composée de fonctions discontinues
poitou
Suite � l'exercice que j'ai pr�sent� dans mon pr�c�dent post (je s�che
toujours dessus...), je me pose la question suivante : la compos�e de deux
fonctions non continues peut-elle �tre continue ??
Merci d'avance !
Ga�tan
zwim
poitou a �crit
>Bonjour,
>
>Suite � l'exercice que j'ai pr�sent� dans mon pr�c�dent post (je s�che
>toujours dessus...), je me pose la question suivante : la compos�e de deux
>fonctions non continues peut-elle �tre continue ??
>Merci d'avance !
>
>Ga�tan
Le cas le plus simple pour comprendre c'est g n'importe quoi et f =
cst.
Alors f o g = cst qui est continue.
Maintenant si on veut que f soit discontinue aussi, voil� un autre
exemple.
H(x) = 0 si x<0 et H(x)=1 si x>=0. non continue en 0
f(x) = Khi[-2,2] c�d vaut 0 en dehors de [-2,2] et 1 dans
l'intervalle.
Comme H(x) ne prend que 2 valeurs 0 et 1 et que f(0)=f(1)=1 on a
encore f o H = 1 = cst qui est continue.
Etape suivante :
g : A ----> B avec g(A)=B et si f est continue sur B alors f o g sera
continue, m�me si f est discontinue en dehors de B.
On peut sans doute construire des exemples plus �labor�s, mais
l'important est de comprendre :
- que f doit gommer les discontinuit�s de g en prenant des valeurs
identiques dans les points de discontinuit� de g
- que g doit gommer les discontinuit�s de f en prenant ses valeurs
dans un sous ensemble de l'ensemble de d�finition de f dans lequel f
est continue.
--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volont� humaine...
lbh
> Le cas le plus simple pour comprendre c'est g n'importe quoi et f =
> cst.
> Alors f o g = cst qui est continue.
Dans ce cas f est continue, ce qui ne r�pond pas � la question.
Soit f la fonction d�finie sur R qui :
- associe 1 � tout nombre entier relatif ;
- associe 0 sinon.
Cette fonction n'est continue pour aucun entier.
Soit g la fonction d�finie sur R qui :
- associe 0 � tout nombre entier relatif ;
- associe 1 sinon.
Cette fonction n'est continue pour aucun entier.
si x est un entier, g(x)=0
donc f(g(x))=f(0)=1
si x n'est pas un entier, g(x)=1
donc f(g(x))=f(1)=1
donc, pour tout r�el x, fog est la fonction (continue) constante �gale � 1.
PS : ton autre exemple convient tr�s bien
PPS : Une analogie (vaseuse), la somme de deux rationnels est rationnelle.
On ne peut rien dire de la somme de deux irrationnels.
racine(2)+racine(3) est irrationnelle
racine(2)+(-racine(2)) est rationnelle