse: un mouvement très lent de coulissement de la
poussière qui aurait fini par ne plus soutenir le tisonnier.
En tout cas: pas Coriolis!
lgmdmdlsr
Mathieu Trentesaux
lgmdmdlsr <nospam-l...@wanadoo.fr> a écrit dans le message :
8ksjng$i1h$1...@wanadoo.fr...
[...]
| Il est dommage qu'autant de gens gardent un mauvais souvenir de
| l'école.
C'est juste, mais c'est néanmoins un fait. Etre obligé d'apprendre par coeur
quand on aime comprendre, ça dégoutte. D'ailleurs, le cours que j'ai toujours
préféré, c'était la physique. Au moins, j'arrivais à comprendre les
formules, puisque je pouvais en voir les effets.
[...]
| La force de Coriolis n'agit que sur les objets en mouvements, donc ça
| n'est pas elle la coupable.
Ah, c'est vrai, je me rappelle du mois de Deug A que j'avais fait : le cours
portait sur une personne qui bougait sur un manège et uniquement si elle
bougeait.
| Par contre il est fort probable que le tisonnier ait été soumis à un
| mouvement imperceptible soit du sol (microséisme ou dilatation sous
| l'effet du foyer voisin), soit un micro courant d'air.
| (au fait sur le coup vous avez battu tous les records d'apnée,
| félicitation!)
|
| Autre hypothèse: un mouvement très lent de coulissement de la
| poussière qui aurait fini par ne plus soutenir le tisonnier.
|
| En tout cas: pas Coriolis!
|
| lgmdmdlsr
Ah mince alors. Pas d'explication sophistiquée. J'avais cru un temps que c'était
parceque la terre tourne et que c'était un effet du genre pendule de Foucault
ou gyroscope. Mais c'est non évidemment. Il aurait fallu que la terre change de
vitesse de rotation sans prévenir... ce qui doit lui arriver assez rarement je
suppose.
Je retiens quand même le microséisme. Quand un camion passe devant chez moi,
l'eau tremble dans la bouteille, une voiture aurait sans doute suffit. En fait
la dilatation et le coulissement sont tout aussi plausibles. Un peu moins le
courant d'air, vu le peu de prise au vent du tisonnier et le fait que j'ai bien
bougé autour du truc sans qu'il tombe.
Ah désillusion ! Enfin merci bien de la réponse.
Mathieu
François Guillet
fr.sci.physique.
Il y a un point d'équilibre, même quand le tisonier est vertical. Ce serait
la même chose avec un tournevis ou un pain. Cet équilibre est dit instable,
car le moindre petit écart d'équilibre fait basculer le système. Pour que ça
reste vertical, il faut que la projection du centre de gravité de l'objet
passe à travers le polygone de sustentation, qui est la surface limitée par
tous les points de contact de l'objet avec le sol (par exemple, pour une
table, il suffit que la projection du centre sur le sol tombe entre les
pieds).
Pour le tisonier, cette surface est très faible, mais pas nulle, donc
l'équilibre est possible. Simplement les chances d'être dans les bonnes
conditions de l'équilibre sont très faibles, d'où une difficile
reproductibilité.
FG
Eric Cabrol
>
> Ca n'est certainement pas Coriolis, mais tu devrais poser la question sur
> fr.sci.physique.
C'est une bonne idee :-)
> Il y a un point d'équilibre, même quand le tisonier est vertical. Ce serait
> la même chose avec un tournevis ou un pain. Cet équilibre est dit instable,
> car le moindre petit écart d'équilibre fait basculer le système. Pour que ça
> reste vertical, il faut que la projection du centre de gravité de l'objet
> passe à travers le polygone de sustentation, qui est la surface limitée par
> tous les points de contact de l'objet avec le sol (par exemple, pour une
> table, il suffit que la projection du centre sur le sol tombe entre les
> pieds).
> Pour le tisonier, cette surface est très faible, mais pas nulle, donc
> l'équilibre est possible. Simplement les chances d'être dans les bonnes
> conditions de l'équilibre sont très faibles, d'où une difficile
> reproductibilité.
Sa question etait plutot, si j'ai bien suivi : qu'est-ce qui a provoque
la brisure de symetrie ? Enfin, d'equilibre.
Eric
Eric Cabrol
>
> lgmdmdlsr <nospam-l...@wanadoo.fr> a écrit dans le message :
> 8ksjng$i1h$1...@wanadoo.fr...
>
> [...]
>
> | Il est dommage qu'autant de gens gardent un mauvais souvenir de
> | l'école.
>
> C'est juste, mais c'est néanmoins un fait. Etre obligé d'apprendre par coeur
> quand on aime comprendre, ça dégoutte.
Mauvaise excuse, amha :-) Rien n'empeche de comprendre, a l'ecole. Et,
tres franchement, je trouve quand meme l'effort de memorisation assez
limité.
> Ah mince alors. Pas d'explication sophistiquée. J'avais cru un temps que c'était
> parceque la terre tourne et que c'était un effet du genre pendule de Foucault
> ou gyroscope. Mais c'est non évidemment. Il aurait fallu que la terre change de
> vitesse de rotation sans prévenir... ce qui doit lui arriver assez rarement je
> suppose.
>
> Je retiens quand même le microséisme. Quand un camion passe devant chez moi,
> l'eau tremble dans la bouteille, une voiture aurait sans doute suffit. En fait
> la dilatation et le coulissement sont tout aussi plausibles. Un peu moins le
> courant d'air, vu le peu de prise au vent du tisonnier
Meme une prise au vent tres faible aurait suffi. Comme le dit Francois
Guillet, une perturbation infinitesimale suffit a rompre
irreversiblement un equilibre instable.
Eric
François Guillet
Eric Cabrol <eric.cabro...@renault.com> a écrit dans le message :
3972FD23...@renault.com...
> "François Guillet" wrote:
> >
> > Ca n'est certainement pas Coriolis, mais tu devrais poser la question
sur
> > fr.sci.physique.
>
>
> C'est une bonne idee :-)
Ce que je peux être distrait ! A force de passer d'un forum à l'autre, la
folie nous guettent...
François
François Guillet
> la brisure de symetrie ? Enfin, d'equilibre.
>
> Eric
Une vibration quelconque par le sol (véhicule passant à proximité), un
courant d'air ou un son, une particule de poussière qui a fini par craquer
sous le poids... difficile de savoir.
François
Raphael Jolly
Est-ce que dans des conditions idéales (pas de vent, pas de vibration,
pas de poussière...) on pourrait s'attendre à ce que l'équilibre soit
indéfini ?
Il me semble que non, à cause du principe d'incertitude de Heisenberg,
d'après lequel le tisonnier ne peut pas être exactement vertical avec
une vitesse exactement nulle. Par conséquent on est dans un cas
différent de celui d'une simulation informatique par exemple, dans
laquelle une tige pourrait parfaitement tenir indéfiniment dans un tel
etat d'équilibre instable.
NB: c'est une théorie personnelle.
Mathieu Trentesaux
François Guillet <francois...@free.fr> a écrit dans le message :
8kt25o$dsb$1...@wanadoo.fr...
| Pour le tisonier, cette surface est très faible, mais pas nulle, donc
| l'équilibre est possible. Simplement les chances d'être dans les bonnes
| conditions de l'équilibre sont très faibles, d'où une difficile
| reproductibilité.
|
Meuh non, il était à bout rond, ce tisonier, et à deux branches. Donc deux
points de contact. Le grain, c'était pas de la poussière, mais un truc tout
petit mais dur. Le polygone de sustentation était un triangle infime (moins d'un
millimètre de base) mais un
triangle quand même.
Mathieu
Mathieu Trentesaux
Raphael Jolly <raphae...@free.fr> a écrit
| Est-ce que dans des conditions idéales (pas de vent, pas de vibration,
| pas de poussière...) on pourrait s'attendre à ce que l'équilibre soit
| indéfini ?
D'après moi oui, mais sur trois pattes, avec le grain.
| Il me semble que non, à cause du principe d'incertitude de Heisenberg,
| d'après lequel le tisonnier ne peut pas être exactement vertical avec
| une vitesse exactement nulle.
C'est de la stat ce principe ?
Mathieu
Hugot
Raphael Jolly <raphae...@free.fr> writes:
> "François Guillet" wrote:
>>
>> Eric Cabrol <eric.cabro...@renault.com> a écrit dans le message :
>> 3972FD23...@renault.com...
>> > Sa question etait plutot, si j'ai bien suivi : qu'est-ce qui a provoque
>> > la brisure de symetrie ? Enfin, d'equilibre.
>> >
>> > Eric
>>
>> Une vibration quelconque par le sol (véhicule passant à proximité), un
>> courant d'air ou un son, une particule de poussière qui a fini par craquer
>> sous le poids... difficile de savoir.
>
> pas de poussière...) on pourrait s'attendre à ce que l'équilibre soit
> indéfini ?
> d'après lequel le tisonnier ne peut pas être exactement vertical avec
> différent de celui d'une simulation informatique par exemple, dans
> laquelle une tige pourrait parfaitement tenir indéfiniment dans un tel
> etat d'équilibre instable.
Rien ne t'empèche de mettre ce facteur dans la simulation. le problème
avec les simulations ne sont pas toujours l'ordinateur, mais aussi ce
que le programmeur y met... C'est d'ailleurs, la même chose avec
l'analytique.
>
> NB: c'est une théorie personnelle.
c'est très vrai mais on doit aussi dire que comme c'est un point d'équilibre
(c'est-à-dire que l'on a une symétrie locale au premier ordre), le temps
de chute sera dans le cas d'un écart du à l'incertitude de Heisenberg,
très très long.
La force au départ étant quasi nulle le système mettra très longtemps
à se mettre perceptiblement en route.
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
Eric Cabrol
>
> "François Guillet" wrote:
> >
> > Eric Cabrol <eric.cabro...@renault.com> a écrit dans le message :
> > 3972FD23...@renault.com...
> > > Sa question etait plutot, si j'ai bien suivi : qu'est-ce qui a provoque
> > > la brisure de symetrie ? Enfin, d'equilibre.
> > >
> > > Eric
> >
> > Une vibration quelconque par le sol (véhicule passant à proximité), un
> > courant d'air ou un son, une particule de poussière qui a fini par craquer
> > sous le poids... difficile de savoir.
>
> Est-ce que dans des conditions idéales (pas de vent, pas de vibration,
> pas de poussière...) on pourrait s'attendre à ce que l'équilibre soit
> indéfini ?
> Il me semble que non, à cause du principe d'incertitude de Heisenberg,
> d'après lequel le tisonnier ne peut pas être exactement vertical avec
> une vitesse exactement nulle.
Muh ? Ca me semble un peu osé d'appliquer ce principe a une entité non
quantique :-)
Partant de la, une bille en equilibre, meme _stable_ cette fois-ci, au
fond d'un bol, devrait finir par remonter le long des parois ...
Eric
Hugot
c'est pas idiot, faudrait juste voir la probabilité pour que la bille
arrive avec la même forme en haut des parois où même pour qu'elle
arrive en haut des parois tout court. Enfin, déjà lorsque l'on suppose qu'il
n'y a aucune vibration, il faut déjà se mettre au 0K pointé. Alors
pour la suite, on peut bien rêver. D'ailleurs, il y a un
article (pas hyper convainquant) dans "Pour la Science" à ce sujet.
>
>
> Eric
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
Raphael Jolly
> ...
> C'est de la stat ce principe ?
Non, c'est des maths liés à l'aspect ondulatoire de la matière telle que
décrite par la mécanique quantique. Ce principe stipule que l'on ne peut
pas connaitre simultanément le temps et la fréquence d'un signal avec
une précision infinie.
Raphael Jolly
> ...
> Rien ne t'empèche de mettre ce facteur dans la simulation. le problème
> avec les simulations ne sont pas toujours l'ordinateur, mais aussi ce
> que le programmeur y met... C'est d'ailleurs, la même chose avec
> l'analytique.
Tout à fait d'accord, mais savoir si une tige informatique peut se
casser la figure n'est pas la question, qui est de savoir si une tige
réelle peut rester en équilibre indéfiniment.
> >
> > NB: c'est une théorie personnelle.
>
> c'est très vrai mais on doit aussi dire que comme c'est un point d'équilibre
> (c'est-à-dire que l'on a une symétrie locale au premier ordre), le temps
> de chute sera dans le cas d'un écart du à l'incertitude de Heisenberg,
> très très long.
> La force au départ étant quasi nulle le système mettra très longtemps
> à se mettre perceptiblement en route.
Oui. Il faudrait calculer le temps moyen théorique, mais je ne sais pas
comment m'y prendre.
Raphael Jolly
> ...
> Muh ? Ca me semble un peu osé d'appliquer ce principe a une entité non
> quantique :-)
Plutot que d'entité quantique ou classique, je préfère parler de modèle
quantique ou classique d'une entité.
> Partant de la, une bille en equilibre, meme _stable_ cette fois-ci, au
> fond d'un bol, devrait finir par remonter le long des parois ...
La probabilité doit être plus faible que celle de tomber un milliard de
fois de suite sur le rouge au casino, c'est-à-dire très faible. Mais pas
nulle.
Raphael Jolly
> ...
> c'est pas idiot, faudrait juste voir la probabilité pour que la bille
> arrive avec la même forme en haut des parois où même pour qu'elle
> arrive en haut des parois tout court. Enfin, déjà lorsque l'on suppose qu'il
> n'y a aucune vibration, il faut déjà se mettre au 0K pointé. Alors
> pour la suite, on peut bien rêver. D'ailleurs, il y a un
> article (pas hyper convainquant) dans "Pour la Science" à ce sujet.
Est-ce que tu as la référence exacte ?
Hugot
Juin 2000. En fait c'est plutôt un article sur la téléportation.
Je me souviens maintenant qu'il n'utilise pas le principe d'incertitude
mais fait le tour des différentes théories physiques qui "l'autoriseraient".
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
Hugot
>> avec les simulations ne sont pas toujours l'ordinateur, mais aussi ce
>> que le programmeur y met... C'est d'ailleurs, la même chose avec
>> l'analytique.
>
> Tout à fait d'accord, mais savoir si une tige informatique peut se
> casser la figure n'est pas la question, qui est de savoir si une tige
> réelle peut rester en équilibre indéfiniment.
>
>> >
>> > NB: c'est une théorie personnelle.
>>
>> c'est très vrai mais on doit aussi dire que comme c'est un point d'équilibre
>> (c'est-à-dire que l'on a une symétrie locale au premier ordre), le temps
>> de chute sera dans le cas d'un écart du à l'incertitude de Heisenberg,
>> très très long.
>> La force au départ étant quasi nulle le système mettra très longtemps
>> à se mettre perceptiblement en route.
>
> Oui. Il faudrait calculer le temps moyen théorique, mais je ne sais pas
> comment m'y prendre.
Tu peux toujours écrire le "Principe Fondamental de la Dynamique" avec une
force qui est par exemple proportionnelle à l'écart à l'équilibre (F=alpha x).
Ainsi c'est facile à résoudre et tu chercheras par exemple le temps qu'il
te faudra pour arriver à une distance x=l constante en partant de x=epsilon.
Ton temps théorique sera alors vaguement proportionnel à
sqrt(l/epsilon)
Si tu souhaites un peu plus de souffrance, il y a un exo avec un pendule
rigide qui a été résolu analytiquement et qui correspond assez à ton cas
si je me souviens bien. Dans cet exo, par exemple, on voit que la période
augmente dramatiquement lorsque le pendule est lancé tel qu'il passe à
sa position d'équilibre instable avec une vitesse négligeable.
Là par contre, il vaut mieux que tu trouves l'exo tout fait.
(je crois qu'il faut utiliser le changement de variable pour calculer les
intégrales abeliennes, et celui là il ne s'invente pas, il faut le savoir!).
Bon courage...
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
norbert
397488AA...@free.fr...
> Eric Cabrol wrote:
> > ...
> > Muh ? Ca me semble un peu osé d'appliquer ce principe a une entité
non
> > quantique :-)
>
> Plutot que d'entité quantique ou classique, je préfère parler de
modèle
> quantique ou classique d'une entité.
MQ pour un tisonnier en équilibre me semble relever du même état
d'esprit que d'utiliser la RG pour calculer la trajectoire d'un ballon
de foot ;o))
>
> > Partant de la, une bille en equilibre, meme _stable_ cette
fois-ci, au
> > fond d'un bol, devrait finir par remonter le long des parois ...
>
> La probabilité doit être plus faible que celle de tomber un milliard
de
> fois de suite sur le rouge au casino, c'est-à-dire très faible. Mais
pas
> nulle.
Certainement. Je serais curieux de voir le calcul : à vue de nez, il
va surement falloir "un peu plus" que l'age de l'univers pour y
arriver.
--
à bientot
============================================
découvrir la vie turbulente des étoiles,
suivre la lente évolution des galaxies http://nrumiano.free.fr
============================================
Julien Salgado
>Ainsi c'est facile à résoudre et tu chercheras par exemple le temps qu'il
>te faudra pour arriver à une distance x=l constante en partant de x=epsilon.
>Ton temps théorique sera alors vaguement proportionnel à
>sqrt(l/epsilon)
>Si tu souhaites un peu plus de souffrance, il y a un exo avec un pendule
>rigide qui a été résolu analytiquement et qui correspond assez à ton cas
>si je me souviens bien. Dans cet exo, par exemple, on voit que la période
>augmente dramatiquement lorsque le pendule est lancé tel qu'il passe à
>sa position d'équilibre instable avec une vitesse négligeable.
>Là par contre, il vaut mieux que tu trouves l'exo tout fait.
>(je crois qu'il faut utiliser le changement de variable pour calculer les
>intégrales abeliennes, et celui là il ne s'invente pas, il faut le savoir!).
> Bon courage...
Bon on y va... On considère un pendule simple rigide dans le référentiel
terrestre, il est assez facile de montrer que l'énergie (conservée)
est :
E = 1/2·m·r²·a²+m·g·r·(1-cos(a))
où a est l'angle que fait le pendule et a_0 l'angle maximal (qui est
notre condition initial à t=0)...
Je note w la pulsation carctéristique du système :
w² = g/r
J'introduit le demi-angle u en fonction de la variable sans dimension
T=w·t et u' sa dérivée par rapport à T :
a(t) = 2·u(w·t)
J'ai alors :
u'² = sin²(u_0) - sin²(u)
Que je veux résoudre en u... donc je vait résoudre en T :
du/dT = sqrt[ sin²(u_0) - sin²(u) ]
J'ai donc :
dT = du/sqrt[ sin²(u_0) - sin²(u) ]
Si j'intégrère je tombe sur une fonction pas simple à intégrer, mais on
peut la transformer en intégrale elliptique de la première forme, en
posant :
sin(u_0)·sin(v) = sin(u)
On a alors :
dT = dv/sqrt[ 1 - sin²(u_0)·sin²(v) ]
qui va nous donner T avec une intégrale elliptique de la première forme,
dont le module est :
k = sin(u_0)
On trouve :
T = Integrale(v1=0..v, dv/sqrt[ 1 - k²·sin²(v1) )
En utilisant, les notations usuelles des fonctions elliptiques :
T = F(v,k) = arg(v) (*)
En introduisant la fonction sinus elliptique (sn) de Jacobi :
sin(v) = sn(T)
Donc :
sin(u) = sin(u_0)·sn(T)
Or u est le demi-angle donc est compris entre -pi/2 et pi/2, le sinus
est donc inversible directement :
u = Arc sin [ sin(u_0)·sn(T) ]
En revenant aux quantités physiques :
a(t) = 2·Arc sin [ sin(a_0/2)·sn(w·t) ]
Voilà résolu exactement l'équation du mouvement du pendule.
En fait, si on ne s'interesse qu'à la période ou à la demi-période le
calcul(qui correspond au temps de chute) est aussi possible ; il suffit
de reprendre l'équation (*) et de l'appliquer dans le cas u=u_0
c'est-à-dire v=pi/2.
En introduisant la fonction elliptique K(k), on a :
T = F(pi/2,k) = K(k)
En regardant dans les bons oouvrages (Gradshtein et Ryzhk par exemple),
on peut trouver des développement, en particulier pour de petits k
c'est-à-dire des petits a_0 :
K(k) = pi/2·[ 1+ (1/2)²·k²+ ((1·3)/(2·4))k^4+...]
On retrouve le résultat connu des petites oscillations (diviser par w,
pour revenir aux quantités physiques).
Pour le cas, où on s'approche de la position instable, il vaut mieux
utiliser un développement en fonction de k' :
k' = sqrt(1-k²) = cos(u_0)
qui tend vers 0.
K(k) = ln(4/k') + 1/4(ln(4/k')-1)k'² +....
Le terme dominant est donné par le premier :
K(k) ~ -ln cos(u_0) ~ -ln sin(pi/2-u_0) = -ln sin ((pi-a_0)/2)
Si x est l'angle d'écart à la position d'équilibre, la divergence de K
est logarithmique :
K ~ -ln(x)
Le temps de chute sera :
Tc = -1/w·ln(x)
--
Julien
Hugot
sal...@yoda.physik.uni-dortmund.de (Julien Salgado) writes:
> Bon on y va... On considère un pendule simple rigide dans le référentiel
bravo, cela fait toujours un pincement au coeur d'en voir qui sont moins
flemmard que moi... merci!
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
Julien Salgado
>> Bon on y va... On considère un pendule simple rigide dans le référentiel
>bravo, cela fait toujours un pincement au coeur d'en voir qui sont moins
>flemmard que moi... merci!
Je me suis déjà fait traiter de fleimard par Luc B.
J'allais pas me faire avoir deux fois... En plus si tu connais,
l'exercice tu sais que la forme que j'ai donné n'est pas la plus
compacte, mais comme on ne fait pas dans le « gore »... je l'ai omise.
--
Julien
Hugot
sal...@yoda.physik.uni-dortmund.de (Julien Salgado) writes:
>
> Tc = -1/w·ln(x)
>
à l'intention de Raphael:
tu as donc bien noté ces deux conclusions dans cette magnifique résolution
d'équation non-linéaire (je n'aurais pas fait aussi bien):
- la période Tc qui t'intéresse tend bien vers l'infini lorsque l'écart initial
à la position instable x tend vers 0 (à vitesse nulle).
- la période VARIE, caractéristique des phénomènes non-linéaires, car tu n'es
pas sans savoir que la période des oscillateurs linéaires est indépendante
de l'amplitude. Et cela conduit à un nombre inimaginable de conséquence.
(Peut-être n'aurions nous pas eu l'horloge mécanique sans cette propriété par
exemple.)
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
Raphael Jolly
> ...
> Bon on y va... On considère un pendule simple rigide dans le référentiel
> est :
[snip]
> Le temps de chute sera :
>
> Tc = -1/w·ln(x)
Au cas où ça peut aider, voici la relation d'incertitude de Heisenberg:
Deltax.Deltap > hbar
Deltax est l'incertitude sur la position
Deltap est l'incertitude sur la quantité de mouvement
hbar = h/2pi avec h la constante de Planck
La quantité de mouvement est p = mv avec v la vitesse du pendule. Je
suppose que m doit être la masse du pendule.
Je pense qu'il faut raisonner de la manière suivante: un temps de chute
trop long constituerait une mesure conjointe des position et quantité de
mouvement trop précise.
Raphael Jolly
> ...
> Bon on y va... On considère un pendule simple rigide dans le référentiel
> terrestre, il est assez facile de montrer que l'énergie (conservée)
> est :
[snip]
> Le temps de chute sera :
>
> Tc = -1/w·ln(x)
Comment faire pour obtenir le temps de chute en fonction de la position
ET de la vitesse initiales ?
Hugot
- soit tu reprends les calculs en modifiant au bon moment les conditions
initiales. (cela te permettra de voir en plus si tu les as compris).
- soit tu prends la relation de conservation de l'énergie et tu peux résoudre
très rapidement le problème suivant dans certains cas: quel est l'angle
dont partirait mon pendule à vitesse nulle qui correspondrait à mes
conditions actuelles de position et de vitesse? Ensuite, partant de cet
angle, tu n'as plus qu'à réutiliser telle quelle la formule de Tc.
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
Hugot
sal...@yoda.physik.uni-dortmund.de (Julien Salgado) writes:
> Hugot a écrit:
>>> Bon on y va... On considère un pendule simple rigide dans le référentiel
>
>>flemmard que moi... merci!
>
> Je me suis déjà fait traiter de fleimard par Luc B.
> J'allais pas me faire avoir deux fois... En plus si tu connais,
> l'exercice tu sais que la forme que j'ai donné n'est pas la plus
> compacte, mais comme on ne fait pas dans le « gore »... je l'ai omise.
Mis à part, tous les autres moyens habituels pour résoudre un problème de
mécanique (les équations canoniques, l'action). Mais je ne me souviens
pas de l'avoir fait autrement qu'avec la bonne vieille formule de Newton.
Tu connais autre chose?
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
Raphael Jolly
> ...
> tu as au moins deux solutions:
> - soit tu reprends les calculs en modifiant au bon moment les conditions
> initiales. (cela te permettra de voir en plus si tu les as compris).
> - soit tu prends la relation de conservation de l'énergie et tu peux résoudre
> très rapidement le problème suivant dans certains cas: quel est l'angle
> dont partirait mon pendule à vitesse nulle qui correspondrait à mes
> conditions actuelles de position et de vitesse? Ensuite, partant de cet
> angle, tu n'as plus qu'à réutiliser telle quelle la formule de Tc.
J'ai essayé la première méthode que tu propose (cf mon autre post), mais
je crois que j'ai faux. En effet je dois louper l'endroit où la
modification que j'introduis impacte la résolution de l'équa diff, que
j'avoue mal maitriser :-)
Raphael Jolly
initiale dans l'expression du temps de chute en calculant la position
initiale à vitesse nulle équivalente.
Julien Salgado wrote:
>
> Bon on y va... On considère un pendule simple rigide dans le référentiel
> terrestre, il est assez facile de montrer que l'énergie (conservée)
> est :
>
> E = 1/2·m·r²·a²+m·g·r·(1-cos(a))
N'est-ce pas plutot:
E = 1/2·m·r²·a°²+m·g·r·(1-cos(a))
> où a est l'angle que fait le pendule et a_0 l'angle maximal (qui est
> notre condition initial à t=0)...
> Je note w la pulsation carctéristique du système :
>
> w² = g/r
>
> J'introduit le demi-angle u en fonction de la variable sans dimension
> T=w·t et u' sa dérivée par rapport à T :
>
> a(t) = 2·u(w·t)
>
> J'ai alors :
>
> u'² = sin²(u_0) - sin²(u)
Soit b_0 la vitesse angulaire initiale.
b_0 = a°(0) = 2w.u°(0)
u°(0) = b_0 / 2w = v_0
Soit u1_0 la position initiale à vitesse non nulle. La position initiale
à vitesse nulle équivalente sera u_0. La conservation de l'energie
devient:
u°² - v_0² = sin²(u1_0) - sin²(u)
En posant:
sin²(u_0) = sin²(u1_0) + v_0²
on retrouve l'équation dont la résolution figure ci-dessous:
Pour etre rigoureux, prenons:
x = r.(pi-a_0)
K ~ -ln( x / 2r )
> Le temps de chute sera :
>
> Tc = -1/w·ln(x)
Tc = -1/w·ln( x / 2r )
Ceci est le cas ou x est la position initiale à vitesse nulle.
Refaisons le calcul avec une position initiale à vitesse non nulle:
Tc = -1/w ln cos(u_0)
= -1/2w ln cos²(u_0)
cos²(u_0) = 1 - sin²(u_0)
= 1 - sin²(u1_0) - v_0²
= cos²(u1_0) - v_0²
Tc = -1/2w ln ( cos²(u1_0) - v_0² )
= -1/2w ln ( cos²(a1_0 / 2) - (b_0 / 2w)² )
= -1/2w ln ( 1/2( cos(a1_0) + 1 ) - (b_0 / 2w)² )
développement limité:
cos pi+e = -1 + 1/2 e² + ...
pi+e = a1_0
e = a1_0-pi
Tc = -1/2w ln ( 1/2( 1/2(a1_0 - pi)² ) - (b_0 / 2w)² )
= -1/2w ln ( 1/4(a1_0 - pi)² - (b_0 / 2w)² )
x1 = r.(pi-a1_0)
v = r.b_0
Tc = -1/2w ln ( (x1 / 2r)² - (v / 2wr)² )
J'ai l'impression que le signe "-" dans le ln, devrait être un "+", mais
je ne trouve pas mon erreur...
Hugot
Raphael Jolly <raphae...@free.fr> writes:
> Comme suggéré par Hugot, je vais essayer d'introduire la vitesse
> initiale dans l'expression du temps de chute en calculant la position
> initiale à vitesse nulle équivalente.
>
> Julien Salgado wrote:
>>
>> Bon on y va... On considère un pendule simple rigide dans le référentiel
>> terrestre, il est assez facile de montrer que l'énergie (conservée)
>> est :
>>
>> E = 1/2·m·r²·a²+m·g·r·(1-cos(a))
>
> N'est-ce pas plutot:
>
> E = 1/2·m·r²·a°²+m·g·r·(1-cos(a))
Il a du faire beaucoup de vent.
>
>> où a est l'angle que fait le pendule et a_0 l'angle maximal (qui est
>> notre condition initial à t=0)...
>> Je note w la pulsation carctéristique du système :
>>
>> w² = g/r
>>
>> J'introduit le demi-angle u en fonction de la variable sans dimension
>> T=w·t et u' sa dérivée par rapport à T :
>>
>> a(t) = 2·u(w·t)
>>
>> J'ai alors :
>>
>> u'² = sin²(u_0) - sin²(u)
>
> Soit b_0 la vitesse angulaire initiale.
>
> b_0 = a°(0) = 2w.u°(0)
>
> u°(0) = b_0 / 2w = v_0
>
> Soit u1_0 la position initiale à vitesse non nulle. La position initiale
> à vitesse nulle équivalente sera u_0. La conservation de l'energie
> devient:
>
> u°² - v_0² = sin²(u1_0) - sin²(u)
>
> En posant:
>
> sin²(u_0) = sin²(u1_0) + v_0²
ton équation est la suivante
énergie cinetique minimale (0)+ énergie potentielle maxi
= énergie cinétique initiale+ énergie potentielle initiale.
or il semble que ton énergie potentielle maxi soit plus faible
que ton Ep initiale. peut-être est-ce là?
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
Hugot
Hugot
>
> J'ai l'impression que le signe "-" dans le ln, devrait être un "+", mais
> je ne trouve pas mon erreur...
temps puisque le pendule fera un tout petit peu plus de chemin. Le calcul que
tu as fait est celui pour lequel le pendule commence par remonter. D'ailleurs,
il faudrait encore rajouter le temps de la remontée. Ici, tu as fait le
temps de la descente.
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
Raphael Jolly
>
> ...D'ailleurs,
> il faudrait encore rajouter le temps de la remontée. Ici, tu as fait le
> temps de la descente.
Certes, mais je te rappelle que le but est de calculer le temps de chute
d'un tisonnier. Donc le temps de remontée n'est pas pertinent...
Je pense que le mieux serait de regarder dans un livre qui donne la
résolution de ce problème du pendule. Quelqu'un en connait un ?
Hugot
Raphael Jolly <raphae...@free.fr> writes:
> Hugot wrote:
>>
>> ...D'ailleurs,
>> il faudrait encore rajouter le temps de la remontée. Ici, tu as fait le
>> temps de la descente.
>
> Certes, mais je te rappelle que le but est de calculer le temps de chute
> d'un tisonnier. Donc le temps de remontée n'est pas pertinent...
jusqu'en bas, non? donc il faut bien inclure le temps de la remontée dans les
cas où il part vers le haut. Tu cherches bien un temps de chute pour des
conditions initiales aléatoires, non?
Dans les cas où il monte, il faut ajouter au temps que tu as trouvé le
temps de la remontée,
Dans les cas où il descend, par symétrie tu peux voir qu'il faut soustraire
ce temps de remontée.
Ce temps de remontée peut se calculer très simplement à partir des
équation de julien.
>
> Je pense que le mieux serait de regarder dans un livre qui donne la
> résolution de ce problème du pendule. Quelqu'un en connait un ?
Tu es à deux pas de la solution!
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
Raphael Jolly
> ...
> Je ne vois pas pourquoi, qu'appelles tu temps de chute: le temps pour arriver
> jusqu'en bas, non? donc il faut bien inclure le temps de la remontée dans les
> cas où il part vers le haut. Tu cherches bien un temps de chute pour des
> conditions initiales aléatoires, non?
>
> Dans les cas où il monte, il faut ajouter au temps que tu as trouvé le
> temps de la remontée,
> Dans les cas où il descend, par symétrie tu peux voir qu'il faut soustraire
> ce temps de remontée.
Ah oui ok pardon je t'avais mal compris.
> Ce temps de remontée peut se calculer très simplement à partir des
> équation de julien.
En effet je pense qu'il suffirait d'integrer le temps entre la position
initiale et la position à vitesse nulle (qui se trouve donc "au
dessus").
> > Je pense que le mieux serait de regarder dans un livre qui donne la
> > résolution de ce problème du pendule. Quelqu'un en connait un ?
> Tu es à deux pas de la solution!
Il y a cependant encore ce problème:
Si l'on se tient à cette méthode de recherche du point de départ
équivalent à vitesse nulle, que doit-on trouver quand on part du sommet
avec une vitesse non nulle ?
Mathématiquement, cela se traduit par:
sin²(u_0) = sin²(u1_0) + v_0²
avec u1_0 = pi/2, soit:
sin²(u_0) > 1
Pour éviter cela, on est obligé d'abandonner cette méthode et de garder
telle quelle l'équation:
u°² - v_0² = sin²(u1_0) - sin²(u)
et là où, pour calculer:
dT = du/sqrt[ sin²(u_0) - sin²(u) ]
, Julien posait sin(u_0)·sin(v) = sin(u), nous avons:
dT = du/sqrt[ sin²(u1_0) + v_0² - sin²(u) ]
et là je bloque !
Hugot
Raphael Jolly <raphae...@free.fr> writes:
> Hugot wrote:
>> ...
>> Je ne vois pas pourquoi, qu'appelles tu temps de chute: le temps pour arriver
>> jusqu'en bas, non? donc il faut bien inclure le temps de la remontée dans les
>> cas où il part vers le haut. Tu cherches bien un temps de chute pour des
>> conditions initiales aléatoires, non?
>>
>> Dans les cas où il monte, il faut ajouter au temps que tu as trouvé le
>> temps de la remontée,
>> Dans les cas où il descend, par symétrie tu peux voir qu'il faut soustraire
>> ce temps de remontée.
>
> Ah oui ok pardon je t'avais mal compris.
>
>> Ce temps de remontée peut se calculer très simplement à partir des
>> équation de julien.
>
> En effet je pense qu'il suffirait d'integrer le temps entre la position
> initiale et la position à vitesse nulle (qui se trouve donc "au
> dessus").
>
>> > Je pense que le mieux serait de regarder dans un livre qui donne la
>> > résolution de ce problème du pendule. Quelqu'un en connait un ?
>> Tu es à deux pas de la solution!
>
> Il y a cependant encore ce problème:
>
> Si l'on se tient à cette méthode de recherche du point de départ
> équivalent à vitesse nulle, que doit-on trouver quand on part du sommet
> avec une vitesse non nulle ?
Effectivement, c'est pour cela que je te parlais au début d'une résolution
dans certains cas. Notamment, je t'avais dit que cette méthode ne marcherait
pas dans le cas où le pendule tourne à l'infini. Pour cela, il faudrait
remettre les mains dans le camboui. Cependant, avant d'aller
plus loin, tu devrais tout de même vérifier numériquement ce que cela
a donné d'inclure une vitesse non nulle de l'ordre de
hbar/dx
avec un dx par exemple de la taille d'un atome pour fixer les idées (10e-10m).
Tu supposeras par exemple que tu peux fixer x à .001rad et que tu connaitras
sa position avec une précision dx.
Tu devrais probablement te rendre compte que numériquement cela
ne servait pas à grand chose d'inclure la vitesse à cause du principe de
Heisenberg.
>
> Mathématiquement, cela se traduit par:
>
> sin²(u_0) = sin²(u1_0) + v_0²
>
> avec u1_0 = pi/2, soit:
>
> sin²(u_0) > 1
>
> Pour éviter cela, on est obligé d'abandonner cette méthode et de garder
> telle quelle l'équation:
>
> u°² - v_0² = sin²(u1_0) - sin²(u)
>
> et là où, pour calculer:
>
> dT = du/sqrt[ sin²(u_0) - sin²(u) ]
>
> , Julien posait sin(u_0)·sin(v) = sin(u), nous avons:
>
> dT = du/sqrt[ sin²(u1_0) + v_0² - sin²(u) ]
>
> et là je bloque !
Je n'ai pas trop travaillé avec ces fonctions, néanmoins, si on
regarde les équations de Julien, on voit que l'on peut n'utiliser que k
et pas sin(u_0). Tu auras une racine imaginaire après mais tu pourras peut-être
t'en tirer.
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
Armingaud François-Dominique
Si c'est des maths, c'est que c'est démontré. Si c'est
démontré, ne s'agit-il pas d'un résultat plutôt que d'un
"principe" ???
Et au fait, le principe de Fermat en est-il toujours un, ou
bien le résultat en a-t-il été démontré, comme pour le grand
théorème du même métal ?
Darth Heavy
a écrit :
>
> Et au fait, le principe de Fermat en est-il toujours un, ou
> bien le résultat en a-t-il été démontré, comme pour le grand
> théorème du même métal ?
Il se démontre (vous parlez bien du principe de moindre temps) bien si
l'on considère la nature ondulatoire de la lumière. En effet, si l'on
considère l'ensemble des trajectoires possibles entre deux points (on se
place dans l'approximation géométrique : j'ai le droit de parler de
rayons), le trajet de temps le plus court est un extréma : la variation de
phase sur les trajets voisins est donc du second ordre, ce qui produit une
interférence constructive. Si vous voulez, la lumière prend tous les
trajets possibles, mais elle ne "matérialise" bien que dans les zones de
temps de trajet extrémal (ça peut être un maximum !).
D'ailleurs, le même raisonnement justifie le principe de moindre action en
mécanique quantique, la phase de l'onde matérielle étant alors
proportionnelle à l'action le long du chemin. Je vous renvoie aux
excellents cours de M.Feynman, que je vous sais familier, qui explique la
même chose bien mieux que moi.
Michel
> Armingaud François-Dominique , dans le message (fr.sci.physique:17430),
> a écrit :
> >
> > Et au fait, le principe de Fermat en est-il toujours un, ou
> > bien le résultat en a-t-il été démontré, comme pour le grand
> > théorème du même métal ?
>
> Il se démontre (vous parlez bien du principe de moindre temps) bien si
> l'on considère la nature ondulatoire de la lumière. (...)
Il y a un moyen simple de tester ça: marchez tranquillement en donnant la
main à votre copine (qui doit marcher de la même façon que vous). Si le
sol est bon, vous allez donc tout droit. Si vous arrivez dans un marais,
le premier qui marche dedans va moins vite alors que l'autre continu,
donc vous piquez plus fort vers le marais: c'est la réfraction. Et vous
arrivez toujours dans le temps le plus court possible (mais où???), enfin
c'est une notion de minimum local bien sûr.
À mes étudiants en DEUG, je donnais l'image d'un régiment soldats pour
expliquer les ondes optiques: on voit la longueur d'onde, la vitesse
de la lumière, la réfraction... Seule la réflection totale est
difficile à voir avec cette image.
--
Michel de Zaragoza (España). Contesta quitando chorizo/
Répondez sans chorizo/Remove chorizo to reply
Armingaud François-Dominique
> > Et au fait, le principe de Fermat en est-il toujours un, ou
> > bien le résultat en a-t-il été démontré, comme pour le grand
> > théorème du même métal ?
> Il se démontre (vous parlez bien du principe de moindre temps)
Non. Du principe de temps stationnaire. Selon le dispositif
optique envisagé, il peut être maximal, ou minimal, si mes
souvenirs sont bons. Je n'ai en revanche pas à ce jour vu
d'exemple où il corresponde à un point d'inflexion, mais s'il
en existe un simple, je suis preneur.
> bien si
> l'on considère la nature ondulatoire de la lumière. En effet, si l'on
> considère l'ensemble des trajectoires possibles entre deux points (on se
> place dans l'approximation géométrique : j'ai le droit de parler de
> rayons), le trajet de temps le plus court est un extremum : la variation de
> phase sur les trajets voisins est donc du second ordre, ce qui produit une
> interférence constructive. Si vous voulez, la lumière prend tous les
> trajets possibles, mais elle ne "matérialise" bien que dans les zones de
> temps de trajet extrémal (ça peut être un maximum !).
OK. L'interférence de mondes virtuels à la portée de tous, en
somme :-)
>
> D'ailleurs, le même raisonnement justifie le principe de moindre action en
> mécanique quantique, la phase de l'onde matérielle étant alors
> proportionnelle à l'action le long du chemin. Je vous renvoie aux
> excellents cours de M.Feynman, que je vous sais familier, qui explique la
> même chose bien mieux que moi.
J'adore son style; hélas, je suis tellement paresseux que je
n'ai jamais programmé aucune des équations qu'il donne (même
pas en APL, le langage par excellence du flemmard)... ce qui
revient à perdre, je suppose 90% de ce qu'il y aurait à tirer
de tels livres. Heureusement, les 10% qui restent valent
largement à eux seuls le prix des bouquins :-)
(On ne saurait hélas en dire autant des CD. La Feymanomania a
peut-être été poussée là un peu trop loin...)
Hugot
jul...@posta.unichorizozar.es (Michel) writes:
> ma...@clipper.ens.fr (Darth Heavy) wrote:
>
>> Armingaud François-Dominique , dans le message (fr.sci.physique:17430),
>> >
>> > Et au fait, le principe de Fermat en est-il toujours un, ou
>> > bien le résultat en a-t-il été démontré, comme pour le grand
>> > théorème du même métal ?
>>
>> l'on considère la nature ondulatoire de la lumière. (...)
>
> Il y a un moyen simple de tester ça: marchez tranquillement en donnant la
> main à votre copine (qui doit marcher de la même façon que vous). Si le
> sol est bon, vous allez donc tout droit. Si vous arrivez dans un marais,
> le premier qui marche dedans va moins vite alors que l'autre continu,
> donc vous piquez plus fort vers le marais: c'est la réfraction. Et vous
> arrivez toujours dans le temps le plus court possible (mais où???), enfin
> c'est une notion de minimum local bien sûr.
pas seulement, c'est aussi un minimum à point de départ et d'arrivée donné,
il me semble (comme pour l'action). et ça c'est global.
>
> À mes étudiants en DEUG, je donnais l'image d'un régiment soldats pour
> expliquer les ondes optiques: on voit la longueur d'onde, la vitesse
> de la lumière, la réfraction... Seule la réflection totale est
> difficile à voir avec cette image.
Pour la réflexion totale, je pense à un cas explicable avec cette image.
Comme le copain pique vers le marais, l'écart à la normale est plus faible
côté marais. À la limite où on marche paralellement à la plage
côté sable, il va donc y avoir un angle minimum (incidence de Brewster)
côté marais. Alors, si inversement on arrive côté marais
au dessus de cet angle, on imagine nettement que l'on ne pourra pas passer.
En tout cas, c'est joli comme image...
--
FX Hugot
ml.h...@freesbee.fr
Raphael Jolly
> ...
> Effectivement, c'est pour cela que je te parlais au début d'une résolution
> dans certains cas. Notamment, je t'avais dit que cette méthode ne marcherait
> pas dans le cas où le pendule tourne à l'infini.
Je n'ai vu cette phrase nulle part dans le thread. Et finalement je
pense qu'on doit pouvoir se débrouiller quand même avec cette méthode
comme tu le suggère toi-même à la fin du message.
> Pour cela, il faudrait
> remettre les mains dans le camboui. Cependant, avant d'aller
> plus loin, tu devrais tout de même vérifier numériquement ce que cela
> a donné d'inclure une vitesse non nulle de l'ordre de
> hbar/dx
> avec un dx par exemple de la taille d'un atome pour fixer les idées (10e-10m).
> Tu supposeras par exemple que tu peux fixer x à .001rad et que tu connaitras
> sa position avec une précision dx.
Ca donne une vitesse de 10e-24m/s pour un poids de 1 Kg. Effectivement
ça n'est pas très différent de zéro. Cependant il faut bien comprendre
le but de la manoeuvre. Il n'est pas de déterminer le temps de chute
pour un petit décalage par rapport à .001rad, mais pour un petit
décalage par rapport à une position strictement verticale, c-à-d qui
donnerait un temps de chute infini. Et la relation d'Heisenberg dit que
ce décalage ne peut pas être nul si la vitesse l'est et inversement. On
doit donc pouvoir calculer un temps de chute moyen maximum, à condition
de venir à bout de cette #?@&%! d'équation différentielle.
> Tu devrais probablement te rendre compte que numériquement cela
> ne servait pas à grand chose d'inclure la vitesse à cause du principe de
> Heisenberg.
>
[snip]
> Je n'ai pas trop travaillé avec ces fonctions, néanmoins, si on
> regarde les équations de Julien, on voit que l'on peut n'utiliser que k
> et pas sin(u_0). Tu auras une racine imaginaire après mais tu pourras peut-être
> t'en tirer.
En effet. Je reprends donc sur la méthode dite du "point de départ à
vitesse nulle équivalent".
Je repars de l'équation
T = F(v,k)
Au lieu de l'appliquer dans le cas u=u_0, c-à-d v=pi/2, je l'applique
dans le cas u=u1_0, c-à-d:
v = Arc sin [ sin u1_0 / sin u_0 ]
= Arc sin [ sin u1_0 / sqrt ( sin²u1_0 + v0² ) ]
Juste un dernier problème: je ne comprends pas le calcul de
T = integrale(0,v) dv1 / sqrt [ 1 - k².sin²(v1) ]
quand on s'approche de la position instable (en particulier comment on
obtient les ln(4/k') etc.), et je n'arrive donc pas à le faire pour
v!=pi/2.
Raphael Jolly
Je résume le problème: il s'agit de calculer le temps de chute d'un
pendule renversé en fonction de la position et de la vitesse initiales,
la position initiale étant proche de la verticale et la vitesse initiale
étant petite.
On tombe sur une intégrale elliptique de la première forme:
T = integrale(0,v) dv1 / sqrt [ 1 - k².sin²(v1) ]
avec v <= pi/2.
Il faut calculer un développement de cette intégrale suivant k pour k ~
1.
Voir le fil dans fr.sci.physique pour la résolution déjà effectuée du
cas à vitesse initiale nulle.
Merci de votre aide éventuelle !
Raphael Jolly
Raphael Jolly
> ...
> On tombe sur une intégrale elliptique de la première forme:
>
> T = integrale(0,v) dv1 / sqrt [ 1 - k².sin²(v1) ]
>
> avec v <= pi/2.
>
> Il faut calculer un développement de cette intégrale suivant k pour k ~
> 1.
J'ai trouvé un développement dans _Integrals, series and products_ de
Gradshteyn et Ryshik:
F(v,k) = ln tg ( v/2 + pi/4 ) + (1/2)² ( ln tg (v/2 + pi/4 ) - tg v /
cos v ) k'² + ...
Je repars de:
sin v = sin u1_0 / k
avec
k = sin u_0
soit
k² = sin²u_0 = sin²u1_0 + v_0²
Soient dx et dv les ecarts quadratiques moyens à la position verticale
et à la vitesse nulle, respectivement. J'admets sans le démontrer que le
temps de chute associé à ces conditions initiales est le temps de chute
moyen.
Je cherche le maximum de ce temps de chute en fonction de dx et dv,
sachant que ceux-ci vérifient la relation d'Heisenberg:
dx.dv = hbar/m
On a:
sin u1_0 = cos dx / 2r
v_0 = dv / 2rw
d'où, tous calculs faits:
k² = cos²alpha + beta²/alpha²
avec
alpha = dx / 2r
beta = hbar / 4r²wm
Il vient (je passe les calculs):
k'² = sin²alpha - beta²/alpha²
sin v = ( 1 + beta²/(alpha².cos²alpha) )^(-1/2)
tg v / cos v = alpha²/beta² (cos alpha)( cos²alpha + beta²/alpha²
)^(1/2)
ln tg ( v/2 + pi/4 ) = 1/2 ln ( (alpha².cos²alpha)/beta² + 1 )
Ces valeurs permettent de calculer dF(v,k)/dalpha. On vérifie que cette
dérivée s'annule pour alpha² = beta. (Plus exactement c'est un
O(alpha.ln(alpha)) ce qui nous satisfait puisque alpha est petit).
De cette manière, nous sommes en possession de la position initiale
associée au temps de chute maximum. On reporte cette position dans la
formule donnant F(v,k), et l'on obtient:
F ~ 1/2 ln( 1/alpha² + 1 )
ce qui donne:
Tc ~ 1/2w ln ( 4r2wm/hbar + 1 )
Application numérique:
Pour un tisonner de 30 cm et 300 g, avec
g = 9.8 ms-2
hbar = 6.63e-34 / 2pi kgm²s-1
on a:
Tc = 6.6 s
Ce qui est intéressant, c'est que ce temps dépend du logarithme de la
masse, contrairement au cas classique où il est connu que la période
d'un pendule ne dépend pas de sa masse.
Par exemple, en faisant varier la masse de 3 g à 3 kg, on provoque une
augmentation du temps de chute moyen de 10%.
Julien Salgado
>> Julien Salgado wrote:
>>> E = 1/2·m·r²·a²+m·g·r·(1-cos(a))
>> N'est-ce pas plutot:
>>
>> E = 1/2·m·r²·a°²+m·g·r·(1-cos(a))
>Il a du faire beaucoup de vent.
En effet, une erreur de ma part, désolé.
--
Julien
Raphael Jolly
> ...
> Ces valeurs permettent de calculer dF(v,k)/dalpha. On vérifie que cette
> dérivée s'annule pour alpha² = beta. (Plus exactement c'est un
> O(alpha.ln(alpha)) ce qui nous satisfait puisque alpha est petit).
Mmm, pas tres rigoureux, ce que j'ai ecrit... Il faut plutot dire:
La derivee du developpement à l'ordre 2 de F(v,k) prend pour valeur un
O(alpha ln(alpha)) en alpha = sqrt(beta). On peut esperer que cette
valeur tend vers 0 pour un ordre superieur, mais ca reste à demontrer.
--
http://raphael.jolly.free.fr/meditor/
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