Probabilité, énigme et curiosité :)
Olivier FAURAX
Il y a plus de 6 mois, j'étais tombé sur un prétendu questionnaire de
recrutement Google sur le net, avec pleins de questions.
Parmi elles, une question de probabilité :
Si la probabilité d’observer une voiture en 30 minutes sur une route est
0.95, quelle est la probabilité d’observer une voiture en 10 minutes ?
Il y a des domaines des maths qui me semblent plus évidents que
d'autres, et c'est vrai que j'ai toujours eu du mal avec les probas.
Voici les différentes solutions que j'ai pu trouver sur internet :
1. 0.95 ("Y a autant de chance que la voiture arrive dans 30 minutes
quand 10 minutes")
2. 0.95/3 = 0.31666... (30/10 = 3 ;) )
3. 0.95^3 = 0.86 ("La probabilite de voir une voiture en 10 min, serait
la même que de voir 3 voitures en 30 mins")
4. On en déduit qu'il passe une voiture toutes les
30 x (1 + 1-0.95) = 31 min et 30 secondes en moyenne, ou 31.5 min.
Etant donné l'espace à une dimension infini avec des points V[i] espacés
de 31.5,
la probabilité qu'un intervalle d'une largeur de 10 chevauche un point V
est, en réduisant l'espace à un espace de 31.5 de largeur,
(31.5 - 21,5)/31.5 = 10/31.5 = 0.31746
5. Soit N la probabilité de voir une voiture en 10 min. 1-N la proba de
ne pas en voir une. Donc pour ne voir aucune voiture en 3*10min, on a
une proba de (1-N)^3, et donc on sait que 1-((1-N)^3) = 0.95
On obtient (1-N)^3 = 0.05, d'où 1-N = 0.3684.
Résultat : N = 0.6316
Mon avis : La 1. m'a bien fait rire et la 2. est trop simple pour être
correcte.
La 3. me semble fausse dans la mesure où déjà 3 voitures en 30 minutes,
c'est pas P^3. En effet si on dit qu'il y a 100% de chances de voir une
voiture en 30min, on a pas 100%^3 de voir 3 voitures en 30 minutes....
La 4. me semble plausible, mais je ne sais pas si on l'extrapolation
doit se faire en faisant 30*1.05 ou plutôt 30*(1/0.95).
La 5. me semble aussi plausible et logique.
Donc j'oscille entre la 4. et la 5., avec des résultats quand même très
différents, mais bon, avec les probas, j'ai jamais eu bonne intuition :)
Et j'ai 2 questions bonus :
* quand est-ce qu'on a une proba de 0.5 ?
* est-ce qu'il y a un moment où on a une proba de 1 ? Si oui, quand ?
Merci d'avance
Olivier
Olivier Miakinen
>
> Parmi elles, une question de probabilitￜ :
> Si la probabilitￜ d'observer une voiture en 30 minutes sur une route est
> 0.95, quelle est la probabilitￜ d'observer une voiture en 10 minutes ?
Avant de lire le reste, j'ai une question : il s'agit d'observer *au
moins* une voiture ou *exactement* une voiture ? Je ne suis pas sï¿œr que
la rￜponse soit la mￜme selon l'interprￜtation de l'ￜnoncￜ.
Cordialement,
--
Olivier Miakinen
Sylvain
> Bonjour,
>
> Il y a plus de 6 mois, j'étais tombé sur un prétendu questionnaire de
> recrutement Google sur le net, avec pleins de questions.
>
> Parmi elles, une question de probabilité :
> Si la probabilité d’observer une voiture en 30 minutes sur une route
> est
> 0.95, quelle est la probabilité d’observer une voiture en 10 minutes ?
>
Ce ne serait pas plutôt : "Si la probabilité d’observer au moins une
voiture en 30 minutes sur une route est 0.95, quelle est la probabilité d’observer
au moins une voiture en 10 minutes ? " ?
--
Ne pas prévoir, c'est déjà gémir
Léonard de Vinci
Sylvain
J'ai eu la mï¿œme la mï¿œme idï¿œe.
Il me semble, compte tenu de la loi de poisson, qu'il ne soit pas possible,
qu'il y ait une probabilitￜ de 0,95 qu'exactement une seule voiture passe
toute les 30 mim.
--
Ne pas prￜvoir, c'est dￜjￜ gￜmir
Lï¿œonard de Vinci
Olivier FAURAX
Si, probablement.
Haaaa, je bouillonne d'impatience pour savoir laquelle des 2 approches
(4 ou 5) est la bonne....
Merci
Olivier
Mathon Jacques
> Bonjour,
>
> Il y a plus de 6 mois, j'étais tombé sur un prétendu questionnaire de
> recrutement Google sur le net, avec pleins de questions.
>
> Parmi elles, une question de probabilité :
> Si la probabilité d’observer une voiture en 30 minutes sur une route est
> 0.95, quelle est la probabilité d’observer une voiture en 10 minutes ?
> ...
> Donc j'oscille entre la 4. et la 5., avec des résultats quand même très
> différents, mais bon, avec les probas, j'ai jamais eu bonne intuition :)
Si je réponds
> Et j'ai 2 questions bonus :
> * quand est-ce qu'on a une proba de 0.5 ?
2mn 18,83s
et
> * est-ce qu'il y a un moment où on a une proba de 1 ? Si oui, quand ?
jamais
Quelle solution (loi) ai-je utilisée ?
Amicalement
--
Jacques
Olivier FAURAX
Une loi exponentielle ?
Olivier
Mathon Jacques
A priori non!
Cela dit, ce que je voulais surtout souligner par ma question, au delà
de ce qu'avait déjà relevé Olivier Miakinen concernant la précision sur
le nombre d'occurences (exact ou au moins), la donnée (concernant la
probabilité) fournie dans l'énoncé me semble insuffisante pour réaliser
l'exercice sans faire une hypothèse sur la loi de probabilité suivie par
la variable aléatoire. Si l'énoncé original ne le précisait pas non
plus, pour répondre à la question il me paraît indispensable de faire
(au moins) cette hypothèse supplémentaire.
Amicalement
--
Jacques
ast
"Olivier FAURAX" <olivier...@laposte.net.invalid> a écrit dans le message de
news:4b490eef$0$8920$426a...@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Il y a plus de 6 mois, j'étais tombé sur un prétendu questionnaire de
> recrutement Google sur le net, avec pleins de questions.
>
> Parmi elles, une question de probabilité :
> Si la probabilité d’observer une voiture en 30 minutes sur une route est
> 0.95, quelle est la probabilité d’observer une voiture en 10 minutes ?
>
J'appelle P30 (resp P10) la probabilité d'observer
au moins une voiture en 30 minutes (resp 10 minutes)
Considérons 2 cas:
-1- Une voiture passe exactement toutes les 10 minutes
Alors on a P30 = P10 = 1
-2- Une voiture passe exactement toutes les 30 minutes
Alors on a P30 = 1 et P10 = 1/3
Voilà, donc on ne peut pas calculer P10 connaissant P30.
Tout ce qu'on peut dire c'est que P10 est inférieur à P30.
Mehdi Tibouchi
clairement un processus de Poisson (ce qui exclut le fait que l'on
consid�re la probabilit� d'observer exactement une voiture, donc il faut
comprendre ��au moins une��).
Et alors les r�ponses sont 0,63 en 10 minutes, 0.5 en 6 minutes 56
secondes, et on n'a jamais une probabilit� 1 en temps fini.
Mathon Jacques
> L'�nonc� pr�cise la situation dans laquelle on se trouve, qui est
> clairement un processus de Poisson (ce qui exclut le fait que l'on
> consid�re la probabilit� d'observer exactement une voiture, donc il faut
> comprendre � au moins une �).
Je n'ai pas vu cette pr�cision dans l'�nonc�. :(
C'est dans l'�nonc� d'origine ?
C'est bien l'hypoth�se que j'avais faite (loi binomiale sur un
intervalle de temps suffisamment grand) mais il semblerait que je me
soit tromp� au regard du r�sultat ci-dessous. :(
> Et alors les r�ponses sont 0,63 en 10 minutes, 0.5 en 6 minutes 56
> secondes, et on n'a jamais une probabilit� 1 en temps fini.
Le r�sultat que j'ai donn� vaut pour une proba de 0,5 en... 10mn (au
lieu de 30mn) soit trois fois moins que le r�sultat ci-dessus.
Merci pour la correction. :)
Amicalement
--
Jacques
Mehdi Tibouchi
<4b4b08f0$0$23022$426a...@news.free.fr>:
>
> Je n'ai pas vu cette pr�cision dans l'�nonc�. :(
Il est dit qu'on regardait des voitures passer. Sans pr�cision
suppl�mentaire, c'est un processus de Poisson. C'est comme dire qu'on
regarde une poussi�re dans une bo�te de Petri. Sans pr�cision
suppl�mentaire, c'est un mouvement brownien.
�videmment, il se pourrait que la poussi�re soit soumise � un puissant
champ �lectrique qui perturbe sa trajectoire, et il se pourrait que l'on
regarde une seule voiture repasser toujours au m�me point alors qu'elle
se d�place � vitesse constante dans un circuit, mais ce n'est pas tr�s
cr�dible.
Mathon Jacques
> ... C'est bien l'hypoth�se que j'avais faite (loi binomiale sur un
> intervalle de temps suffisamment grand) mais il semblerait que je me
> soit tromp� au regard du r�sultat ci-dessous. :(
>
>> Et alors les r�ponses sont 0,63 en 10 minutes, 0.5 en 6 minutes 56
>> secondes, et on n'a jamais une probabilit� 1 en temps fini.
>
> Le r�sultat que j'ai donn� vaut pour une proba de 0,5
D�cid�ment!
Il s'agit ici de 0,95
> en... 10mn (au lieu de 30mn) soit trois fois moins que le r�sultat
> ci-dessus.
Amicalement
--
Jacques... s�rieux s'abstenir
Mathon Jacques
> Mathon Jacques wrote in message
> <4b4b08f0$0$23022$426a...@news.free.fr>:
>> Je n'ai pas vu cette pr�cision dans l'�nonc�. :(
>
> Il est dit qu'on regardait des voitures passer. Sans pr�cision
> suppl�mentaire, c'est un processus de Poisson. C'est comme dire qu'on
> regarde une poussi�re dans une bo�te de Petri. Sans pr�cision
> suppl�mentaire, c'est un mouvement brownien.
Ce n'est pas l'observateur qui fait le processus... du moins pas ici. ;)
Cela dit, si tu veux dire qu'en absence de pr�cision on fera cette
supposition dans un contexte "scolaire", pourquoi pas. Je continue de
penser que "cela va mieux en le disant". Dans ce cas, la pr�cision
devient... explicite. ;)
Sur ce sujet, j'ai pu constater � de nombreuses reprises l'utilisation
erron�e de l'hypoth�se de "normalit�". Je peux m�me dire que cet usage
est pour moi un "r�flexe" sur lequel, apr�s avoir vainement tent� de le
"d�programmer", j'ai construit un r�flexe de v�rification.
> �videmment, il se pourrait que la poussi�re soit soumise � un puissant
> champ �lectrique qui perturbe sa trajectoire, et il se pourrait que l'on
> regarde une seule voiture repasser toujours au m�me point alors qu'elle
> se d�place � vitesse constante dans un circuit, mais ce n'est pas tr�s
> cr�dible.
Pour ce qui concerne le passage de voitures en g�n�ral, l'unit� de temps
consid�r�e risque de changer le processus et justifie, de mon point de
vue, d'expliciter les �ventuelles hypoth�ses.
Dans une contexte non scolaire, l'explicitation des hypoth�ses me para�t
s'imposer.
Voir par exemple
http://images.math.cnrs.fr/Cent-pour-cent-des-gagnants-ont.html
en particulier, le paragraphe "Nombre de partenaires".
Amicalement
--
Jacques
zwim
Mehdi Tibouchi a �crit
A-t'on besoin de connaitre la loi v�rifi�e par le processus ?
La r�ponse 5) du post originel me semble �tre tout � fait correcte et
conduit exactement au m�me r�sultat qu'avec une loi de Poisson.
La seule chose que l'on suppose effectivement c'est le "au moins une
voiture".
> 5. Soit N la probabilit� de voir une voiture en 10 min. 1-N la proba de
> ne pas en voir une. Donc pour ne voir aucune voiture en 3*10min, on a
> une proba de (1-N)^3, et donc on sait que 1-((1-N)^3) = 0.95
> On obtient (1-N)^3 = 0.05, d'o� 1-N = 0.3684.
> R�sultat : N = 0.6316
Pour O.Faurax le d�tail du calcul avec la loi de Poisson :
p(X=n, t) = exp(-�t) (�t)^n/n!
prenons comme unit� de temps t=1 <=> 30 min.
on connait p(X>=1, 1) = 0.95
= exp(-�) sum(n=1..+oo, �^n/n!)
= exp(-�) (exp(�)-1)
= 1 - exp(-�)
= 1 - P(X=0, 1)
soit � ~ 2.995
Et on veut calculer P(X>=1, 1/3) = 1- P(X=0, 1/3) = 1 - exp(-�/3) =
63.16%
Qui finalement n'est autre chose que la m�thode 5 d�guis�e.
--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volont� humaine...
Lotre
zwim wrote:
> A-t'on besoin de connaitre la loi v�rifi�e par le processus
(...)
>Soit N la probabilit� de voir une voiture en 10 min. 1-N la proba
>de ne pas en voir une. Donc pour ne voir aucune voiture en 3*10min,
>on a une proba de (1-N)^3, et donc on sait que 1-((1-N)^3) = 0.95
Que l'on nomme ou pas les choses,
les hypoth�ses implicites existent...
...
sinon le calcul (1-N)^3 n'aurait aucune justification ...
Comme d�j� signal� dans ce fil, en proba
il y a toujours �norm�ment de "non-dits"
du style :
"�a ne d�pend pas du moment",
"certains �v�nements sont ind�pendants",
etc ...
C'est justement le r�le des loies connues
de nommer clairement des "situations standards"
qui, apr�s avoir �t�s clairement pr�cis�es et formalis�es,
fournissent les r�sultats g�n�raux associ�es.
Bref ... c'est des maths, quoi ;o)
HB
Mehdi Tibouchi
>
> Que l'on nomme ou pas les choses,
> les hypoth�ses implicites existent...
> ...
> sinon le calcul (1-N)^3 n'aurait aucune justification ...
>
> Comme d�j� signal� dans ce fil, en proba
> il y a toujours �norm�ment de "non-dits"
> du style :
> "�a ne d�pend pas du moment",
> "certains �v�nements sont ind�pendants",
> etc ...
Tout � fait. En l'occurrence, les hypoth�ses implicites n�cessaires pour
faire marcher le raisonnement indiqu� sont un peu plus faibles que ce qui
est n�cessaire pour �tablir qu'il s'agit d'un processus de Poisson (en
particulier parce qu'elles ne disent pas grand-chose sur l'�ventuelle
simultan�it� des incr�ments), mais pas de beaucoup.
Olivier FAURAX
> Pour O.Faurax le d�tail du calcul avec la loi de Poisson :
> p(X=n, t) = exp(-�t) (�t)^n/n!
Merci beaucoup, je commen�ais � d�sesp�rer :)
> = exp(-�) sum(n=1..+oo, �^n/n!)
> = exp(-�) (exp(�)-1)
He ben, �a faisait longtemps que j'avais pas revu la d�composition de
l'exponentiel en somme....
Merci � tous
Olivier