Intégrale définie trigonométrique

[Valeri Astanoff]

[variante d'une question posée sur sci.math]

Comment montrer, sans faire appel aux résidus,
que l'intégrale de (sin(x+sin(k*x)))^2 de 0 à 2*pi
vaut pi pour tout k entier > 2 ?
Tout se passe comme si sin(k*x) était constant,
mais c'est un peu court comme preuve...

v.a.

[sotwafits]

Valeri Astanoff a �crit :
> [variante d'une question pos�e sur sci.math]
>
> Comment montrer, sans faire appel aux r�sidus,
> que l'int�grale de (sin(x+sin(k*x)))^2 de 0 � 2*pi

> vaut pi pour tout k entier > 2 ?

> Tout se passe comme si sin(k*x) �tait constant,

> mais c'est un peu court comme preuve...
>
> v.a.

Bonjour

Apr�s passage en exp complexe, on est ramen� au calcul de l'int�grale de
0 � 2pi de
exp( 2ix+2isin(kx) ) = exp(2ix)*exp(2isin(kx))
plus son conjugu�
plus un terme constant dont l'int�grale vaut justement pi.

Concentrons nous sur la fonction ci-dessus : on d�veloppe en s�rie
exponentielle :

exp(2isin(kx))=somme_{n>=0} (2isin kx)^n/n!

On fixe n, on multiplie par exp(2ix) et on int�gre de 0 � 2pi (il y a
une interversion � justifier par CVN) :
int_0^2pi exp(2ix)*(2isin kx)^n/n!

En d�veloppant par Euler+bin�me, on obtient des termes du genre
int_0^2pi exp[i*(2+kp)x] (p entier)
il est facile de voir que si k>2, alors cette int�grale est nulle
(car 2+kp ne peut pas �tre nul)

Voil�, j'esp�re ne pas me tromper. Il faut formaliser un peu tout �a.
Int�ressant probl�me en tous cas !

sotwafits

[Valeri Astanoff]

On 24 nov, 20:29, sotwafits <sotwaf...@billgates.microsoft.com> wrote:
> Valeri Astanoff a écrit :> [variante d'une question posée sur sci.math]

>
> > Comment montrer, sans faire appel aux résidus,

> > que l'intégrale de (sin(x+sin(k*x)))^2 de 0 à 2*pi

> > vaut pi pour tout k entier > 2 ?

> > Tout se passe comme si sin(k*x) était constant,

> > mais c'est un peu court comme preuve...
>
> > v.a.
>
> Bonjour
>

> Après passage en exp complexe, on est ramené au calcul de l'intégrale de
> 0 à 2pi de

> exp( 2ix+2isin(kx) ) = exp(2ix)*exp(2isin(kx))

> plus son conjugué
> plus un terme constant dont l'intégrale vaut justement pi.
>
> Concentrons nous sur la fonction ci-dessus : on développe en série

> exponentielle :
>
> exp(2isin(kx))=somme_{n>=0} (2isin kx)^n/n!
>

> On fixe n, on multiplie par exp(2ix) et on intègre de 0 à 2pi (il y a
> une interversion à justifier par CVN) :
> int_0^2pi exp(2ix)*(2isin kx)^n/n!
>
> En développant par Euler+binôme, on obtient des termes du genre

> int_0^2pi exp[i*(2+kp)x] (p entier)

> il est facile de voir que si k>2, alors cette intégrale est nulle
> (car 2+kp ne peut pas être nul)
>
> Voilà, j'espère ne pas me tromper. Il faut formaliser un peu tout ça.
> Intéressant problème en tous cas !
>
> sotwafits

Bonjour,

Je me suis permis de faire une vérification ordinateur
(voir ci-dessous) : ça marche impeccablement.
Merci.

v.a.

In[1]:= ex=(Sin[x+sin[k x]]^2 // TrigToExp // Expand) /. sin -> Sin
Out[1]= 1/2 - (1/4)*E^(-2*I*x - 2*I*Sin[k*x]) - (1/4)*E^(2*I*x +
2*I*Sin[k*x])

In[2]:= Simplify[ex[[2]] == (-(1/4))*(Sum[
(E^((-I)*k*x) - E^(I*k*x))^n/n!, {n, 0, Infinity}]/E^(2*I*x))]
Out[2]= True

In[3]:= Simplify[ex[[2]] == (-(1/4))*(Sum[Sum[
(E^((-I)*k*x))^m*(-E^(I*k*x))^(n - m)*Binomial[n, m],
{m, 0, n}]/n!, {n, 0, Infinity}]/E^(2*I*x))]
Out[3]= True

Intégration terme à terme :

In[4]:= Integrate[(E^((-I)*k*x))^m*(-E^(I*k*x))^(n - m), {x, 0, 2*Pi}]
Out[4]= -((I*(E^((-I)*(m - n)*Pi) - (E^(-2*I*k*Pi))^m*
(-E^(2*I*k*Pi))^(-m + n)))/(k*(2*m - n)))

In[5]:= %//Simplify[#,(k|m|n) \[Element] Integers]&
Out[5]= 0