Google Groups no longer supports new Usenet posts or subscriptions. Historical content remains viewable.
Dismiss
carré et cube
8 views
Skip to first unread message
lionel...@gmail.com
Oct 16, 2012, 4:59:05 AM10/16/12
to
Bonjour,
Il y a un exo classique qui consiste à trouver les solutions entières (y^2=25 et x=3) de y^2=x^3-2 grâce au fait que Z[i*sqrt(2)] est factoriel, et les unités 1 et -1 (donc sont des cubes).
Je me suis posé la question : et pour y^2=x^3+2 ? Là, l'anneau considéré est Z[sqrt(2)] qui reste factoriel, mais qui a beaucoup plus d'unités, et notamment ses unités ne sont pas toutes des cubes (1+sqrt(2) est unité fondamentale de l'anneau). Concrètement, pour ce cas là, je n'avance à rien. Quelqu'un saurait-il montrer qu'il n'y a pas de solutions entières (conjecture de ma part) ?
Merci
Lionel
Il y a un exo classique qui consiste à trouver les solutions entières (y^2=25 et x=3) de y^2=x^3-2 grâce au fait que Z[i*sqrt(2)] est factoriel, et les unités 1 et -1 (donc sont des cubes).
Je me suis posé la question : et pour y^2=x^3+2 ? Là, l'anneau considéré est Z[sqrt(2)] qui reste factoriel, mais qui a beaucoup plus d'unités, et notamment ses unités ne sont pas toutes des cubes (1+sqrt(2) est unité fondamentale de l'anneau). Concrètement, pour ce cas là, je n'avance à rien. Quelqu'un saurait-il montrer qu'il n'y a pas de solutions entières (conjecture de ma part) ?
Merci
Lionel
AP
Oct 16, 2012, 11:59:52 AM10/16/12
to
On Tue, 16 Oct 2012 01:59:05 -0700 (PDT), lionel...@gmail.com
wrote:
je ne sais pas pour cette équation mais
pour l'équation y^2=x^3+7 (qui y ressemble un peu...)
la méthode donnée ici en 2001 ( c'était la "belle époque")
consistait à l'écrire
y^2+1=(x+2)((x-1)^2+3)
puis (je ne reprend que les idées principales)
x ne peut être pair car y^2 est non congru à 7 mod 8
et x ne peut être impair car -1 pas résidu quadratique des nb 1er de
la forme 4k+3
donc pas de solution
maintenant est-ce que ces idées peuvent être utiles lorsque 7 devient
2, je ne sais
en tout cas x ne peut être pair
car sinon y^2 congru à 2 mod 8 ce qui est impossible
wrote:
pour l'équation y^2=x^3+7 (qui y ressemble un peu...)
la méthode donnée ici en 2001 ( c'était la "belle époque")
consistait à l'écrire
y^2+1=(x+2)((x-1)^2+3)
puis (je ne reprend que les idées principales)
x ne peut être pair car y^2 est non congru à 7 mod 8
et x ne peut être impair car -1 pas résidu quadratique des nb 1er de
la forme 4k+3
donc pas de solution
maintenant est-ce que ces idées peuvent être utiles lorsque 7 devient
2, je ne sais
en tout cas x ne peut être pair
car sinon y^2 congru à 2 mod 8 ce qui est impossible
lionel...@gmail.com
Oct 17, 2012, 2:32:19 PM10/17/12
to
Bonjour,
>
> je ne sais pas pour cette équation mais
> pour l'équation y^2=x^3+7 (qui y ressemble un peu...)
>
> la méthode donnée ici en 2001 ( c'était la "belle époque")
> consistait à l'écrire
> y^2+1=(x+2)((x-1)^2+3)
> puis (je ne reprend que les idées principales)
> x ne peut être pair car y^2 est non congru à 7 mod 8
> et x ne peut être impair car -1 pas résidu quadratique des nb 1er de
> la forme 4k+3
> donc pas de solution
Joli :) Et il faut avoir l'idée de l'écrire ainsi !
> maintenant est-ce que ces idées peuvent être utiles lorsque 7 devient
> 2, je ne sais en tout cas x ne peut être pair
> car sinon y^2 congru à 2 mod 8 ce qui est impossible
Je n'y ai pas trop réfléchi, mais je ne vois pas comment adapter à l'équation qui m'intéresse.
En tout cas, merci de m'avoir fait découvrir une joli démo (astucieuse).
Lionel
>
> je ne sais pas pour cette équation mais
> pour l'équation y^2=x^3+7 (qui y ressemble un peu...)
>
> la méthode donnée ici en 2001 ( c'était la "belle époque")
> consistait à l'écrire
> y^2+1=(x+2)((x-1)^2+3)
> puis (je ne reprend que les idées principales)
> x ne peut être pair car y^2 est non congru à 7 mod 8
> et x ne peut être impair car -1 pas résidu quadratique des nb 1er de
> la forme 4k+3
> donc pas de solution
> maintenant est-ce que ces idées peuvent être utiles lorsque 7 devient
> 2, je ne sais en tout cas x ne peut être pair
> car sinon y^2 congru à 2 mod 8 ce qui est impossible
En tout cas, merci de m'avoir fait découvrir une joli démo (astucieuse).
Lionel
0 new messages