Une équation fonctionnelle
alainv...@gmail.com
telle que:
g(x+1,y) = 2*g(x,y) + 3y
et d/dy g(x,y) = g(x,1) ,
Existe-t'il une solution générale?
Merci pour vos éventuels commentaires,
Alain
Patrick Coilland
> Soit g , g:RxR -> R , continue en x et d�rivable en y
> telle que:
> g(x+1,y) = 2*g(x,y) + 3y
> et d/dy g(x,y) = g(x,1) ,
>
>
> Merci pour vos �ventuels commentaires,
>
> Alain
d/dy g(x,y) = g(x,1) ==> g(x,y)=g(x,1)y + h(x)
g(x+1,y)= 2g(x,y) + 3y ==> g(x+1,1)y + h(x+1) = 2g(x,1)y +2h(x) + 3y
Et donc :
g(x+1,1)=2g(x,1)+3, soit (g(x+1,1)+3)=2(g(x,1)+3)
h(x+1)=2h(x)
Soit la solution g�n�rale g(x,y)=(f1(x)-3)y+f2(x) o� f1 et f2 sont deux
solutions quelconques de l'�quation classique f(x+1)=2f(x)
zwim
alainv...@gmail.com a �crit
>Soit g , g:RxR -> R , continue en x et d�rivable en y
> telle que:
> g(x+1,y) = 2*g(x,y) + 3y
> et d/dy g(x,y) = g(x,1) ,
>
>
>Merci pour vos �ventuels commentaires,
Bof en posant f(x) = g(x,0) on est ramen� � f(x+1)=2f(x) dont on ne
peut pas tirer grand chose finalement.
Soit, supposons quand m�me que l'on ait f(x) = a 2^x
De la m�me mani�re avec un peu de calcul on pourrait avoir
g(x,y) = a 2^x + 3y (2^x-1)
La condition de d�rivation donne a=0.
Donc g(x,y) = 3y(2^x-1) est une solution possible, mais � mon avis on
ne peu gu�re tirer plus que �a de cette �quation.
--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volont� humaine...
zwim
Patrick Coilland a �crit
>> Soit g , g:RxR -> R , continue en x et d�rivable en y
>> telle que:
>> g(x+1,y) = 2*g(x,y) + 3y
>> et d/dy g(x,y) = g(x,1) ,
>>
>> Existe-t'il une solution g�n�rale?
>>
>> Merci pour vos �ventuels commentaires,
>>
>> Alain
>
>d/dy g(x,y) = g(x,1) ==> g(x,y)=g(x,1)y + h(x)
Si je ne m'abuse
g(x,1) = g(x,1) + h(x) donc h(x) = 0.
>g(x+1,y)= 2g(x,y) + 3y ==> g(x+1,1)y + h(x+1) = 2g(x,1)y +2h(x) + 3y
>
>Et donc :
>g(x+1,1)=2g(x,1)+3, soit (g(x+1,1)+3)=2(g(x,1)+3)
>h(x+1)=2h(x)
>
>Soit la solution g�n�rale g(x,y)=(f1(x)-3)y+f2(x) o� f1 et f2 sont deux
>solutions quelconques de l'�quation classique f(x+1)=2f(x)
--
Patrick Coilland
>
> Si je ne m'abuse
> g(x,1) = g(x,1) + h(x) donc h(x) = 0.
>
Effectivement, je pense que tu ne t'abuses pas :)
Patrick Coilland
Si je ne m'abuse, g(x,y)=g(x,1)y et donc f(x)=g(x,0)=0
;)
En revanche, si on pose h(x)=g(x,1)+3, on est effectivement ramen� au
cas h(x+1)=2h(x)qui se r�sout bien :
h(x)=2^[x]u({x}) avec u d�finie et continue sur [0,1] v�rifiant u(1)=2u(0)
et donc g(x,y)=(2^[x]u({x})-3)y
zwim
Patrick Coilland a �crit
>> Le Thu, 2 Jul 2009 01:57:44 -0700 (PDT)
>> alainv...@gmail.com a �crit
>>> Soit g , g:RxR -> R , continue en x et d�rivable en y
>>> telle que:
>>> g(x+1,y) = 2*g(x,y) + 3y
>>> et d/dy g(x,y) = g(x,1) ,
>>>
>>> Existe-t'il une solution g�n�rale?
>>>
>>> Merci pour vos �ventuels commentaires,
>>
>> Bof en posant f(x) = g(x,0) on est ramen� � f(x+1)=2f(x) dont on ne
>> peut pas tirer grand chose finalement.
>>
>> Soit, supposons quand m�me que l'on ait f(x) = a 2^x
>>
>> De la m�me mani�re avec un peu de calcul on pourrait avoir
>> g(x,y) = a 2^x + 3y (2^x-1)
>>
>> La condition de d�rivation donne a=0.
>>
>> Donc g(x,y) = 3y(2^x-1) est une solution possible, mais � mon avis on
>> ne peu gu�re tirer plus que �a de cette �quation.
>
>Si je ne m'abuse, g(x,y)=g(x,1)y et donc f(x)=g(x,0)=0
>;)
l'abus de math est-il dangereux pour la sant� ?
sinon on continue :-)
>En revanche, si on pose h(x)=g(x,1)+3, on est effectivement ramen� au
>cas h(x+1)=2h(x)qui se r�sout bien :
>
>h(x)=2^[x]u({x}) avec u d�finie et continue sur [0,1] v�rifiant u(1)=2u(0)
>
>et donc g(x,y)=(2^[x]u({x})-3)y
>
yep.
Patrick Coilland
>
> l'abus de math est-il dangereux pour la sant� ?
> sinon on continue :-)
>
Avec un bon suivi m�dico-psychologique, c'est une addiction qui se g�re
bien ;)
alainv...@gmail.com
> zwim a écrit :
>
>
>
> > l'abus de math est-il dangereux pour la santé ?
> > sinon on continue :-)
>
> Avec un bon suivi médico-psychologique, c'est une addiction qui se gère
> bien ;)
Bonsoir Patrick et Zwim,
Merci de vos promptes réponses.
La solution g(x,y) = (f1(x) -3)y+f2(x) avec f(x+1)=2*f(x) (1)
me semble familière .
La seconde
g(x,y)=(2^[x]u({x})-3)y ,u définie et continue sur [0,1] vérifiant u(1)
=2u(0)
un cas particulier de (1) , f1(x) = 2^[x]u({x}) , f2(x) = 0
Alain
Patrick Coilland
> La solution g(x,y) = (f1(x) -3)y+f2(x) avec f(x+1)=2*f(x) (1)
famili�re mais fausse puisque, comme zwim le fait remarquer, f2(x)=0
n�cessairement
alainv...@gmail.com
> alainvergh...@gmail.com a écrit :
>
> > La solution g(x,y) = (f1(x) -3)y+f2(x) avec f(x+1)=2*f(x) (1)
>
> familière mais fausse puisque, comme zwim le fait remarquer, f2(x)=0
> nécessairement
Bonsoir,
Bien, je suis parti pour ma construction d'une droite (2*L+3)
itérée soit (2*L+3)^[x +c] multipliée par y ou encore
g(x,y) = y * (2*L+3)^[x +c] , c un réel
ou g(x,y) = y*(k*2^x - 3) , k une constante
ou un invariant pour x->(x +1) ,
Alain