Cercle tangent
claude
http://cjoint.com/data/gCdDfMgwlM.htm
Que chercher la racine de :
c2 r� + c1 r + c0 = 0
Les co�fficients:
c2 = 4 [ (a-b)(a-c)A� + (b-a)(b-c)B� + (c-a)(c-b)C� ]- (A+B+C)(-A+B+C)(A-
B+C)(A+B-C)
c1 = 2A^2 [(-a+b+c)(-a� + b� + c�) - (-a� + b� + c�) - a(-A� + B� + C�)]+
2B^2 [( a-b+c)( a� - b� + c�) - ( a� - b� + c�) - b( A� - B� + C�)]+ 2C�
[( a+b-c)( a� + b� - c�) - ( a� + b� - c�) - c( A� + B� - C�)]
c0 = (ABC)� - (A� + A� C� + B� C�)(a� + b� + c�)- (a� b� + a� c� + b� c�)
(A� + B� + C�)+ ((ABc)� + (AbC)� + (aBC)�) + 2((abC)� + (aBc)� + (Abc)�)+
(A^4 a� + B^4 b� + C^4 c�) + (a^4 A� + b^4 B� + c^4 C�)
spaceman
"claude" <thesmo...@gmail.com> a �crit dans le message de groupe de
discussion : Xns9C37DC0847B...@216.196.97.131...
Bonjour.
Je suppose que tu as suivi cette d�marche :
Soit O le centre du cercle de rayon r.
Soient Oa,Ob,Oc les centres des cercles de rayon a,b,c respectivement.
On a :
OOa=r+a
OOb=r+b
OOc=r+c
?
claude
$426a...@news.free.fr:
> Soit O le centre du cercle de rayon r.
> Soient Oa,Ob,Oc les centres des cercles de rayon a,b,c respectivement.
> On a :
> OOa=r+a
> OOb=r+b
> OOc=r+c
>
> ?
oui.
a,b,c et r sont les rayons.
A,B et C sont les c�t�s du triangle.
Lotre
je pense plusieurs choses ... en vrac :
- Ces formules ne sont pas belles
et ne me donnent pas envie de tenter les calculs ;o)
- il doit y avoir une erreur sur la "premi�re ligne" de c0
( A� tout seul -> pas "homog�ne")
Dans ce type de pb, l'�tude g�om�trique de la configuration peut
mettre en �vidence des chemins �l�gants
Qu'as tu test� ?
Trucs en vrac que je n'ai pas essay� mais qui pourraient peut-�tre
servir en utilisant des "propri�t�s connues de certains ensembles
remarquables" :
- Ensemble des centres des cercles tangents � deux cercles donn�s...
- si l'on prend une inversion ( en partant d'un des trois cercles )
que donne la figure r�sultante ?
- si l'on cherche � construire � la r�gle et au compas une "bonne
figure" :
* il est plus facile de placer d'abord le cercle de rayon r ( ouh
le tricheur)
les relations donnant les trois autres rayons permettent-elle
de retrouver r autrement ?
* "loyalement" est-ce constructible ? comment ....
HB
claude
@news.orange.fr:
> ( A� tout seul -> pas "homog�ne")
Oui, il y a une erreur, on devrez lire A�B�
c0 = (ABC)� - (A� B� + A� C� + B� C�)(a� + b� + c�)- (a� b� + a� c� + b� c�)
zwim
Lotre a �crit
Le lien sur Wolfram, donne la th�orie sous-jacente au pb d'Apollonius.
La construction en elle-m�me fait d�j� intervenir des calculs
(puissance d'un point par rapport � un cercle, centre radical, p�les
d'inversion).
http://mathworld.wolfram.com/ApolloniusProblem.html
La m�thode propos�e de calcul direct analytique semble plus simple,
mais ne conduit pas forc�ment � qq chose de simpliste.
Je traduis ici assez librement la partie construction pour les ceusses
qui seraient fach�s avec l'anglais :
*****
Sans doute la solution la plus �l�gante en revient � Gergonne.
Elle consiste � chercher les 6 centres d'homoth�ties (3 internes et 3
externes) pour les 3 cercles donn�s. [ndt: homoth�ties permettant de
transformer chacun des cercles en un des autres].
En reliant 3 par 3 ces points on obtient 4 droites (figure ci-dessus).
D�terminer ensuite les p�les d'inversion des cercles par rapport aux
droites [ndt: si (C) est un cercle de centre O et de rayon r, et H un
point sur la droite (D) tel que (OH) perpendiculaire � (D) alors le
p�le P est situ� sur [OH) et OP.OH = r�, ceci donne donc 4*3 = 12
p�les]
Connecter ces p�les au centre radical [ndt: le centre radical est le
point d'intersection des 3 droites radicales pour les 3 cercles pris
deux par deux, une droite radicale de deux cercles �tant le lieu des
points ayant la m�me puissance par rapport aux 2 cercles, i.e. p(M) =
OM�-r� = MA.MB pour toute corde [AB]].
Cela donne 24 points sur le contour des 3 cercles qui sont en fait les
points de tangence des cercles d'Appolonius.
*****
J'ai trouv� aussi un autre lien que voici,
http://www.reunion.iufm.fr/Dep/mathematiques/abracadabri/GeoPlane/Puissance/VieteDynamik.html
mais si les figures sont jolies, je trouve les explications qui vont
avec tr�s herm�tiques...
--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volont� humaine...
claude
4ax.com:
> La m�thode propos�e de calcul direct analytique semble plus simple,
Je vous remercie.
Je vais garder les calculs, le principal c'est que �a marche.
http://cjoint.com/data/gDcXvkANTr.htm
claude
Valeri Astanoff
> zwim <zwim@f_ree.fr> a ??????? news:mntf45lkrajcrf2p7907p9svdvj641fvg6@
> 4ax.com:
>
>
> Je vous remercie.
>
> Je vais garder les calculs, le principal c'est que ça marche.
>
> http://cjoint.com/data/gDcXvkANTr.htm
>
> claude
Bonjour,
Avec la formule suivante :
r = (1/2)* Sqrt[(a^2 - b^2 + C^2)^2/C^2 +
Abs[(b^2*B^2 + b^2*C^2 + B^2*C^2 - 2*c^2*C^2 - C^4 +
A^2*(-b^2 + C^2) + a^2*(A^2 - B^2 + C^2))/
(C*Sqrt[A^4 + (B^2 - C^2)^2 - 2*A^2*(B^2 + C^2)])]^2] - a
je trouve 17.2887 et non 16.0876
Peut-être quelqu'un d'autre pourrait-il vérifier ?...
--
V.Astanoff
zwim
Valeri Astanoff a �crit
>> zwim <zwim@f_ree.fr> a ??????? news:mntf45lkrajcrf2p7907p9svdvj641fvg6@
>> 4ax.com:
>>
>>
>> Je vous remercie.
>>
>> Je vais garder les calculs, le principal c'est que �a marche.
>>
>> http://cjoint.com/data/gDcXvkANTr.htm
>>
>> claude
>
>Bonjour,
>
>Avec la formule suivante :
>
>r = (1/2)* Sqrt[(a^2 - b^2 + C^2)^2/C^2 +
> Abs[(b^2*B^2 + b^2*C^2 + B^2*C^2 - 2*c^2*C^2 - C^4 +
> A^2*(-b^2 + C^2) + a^2*(A^2 - B^2 + C^2))/
>(C*Sqrt[A^4 + (B^2 - C^2)^2 - 2*A^2*(B^2 + C^2)])]^2] - a
>
>je trouve 17.2887 et non 16.0876
>
J'ai fait un dessin � l'echelle, le rayon est autour de 16, 17 est
clairement trop grand.
claude
4ax.com:
> J'ai fait un dessin
Autocad et Inventor les deux donnent 16.0876.
Avec Inventor les mesures des cercles sont des diam�tres.
Valeri Astanoff
> zwim <zwim@f_ree.fr> a ??????? news:jeoh4550hlp5oaavemg0ippppapvr1aj0p@
> 4ax.com:
>
> > J'ai fait un dessin
>
> Autocad et Inventor les deux donnent 16.0876.
>
>
> http://cjoint.com/data/gDsnhCVwTH.htm
Bonjour,
Il y a un truc un peu casse-pieds avec Mathematica,
c'est qu'on ne peut pas toujours respecter les notations
du problème. Par exemple ici on ne peut pas utiliser 'C'
qui est un symbole réservé et qu'on est obligé de
déprotéger si on veut l'utiliser quand même.
J'ai quand même fini (laborieusement ! ) par trouver
le bon rayon avec la séquence suivante, qui ne suppose
que peu de connaissance géométrique préalable :
In[1]:= Unprotect[C];
In[2]:= OA={0,0}; OB={C,0}; OC={cx,cy}; OM={x,y};
AM = OM-OA; BM = OM-OB; CM = OM-OC;
AB = OB-OA; BC = OC-OB; CA = OA-OC;
In[5]:= sol = Solve[BC.BC == A^2 && CA.CA == B^2,{cx,cy}] // Last ;
In[6]:= OC = {cx,cy} /. sol;
In[7]:= eq = (r == Norm[AM]-a == Norm[BM]-b == Norm[CM]-c) /.
sol // Simplify[#, x>0 && y>0 && 0<x<C]&;
In[8]:= r0 = r /. Solve[eq,r,{x,y}] // First // Simplify[#,x>0 && y>0
&& 0<x<C]&
Out[8]= (-2*a^3*A^2 - a*A^4 + a^2*A^2*b + a*A^2*b^2 + a*A^2*B^2 +
a^2*b*B^2 +
A^2*b*B^2 + a*b^2*B^2 - 2*b^3*B^2 - b*B^4 + a^2*A^2*c - A^2*b^2*c
-
a^2*B^2*c + b^2*B^2*c + a*A^2*c^2 - A^2*b*c^2 - a*B^2*c^2 +
b*B^2*c^2 + a*A^2*C^2 - a^2*b*C^2 - a*b^2*C^2 + b*B^2*C^2 +
a^2*c*C^2 + A^2*c*C^2 + b^2*c*C^2 + B^2*c*C^2 + a*c^2*C^2 +
b*c^2*C^2 - 2*c^3*C^2 - c*C^4 -
Sqrt[(-(A^2 - (b - c)^2))*(a^2 - B^2 - 2*a*c + c^2)*
(a^2 - 2*a*b + b^2 - C^2)*(A^4 + (B^2 - C^2)^2 -
2*A^2*(B^2 + C^2))])/(4*a^2*A^2 + A^4 + 4*b^2*B^2 + B^4 -
4*b*B^2*c - 2*B^2*C^2 - 4*b*c*C^2 + 4*c^2*C^2 + C^4 -
2*A^2*(B^2 - 2*b*c + C^2) - 4*a*(A^2*(b + c) + (b - c)*(B^2 -
C^2)))
In[9]:= r0 /. {a -> 5, b -> 9, c -> 6, A -> 39, B -> 37, C -> 42} // N
Out[9]= 16.0876
--
V.Astanoff
claude
r = ABC/ (4* aire du triangle)
r = ABC/ sqrt((A+B+C)*(-A+B+C)*(A-B+C)*(A+B-C))
claude
claude
4ax.com:
> Sans doute la solution la plus �l�gante en revient � Gergonne.
La voici sur Geogebra ( la version 3.2 est sorti).
ApolloniusCircles.ggb
http://cjoint.com/data/hguwbq3tP8.htm