Si la formule est récente je ne comprendrai peut-être pas, mais je croyais (en tout cas jusqu'à présent) qu'elle remonte à l'antiquité.
Cela veut donc dire que la surface de la sphère est égale à celle d'un rectangle de longueur 2 pi et de largeur 2 r, mais je me demande s'il faut commencer comme ça...
On 10 mai, 14:37, Forums <r...@club-internet.fr> wrote:
> A quel niveau ?
Je me suis arrêté en cours de 3e et 15 ans plus tard j'ai étudié avec un livre de seconde. Cela dit j'ai pu avaler l'annexe trigonométrique d'un ouvrage canadien du premier cycle. Donc je sais pas.
Je suis juste lycéenne (seconde) , mais je pense pouvoir t'aider car le raisonnement n'est pas encore trop compliqué :
Imagine une "sphère" (si on peut appeler ça comme ça !!!) qui serait formée d'un assemblage de "cônes de révolution" , tous identiques et reliés tous entre eux par le sommet (par leur "pointe") . Si tu peux te représenter un tel objet, alors mon explication te semblera simple . Sinon je crois qu'il vaudrait mieux que qqun d'autre explique mieux que moi .
On imagine (facilement ?) que , plus le rayon de la base de chaque cône est petit , plus il faudra de cônes pour former une "sphère" entière , mais surtout plus l'objet prendra la forme d'une sphère véritable . (Une infinité de cônes de révolution [qui se tiennent par le sommet et qui ont pour base juste une "tête d'épingle"] finit par donner une pelote d'épingles véritablement "sphérique") .
Or, les mathématiciens de l'Antiquité savaient déjà calculer le volume d'un cône de révolution (soit (1/3)*base*hauteur) ainsi que le volume d'une sphère, qui vaut (4*pi*R^3)/3 (en divisant la sphère en une infinité de cônes de révolution, justement) .
Donc , sur base du raisonnement dont je viens de te parler et en reliant les deux formules , ils ont obtenu : Volume de la sphère = volume de tous les cônes de révolution "à base microscopique , infinitésimale" Donc : (4*pi*R^3)/3 = (1/3)*toutes les bases*hauteur et en posant hauteur = rayon de la sphère = R , ça donne : (4*pi*R^3)/3 = (1/3)*toutes les bases*R Donc : toutes les bases = ( (4*pi*R^3)/3 ) divisé par ( (1/3)*R = 4*pi*R^2
Or , toutes les bases mises ensemble valent - plus chacune d'elles est petite - la superficie de la sphère , on l'a "vu".
Donc on a bien : superficie de la sphère = 4*pi*R^2 .
Voilà ! J'espère avoir été claire et ne pas avoir commis d'erreurs de retranscription .
andre.het...@gmail.com formula sa demande, presque ainsi :
> Mais comment le démontre-t-on ?
Bonjour (ou peut-être une très bonne fin de semaine),
Prenez un verre (avec une soucoupe, disposée dessous) plein d'eau et bien à ras bord, vous posez au dessus l'eau, très délicatement une petite bille en verre, puis vous mesurez ensuite le trop plein d'eau écoulé, vous prenez une autre bille plus grosse et ainsi de suite
Vous faites des statistiques proportionnelles (et) par rapport à la circonférence mesurée sur chacune d'entre-elles, la différence obtenue vous donnera le chiffre magique pi (si si, c'est fort possible). :oÞ
On 10 mai, 19:47, Ophélie D <ma136...@skynet.be> wrote:
> Bonjour ,
> Je suis juste lycéenne
Merci Ophélie. Je suppose que tu dois être + intelligente que moi puisque tu as au moins atteint la classe de seconde, et j'ai considéré ta réponse avec attention.
> Or, les mathématiciens de l'Antiquité savaient déjà calculer le volume d'un > cône de révolution (soit (1/3)*base*hauteur) ainsi que le volume d'une > sphère, qui vaut (4*pi*R^3)/3 (en divisant la sphère en une infinité de > cônes de révolution, justement) .
Si j'essayais de comprendre la formule de la surface c'est justement parce que je n'étais pas arrivé à démontrer directement la formule du volume, et que moi aussi je vois comment passer de la formule de la surface à celle du volume (ou le contraire).
Mais démontrer A à partir de B stipule qu'on s'interdise de démontrer B à partir de A (tout au moins si les deux démonstrations sont "connectées").
Je ne sais pas si c'est ce tu viens de faire ou si c'est moi qui ne comprends pas, mais je n'ai pas l'impression qu'on trouve la démo du volume de la sphère dans ce que tu dis.
Merci Ophélie. Je suppose que tu dois être + intelligente que moi puisque tu as au moins atteint la classe de seconde, et j'ai considéré ta réponse avec attention.
> Or, les mathématiciens de l'Antiquité savaient déjà calculer le volume > d'un > cône de révolution (soit (1/3)*base*hauteur) ainsi que le volume d'une > sphère, qui vaut (4*pi*R^3)/3 (en divisant la sphère en une infinité de > cônes de révolution, justement) .
Si j'essayais de comprendre la formule de la surface c'est justement parce que je n'étais pas arrivé à démontrer directement la formule du volume, et que moi aussi je vois comment passer de la formule de la surface à celle du volume (ou le contraire).
Mais démontrer A à partir de B stipule qu'on s'interdise de démontrer B à partir de A (tout au moins si les deux démonstrations sont "connectées").
Je ne sais pas si c'est ce tu viens de faire ou si c'est moi qui ne comprends pas, mais je n'ai pas l'impression qu'on trouve la démo du volume de la sphère dans ce que tu dis.
Tu as raison . En relisant mon message , j'ai aussi l'impression de n'avoir pas été suffisamment précise : En fait, ça fait un bon moment (voir sur Google "Cavalieri") , soit au début des années 1600 , que les mathématiciens possèdent une méthode mathématique "infaillible" (?) pour calculer le volume de la sphère . J'ai la démonstration (pas trop compliquée non plus , d'ailleurs) sous les yeux dans mon cours, mais l'ennui , c'est que sans les dessins , c'est difficile à expliquer (tu pourrais sûrement la trouver sur Google) . L'essentiel à en retenir ici , c'est que le calcul du volume de la sphère peut se faire par une méthode bien particulière qui n'a rien à voir avec tout ce que j'ai dit ici . Ce sont juste les résultats de cette méthode (soit volume = (4*pi*R^3)/3 ) que j'ai utilisés pour calculer l'aire de la sphère . Cela dit , c'est vrai que tout ceci ne nous fait pas remonter jusqu'à l'Antiquité , mais seulement jusqu'aux années 1600 . Donc , sans doute y a-t-il mieux comme explication . Je suis désolée de ne t'être pas d'une plus grande utilité . Et comme toi , j'attends l'intervention d'une personne qui en saura plus que nous .
andre.het...@gmail.com wrote: >4 pi r ^ 2 sauf erreur >Mais comment le démontre-t-on ?
Comme l'a montré Ophélie, calculer l'aire de la sphère revient à calculer le volume de la boule de rayon r : 4/3*Pi*r^3. (J'appelle sphère la surface limite de la boule).
Cette formule remonte à Archimède (Traité de la méthode). La démonstration est difficile (surtout sans dessin). Il opère comme suit.
Il considère a) une boule de rayon r b) un cône de révolution ayant son sommet O sur la sphère, ayant pour axe un diamètre de la sphère, l'angle entre son axe et l'une des droites génératrices du cône étant de 45°. La base du cône, tangent à la sphère au point diamétralement opposé à O est un cercle de rayon 2r. c) un cylindre de révolution ayant pour base la même base que le cône, et ayant pour hauteur 2r égal le diamètre de la sphère.
Etape 1) ********** Il coupe boule, cône et cylindre par un plan parallèle à la base du cône et du cylindre. Si ce plan est situé à une distance z de O, alors : 1) La section du cylindre par ce plan est un disque d'aire Pi*(2r)^2 puisque le rayon de la base du cylindre est 2r. 2) La section du cône par ce plan est un disque d'aire Pi*z^2 (le rayon de ce disque est égal à la distance z à O à cause de l'angle de 45° avec l'axe au sommet du cône) 3) La section de la boule par le plan est un disque dont le rayon R est tel que z*(2r-z)=R^2 (propriété classique d'une hauteur R sur un diamètre d'un cercle qu'il coupe en deux segments de longueur z et 2r-z). L'aire du disque est donc Pi*R^2 = Pi*z*(2r-z)
Etape 2) ********** Il place le disque, section du cylindre, sur le plateau droit d'une balance situé à une distance z du point d'équilibre O, et les deux autres disques (celui de la sphère et celui du cône) sur le plateau gauche de la balance supposé être placé à une distance 2r du point d'équilibre O. Il constate qu'il y a alors équilibre entre les deux plateaux car (égalité entre les produits des masses par les longueurs des bras de la balance) :
2r * ( Pi*z^2 + Pi*z*(2r-z) ) = z * Pi*(2r)^2
Etape 3) ********** Puisqu'il y a équilibre tranche par tranche, il en déduit que la totalité de la sphère et du cône, placés tous deux sur le plateau gauche de la balance à une distance 2r du point d'équilibre O, équilibrera le cylindre dont chaque tranche est laissée à sa place (la tranche située à une distance z de O est laissée à cette distance z) de sorte que le cylindre n'est pas déplacé).
Archimède connaît le volume du cylindre (Pi*(2r)^2*2r) et son centre de gravité est situé à la distance r de O. Il connaît le volume du cône (1/3*(2r)*Pi*(2r)^2). Soit V le volume inconnu de la boule. L'équilibre de la balance se traduit par :
(V + 1/3*(2r)*Pi*(2r)^2) * 2r = (Pi*(2r)^2*2r) * r
soit : V + 8/3*Pi*r^3 = 4*Pi*r^3
ou enfin V = 4/3*Pi*r^3 CQFD
Personnellement, je trouve incroyable qu'une telle abstraction ait pu être conçue au IIIème siècle avant JC.
L'aire de la sphère est également donnée par Archimède, par le même raisonnement que celui d'Ophélie.
Les démonstrations modernes utilisent le calcul intégral inventé à la fin du XVIIème par Newton et Leibniz mais ne sont accessibles qu'au niveau Terminale ou post-bac.
andre.het...@gmail.com avait exprimé avec précision, ceci :
> Mais comment le démontre-t-on ?
Bonjour (et peut-être une bonne fin de semaine),
Vous devez probablement savoir calculer l'aire, du cercle rayon(élevé au carré) et multiplié par pi :-? Merci de cliquer sur l' http://cjoint.com/?fllVUB8Itv !
Une sphère serait une sorte de 2 "cônes" "juxtaposés" Imagines ainsi <> et surtout pas comme, ceci-cela : l' http://cjoint.com/?fll0qGPoZ1 (inverser nos 2 bases "coniques")
Mais admettez que cette sphère, ne serait pas encore, géniale :/ Le but à atteindre serait l' http://cjoint.com/?fll5KIkdwK >:|
On Sat, 10 May 2008 08:40:00 -0700 (PDT), andre.het...@gmail.com wrote:
>On 10 mai, 14:37, Forums <r...@club-internet.fr> wrote:
>> A quel niveau ?
>Je me suis arrêté en cours de 3e et 15 ans plus tard j'ai étudié avec >un livre de seconde. Cela dit j'ai pu avaler l'annexe trigonométrique >d'un ouvrage canadien du premier cycle. Donc je sais pas.
>A. H.
voici la démo prépa une surface définie paramétriquement utilise 2 paramètres u et v qui peuvent être x et y si la surface est z=f(x,y) on calcule les vecteurs v1=dOM/du, v2=dOM/du on calcule w le produit vectoriel de v1 et v2 puis sa norme L et l'aire de la portion de surface correspondant à un domaine D de u et v est l'intégrale double sur ce domaine D de Ldudv
dans le cas de la sphère x=rcosucosv y=rcosusinv z=rsinu pour u entre -pi/2 et pi/2 (la latitude) v entre 0 et 2pi ou -pi et pi (la longitude )
on trouve L=r^2cosu (v a disparu) (on peut en fait ici éviter de faire un calcul effectif du produit vectoriel, car v1 et v2 sont orthogonaux ici )
tj est-il que l'aire de la sphère est l'integrale double de r^2cosududv sur (u,v) décrivant [-pi/2;pi/2]*[-pi;pi] soit r^2*2*pi*intégrale de -pi/2 à pi/2 de cosu soit r^2*2*pi*2 =4*r^2*pi
bien entendu cette méthode s'applique à d'autres surfaces que la sphère
et dans le cas d'une surface de révolution on peut donner une formule particulière
On 11 mai, 10:12, lavau.ger...@NOSPAMlaposte.net wrote:
> Cette formule remonte à Archimède (Traité de la méthode). > [...] > CQFD
Il faudra encore que je vérifie les calculs, mais je n'ai pas vu d'erreur de raisonnement ni d'ambigüité dans explication.
> Personnellement, je trouve incroyable qu'une telle abstraction ait pu > être conçue au IIIème siècle avant JC.
Oui.
> Les démonstrations modernes utilisent le calcul intégral inventé à la > fin du XVIIème par Newton et Leibniz mais ne sont accessibles qu'au > niveau Terminale ou post-bac.
Les explications de Pichereau (sans doute brillantes, elles me donnent une impression subjective de justesse) me semblent en effet un peu trop mystérieuse pour que j'ai cru devoir répondre à son message. Je ne connais pas le sens du mot intégrale.
Merci pour vos contributions (et dans ton cas pour la clarté de la formulation).
