définition théorique de limite
Julie
voilà la définition théorique de la limite est la suivante
f :Df-->|R a pour limite L au point a si pour tout epsilon >0 , il
existe alpha >0 tel que pour tout x dans Df |x-a|< alpha => |f(x)-
L|<epsilon
J'aimerais à partir de cette définition montrer que la fonction racine
carré a pour limite sqrt(a) quand x-->a.
J'arrive à le montrer quand a=0 il suffit de prendre alpha égal à
sqrt(epsilon)
Mais je n'arrive pas à le montrer quand a est different de 0
Quelqu'un pourrait il me donner une piste ??
Merci d'avance
Julie
Olivier
[...]
> Quelqu'un pourrait il me donner une piste ??
sqrt(a)-sqrt(x) = (a-x)/(sqrt(a)+sqrt(x))
JQCA,O.
Julie
du coup de vais avoir |(x-a)/(sqrt(x)-sqrt(a))|<epsilon
donc |x-a|<eps(sqrt(a)+sqrt(x))
Et là est ce que j'ai le droit de dire que
|sqrt(x)-sqrt(a)|<eps
donc sqrt(x)<eps+sqrt(a)
D'où
|x-a|< 2*eps*sqrt(a)+ eps^2
donc en prenant alpha égal à 2*eps*sqrt(a)+ eps^2 j'otiens bien le
résultat que je cherchais
Est ce que c'est correcte ???
Merci pour la piste et merci d'avance pour la réponse
Julie
Olivier a écrit :
Pichereau Alain
wrote:
>
>du coup de vais avoir |(x-a)/(sqrt(x)-sqrt(a))|<epsilon
>donc |x-a|<eps(sqrt(a)+sqrt(x))
>
>Et là est ce que j'ai le droit de dire que
>|sqrt(x)-sqrt(a)|<eps
>donc sqrt(x)<eps+sqrt(a)
cette implication est vraie, mais...
>D'où
>|x-a|< 2*eps*sqrt(a)+ eps^2
>donc en prenant alpha égal à 2*eps*sqrt(a)+ eps^2 j'otiens bien le
>résultat que je cherchais
on aurait alors
|sqrt(x)-sqrt(a)|=|x-a|/|sqrt(x)+sqrt(a)|<(2*eps*sqrt(a)+
eps^2)/|sqrt(x)+sqrt(a)| qui n'est pas forcément < à eps
(ex pour x=a)
>Est ce que c'est correcte ???
>Merci pour la piste et merci d'avance pour la réponse
>Julie
en fait on a
|sqrt(x)-sqrt(a)|=|x-a|/|sqrt(x)+sqrt(a)|<=|x-a|/(sqrt(a)) (cf a>0)
donc si on prend alpha=eps*sqrt(a)
alors |x-a|<alpha entraîne
|sqrt(x)-sqrt(a)|=|x-a|/|sqrt(x)+sqrt(a)|<=|x-a|/(sqrt(a))<eps*sqrt(a)/sqrt(a)=eps
Julie
Encore une petite question
Quelle est la méthode pour montrer de lim x^n=a^n lorsque x tend vers a?
parce que cette fois on ne peut pas se servir de la meme chose que pour
la racine carrée
peut etre est ce qu'il faut utiliser que
x^n - a^n =(x-a)(x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1))
est ce que c'est ça ou bien faut-il utiliser autre chose ??
Merci d'avance
Julie
Pichereau Alain a écrit :
alainv...@yahoo.fr
> ok merci c'est sur que c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais fait.
> Encore une petite question
> Quelle est la méthode pour montrer de lim x^n=a^n lorsque x tend vers a?
> parce que cette fois on ne peut pas se servir de la meme chose que pour
> la racine carrée
> peut etre est ce qu'il faut utiliser que
> x^n - a^n =(x-a)(x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1))
> est ce que c'est ça ou bien faut-il utiliser autre chose ??
> Merci d'avance
> Julie
>
> Pichereau Alain a écrit :
>
>
>
> > wrote:
>
> >> du coup de vais avoir |(x-a)/(sqrt(x)-sqrt(a))|<epsilon
> >> donc |x-a|<eps(sqrt(a)+sqrt(x))
>
> >> Et là est ce que j'ai le droit de dire que
> >> |sqrt(x)-sqrt(a)|<eps
> >> donc sqrt(x)<eps+sqrt(a)
> > cette implication est vraie, mais...
> >> D'où
> >> |x-a|< 2*eps*sqrt(a)+ eps^2
> >> donc en prenant alpha égal à 2*eps*sqrt(a)+ eps^2 j'otiens bien le
> >> résultat que je cherchais
> > on aurait alors
> > |sqrt(x)-sqrt(a)|=|x-a|/|sqrt(x)+sqrt(a)|<(2*eps*sqrt(a)+
> > eps^2)/|sqrt(x)+sqrt(a)| qui n'est pas forcément < à eps
> > (ex pour x=a)
> >> Est ce que c'est correcte ???
> >> Merci pour la piste et merci d'avance pour la réponse
> >> Julie
> > en fait on a
> > |sqrt(x)-sqrt(a)|=|x-a|/|sqrt(x)+sqrt(a)|<=|x-a|/(sqrt(a)) (cf a>0)
> > donc si on prend alpha=eps*sqrt(a)
> > alors |x-a|<alpha entraîne
>
>
> >> Olivier a écrit :
> >>> Julie a écrit :
> >>> [...]
>
> >>>> Quelqu'un pourrait il me donner une piste ??
>
> >>> sqrt(a)-sqrt(x) = (a-x)/(sqrt(a)+sqrt(x))
>
>
> - Afficher le texte des messages précédents -
Bonjour,
il me semble qu'à partir de la formule donnée par Olivier
avec x = a +eps ,nous avions
sqrt(a) - sqrt(a +eps) = {a - (a +eps)}/(sqrt(a) +sqrt(a + eps))
sqrt(a) - sqrt(a +eps) = -eps/(sqrt(a) +sqrt(a + eps))
pour eps -> 0
sqrt(a) - sqrt(a +eps) = 0/(2*sqrt(a)) = 0
Alain
Olivier
> ok merci c'est sur que c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais fait.
> Encore une petite question
> Quelle est la méthode pour montrer de lim x^n=a^n lorsque x tend vers a?
> parce que cette fois on ne peut pas se servir de la meme chose que pour
> la racine carrée
> peut etre est ce qu'il faut utiliser que
> x^n - a^n =(x-a)(x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1))
> est ce que c'est ça ou bien faut-il utiliser autre chose ??
Il faut, il faut ...
C'est sûr que *si* on sait écrire
f(x)-f(a)= (x-a) g(x,a)
pour une certaine quantité g(x,a) bornée quand x est
proche de a, *alors* on a gagné :-)
Donc utiliser l'identité que tu proposes
est une très bonne idée.
Cela a à voir avec la dérivabilité en fait,
mais par exemple, cette méthode ne fonctionne
pas quand la fonction admet une tangente verticale,
comme sqrt(x) au voisinage de x = 0.
La méthode fonctionne parfois alors que la fonction
n'est pas dérivablee et par exemple, elle
fonctionne pour montrer que x sin(1/x) est
continue en 0, alors que cette même fonction
n'y est pas dérivable. Ce sont toutefois là
des cas un peu pathologiques, c'est clair :-)
La continuité de g(x,a) en x est équivalente
à la dérivabilité au point a.
JQCA, O.
Hervé Chappe
Pour le cas particulier de la fonction racine, tu as une "astuce" :
Considère que :
x-a = (rac(x) - rac(a))(rac(x) + rac(a))
Donc :
rac(x) - rac(a) = (x-a)/(rac(x) + rac(a))
Et la fonction rac(x) étant continue, tu peux trouver un encadrement qui
va bien pour rac(x) + rac(a), et conclure.
Hervé
Julie a écrit :
Julie
ce sera bon !! Merci encore pour vos réponses
Julie
Olivier a écrit :
Olivier
> ok merci pour les réponses alors je vais prendre x assez proche de a et
> ce sera bon !! Merci encore pour vos réponses
Excellent ! C'était la bonne conclusion :-)
Amitiés,
Olivier
Pichereau Alain
wrote:
>ok merci c'est sur que c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais fait.
>Encore une petite question
>Quelle est la méthode pour montrer de lim x^n=a^n lorsque x tend vers a?
>parce que cette fois on ne peut pas se servir de la meme chose que pour
>la racine carrée
>peut etre est ce qu'il faut utiliser que
>x^n - a^n =(x-a)(x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1))
>est ce que c'est ça ou bien faut-il utiliser autre chose ??
si on veut faire une preuve uniquement via eps, alpha oui
x devant tendre vers a, on peut supposer x proche de a
par exemple
supposons x dans ]a-1;a+1[ (mais à la place de 1 on pourrait prendre
n'importe quoi d'autre : 100 ou 0.01)
donc |x|=|x-a+a|<=|x-a|+|a|<|a|+1 (a n'est pas forcément positif)
et alors |a*x^k|<(|a|+1)^(k+1), puisque |a|<|a|+1
et ainsi pour x dans ]a-1;a+1[
|x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1)|<=n(|a|+1)^(n-1)=K
(note : ce K ne dépend que de a et n qui sont des quantités fixées au
départ ; l'inégalité est stricte pour tout n>=2)
d'où prenons alpha=min(eps/K,1)
et supposons |x-a|<alpha
alors |x-a|<1, donc la majoration ci-dessus est valable
donc |x^n-a^n|<=K|x-a|, et comme aussi |x-a|<eps/K
on a bien |x^n-a^n|<eps
masterbech
"Julie" <julie...@orange.fr> a écrit dans le message de news:
482f3a61$0$873$ba4a...@news.orange.fr...
> ok merci c'est sur que c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais fait.
> Encore une petite question
> Quelle est la méthode pour montrer de lim x^n=a^n lorsque x tend vers a?
> parce que cette fois on ne peut pas se servir de la meme chose que pour la
> racine carrée
> peut etre est ce qu'il faut utiliser que
> x^n - a^n =(x-a)(x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1))
> est ce que c'est ça ou bien faut-il utiliser autre chose ??
Tu le montres trivialement en 0 et en 1 (somme de terme géométrique) puis tu
étends à a<>0 et 1 quelconque par homothétie. J'ai fais un petit texte sur
le thème
http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/sup/pcsi/cours/cours_01_puissances_exponentielles_logarithmes.pdf
Cela pourra peut-être t'intéresser (on peut considérablement l'alléger, je
le ferai plus tard)
Mathématiquement vôtre
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www.mathematiques.fr.st
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