Un triangle rectangle moyen...

[alainv...@gmail.com]

......................
Chaque triangle de longueurs respectives ai,bi,ci
vérifie la sacro-sainte relation de Pythagore :
ai^2 = bi^2 + ci^2 ,
Le triangle moyen de Quetelet a pour côtés :
A =sum(ai)/n , B =sum(bi)/n ,C =sum(ci)/n
et, puisque le carré de la somme n'est pas égal
à la somme des carrés, le 'triangle moyen' n'est
même pas rectangle!Un drôle de représentant!
.................
Quetelet ou l'homme moyen

[UGLi]

Dites donc, Alain, ne peut-on pas trouver une moyenne (telle la
géométrique et compagnie) telle que justement la moyenne de 2 triangle
rectangle soit également rectangle ?

UGLi

[Olivier Miakinen]

Bonjour,

Je ne vois pas l'article auquel tu réponds, mais je suppose que cela
fait référence à l'article de Tangente à propos d'Adolphe Quételet, et
des critiques qui ont été faites contre ses statistiques et ses calculs
de moyennes...

Bon, je prends la question au sérieux. On cherche une fonction f de
R+ × R+ dans R+ qui à tout couple (x,y) associe f(x,y) que l'on suppose
être une moyenne de x et de y, et qui vérifiera :
pour tout (a1, b1, c1, a2, b2, c2),
si (a1² + b1² = c1²) et (a2² + b2² = c2²)
alors f(a1,a2)² + f(b1,b2)² = f(c1,c2)²

Pour que ce machin ait vraiment une tête de « moyenne », on peut en
outre supposer que pour tout a et b on a f(a,a)=a et f(a,b)=f(b,a).

Du coup, si a²+b²=c², alors:
b²+a²=c²
f(a,b)² + f(b,a)² = f(c,c)²
2.f(a,b)² = c²
f(a,b) = racine((a²+b²)/2)

Il s'agit de la moyenne quadratique :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne#Moyenne_quadratique
et on peut vérifier qu'elle conserve les triangles rectangles, même
avec plus de deux triangles.

Voici maintenant une autre question : peut-on définir une moyenne qui
conserve les cubes ? Je veux dire une fonction f telle que, si on a deux
cubes de côtés a et b, alors le cube de côté f(a,b) ait un volume égal
à f(a³,b³), voire une surface égale à f(6.a²,6.b²), et ce pour toute
paire de nombres positifs (a,b) ?

[Olivier Miakinen]

Le 30/09/2008 14:49, Olivier Miakinen a écrit :
>
> Voici maintenant une autre question : peut-on définir une moyenne qui
> conserve les cubes ? Je veux dire une fonction f telle que, si on a deux
> cubes de côtés a et b, alors le cube de côté f(a,b) ait un volume égal
> à f(a³,b³), voire une surface égale à f(6.a²,6.b²), et ce pour toute
> paire de nombres positifs (a,b) ?

J'avais du mal à prouver qu'il ne peut pas en exister, et pour cause :
j'ai fini par en trouver deux, toutes deux citées sur la page déjà
indiquée <http://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne#Cas_g.C3.A9n.C3.A9ral>.

1) f(a,b) = racine(a.b)

2) f(a,b) = max(a,b)

Et il y en a même une troisième :

3) f(a,b) = min(a,b)

[UGLi]

Olivier Miakinen a écrit :

> Bonjour,
>
> Le 29/09/2008 19:56, UGLi a écrit :
>> Dites donc, Alain, ne peut-on pas trouver une moyenne (telle la
>> géométrique et compagnie) telle que justement la moyenne de 2 triangle
>> rectangle soit également rectangle ?
>
> Je ne vois pas l'article auquel tu réponds, mais je suppose que cela
> fait référence à l'article de Tangente à propos d'Adolphe Quételet, et
> des critiques qui ont été faites contre ses statistiques et ses calculs
> de moyennes...
>
> Bon, je prends la question au sérieux. On cherche une fonction f de
> R+ × R+ dans R+ qui à tout couple (x,y) associe f(x,y) que l'on suppose
> être une moyenne de x et de y, et qui vérifiera :
> pour tout (a1, b1, c1, a2, b2, c2),
> si (a1² + b1² = c1²) et (a2² + b2² = c2²)
> alors f(a1,a2)² + f(b1,b2)² = f(c1,c2)²
>
> Pour que ce machin ait vraiment une tête de « moyenne », on peut en
> outre supposer que pour tout a et b on a f(a,a)=a et f(a,b)=f(b,a).
>
> Du coup, si a²+b²=c², alors:
> b²+a²=c²
> f(a,b)² + f(b,a)² = f(c,c)²
> 2.f(a,b)² = c²
> f(a,b) = racine((a²+b²)/2)
>
> Il s'agit de la moyenne quadratique :

Bien joué ! Je n'avais pas eu le temps de me pencher dessus mais il me
semblait bien que "la moyenne quadratique" était faite pour ça (si vous
me permettez).

Peace
UGLi

[alainv...@gmail.com]

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Bonjour,

Nous pouvons aussi, si f est une fonction réelle strictement
croissante, définir une f moyenne m:
f(m) = sum(f(ai)) / n .
Mais comment justifier l'usage de ces diverses moyennes?

Alain

[UGLi]

> Nous pouvons aussi, si f est une fonction réelle strictement
> croissante, définir une f moyenne m:
> f(m) = sum(f(ai)) / n .

Oui et aussi si f(x,y) est la moyenne arithmétique et g une bijection :

g(f(g^-1(x),g^-1(y))) ... en conjuguant, quoi !

c'est comme ça que je trouve la moyenne harmonique et géométrique, moi.

> Mais comment justifier l'usage de ces diverses moyennes?

Par leur utilité si elles en ont une ?