Calcul de polynôme...

[alainv...@gmail.com]

Bonjour,

Comment peut-on effectuer le calcul de la somme
des seuls termes de forme (x-1)^(6n+4) du polynôme
(x^3+2)^19 , n entier non négatif,
Je donne ce cas à titre d'exemple,

Merci,
Alain

[Valeri Astanoff]

On 25 nov, 12:19, "alainvergh...@gmail.com" <alainvergh...@gmail.com>
wrote:

Bonjour Alain,

Avec l'aide d'un ordinateur c'est possible :
(exemple avec des exposants réduits)

In[1]:= p[x_] = (x^2+2)^3 ;

In[2]:= p1 = p[X+1] // Expand
Out[2]= 27 + 54X + 63X^2 + 44X^3 + 21X^4 + 6X^5 + X^6

In[3]:= p2 = Select[p1, Mod[Exponent[#,X],6] == 4&]
Out[3]= 21 X^4

In[4]:= p3 = p2 /. X -> x-1
Out[4]= 21(-1+x)^4

In[5]:= p3 // Expand
Out[5]= 21 - 84x + 126x^2 - 84x^3 + 21x^4

In[6]:= p4 = Select[p1, Mod[Exponent[#,X],6] != 4&]
Out[6]= 27 + 54X + 63X^2 + 44X^3 + 6X^5 + X^6

In[7]:= p5 = p4 /. X -> x-1
Out[7]= 27 + 54(-1+x) + 63(-1+x)^2 + 44(-1+x)^3 + 6(-1+x)^5 + (-1+x)^6

In[8]:= p5 // Expand
Out[8]= -13 + 84x - 114x^2 + 84x^3 - 15x^4 + x^6

vérifions que les deux morceaux p3 et p5
redonnent bien le polynome initial :

In[9]:= p3 + p5 == p[x] // Simplify
Out[9]= True

Sans ordinateur, je ne me prononce pas...
( surtout si c'est puissance 19 ! )

A bientôt pour d'autres exemples de la puissance
de mon outil favori dont je ne mentionne pas le nom
pour ne pas froisser certains honorables pédagogues
allergiques à tout ce qui est commercial !

--
V.Astanoff

[alainv...@gmail.com]

Cher Valeri,

J'ai bien lu ta réponse, je recherche une méthode assez
générale et qui ne fait pas appel au calcul différentiel.

Mon attaque s'est effectuée en deux temps:
1° décalage x=u+1 ; p(u)= ((u+1)^3+2)^19=(u^3+3u^2+3u+3)^19

2° utilisation d'un filtre pour sélectionner les termes u^(6n+4)
soit F = {p(u)+j^2.p(ju)+j.p(j^2u)+p(u)+j^2.p(-ju)+j.p(-j^2u)}/6 ,
ici j=(-1+Isqrt(3))/2.

Bien sûr,des outils de calculs sont nécessaires pour les étapes
1° et 2° ,

Les filtres nécessaires peuvent être construits,

Amicalement,
Alain