ln( -1 ) ?
jean-christophe
Je lis dans un bouquin de maths qu'il n'existe
pas de log d'un nombre négatif, mais pourtant :
ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
Est-ce que cela tient la route ?
JKB
ln( -1 ) ?,
jean-christophe ?crivait dans fr.sci.maths :
> Bonjour,
Bonsoir,
Oui. Votre bouquin doit parler des logarithmes réels.
JKB
--
Le cerveau, c'est un véritable scandale écologique. Il représente 2% de notre
masse corporelle, mais disperse à lui seul 25% de l'énergie que nous
consommons tous les jours.
Eric Petitjean
> Bonjour,
>
> Je lis dans un bouquin de maths qu'il n'existe
>
> ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
>
> Est-ce que cela tient la route ?
On a aussi ln(-1)=ln( e^(3i*pi) ) = 3i*pi ?
L'exponentielle complexe n'�tant pas injective, non, �a ne tient pas la
route.
Olivier Miakinen
>
> Je lis dans un bouquin de maths qu'il n'existe
Il n'en existe pas dans d'ensemble des rï¿œels IR. De mï¿œme qu'il n'existe
pas de racine carrￜe de -1 dans IR, ni d'opposￜ de -1 dans l'ensemble
des entiers naturels IN.
> mais pourtant :
>
> ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
>
> Est-ce que cela tient la route ?
On peut le dï¿œfinir comme ï¿œa, oui, pour avoir une valeur de ln(-1) et une
seule. Mais on peut aussi considï¿œrer que l'ensemble des valeurs de
ln(-1) est infini.
Tout dￜpend donc des dￜfinitions que tu te donnes pour ￜ ln ￜ mais aussi
pour ￜ = ￜ...
jean-christophe
> > ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
> > Est-ce que cela tient la route ?
> On a aussi ln(-1)=ln( e^(3i*pi) ) = 3i*pi ?
A mon sens oui, puisque e^k*i*pi = -1 pour tout entier | k | >= 1
et les angles sont connus a 2*k*pi près dans [ 0 ... 2*pi [
> L'exponentielle complexe n'étant pas injective,
> non, ça ne tient pas la route.
Ah.
jean-christophe
> > ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
> > Est-ce que cela tient la route ?
> Oui. Votre bouquin doit parler des logarithmes réels.
OK, merci, je me disais bien ...
Il y est aussi affirmé qu'il n'existe pas
d'exponentielle avec une base négative,
pourtant avec x < 0 on peut bien calculer x^k ?
Je ne saisis pas cette restriction ?
Olivier Miakinen
>
> Il y est aussi affirmￜ qu'il n'existe pas
> d'exponentielle avec une base nï¿œgative,
> pourtant avec x < 0 on peut bien calculer x^k ?
Oui, avec k entier. Mais (-1)^(1/2) n'existe pas dans IR -- sans parler
de (-pi)^(-pi) !
> Je ne saisis pas cette restriction ?
Et maintenant ?
jean-christophe
> > pas d'exponentielle avec une base négative,
> > pourtant avec x < 0 on peut bien calculer x^k ?
> Oui, avec k entier.
> Mais (-1)^(1/2) n'existe pas dans IR
>> sans parler de (-pi)^(-pi) !
Oui bien sur.
Autant dire que 2+2 n'a pas de solution ...
... dans l'ensemble des nombres premiers !
> > Je ne saisis pas cette restriction ?
> Et maintenant ?
Oui : si on cherche là ou il n'existe pas de solution ...
JKB
jean-christophe ?crivait dans fr.sci.maths :
> On Nov 12, 6:59 pm, Olivier Miakinen <om+n...@miakinen.net>
>
>> > ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
>> > Est-ce que cela tient la route ?
>
>> seule. Mais on peut aussi considérer que l'ensemble des valeurs de
>> ln(-1) est infini.
>
> Ok, si je comprends bien, cela découle bien de l'indétermination
> de l'angle k qui n'est connu qu'à 2*pi près dans e ^ i * k ?
>
>> Tout dépend donc des définitions que tu te donnes pour « ln »
>
> Hélène :-)
Oh la belle voiture ;-)
>> mais aussi pour « = »...
>
> 123456789 123456789 123456789 123456789 123456789 123456789 123456789
> Je vois.
>
> Si je cherche l'ensemble des solutions de y=ln(x) pour x<0 réél,
> sans rien présumer sur y, il me semble que y doit nécessairement
> etre complexe, de la forme y = ln(|x|) + i * pi
>
> En fait je cherchais pour z complexe,
> je trouve y = ln(z) = ln(||z||) + i * arg(z)
J'aurais tendance à écrire :
ln(||z||) + i * arg(z) + 2kpi avec k entier.
> Par curiosité je me demande s'il existe
> d'autres solutions avec y non complexe ?
Cordialement,
jean-christophe
> > ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
> > Est-ce que cela tient la route ?
> On peut le définir comme ça, oui, pour avoir une valeur de ln(-1) et une
> seule. Mais on peut aussi considérer que l'ensemble des valeurs de
> ln(-1) est infini.
Ok, si je comprends bien, cela découle bien de l'indétermination
de l'angle k qui n'est connu qu'à 2*pi près dans e ^ i * k ?
> Tout dépend donc des définitions que tu te donnes pour « ln »
Hélène :-)
> mais aussi pour « = »...
Je vois.
Si je cherche l'ensemble des solutions de y=ln(x) pour x<0 réél,
sans rien présumer sur y, il me semble que y doit nécessairement
etre complexe, de la forme y = ln(|x|) + i * pi
En fait je cherchais pour z complexe,
je trouve y = ln(z) = ln(||z||) + i * arg(z)
Par curiosité je me demande s'il existe
jean-christophe
> >> Tout dépend donc des définitions que tu te donnes pour « ln »
> > Hélène :-)
> Oh la belle voiture ;-)
Hein ?
> > En fait je cherchais pour z complexe,
> > je trouve y = ln(z) = ln(||z||) + i * arg(z)
>
> J'aurais tendance à écrire :
> ln(||z||) + i * arg(z) + 2kpi avec k entier.
Autant pour moi !
AP
<5...@free.fr> wrote:
>Bonjour,
>
>Je lis dans un bouquin de maths qu'il n'existe
>pas de log d'un nombre n�gatif, mais pourtant :
>
>ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
>
>Est-ce que cela tient la route ?
le mieux pour y voir clair est de prendre un bouquin qui traite des
fonctions de la variable complexe
y sera d�fini "les" logarithmes d'un nombre complexe
cela � partir du logaithme "habituel" d'un r�el positif
puis la notion de d�termination de logarithme :
Val
c'est comme la diff�rence qu'il y a entre (-1)*(3/2) et (-1)*(6/4)
Pour (-1)*(3/2) ca d�pend de la determination du log (1ere ou 2nde)
si on se place dans C (-1)*(3/2) � un sens c'est exp(-3ipi/2)
quand � (-1)*(6/4) ce n'est pas une notation commun�ment admise.
Val
revesdenuit
faut choisir une coupure
Eric Petitjean
Avouons que, dans ce contexte, c'est tr�s capillotract�
revesdenuit
MAI
> Bonjour,
>
> Je lis dans un bouquin de maths qu'il n'existe
>
> ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
>
> Est-ce que cela tient la route ?
Si on d�finit, comme le plus couramment le log n�p�rien dans C comme
une primitive de la fonction 1/z, z=0 reste un point singulier, et si on
suit les valeurs de ln(z) sur un chemin entourant z=0 on n'a pas la m�me
valeur quand on a fait un tour complet, mais la valeur initiale +2i<pi>
quand on tourne dans le sens direct (trigonom�trique) et -2i<pi> en sens
inverse.
Ceci peut �tre interpr�t� comme le r�sultat du th�or�me des r�sidus qui
sert souvent � calculer des int�grales d�finies : (sous sa forme la plus
simple) "l'int�grale d�finie d'une fonction sur un contour ferm� dans C
(parcouru dans le sens direct) est �gale � 2i<pi> fois la somme des
r�sidus pour les p�les inclus". Pour f(z)= 1/z le r�sidu au p�le 0 vaut 1.
Voir aussi les s�ries de Laurent : le r�sidu au p�le z=a est le
coefficient de 1/(z-a) dans le d�veloppement au voisinage de a.
Par exemple pour f(z)=1/(z�+1) les deux p�les sont z=i et z=-i et �
leur voisinage f(z) = 1/(z-i)*(2i) +... et f(z) = 1/(z+i)*(-2i)+...
Si on fait un tour dans le sens direct autour du point z=i l'int�grale
Atg(z) va �tre incr�ment�e de 2i<pi>/(2i) = <pi> r�sultat plus
intuitif pour l'arcTangente d�fini � k<pi> pr�s dans le domaine r�el que
pour le ln dans le domaine complexe.
CDT
BM
--
Nunc dimittis...
BM http://bernard-michaud.pagespro-orange.fr
AP
>jean-christophe a �crit :
>> Bonjour,
>>
>> Je lis dans un bouquin de maths qu'il n'existe
>> pas de log d'un nombre n�gatif, mais pourtant :
>>
>> ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
>>
>> Est-ce que cela tient la route ?
>
> Si on d�finit, comme le plus couramment le log n�p�rien dans C comme
>une primitive de la fonction 1/z, z=0 reste un point singulier, et si on
>suit les valeurs de ln(z) sur un chemin entourant z=0 on n'a pas la m�me
je ne sais pas si c'est vraiment la d�finition la plus courante moi
dans ts les bq ( 4 � des �poques diff�rentes) que j'ai on commence par
dire qu'une fonction log de D (ne contenant pas 0) dans C c'est f
telle que exp(f(z))=z pour tout z dans D
cad pour tout z dans D f(z) est une des solutions de l'�quation
exp(Z)=z (il y a une infint� de Z sauf si z=0 , puisque une exp est
tj non nulle : exp(x+iy)=exp(x)(cosy+isiny)
et de telles fonctions f qui sont continues sont appel�es
d�termination du log sur D :
si D est ouvert connexe ne contenant pas 0 une d�termination de log
est holomorphe sur D
et f'(z)=1/z
si D=C^*, il n'y a pas de d�termination
sur C-R^- , il y a :
f(z)=logz=ln|z|+iarg(z) , avec argz dans ]-pi;pi[
appel�e commun�ment "la" d�termination principale
mais on peut prendre aussi comme d�termination
sur C priv� des texp(iu), pour t dans R^+
f(z)=ln|z|+iarg(z), avec argz dans ]u;u+2pi[
MAI
> On Sat, 14 Nov 2009 22:12:55 +0100, MAI <mch...@orange.fr> wrote:
>
>>
> je ne sais pas si c'est vraiment la d�finition la plus courante moi
> dans ts les bq ( 4 � des �poques diff�rentes) que j'ai on commence par
> dire qu'une fonction log de D (ne contenant pas 0) dans C c'est f
> telle que exp(f(z))=z pour tout z dans D
> cad pour tout z dans D f(z) est une des solutions de l'�quation
> exp(Z)=z (il y a une infint� de Z sauf si z=0 , puisque une exp est
> tj non nulle : exp(x+iy)=exp(x)(cosy+isiny)
>
> et de telles fonctions f qui sont continues sont appel�es
> d�termination du log sur D :
> si D est ouvert connexe ne contenant pas 0 une d�termination de log
> est holomorphe sur D
> et f'(z)=1/z
>
> si D=C^*, il n'y a pas de d�termination
>
> sur C-R^- , il y a :
> f(z)=logz=ln|z|+iarg(z) , avec argz dans ]-pi;pi[
> appel�e commun�ment "la" d�termination principale
> mais on peut prendre aussi comme d�termination
> sur C priv� des texp(iu), pour t dans R^+
> f(z)=ln|z|+iarg(z), avec argz dans ]u;u+2pi[
>
l'enseignement que j'ai suivi a �t� assez tardif, car il r�sulte de la
convergence (!) de plusieurs notions, certaines pouvant �tre acquises en
parall�le. En voici quelques unes, liste sans doute non exhaustive :
a) Le logarithme "ordinaire" base 10 sur R+ dont la r�gle � calcul,
graphoplex entre autres -je l'ai toujours-, est la mat�rialisation ainsi
que les tables de log Bouvard et Ratinet (Terminale "math�matiques
�l�mentaires", mais peu approfondi � l'�poque vers 1962 )
b) La primitive de 1/x dans R+ : d�j� mieux on a le log n�p�rien et ses
propri�t�s ln(a*b) = ln(a) + ln(b) d�finition de e tel que ln(e)=1 (Msup)
c) L'exponentielle r�elle d�finie comme une s�rie ET comme fonction
r�ciproque de ln. Equation diff�rentielle f'(x)= f(x) (Msup)
d) Corps de complexes (Msup)
e) Fonctions de la variable complexe et s�ries sur C, exponentielle
complexe, formule de Moivre, trigonom�trie complexe (Msup...Msp�)
f) Applications � la g�om�trie plane, coordonn�es polaires .....(Msp�..)
etc...
Il existe donc -au moins pour pour moi- une profonde coh�rence entre les
approches alg�briques, analytiques et g�om�triques pourvu que les
notions de base sous-jacentes soient bien assimil�es, en particulier
les "limites" et la "continuit�", plus difficiles � acqu�rir que celles
de la th�orie des ensembles (groupe, anneaux, corps........).
Le plus gros probl�me qui se pose pour acqu�rir ces notions est le fait
que ce syst�me se "mord la queue" en ce sens que certains r�sultats
doivent �tre connus avant de pouvoir �tre justifi�s : on vous demande
d'accepter tel ou tel th�or�me sans vous en donner la d�monstration.
JKB
Re: ln( -1 ) ?,
jean-christophe ?crivait dans fr.sci.maths :
>
>> >> Tout dépend donc des définitions que tu te donnes pour « ln »
>> > Hélène :-)
>> Oh la belle voiture ;-)
>
> Hein ?
La Peugeot 104Z rebadgée en Pitroën du père Citron. Un truc que les
moins de vingt ans ne peuvent pas connaîiiiiitre ;-)
>> > En fait je cherchais pour z complexe,
>> > je trouve y = ln(z) = ln(||z||) + i * arg(z)
>>
>> J'aurais tendance à écrire :
>> ln(||z||) + i * arg(z) + 2kpi avec k entier.
>
> Autant pour moi !
>
>> > Par curiosité je me demande s'il existe
>> > d'autres solutions avec y non complexe ?
>>
>> Cordialement,
>> JKB
JKB
Mohwali Awamar
Oui:http://faq.maths.free.fr/html/node173.html
Mohwali Awamar
YBM
> On 12 nov, 18:50, jean-christophe <5...@free.fr> wrote:
>> Bonjour,
>>
>> Je lis dans un bouquin de maths qu'il n'existe
>>
>> ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
>>
>> Est-ce que cela tient la route ?
>
> Oui:http://faq.maths.free.fr/html/node173.html
Il faut �tre sacr�ment d�bile pour ne pas remarquer que cette page
est le r�sultat d'un fonctionnement foireux de LaTeX2HTML.
Vous pouvez trouver la FAQ en question au format pdf sur le m�me site :
http://faq.maths.free.fr/pub/faq.pdf
C'est tout joli, c'est compos� avec LaTeX � partir du m�me source
qui a donn� les pages html foireuses avec latex2html.
� la page 70 (num�rotation interne, p. 76 au sens pdf) vous trouverez
une version correcte de la page que vous citez sans rien comprendre
(normal, il n'y a rien � comprendre, ce qui est grave pour votre
diagnostic psychiatrique est que vous avez cru y comprendre quelque
chose...)
Vous devriez lire l'ensemble du document, afin d'apprendre ce qu'est
un cercle, pi, une fonction, une fonction trigonom�trique, une
d�monstration, etc.
Si vous �tes trop fain�ant pour ouvrir le pdf, la version correcte de
la section "Le point de vue th�ologique" qui parle de e et non de pi
est aussi l� : http://jp.xiasma.fr/node173.png
> Mohwali Awamar
Ah, effectivement, c'est toujours le m�me d�bile profond qui cite
cette page.
Mohwali Awamar
> Mohwali Awamar a écrit :
>
> > On 12 nov, 18:50, jean-christophe <5...@free.fr> wrote:
> >> Bonjour,
>
> >> Je lis dans un bouquin de maths qu'il n'existe
>
> >> ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
>
> >> Est-ce que cela tient la route ?
>
> > Oui:http://faq.maths.free.fr/html/node173.html
>
> est le résultat d'un fonctionnement foireux de LaTeX2HTML.
>
> Vous pouvez trouver la FAQ en question au format pdf sur le même site :
> http://faq.maths.free.fr/pub/faq.pdf
> C'est tout joli, c'est composé avec LaTeX à partir du même source
> qui a donné les pages html foireuses avec latex2html.
> à la page 70 (numérotation interne, p. 76 au sens pdf) vous trouverez
> une version correcte de la page que vous citez sans rien comprendre
> diagnostic psychiatrique est que vous avez cru y comprendre quelque
> chose...)
>
> Vous devriez lire l'ensemble du document, afin d'apprendre ce qu'est
> démonstration, etc.
>
> Si vous êtes trop fainéant pour ouvrir le pdf, la version correcte de
> la section "Le point de vue théologique" qui parle de e et non de pi
> est aussi là :http://jp.xiasma.fr/node173.png
>
> > Mohwali Awamar
>
> Ah, effectivement, c'est toujours le même débile profond qui cite
> cette page.
Non . Cette page contient l essentiel approprié de la réponse à la
question .Si vous souhaitez vous en convaincre:
http://groups.google.com.eg/group/fr.sci.philo/msg/f6cc61850c90dbc9
Mohwali Awamar
YBM
>>
>>> On 12 nov, 18:50, jean-christophe <5...@free.fr> wrote:
>>>> Bonjour,
>>>> Je lis dans un bouquin de maths qu'il n'existe
>>>> ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
>>>> Est-ce que cela tient la route ?
>>> Oui:http://faq.maths.free.fr/html/node173.html
>> est le r�sultat d'un fonctionnement foireux de LaTeX2HTML.
>>
>> Vous pouvez trouver la FAQ en question au format pdf sur le m�me site :
>> http://faq.maths.free.fr/pub/faq.pdf
>> C'est tout joli, c'est compos� avec LaTeX � partir du m�me source
>> qui a donn� les pages html foireuses avec latex2html.
>> une version correcte de la page que vous citez sans rien comprendre
>> diagnostic psychiatrique est que vous avez cru y comprendre quelque
>> chose...)
>>
>> Vous devriez lire l'ensemble du document, afin d'apprendre ce qu'est
>> d�monstration, etc.
>>
>> la section "Le point de vue th�ologique" qui parle de e et non de pi
>> est aussi l� :http://jp.xiasma.fr/node173.png
>>
>>> Mohwali Awamar
>> Ah, effectivement, c'est toujours le m�me d�bile profond qui cite
>> cette page.
>
> Non . Cette page contient l essentiel appropri� de la r�ponse � la
> question .Si vous souhaitez vous en convaincre:
> http://groups.google.com.eg/group/fr.sci.philo/msg/f6cc61850c90dbc9
Mis le nez dans sa profonde b�tise et sa non moins profonde hypocrisie,
Mohwalibaba Awamarabout botte dans le hors-sujet, comme � son habitude.
Mohwali Awamar
> jean-christophe a écrit :
>
> > Bonjour,
>
> > Je lis dans un bouquin de maths qu'il n'existe
>
> > ln( -1 ) = ln( e ^ (i*pi) ) = i * pi
>
> > Est-ce que cela tient la route ?
>
> On a aussi ln(-1)=ln( e^(3i*pi) ) = 3i*pi ?
>
> route.
Oui mais c est oublier que "les voix du seigneur sont impénetrables":
http://faq.maths.free.fr/html/node173.html
Une infinité de nombres reels définissent l angle droit.
Mohwali Awamar