intégrale sin(x)/x
Nico
Mon application touche l'électronique
.
Je n'arrive plus à démontrer que presque toute l'énergie (95-99%) d'un
signal impulsionnel définit par sa largeur tau et amplitude A en volt
(dont la transformée de fourrier et de type [sin(2.pi.f.tau)/
2.pi.f.tau]) est comprise dans le premier lobe de l'occupation
spectrale, c'est à dire entre l'intégrale entre -1/Tau et 1/Tau.
Voici mon raisonnement:
Dans le domaine temporel l'énergie vaut quelque chose comme A².tau ou
A.tau.
Dans le domaine fréquentiel, il s'agit de la fonction abs(sinc(x))
qu'il faut intégrer entre -1/Tau et 1/Tau.
Il s'agit bien de la valeur absolue car je parle d'energie ici.
Quelqu'un peut-il m'aiguiller ?
J'ai vu que la fonction Si(x)=somme 0 -> x de sin(x)/x = x - x^3/3 .
3! + x^5/5 . 5! - ... mais ça ne m'aide pas trop.
Merci.
Nico
spaceman
"Nico" <nicolas...@gmail.com> a �crit dans le message de groupe de
discussion :
e14c91c2-6a28-4b55...@y7g2000yqa.googlegroups.com...
> Bonjour,
>
> Mon application touche l'�lectronique
> .
> Je n'arrive plus � d�montrer que presque toute l'�nergie (95-99%) d'un
> signal impulsionnel d�finit par sa largeur tau et amplitude A en volt
> (dont la transform�e de fourrier et de type [sin(2.pi.f.tau)/
> 2.pi.f.tau]) est comprise dans le premier lobe de l'occupation
>
> Voici mon raisonnement:
>
> Dans le domaine temporel l'�nergie vaut quelque chose comme A�.tau ou
> A.tau.
> Dans le domaine fr�quentiel, il s'agit de la fonction abs(sinc(x))
> qu'il faut int�grer entre -1/Tau et 1/Tau.
> Il s'agit bien de la valeur absolue car je parle d'energie ici.
>
> Quelqu'un peut-il m'aiguiller ?
> J'ai vu que la fonction Si(x)=somme 0 -> x de sin(x)/x = x - x^3/3 .
>
> Merci.
>
> Nico
T'es-tu aid� d'outils genre Mathematica/Matlab ?
Ou bien sinon, il existe ceci qui pourra t'aider je pense :
http://www.wolframalpha.com/ (c'est un Mathematica online).
Nicolas
Merci pour le lien wolframalpha, je ne connaissais pas (pas acc�s �
Mathematica).
Sinon, je cherche une demonstration, pas vraiment le r�sultat.
De plus, il me semble qu'il est possible de faire la d�mon sans Si(x).
Des id�es ?
Nico
Jean-Christophe
> Je n'arrive plus à démontrer que presque toute l'énergie (95-99%) d'un
> signal impulsionnel définit par sa largeur tau et amplitude A en volt
> (dont la transformée de fourrier et de type [sin(2.pi.f.tau)/
> 2.pi.f.tau]) est comprise dans le premier lobe de l'occupation
> spectrale, c'est à dire entre l'intégrale entre -1/Tau et 1/Tau.
> Dans le domaine temporel l'énergie vaut quelque chose comme A².tau ou
> A.tau.
> Dans le domaine fréquentiel, il s'agit de la fonction abs(sinc(x))
> qu'il faut intégrer entre -1/Tau et 1/Tau.
> Il s'agit bien de la valeur absolue car je parle d'energie ici.
> Quelqu'un peut-il m'aiguiller ?
> J'ai vu que la fonction Si(x)=somme 0 -> x de sin(x)/x = x - x^3/3 .
> 3! + x^5/5 . 5! - ... mais ça ne m'aide pas trop.
L'energie totale de l'impulsion est :
l'integrale du carre de l'amplitude dans le domaine temporel
et donc c'est aussi :
l'integrale du carre de l'amplitude dans le domaine frequentiel
Si on note: sinc(x) = sin(x)/x
La TF d'une impulsion temporelle rectangulaire
d'amplitude A de -T/2 a +T/2 est :
X(f) = A * T * sinc( PI * F * T )
L'energie totale d'une impulsion temporelle
rectangulaire d'amplitude A de -T/2 a +T/2 est
E = A^2 * T
C'est donc la meme que l'energie totale du carre de son spectre :
Integrale -infini a +infini de | X(f) |^2 * df = E
Il reste a calculer dans le domaine frequentiel :
Integrale -1/T a +1/T de | X(f) |^2 * df = K
puis etablir le rapport K/E pour trouver le pourcentage
d'energie contenue dans le seul premier lobe spectral.
Pour cela tu peux t'appuyer sur ceci :
Integrale -infini a +infini de sinc(x)^2 * dx = PI
Et sur ceci :
http://cjoint.com/?gqx6efFGD6
Lors des calculs il faut faire attention aux bornes d'integration.
( j'espere que mon blabla est assez clair )
Valeri Astanoff
Bonjour,
Retranscrit en Mathematica ça donne 30%, ce qui semble faible...
Quelle erreur ai-je commis ?
In[1]:= $Assumptions=tau>0&&A>0;
In[2]:= r[t_]=A(UnitStep[t+tau/2]-UnitStep[t-tau/2]) ;
In[3]:= x[f_]=FourierTransform[r[t],t,f]
Out[3]= (A*Sqrt[2/Pi]*Sin[(f*tau)/2])/f
In[4]:= e = Integrate[Abs[r[t]]^2, {t, -Infinity, Infinity}]
Out[4]= A^2*tau
In[5]:= e == Integrate[Abs[x[f]]^2, {f, -Infinity, Infinity}]
Out[5]= True
In[6]:= k = Integrate[Abs[x[f]]^2, {f, -1/tau, 1/tau}]
Out[6]= (2*A^2*tau*(-1 + Cos[1] + SinIntegral[1]))/Pi
In[7]:= k/e
Out[7]= (2*(-1 + Cos[1] + SinIntegral[1]))/Pi
In[8]:= %//N
Out[8]= 0.309643
--
V.Astanoff
Jean-Christophe
> Retranscrit en Mathematica ça donne 30%, ce qui semble faible...
> Quelle erreur ai-je commis ?
Je ne suis pas un pro de Mathematica, ces formules
sont assez illisibles pour moi, mais je vais essayer.
> In[1]:= $Assumptions=tau>0&&A>0;
Ok
> In[2]:= r[t_]=A(UnitStep[t+tau/2]-UnitStep[t-tau/2]) ;
Je comprends UnitStep[x] mais pas l'expression complete :
et quelle est l'utilite de "t" plutot que simplement "tau/2" ?
Mais vu que l'energie de r[t_] = A^2*tau ca semble correct.
> In[3]:= x[f_]=FourierTransform[r[t],t,f]
> Out[3]= (A*Sqrt[2/Pi]*Sin[(f*tau)/2])/f
Je ne suis pas sur de Out[3], cela me semble bizarre d'avoir
un terme en Sqrt[2/Pi], un Sin[] au lieu d'un Sinc[], etc...
Sauf erreur de ma part, cela ressemble plutot a une
transformee en omega=2*PI*F plutot qu'en frequence F ?
Est-ce que FourierTransform[x(t),t,f] est bien celle-ci:
X(f) = integrale de -inf a +inf { x(t) * exp(-i*2*PI*F*t) * dt } ?
> In[4]:= e = Integrate[Abs[r[t]]^2, {t, -Infinity, Infinity}]
> Out[4]= A^2*tau
Ok
> In[5]:= e == Integrate[Abs[x[f]]^2, {f, -Infinity, Infinity}]
> Out[5]= True
Cela semble confirmer que la TF est correcte.
> In[6]:= k = Integrate[Abs[x[f]]^2, {f, -1/tau, 1/tau}]
> Out[6]= (2*A^2*tau*(-1 + Cos[1] + SinIntegral[1]))/Pi
Je ne suis pas sur de Out[6].
il faut prendre le carre du module de x[f], est-ce
que Abs[x] est le module de x, ou sa valeur absolue ?
> In[7]:= k/e
> Out[7]= (2*(-1 + Cos[1] + SinIntegral[1]))/Pi
Je ne comprends pas ceci.
> In[8]:= %//N
> Out[8]= 0.309643
Je ne comprends decidement pas ce resultat.
Peut-etre faut-il integrer au-dela du 1er lobe, de -2/T jusque +2/T ?
Ceci me semble etre une piste: PI * 0,309643 = 0,972772
ce qui semble plus proche de ce que l'on cherche.
Il faudrait confirmer que FourierTransform[x(t),t,f]
fait un calcul en frequence avec exp( -i * 2 * PI * f * t )
et non pas en omega avec exp( -i * omega * t ) ?
Nico
Il doit y avoir beaucoup plus simple (par là, je veux dire sans
utiliser de soft) puisque j'ai eu cet exo en DS il y a quelques années
(en BAC+3 ou 4 de mémoire).
Je ne me souviens plus par contre si j'avais des tables avec l'exo ...
Valeri Astanoff
> On 17 juin, 10:50, Valeri Astanoff <astan...@gmail.com> wrote:
>
> > Retranscrit en Mathematica ça donne 30%, ce qui semble faible...
> > Quelle erreur ai-je commis ?
>
> Je ne suis pas un pro de Mathematica, ces formules
> sont assez illisibles pour moi, mais je vais essayer.
>
> > In[1]:= $Assumptions=tau>0&&A>0;
>
> Ok
>
> > In[2]:= r[t_]=A(UnitStep[t+tau/2]-UnitStep[t-tau/2]) ;
>
> Je comprends UnitStep[x] mais pas l'expression complete :
> et quelle est l'utilite de "t" plutot que simplement "tau/2" ?
nb : t est la variable de la fonction rectangle r(t)
En fait il faut intégrer de -2pi/tau à 2pi/tau pour obtenir les 90% :
In[1]:= $Assumptions = tau > 0 && A > 0;
In[2]:= r[t_]=A(UnitStep[t+tau/2] - UnitStep[t-tau/2]) ;
In[3]:= x[f_]=FourierTransform[r[t],t,f]
Out[3]= (A*Sqrt[2/Pi]*Sin[(f*tau)/2])/f
In[4]:= e = Integrate[Abs[r[t]]^2, {t, -Infinity, Infinity}]
Out[4]= A^2*tau
In[5]:= e == Integrate[Abs[x[f]]^2, {f, -Infinity, Infinity}]
Out[5]= True
In[6]:= k = Integrate[Abs[x[f]]^2, {f, -2Pi/tau, 2Pi/tau}]
Out[6]= (2*A^2*tau*SinIntegral[2*Pi])/Pi
In[7]:= k/e
Out[7]= (2*SinIntegral[2*Pi])/Pi
In[8]:= %//N
Out[8]= 0.902823
--
V.Astanoff
Jean-Christophe
> En fait il faut intégrer de -2pi/tau à 2pi/tau pour obtenir les 90% :
Ce qui confirme que la TF utilise omega au lieu
de la frequence, d'ou le facteur Sqrt[2/Pi]
> In[7]:= k/e
> Out[7]= (2*SinIntegral[2*Pi])/Pi
> In[8]:= %//N
> Out[8]= 0.902823
Ok
Jean-Christophe
> Il doit y avoir beaucoup plus simple (par là, je veux dire sans
> utiliser de soft) puisque j'ai eu cet exo en DS il y a quelques années
> (en BAC+3 ou 4 de mémoire).
Pas besoin de soft, c'est juste pour verifier.
Tu calcules l'integrale dans l'espace des frequences.
Si tu as une table ca permet d'eviter certains calculs.
alainv...@gmail.com
Bonsoir,
A partir du développement de l'intégrale:
x -x^3/(3*3/)+x^5/(5*5!)-x^7/(7*7!)+x^9/(9*9!)...
5*5! = 600, -7*7! = -35280, 9*9! =3265920
inverse du dernier coeff. écrit: 0,31*10^ -6 ,
qui converge assez vite,
Alain
Valeri Astanoff
Question subsidiaire pour les matheux :
comment peut-on démontrer que l'intégrale de 0 à x > 0
de sin(t)/t reste toujours comprise strictement
entre pi/2-1/x et pi/2+1/x ?
--
V.Astanoff
spaceman
"Valeri Astanoff" <asta...@gmail.com> a �crit dans le message de groupe de
discussion :
19312492-eeea-41fc...@q37g2000vbi.googlegroups.com...
> On 17 juin, 15:42, Jean-Christophe <5...@free.fr> wrote:
>> On Jun 17, 1:04 pm, Nico <nicolas.depa...@gmail.com> wrote:
>>
>> > utiliser de soft) puisque j'ai eu cet exo en DS il y a quelques ann�es
>> > (en BAC+3 ou 4 de m�moire).
>>
>> Pas besoin de soft, c'est juste pour verifier.
>> Tu calcules l'integrale dans l'espace des frequences.
>> Si tu as une table ca permet d'eviter certains calculs.
>
> Question subsidiaire pour les matheux :
>
> de sin(t)/t reste toujours comprise strictement
> entre pi/2-1/x et pi/2+1/x ?
>
> --
> V.Astanoff
En partant de ce qu'on doit montrer peut-�tre ?
PI/... �a peut �tre un arcsin, un arccos, une arctan
Denis Feldmann
Tant qu'� proposer des trucs au hasard, tu pourrais essayer d'�tre plus
dr�le : passer par les complexes et les formules d'Euler, raisonner par
r�currence, chercher � se ramener � G�del ou � 42, d�montrer que c'est
vrai pour toute valeur suffisamment grande de Pi...
Denis Feldmann
> On 17 juin, 15:42, Jean-Christophe <5...@free.fr> wrote:
>> On Jun 17, 1:04 pm, Nico <nicolas.depa...@gmail.com> wrote:
>>
>>> utiliser de soft) puisque j'ai eu cet exo en DS il y a quelques ann�es
>>> (en BAC+3 ou 4 de m�moire).
>> Pas besoin de soft, c'est juste pour verifier.
>> Tu calcules l'integrale dans l'espace des frequences.
>> Si tu as une table ca permet d'eviter certains calculs.
>
> Question subsidiaire pour les matheux :
>
> de sin(t)/t reste toujours comprise strictement
> entre pi/2-1/x et pi/2+1/x ?
>
plus d�licate; y a une preuve assez astucieuse par int�grale �
param�tre) ; apr�s, �a � l'air d'�tre une histoire d'encadrement entre
kpi et (k+1)pi, non?
> --
> V.Astanoff
Valeri Astanoff
wrote:
> Valeri Astanoff a écrit :
>
>
>
> > On 17 juin, 15:42, Jean-Christophe <5...@free.fr> wrote:
> >> On Jun 17, 1:04 pm, Nico <nicolas.depa...@gmail.com> wrote:
>
> >>> utiliser de soft) puisque j'ai eu cet exo en DS il y a quelques années
> >>> (en BAC+3 ou 4 de mémoire).
> >> Pas besoin de soft, c'est juste pour verifier.
> >> Tu calcules l'integrale dans l'espace des frequences.
> >> Si tu as une table ca permet d'eviter certains calculs.
>
> > Question subsidiaire pour les matheux :
>
> > de sin(t)/t reste toujours comprise strictement
> > entre pi/2-1/x et pi/2+1/x ?
>
> plus délicate; y a une preuve assez astucieuse par intégrale à
> paramètre) ; après, ça à l'air d'être une histoire d'encadrement entre
> kpi et (k+1)pi, non?
L'intégrale de -oo à +oo se fait par transformée de Fourier :
In[1]:= g[w_] = FourierTransform[Sin[t]/t, t, w, FourierParameters ->
{1, -1}]
Out[1]= (1/2)*Pi*Sign[1 - w] + (1/2)*Pi*Sign[1 + w]
In[2]:= g[0]
Out[2]= Pi
d'où pi/2 par symétrie
mais l'encadrement dont je parle, par pi/2 - 1/x et pi/2 + 1/x, n'a
pas l'air immédiat...