identification de la fonction - développement en serie de Taylor
bubu
Soit un d�veloppement en s�rie de Taylor, existe-t-il une m�thode
permettant, � partir des termes de la s�rie, de retrouver la fonction
d'origine
Merci
exemple : fonction exp(4*x-2)*(x+1) d�velopp�e en serie de Taylor.
comment retrouver cette fonction lorsqu'on ne connait que les termes de
la s�rie
Denis Feldmann
En g�n�ral, ce n'est pas possible. Quand on connait certaines relations
entre les coefficients (genre a_n=1/(n!)^2 => a_(n+1)=
a_n/(n+1)^2), il est possible d'en d�duire que la s�rie f(x)= sum a_nx^n
v�rifie une �quation (diff�rentielle par exemple, ainsi ici,
(xf'(x))'=f(x) ) qu'on pourra alors (tenter de) r�soudre...
alainv...@gmail.com
wrote:
> bubu a écrit :
>
> > Bonjour,
>
> > Soit un développement en série de Taylor, existe-t-il une méthode
> > permettant, à partir des termes de la série, de retrouver la fonction
> > d'origine
>
> > Merci
>
> > exemple : fonction exp(4*x-2)*(x+1) développée en serie de Taylor.
> > comment retrouver cette fonction lorsqu'on ne connait que les termes de
>
> En général, ce n'est pas possible. Quand on connait certaines relations
> entre les coefficients (genre a_n=1/(n!)^2 => a_(n+1)=
> vérifie une équation (différentielle par exemple, ainsi ici,
> (xf'(x))'=f(x) ) qu'on pourra alors (tenter de) résoudre...
Bonjour Bubu et Denis,
Les cas les fréquemment rencontrés concernent soit des fonctions
construites à partir d'exponentielles:
Ex: f(x) = x -x^3/(3*3!) + x^5/(5*5!)...
g(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...
ou de fonctions homographiques,
Avec 1/(1-x) , |x|<1 ,
f(x) = 1 +2*x + 3*x^2 + ..
g(x) = x +x^2/2 + x^3/3 +...
Le cas proposé par Bubu rentre dans les
fonctions d1(x)*exp(d2(x)) , di(x) des droites ,
Alain
Valeri Astanoff
> Bonjour,
>
> Soit un développement en série de Taylor, existe-t-il une méthode
> d'origine
>
> Merci
>
> exemple : fonction exp(4*x-2)*(x+1) développée en serie de Taylor.
> comment retrouver cette fonction lorsqu'on ne connait que les termes de
Bonjour,
Si vous êtes capable "d'intuiter" la forme générale
de la fonction, déterminer les coefficients inconnus
ne pose pas trop de difficulté.
Exemple de calcul (avec Mathematica) :
Soit le développement suivant, d'une fonction inconnue :
In[1]:= s = 1 + 5*x + 12*x^2 + 56*x^3/3 + 64*x^4/3
On pense que la fonction est de cette forme :
In[2]:= f[x_] = Exp[a*x + b]*(c*x + d)
On développe de la fonction paramétrée au même ordre :
In[3]:= t = Normal[Series[f[x], {x, 0, 4}]]
Il ne reste plus qu'à identifier les coefficients par "SolveAlways" :
In[4]:= f[x] /. SolveAlways[s == t, x] // First // Simplify
Out[4]= E^(4*x)*(1 + x)
Et voilà !
Dans le cas contraire, cas où l'intuition fait défaut,
il y a en général peu d'espoir...
--
V.Astanoff
alainv...@gmail.com
Bonjour V.Astanoff,
D'accord sur ta formulation: "Intuiter" .
Fructueuse aussi la remarque de Denis:
" Relations entre les coefficients :Ex a_n = 1/(n!)^2 et a_(n+1) .."
Certains cas correspondent à un opérateur différentiel simple .
Exemple: g(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ... , D pour d/dx , I pour
identité.
D g(x) = x^2/2! + x^5/5! ...
D^2 g(x) = x + x^4/4! +...
Donc (I + D+ D^2) o g(x) = exp(x) ...
Alain
bubu
je me disais que s'il s'agit d'une fonction analytique je peux la mettre
sous la forme :
sum(f^(n)(0)*x^n/n!)
en d�terminant la relation entre les coefficients (que l'on suppose
connue => il faut d�j� la trouver), on en d�duit l'expression des
d�riv�es successives en 0 mais cela ne suffit pas � trouver la fonction
f(x).
une autre idee? je suppose �videmement que la s�rie correspond � une
fonction analytique.
Patrick Coilland
>
> je me disais que s'il s'agit d'une fonction analytique je peux la mettre
> sous la forme :
> sum(f^(n)(0)*x^n/n!)
> en d�terminant la relation entre les coefficients (que l'on suppose
> connue => il faut d�j� la trouver), on en d�duit l'expression des
> d�riv�es successives en 0 mais cela ne suffit pas � trouver la fonction
> f(x).
>
> une autre idee? je suppose �videmement que la s�rie correspond � une
> fonction analytique.
Comme il t'a d�j� �t� r�pondu, c'est une affaire de cas par cas.
Il est bien �vident qu'il n'y a pas de solution g�n�rale � ton probl�me.
En particulier, tu as bien �videmment un tas de s�ries convergentes
sum(a_n*x^n)(avec rayon de convergence infini) qui ne peuvent pas se
mettre sous forme de combinaisons finies de fonctions �l�mentaires.
bubu
> fonction analytique.
on pourrait aussi ecrire :
S=sum(a_n*x^n/n!)=sum(f^(n)(u)*(x-u)^n/n!)
�a permet d'obetnie un degr� de libert� en plus (la variable u)
apr�s je coince.
je ne vois pas non plus comment on obtient une �qua diff alors qu'on a
que des valeurs de la fonction et de ses d�riv�es en 0.
bubu
bubu
ok mais on n'a pas qu'une seule fonction analytique correspondant � une
s�rie ?
Patrick Coilland
Si, bien s�r : la s�rie EST la fonction. Et cela ne signifie nullement
qu'il y ait une expression utilisant des fonctions classiques.
Si je prends par exemple f(x)=sum(p_n*x^n/n!) avec p_n n_i�me nombre
premier, je serais surpris que l'on puisse trouver une expression de
f(x) autre que la s�rie elle-m�me.
bubu
OK
Denis Feldmann
bubu
ok, oui
alainv...@gmail.com
> Denis Feldmann a écrit :
>
>
>
>
>
> > bubu a écrit :
> >> bubu a écrit :
> >>> Denis Feldmann a écrit :
> >>>> bubu a écrit :
> >>>>> Bonjour,
>
> >>>>> Soit un développement en série de Taylor, existe-t-il une méthode
> >>>>> fonction d'origine
>
> >>>>> Merci
>
> >>>>> exemple : fonction exp(4*x-2)*(x+1) développée en serie de Taylor.
> >>>>> comment retrouver cette fonction lorsqu'on ne connait que les
>
> >>>> En général, ce n'est pas possible. Quand on connait certaines
> >>>> relations entre les coefficients (genre a_n=1/(n!)^2 => a_(n+1)=
> >>>> (xf'(x))'=f(x) ) qu'on pourra alors (tenter de) résoudre...
>
> >>> je me disais que s'il s'agit d'une fonction analytique je peux la
> >>> mettre sous la forme :
> >>> sum(f^(n)(0)*x^n/n!)
> >>> connue => il faut déjà la trouver), on en déduit l'expression des
> >>> dérivées successives en 0 mais cela ne suffit pas à trouver la
> >>> fonction f(x).
>
> >>> une autre idee? je suppose évidemment que la série correspond à une
> >>> fonction analytique.
>
> >> on pourrait aussi ecrire :
> >> S=sum(a_n*x^n/n!)=sum(f^(n)(u)*(x-u)^n/n!)
>
> >> après je coince.
>
> >> je ne vois pas non plus comment on obtient une équa diff alors qu'on a
> >> que des valeurs de la fonction et de ses dérivées en 0.
>
> > Je croyais l'avoir expliqué... Tu sais dériver une série entière?
>
> ok, oui- Masquer le texte des messages précédents -
>
> - Afficher le texte des messages précédents -
Cher Bubu,
En dehors d'une solution générale et universelle,
**Il existe des développements f(x) = sum(a(i)x^i ) pour lesquels
nous connaissons une fonction g(x) = sum(b(i)x^i ) et une
correspondance
entre coefficients a(i) = p(i)*b(i) , p(i) un polynôme.
Exemple: f(x) = 1 + 3x + 5x^2/2!+ 7x^3/3! +...
et donc p(i) = 2i +1, g(x) = exp(x) .
**Il existe aussi des opérateurs ne modifiant pas la puissance de la
variable Op o x^i = c(i)*x^i ,comme I, x*d/dx ,d/dx x ,.. {d/dx x}
^n ...
p(i) = 2i +1 correspond à (2x*d/dx + I) ,
soit f(x) = (2x*d/dx + I) o exp(x) = (2x +1)*exp(x) ,
Alain
zwim
bubu a �crit
Faire d�j� attention au fait que toute fonction ne peut pas se
retrouver � partir de son d�veloppement limit�.
Par exemple exp(-1/x�) = 0 + o(x^n) QQS n.
Si on a une s�rie enti�re donn�e, il est souvent commode de trouver
une equadiff v�rifi�e par la s�rie pour retrouver ainsi la fonction
d'origine (et quelque fois un des th d'unicit� permet de conclure).
--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volont� humaine...
alainv...@gmail.com
>
> >Bonjour,
>
> >Soit un développement en série de Taylor, existe-t-il une méthode
> >d'origine
>
> >Merci
>
> >exemple : fonction exp(4*x-2)*(x+1) développée en serie de Taylor.
> >comment retrouver cette fonction lorsqu'on ne connait que les termes de
>
> Faire déjà attention au fait que toute fonction ne peut pas se
> retrouver à partir de son développement limité.
>
> Par exemple exp(-1/x²) = 0 + o(x^n) QQS n.
>
> une equadiff vérifiée par la série pour retrouver ainsi la fonction
> d'origine (et quelque fois un des th d'unicité permet de conclure).
>
> --
> zwim.
> Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...
Bonjour Zwim,
En fait, il existe de nombreux cas pour lesquels nous pouvons
trouver une forme close et simple qui rende compte du développement
et corresponde au terme générique.
Nous avons, d'autre part, remarqué que souvent
les problèmes posés étaient généralement solubles,
Alain