TS Trigo, relation dans le triangle quelconque

[Matty]

Bonjour,

Encore un problème ou je coince:

Soit ABC un triangle isocèle en A. La bissectrice intérieure issue de B
coupe [AC] en I, on pose BC=a, BI = m et angl(ABC)=angl(ACB)=2x

Il fallait prouver que 2a/3<m<a racine(2), j'ai réussi.

Il fallait également montrer que m=a <=> x=pi/5 et en déduire la valeur
exacte de cos(pi/5). J'ai réussi également, cos pi/5 = (1+racine(5))/4

Par contre je suis coincé à la dernière question:

On suppose que: a=BC=5, m=BC=6, que peut on dire de l'angle BAC ?
Calculer la valeur exacte des cotés AB et AC.

Merci

Matty

[Philippe 92]

Matty a écrit :

De la même façon que tu as sans doute dû calculer cos pi/5 avec
a/m = 1, tu devrais pouvoir calculer cos(x) avec a/m quelconque,
à partir des relations dans le triangle BCI.

En particulier avec a = 5 et m (= BI) = 6.
Une fois cos(x) obtenu ainsi, l'angle A = pi - 4x donne
cos(A) = -cos(4x).
Une fois cos(A) obtenu, le calcul de AB et AC s'en déduit.
et surprise : ce sont des nombres entiers !

Bien entendu il faut faire des calculs avec les expressions exactes
jusqu'au bout (ne pas chercher à calculer la valeur de x mais
continuer uniquement avec ses fonctions trigonométriques).

Bon courage !

--
Philippe C., mail : chephip
avec free.fr comme domaine
site : http://mathafou.free.fr/ (divertissements mathématiques)

[Matty]

Philippe 92 a émis l'idée suivante:

> De la même façon que tu as sans doute dû calculer cos pi/5 avec
> a/m = 1, tu devrais pouvoir calculer cos(x) avec a/m quelconque,
> à partir des relations dans le triangle BCI.
>
> En particulier avec a = 5 et m (= BI) = 6.
> Une fois cos(x) obtenu ainsi, l'angle A = pi - 4x donne
> cos(A) = -cos(4x).
> Une fois cos(A) obtenu, le calcul de AB et AC s'en déduit.
> et surprise : ce sont des nombres entiers !
>
> Bien entendu il faut faire des calculs avec les expressions exactes
> jusqu'au bout (ne pas chercher à calculer la valeur de x mais
> continuer uniquement avec ses fonctions trigonométriques).

En fait j'avais commencé ainsi mais j'étais bloqué sur la phrase: "que
peut on dire de l'angle BAC ?", je m'attendais à une grande découverte,
je viens de réaliser qu'il s'agit simplement de constater que BAC = pi -
4x, je pense que pour l'énoncé il aurait été plus logique de demander
simplement de donner BAC en fonction de x.

J'ai donc suivi le raisonnement et j'ai trouvé AB = AC = 20 ce qui
semble correspondre.

Merci

Matty