Encadrement de l'intégrale de sin t/t
Denis Feldmann
Israel :
Si(x) = pi/2 + int_x^infty sin(t)/t dt. En int�grant 4 fois par
parties, on obtient
Si(x) = pi/2 + cos(x)/x + sin(x)/x^2 - 2 cos(x)/x^3 - 6 sin(x)/x^4
+ int_x^infty 24 cos(t)/t^5 dt
Donc Si(x) < pi/2 + (1/x - 2/x^3) cos(x) + (1/x^2 - 6/x^4) sin(x) + 6/x^4
et Si(x) > pi/2 + (1/x - 2/x^3) cos(x) + (1/x2 - 6/x^4) sin(x) - 6/x^4
On remarque que
|(1/x - 2/x^3) cos(x) + (1/x2 - 6/x^4) sin^(x)|^2
<= (1/x - 2/x3)^2 + (1/x^2 - 6/x4)^2 (en passant dans C)
= 1/x^2 - 3/x^4 - 8/x^6 + 36/x^8 ;
or
(1/^x - 6/x^4)^2 = 1/x^2 - 12/x^5 + 36/x^8
Ainsi, |Si(x) - pi/2| < 1/x si -3/x^4 - 8/x^6 + 12/x^5 < 0,
ce qui est vrai pour x > 2 + 2 sqrt(3)/3 (et po�ur x < que cette
valeur, on conclut "� la main")
alainv...@gmail.com
wrote:
> Posant Si(x)=int(sin t/t, t=0..x), on a cette jolie solution de Robert
> Israel :
>
> parties, on obtient
>
> Si(x) = pi/2 + cos(x)/x + sin(x)/x^2 - 2 cos(x)/x^3 - 6 sin(x)/x^4
> + int_x^infty 24 cos(t)/t^5 dt
>
> Donc Si(x) < pi/2 + (1/x - 2/x^3) cos(x) + (1/x^2 - 6/x^4) sin(x) + 6/x^4
> et Si(x) > pi/2 + (1/x - 2/x^3) cos(x) + (1/x2 - 6/x^4) sin(x) - 6/x^4
> On remarque que
> |(1/x - 2/x^3) cos(x) + (1/x2 - 6/x^4) sin^(x)|^2
> <= (1/x - 2/x3)^2 + (1/x^2 - 6/x4)^2 (en passant dans C)
> = 1/x^2 - 3/x^4 - 8/x^6 + 36/x^8 ;
> or
> (1/^x - 6/x^4)^2 = 1/x^2 - 12/x^5 + 36/x^8
>
> Ainsi, |Si(x) - pi/2| < 1/x si -3/x^4 - 8/x^6 + 12/x^5 < 0,
> valeur, on conclut "à la main")
Bonjour Denis
Tu écris:"on a cette jolie solution de Robert Israel"
l'attribut 'jolie' me semble peu adapté à un travail
qui a demandé 4 intégrations par parties et une
promenade dans C ...
Alain
Valeri Astanoff
> Israel :
>
> parties, on obtient
>
> Si(x) = pi/2 + cos(x)/x + sin(x)/x^2 - 2 cos(x)/x^3 - 6 sin(x)/x^4
> + int_x^infty 24 cos(t)/t^5 dt
>
> Donc Si(x) < pi/2 + (1/x - 2/x^3) cos(x) + (1/x^2 - 6/x^4) sin(x) + 6/x^4
> et Si(x) > pi/2 + (1/x - 2/x^3) cos(x) + (1/x2 - 6/x^4) sin(x) - 6/x^4
> On remarque que
> |(1/x - 2/x^3) cos(x) + (1/x2 - 6/x^4) sin^(x)|^2
> <= (1/x - 2/x3)^2 + (1/x^2 - 6/x4)^2 (en passant dans C)
> = 1/x^2 - 3/x^4 - 8/x^6 + 36/x^8 ;
> or
> (1/^x - 6/x^4)^2 = 1/x^2 - 12/x^5 + 36/x^8
>
> Ainsi, |Si(x) - pi/2| < 1/x si -3/x^4 - 8/x^6 + 12/x^5 < 0,
> valeur, on conclut "à la main")
Bonjour Denis,
Merci de nous avoir communiqué cette solution élégante
car ne faisant appel qu'à des maths classiques.
Toutefois, pourriez-vous svp pour ceux qui, comme moi,
ne disposent pas de cellules grises très performantes,
nous en détailler davantage les étapes ?
En particulier comment se débarrasse-t-on de
int_x^infty 24 cos(t)/t^5 dt ?
Merci d'avance...
--
V.Astanoff
Valeri Astanoff
>
> - Afficher le texte des messages précédents -
Euh... après être allé déjeuner je viens de comprendre
que l'encadrement de int_x^infty 24 cos(t)/t^5 dt
par -6/x^4 et 6/x^4 venait de celui du cos !
J'ai honte, mais j'avais l'excuse d'être à jeun, n'est-ce pas ?
Denis Feldmann
> On 26 juin, 06:44, Denis Feldmann <denis.feldmann.sanss...@neuf.fr>
> wrote:
>> Posant Si(x)=int(sin t/t, t=0..x), on a cette jolie solution de Robert
>> Israel :
>>
>> parties, on obtient
>>
>> Si(x) = pi/2 + cos(x)/x + sin(x)/x^2 - 2 cos(x)/x^3 - 6 sin(x)/x^4
>> + int_x^infty 24 cos(t)/t^5 dt
>>
>> Donc Si(x) < pi/2 + (1/x - 2/x^3) cos(x) + (1/x^2 - 6/x^4) sin(x) + 6/x^4
>> et Si(x) > pi/2 + (1/x - 2/x^3) cos(x) + (1/x2 - 6/x^4) sin(x) - 6/x^4
>> On remarque que
>> |(1/x - 2/x^3) cos(x) + (1/x2 - 6/x^4) sin^(x)|^2
>> <= (1/x - 2/x3)^2 + (1/x^2 - 6/x4)^2 (en passant dans C)
>> = 1/x^2 - 3/x^4 - 8/x^6 + 36/x^8 ;
>> or
>> (1/^x - 6/x^4)^2 = 1/x^2 - 12/x^5 + 36/x^8
>>
>> Ainsi, |Si(x) - pi/2| < 1/x si -3/x^4 - 8/x^6 + 12/x^5 < 0,
>> valeur, on conclut "� la main")
>
> Bonjour Denis,
>
> Merci de nous avoir communiqu� cette solution �l�gante
> car ne faisant appel qu'� des maths classiques.
> Toutefois, pourriez-vous svp pour ceux qui, comme moi,
> nous en d�tailler davantage les �tapes ?
> En particulier comment se d�barrasse-t-on de
> int_x^infty 24 cos(t)/t^5 dt ?
Elle edst major�e (en valeur absolue) par int_x^infty 24 /t^5 dt =6/x^4 ...