Al Kashi ?
myname
je viens de tomber sur ce probl�me tout simple en apparence:
"Un point est distant de 3, 4 et 5 cm des 3 sommets d'un triangle
�quilat�ral. Quelle est l'aire du triangle �quilat�ral ?"
J'essaie de r�soudre �a avec Al Kashi mais ma trigo a plus de 15 ans
d'�ge...
Je me dis aussi qu'il y a deux propri�t�s � prendre en compte pour
simplifier les �quiations:
- chaque angle du triangle �quilat�ral vaut pi/3
- autour du point central, la somme des angles vaut 2pi
Mais je ne m'en sors pas... et je vais tout simplement laisser tomber...
Quelqu'un aurait la solution ?
Merci !
FredLeMarin1492
>
> "Un point est distant de 3, 4 et 5 cm des 3 sommets d'un triangle
>
> J'essaie de résoudre ça avec Al Kashi mais ma trigo a plus de 15 ans
> d'âge...
>
> Je me dis aussi qu'il y a deux propriétés à prendre en compte pour
> simplifier les équiations:
> - chaque angle du triangle équilatéral vaut pi/3
> - autour du point central, la somme des angles vaut 2pi
>
> Mais je ne m'en sors pas... et je vais tout simplement laisser tomber...
>
> Quelqu'un aurait la solution ?
>
> Merci !
Bonjour,
Faisons en sorte que le point distant des trois sommets soit
l'origine du plan complexe (par convention c'est possible)
Notons a , b, c les affixes des points du triangle équilatéral.
Je me demande si la caractérisation d'un triangle équilatéral en plan
complexe
permet de résoudre algébriquement le problème, à savoir :
Résoudre le système d'équations (dans C)
|a| = 3
|b| = 4
|c| = 5
a² + b² + c² = ab + bc + ac
(condition avec les affixes des points du triangle pour exprimer que
le
triangle est équilatère)
Je n'ai pas résolu ce système mais bon courage.
Ensuite l'aire du triangle ABC avec A(a) B(b) et C(c) s'obtient par la
formule
(1/2) * | produit vectoriel(AB,AC) | (en cm² et avec un passage dans
l'espace
euclidien orienté de dim. 3 donc)
Bon, c'est bourrin, pas élégant (et cela ne fonctionne peut-être
pas)...
FredLeMarin1492
Charles Delorme
triangles dont un sommet est le point et le c�t� oppos� un c�t�
du triangle �quilat�ral
est l'aire du grand triangle (si le point est bien � l'int�rieur
du triangle), ce que tu sembles supposer).
L'aire d'un triangle de c�t�s a, b, c est donn�e par la formule de Heron
16*s^2 = (a+b+c)*(a+b-c)*(a+c-b)*(b+c-a)
Tout calculs faits (pas faciles quand m�me) cela donne un c�t� du
triangle de longueur C=sqrt(25+12*sqrt(3)) et donc une aire
sqrt(3)C^2/4=(36+25 sqrt(3))/4
Si on met le point � l'ext�rieur, on peut avoir un c�t� proche de
2.05314 (racine carr�e d'une racine d'un polyn�me du 4�me degr�).
Ce serait beaucoup plus facile si on avait les distances aux c�t�s
du triangle �quilat�ral car la somme des 3 distances est constante,
et �gale � la hauteur.
Amiti�s
A. Caspis
> "Un point est distant de 3, 4 et 5 cm des 3 sommets d'un triangle
> �quilat�ral. Quelle est l'aire du triangle �quilat�ral ?"
http://docs.google.com/View?id=dcddfxs8_577g42gf2hp
Merci de nous avoir fait d�couvrir cette superbe d�monstration
(via Google).
AC
Philippe 92
> myname wrote:
>> "Un point est distant de 3, 4 et 5 cm des 3 sommets d'un triangle
>
> http://docs.google.com/View?id=dcddfxs8_577g42gf2hp
>
> Merci de nous avoir fait dï¿œcouvrir cette superbe dï¿œmonstration
> (via Google).
>
> AC
Non, non, merci ￜ toi (A. Caspis) de nous l'avoir citￜe !
C'est effectivement trï¿œs joli.
Beaucoup plus joli que le calcul du cￜtￜ du triangle ￜquilatￜral via
Al Kashi (en appelant a,b,c = PA,PB,PC et d = cￜtￜ du triangle
ï¿œquilatï¿œral ABC, x l'angle PCA) :
a^2 = c^2 + d^2 - 2.c.d.cos(x)
b^2 = c^2 + d^2 - 2.c.d.cos(pi/3 - x)
En ï¿œliminant x entre ces deux ï¿œquations, avec
cos(pi/3 - x) = cos(pi/3).cos(x) + sin(pi/3).sin(x) =
cos(x)/2 + sin(x).sqrt(3)/2
et sin^2(x) + cos^2(x) = 1, aprï¿œs moultes calculs et simplifications,
on obtient la formule amusante :
3(a^4 + b^4 + c^4 + d^4) = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2
et une ï¿œquation bicarrï¿œe donnant d en fonction de a,b,c.
Une autre solution est de considï¿œrer le volume du tï¿œtraï¿œdre
applati = 0, avec la formule de Pierro della Francesca qui donne le
volume d'un tￜtraￜdre ￜ partir de ses cￜtￜs, une gￜnￜralisation de la
formule de Heron ￜ l'espace.
Ceci est d'ailleurs (Heron et della Francesca) la simple application
de formules gï¿œnï¿œrales de "volumes" en dimension n par des dï¿œterminants.
Pour d'autres infos sur ce pb, voir aussi mon site
http://mathafou.free.fr/pbg/pb113.html
On s'y intￜresse ￜ la construction gￜomￜtrique de ABC, et aux cas oￜ
a,b,c,d sont entiers.
Le plus petit triangle avec cￜtￜ entier et point ￜ distances entiￜres
des sommets est de cￜtￜ 112, un point ￜ distances 57, 65, 73.
Amicalement.
--
Philippe C., mail : chephip
avec free.fr comme domaine
site : http://mathafou.free.fr/ (divertissements mathï¿œmatiques)
jc_lavau
Mathieu Morini�re trouve compl�tement autre chose avec Geogebra :
http://jeanlouis.moriniere.free.fr/2nde/triangle/triangle_3_4_5.html
Or c'est lui qui a le bon ordre de grandeur.
L'auteur de la d�mo �l�gante trouve environ cinq fois plus gros. Il a
donc aussi gliss� une erreur �l�gante...
--
Je suis las d'assurer un service public d'�ducation, qui me vaut tant
de coups de surin par les voyous du Net.
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Quantique_pour_les_nuls.html
http://quantic.deonto-ethics.org
claude
@shakotay.alphanet.ch:
> Mathieu Morini�re trouve compl�tement autre chose avec Geogebra
Il arrive au m�me r�sultat.
claude
Philippe 92
> jc_lavau wrote :
>
>> Mathieu Moriniï¿œre trouve complï¿œtement autre chose avec Geogebra
>> [http://jeanlouis.moriniere.free.fr/2nde/triangle/triangle_3_4_5.html]
> Il arrive au mï¿œme rï¿œsultat.
Le site de M. Moriniï¿œre n'est pas lisible :
applet signï¿œe (la bonne blague) gigantesque avec signature erronï¿œe.
Je ne peux donc pas dire ce que trouve M. Moriniï¿œre...
Quoi qu'il en soit la doc de google citï¿œe
(http://docs.google.com/View?id=dcddfxs8_577g42gf2hp)
donne bien le bon rï¿œsultat :
Aire = 9 + (25*rac(3)/4)
j'ai rajoutￜ une parenthￜse pour ￜtre sￜr de la lecture ASCII.
Lￜ est peut ￜtre l'interprￜtation erronￜe de JCL.
Par ailleurs je trouve le cotￜ s = rac(25 + 12*rac(3))
(via al Kashi poussￜ jusqu'au bout, cf. mon site)
Ce qui avec aire d'un triangle ï¿œquilatï¿œral = s^2 * rac(3)/4
donne exactement la mï¿œme valeur pour l'aire = 19.825...
Je ne vois pas oￜ JC Lavau voit "5 fois trop grand" dans la valeur
"ï¿œlï¿œgante"...
Amicalement.
PS : JCL, je n'ai pu voir ton post que via Googlebeurk, il n'apparaï¿œt
pas sur le serveur usenet de Free.
jc_lavau
> claude a ï¿œcrit :
>
>>jc_lavau wrote :
>>
>>
>>>Mathieu Moriniï¿œre trouve complï¿œtement autre chose avec Geogebra
>>>[http://jeanlouis.moriniere.free.fr/2nde/triangle/triangle_3_4_5.html]
>
>
>>Il arrive au mï¿œme rï¿œsultat.
>
>
> Le site de M. Moriniï¿œre n'est pas lisible :
> applet signï¿œe (la bonne blague) gigantesque avec signature erronï¿œe.
> Je ne peux donc pas dire ce que trouve M. Moriniï¿œre...
>
> Quoi qu'il en soit la doc de google citï¿œe
> (http://docs.google.com/View?id=dcddfxs8_577g42gf2hp)
>
> donne bien le bon rï¿œsultat :
> Aire = 9 + (25*rac(3)/4)
> j'ai rajoutￜ une parenthￜse pour ￜtre sￜr de la lecture ASCII.
> Lￜ est peut ￜtre l'interprￜtation erronￜe de JCL.
>
> Par ailleurs je trouve le cotￜ s = rac(25 + 12*rac(3))
> (via al Kashi poussￜ jusqu'au bout, cf. mon site)
>
> Ce qui avec aire d'un triangle ï¿œquilatï¿œral = s^2 * rac(3)/4
> donne exactement la mï¿œme valeur pour l'aire = 19.825...
>
> Je ne vois pas oￜ JC Lavau voit "5 fois trop grand" dans la valeur
> "ï¿œlï¿œgante"...
>
> Amicalement.
>
> PS : JCL, je n'ai pu voir ton post que via Googlebeurk, il n'apparaï¿œt
> pas sur le serveur usenet de Free.
Annulￜ : victime d'une ambigￜitￜ dans la prioritￜ opￜratoire.
En changeant la prioritￜ, cela devient bon.
claude
@free.fr:
> Le site de M. Morini�re n'est pas lisible :
Voici une image faite avec Geogebra.
C'est plus simple.
Philippe 92
> "Philippe 92" wrote :
>
>> Le site de M. Moriniï¿œre n'est pas lisible :
Merci.
C'est la construction classique avec les rotations.
Ceci ï¿œtant, c'est purement "contemplatif", la valeur exacte (avec les
rac(3)) ne ressort pas de Geogebra ;-)
Qui ne donne pas non plus la formule gï¿œnï¿œrale avec les distances a,b,c
quelconques.
claude
@free.fr:
> Ceci �tant, c'est purement "contemplatif", la valeur exacte (avec les
> rac(3)) ne ressort pas de Geogebra ;-)
J'ai essay� avec la demo de Geometry Expressions. J'obtiens un probl�me de
contraite. :-)
claude