Developpement limité

[Cedric Lx]

Bonsoir,
j'ai un problème avec mon DM (prépa PC) sur les DL :
1) développement limité à la précision 1/n^3 de 1/n!*(somme de k=0 à n)de
k!
2) limite de la suite Un=(n*ln(ch(n)-1))/(n^2+1)
3) limite de la suite Un=n*(arctan(n)-((n*pi+1)/(2n+1)))
Pour les limites, l'indication est qu' il faut utiliser des équivalents ou
des dvpmt limité.
Merci d'avance.
Cédric

[bc92]

Cedric Lx a écrit :

> Bonsoir,
> j'ai un problème avec mon DM (prépa PC) sur les DL :
> 1) développement limité à la précision 1/n^3 de 1/n!*(somme de k=0 à n)de
> k!

Bonsoir,

Je ne sais pas trop ce qu'est 0! mais on va dire que c'est 0.

En posant u_n = (1/n!) Somme [(pour k= 0 à n) de k!] ,

a) Chercher une relation de récurrence du genre
u_n = a(n) + b(n) u_(n-1)
(je te laisse la chercher, c'est pas bien compliqué)

b) Additionner ligne à ligne après avoir astucieusement multiplié dans
chaque ligne les deux termes par le bon facteur [ c'est-à dire (n-1)
comme tu le verras si tu as résolu l'étape a) ].
A gauche ça se télescope (presque tout disparait), à droite on trouve
des sommes d'entiers connues et exprimables en fonction de n.
Etc.

Méthode assez générale à retenir pour ce genre de pb.

--
Cordialement,
Bruno

[jean-pierre.m]

Bonjour,
Par convention 0! = 1. Cela permet, par exemple, d'appliquer la formules des
combinaisons dans tous les cas même si le sous ensemble est egal à
l'ensemble.
Cordialement
J-P M

"bc92" <bruno....@free.fr.invalid> a écrit dans le message de
news:mn.65967d892...@free.fr.invalid...

[bc92]

jean-pierre.m a écrit :

> Bonjour,
> Par convention 0! = 1. Cela permet, par exemple, d'appliquer la formules des
> combinaisons dans tous les cas même si le sous ensemble est egal à
> l'ensemble.
> Cordialement
> J-P M

OK, j'aurais du vérifier ça avant de poster (désolé, mes maths sont
rouillées).

Je crois que ça ne change pas grand chose pour la piste de solution que
j'ai indiquée.

--
Cordialement,
Bruno

[Olivier]

[...]

> b) Additionner ligne à ligne après avoir astucieusement multiplié dans
> chaque ligne les deux termes par le bon facteur [ c'est-à dire (n-1)
> comme tu le verras si tu as résolu l'étape a) ].
> A gauche ça se télescope (presque tout disparait), à droite on trouve
> des sommes d'entiers connues et exprimables en fonction de n.
> Etc.

J'ai rien compris ---
??? J'ai raté un truc simple ??
A.O.

[bc92]

Olivier a écrit :

Euh, non, c'est moi qui débloque, mon truc ne marche pas.
Toutes mes excuses.

--
Cordialement,
Bruno

[Olivier]

bc92 a écrit :
[...]

> Euh, non, c'est moi qui débloque, mon truc ne marche pas.
> Toutes mes excuses.

Oh, cela m'est arrivé trop souvent pour jeter la pierre !!!
Bon, allez, un élément de solution :

La suite k! croît très très vite.

Du coup, dans la somme sum(k=0,n, k!) les derniers
termes sont déterminants.

J'espère que ça aide (et que je ne me suis pas
à mon tour pris les pieds dans le tapis :-)).
Amitiés,
Olivier

[acdc...@hotmail.com]

Excuse moi mais je ne comprends pas du tout comment trouver un DL de
cette suite, meme en sachant que k! croit tres tres vites.
(La sup est loin et les réflexes ne sont a mon avis toujours pas
revenus....)
Merci

[Olivier]

acdc...@hotmail.com a écrit :
[...]

> Excuse moi mais je ne comprends pas du tout comment trouver un DL de
> cette suite, meme en sachant que k! croit tres tres vites.

Simplement :

sum(k=0, n-4, k!) <= (n-3) (n-4)! = (n-3)!

et (n-3)! / n! = O(1/n^3)

Donc

sum(k=0, n, k!)/ n! = ( n! + (n-1)! + (n-2)! + (n-3)! ) / n! + O(1/n^3)

eh eh :-)
A.O.

[Olivier]

>>Merci !
>
>Oh, ya pas de quoi !

C'est-y pas beau la vie ???? O.

[bc92]

Olivier a écrit :

> sum(k=0, n-4, k!) <= (n-3) (n-4)! = (n-3)!
>
> et (n-3)! / n! = O(1/n^3)
>
> Donc
>
> sum(k=0, n, k!)/ n! = ( n! + (n-1)! + (n-2)! + (n-3)! ) / n! + O(1/n^3)
>
> eh eh :-)
> A.O.

Bonjour,

Vu que je me suis déjà totalement discrédité par mes interventions sur
ce fil :-) , je hasarde sans trop m'inquiéter de ma réputation fichue :

Ne convient-il pas de sommer de k=0 à k=n-5 pour obtenir la majoration
de la somme des termes correspondants par rapport à 1/n^3 ?

sum(k=0, n-5, k!) <= (n-4) (n-5)! = (n-4)!
et (n-4)! / n! = o(1/n^3)

Tu as employé O(1/n^3) (grand O au lieu de petit o) mais dans la
dernière ligne on a alors (n-3)!/n! + O(1/n^3) qui me laisse perplexe.

Que j'aie raison ou tort, belle technique.

--
Cordialement,
Bruno

[Olivier]

bc92 a écrit :
[...]

> Ne convient-il pas de sommer de k=0 à k=n-5 pour obtenir la majoration
> de la somme des termes correspondants par rapport à 1/n^3 ?

Si, si, je visais un O et non un o.
A.O.