Bonjour, voilà la définition théorique de la limite est la suivante f :Df-->|R a pour limite L au point a si pour tout epsilon >0 , il existe alpha >0 tel que pour tout x dans Df |x-a|< alpha => |f(x)- L|<epsilon
J'aimerais à partir de cette définition montrer que la fonction racine carré a pour limite sqrt(a) quand x-->a.
J'arrive à le montrer quand a=0 il suffit de prendre alpha égal à sqrt(epsilon) Mais je n'arrive pas à le montrer quand a est different de 0
Quelqu'un pourrait il me donner une piste ?? Merci d'avance Julie
du coup de vais avoir |(x-a)/(sqrt(x)-sqrt(a))|<epsilon donc |x-a|<eps(sqrt(a)+sqrt(x))
Et là est ce que j'ai le droit de dire que |sqrt(x)-sqrt(a)|<eps donc sqrt(x)<eps+sqrt(a) D'où |x-a|< 2*eps*sqrt(a)+ eps^2 donc en prenant alpha égal à 2*eps*sqrt(a)+ eps^2 j'otiens bien le résultat que je cherchais
Est ce que c'est correcte ??? Merci pour la piste et merci d'avance pour la réponse Julie
ok merci c'est sur que c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais fait. Encore une petite question Quelle est la méthode pour montrer de lim x^n=a^n lorsque x tend vers a? parce que cette fois on ne peut pas se servir de la meme chose que pour la racine carrée peut etre est ce qu'il faut utiliser que x^n - a^n =(x-a)(x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1)) est ce que c'est ça ou bien faut-il utiliser autre chose ?? Merci d'avance Julie
> On Sat, 17 May 2008 19:21:48 +0200, Julie <julie.83...@wanadoo.fr> > wrote:
>> du coup de vais avoir |(x-a)/(sqrt(x)-sqrt(a))|<epsilon >> donc |x-a|<eps(sqrt(a)+sqrt(x))
>> Et là est ce que j'ai le droit de dire que >> |sqrt(x)-sqrt(a)|<eps >> donc sqrt(x)<eps+sqrt(a) > cette implication est vraie, mais... >> D'où >> |x-a|< 2*eps*sqrt(a)+ eps^2 >> donc en prenant alpha égal à 2*eps*sqrt(a)+ eps^2 j'otiens bien le >> résultat que je cherchais > on aurait alors > |sqrt(x)-sqrt(a)|=|x-a|/|sqrt(x)+sqrt(a)|<(2*eps*sqrt(a)+ > eps^2)/|sqrt(x)+sqrt(a)| qui n'est pas forcément < à eps > (ex pour x=a) >> Est ce que c'est correcte ??? >> Merci pour la piste et merci d'avance pour la réponse >> Julie > en fait on a > |sqrt(x)-sqrt(a)|=|x-a|/|sqrt(x)+sqrt(a)|<=|x-a|/(sqrt(a)) (cf a>0) > donc si on prend alpha=eps*sqrt(a) > alors |x-a|<alpha entraîne
> ok merci c'est sur que c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais fait. > Encore une petite question > Quelle est la méthode pour montrer de lim x^n=a^n lorsque x tend vers a? > parce que cette fois on ne peut pas se servir de la meme chose que pour > la racine carrée > peut etre est ce qu'il faut utiliser que > x^n - a^n =(x-a)(x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1)) > est ce que c'est ça ou bien faut-il utiliser autre chose ?? > Merci d'avance > Julie
> Pichereau Alain a écrit :
> > On Sat, 17 May 2008 19:21:48 +0200, Julie <julie.83...@wanadoo.fr> > > wrote:
> >> du coup de vais avoir |(x-a)/(sqrt(x)-sqrt(a))|<epsilon > >> donc |x-a|<eps(sqrt(a)+sqrt(x))
> >> Et là est ce que j'ai le droit de dire que > >> |sqrt(x)-sqrt(a)|<eps > >> donc sqrt(x)<eps+sqrt(a) > > cette implication est vraie, mais... > >> D'où > >> |x-a|< 2*eps*sqrt(a)+ eps^2 > >> donc en prenant alpha égal à 2*eps*sqrt(a)+ eps^2 j'otiens bien le > >> résultat que je cherchais > > on aurait alors > > |sqrt(x)-sqrt(a)|=|x-a|/|sqrt(x)+sqrt(a)|<(2*eps*sqrt(a)+ > > eps^2)/|sqrt(x)+sqrt(a)| qui n'est pas forcément < à eps > > (ex pour x=a) > >> Est ce que c'est correcte ??? > >> Merci pour la piste et merci d'avance pour la réponse > >> Julie > > en fait on a > > |sqrt(x)-sqrt(a)|=|x-a|/|sqrt(x)+sqrt(a)|<=|x-a|/(sqrt(a)) (cf a>0) > > donc si on prend alpha=eps*sqrt(a) > > alors |x-a|<alpha entraîne
> >> Olivier a écrit : > >>> Julie a écrit : > >>> [...]
> >>>> Quelqu'un pourrait il me donner une piste ??
> >>> sqrt(a)-sqrt(x) = (a-x)/(sqrt(a)+sqrt(x))
> >>> JQCA,O.- Masquer le texte des messages précédents -
> - Afficher le texte des messages précédents -
Bonjour,
il me semble qu'à partir de la formule donnée par Olivier avec x = a +eps ,nous avions sqrt(a) - sqrt(a +eps) = {a - (a +eps)}/(sqrt(a) +sqrt(a + eps)) sqrt(a) - sqrt(a +eps) = -eps/(sqrt(a) +sqrt(a + eps)) pour eps -> 0 sqrt(a) - sqrt(a +eps) = 0/(2*sqrt(a)) = 0
> ok merci c'est sur que c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais fait. > Encore une petite question > Quelle est la méthode pour montrer de lim x^n=a^n lorsque x tend vers a? > parce que cette fois on ne peut pas se servir de la meme chose que pour > la racine carrée > peut etre est ce qu'il faut utiliser que > x^n - a^n =(x-a)(x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1)) > est ce que c'est ça ou bien faut-il utiliser autre chose ??
Il faut, il faut ... C'est sûr que *si* on sait écrire f(x)-f(a)= (x-a) g(x,a) pour une certaine quantité g(x,a) bornée quand x est proche de a, *alors* on a gagné :-) Donc utiliser l'identité que tu proposes est une très bonne idée.
Cela a à voir avec la dérivabilité en fait, mais par exemple, cette méthode ne fonctionne pas quand la fonction admet une tangente verticale, comme sqrt(x) au voisinage de x = 0.
La méthode fonctionne parfois alors que la fonction n'est pas dérivablee et par exemple, elle fonctionne pour montrer que x sin(1/x) est continue en 0, alors que cette même fonction n'y est pas dérivable. Ce sont toutefois là des cas un peu pathologiques, c'est clair :-)
La continuité de g(x,a) en x est équivalente à la dérivabilité au point a.
Pour le cas particulier de la fonction racine, tu as une "astuce" : Considère que : x-a = (rac(x) - rac(a))(rac(x) + rac(a)) Donc : rac(x) - rac(a) = (x-a)/(rac(x) + rac(a)) Et la fonction rac(x) étant continue, tu peux trouver un encadrement qui va bien pour rac(x) + rac(a), et conclure.
> Bonjour, > voilà la définition théorique de la limite est la suivante > f :Df-->|R a pour limite L au point a si pour tout epsilon >0 , il > existe alpha >0 tel que pour tout x dans Df |x-a|< alpha => |f(x)- > L|<epsilon
> J'aimerais à partir de cette définition montrer que la fonction racine > carré a pour limite sqrt(a) quand x-->a.
> J'arrive à le montrer quand a=0 il suffit de prendre alpha égal à > sqrt(epsilon) > Mais je n'arrive pas à le montrer quand a est different de 0
> Quelqu'un pourrait il me donner une piste ?? > Merci d'avance > Julie
> Julie a écrit : >> ok merci c'est sur que c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais >> fait. >> Encore une petite question >> Quelle est la méthode pour montrer de lim x^n=a^n lorsque x tend vers a? >> parce que cette fois on ne peut pas se servir de la meme chose que >> pour la racine carrée >> peut etre est ce qu'il faut utiliser que >> x^n - a^n =(x-a)(x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1)) >> est ce que c'est ça ou bien faut-il utiliser autre chose ??
> Il faut, il faut ... > C'est sûr que *si* on sait écrire > f(x)-f(a)= (x-a) g(x,a) > pour une certaine quantité g(x,a) bornée quand x est > proche de a, *alors* on a gagné :-) > Donc utiliser l'identité que tu proposes > est une très bonne idée.
> Cela a à voir avec la dérivabilité en fait, > mais par exemple, cette méthode ne fonctionne > pas quand la fonction admet une tangente verticale, > comme sqrt(x) au voisinage de x = 0.
> La méthode fonctionne parfois alors que la fonction > n'est pas dérivablee et par exemple, elle > fonctionne pour montrer que x sin(1/x) est > continue en 0, alors que cette même fonction > n'y est pas dérivable. Ce sont toutefois là > des cas un peu pathologiques, c'est clair :-)
> La continuité de g(x,a) en x est équivalente > à la dérivabilité au point a.
On Sat, 17 May 2008 22:04:51 +0200, Julie <julie.83...@orange.fr> wrote:
>ok merci c'est sur que c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais fait. >Encore une petite question >Quelle est la méthode pour montrer de lim x^n=a^n lorsque x tend vers a? >parce que cette fois on ne peut pas se servir de la meme chose que pour >la racine carrée >peut etre est ce qu'il faut utiliser que >x^n - a^n =(x-a)(x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1)) >est ce que c'est ça ou bien faut-il utiliser autre chose ??
si on veut faire une preuve uniquement via eps, alpha oui
x devant tendre vers a, on peut supposer x proche de a par exemple supposons x dans ]a-1;a+1[ (mais à la place de 1 on pourrait prendre n'importe quoi d'autre : 100 ou 0.01) donc |x|=|x-a+a|<=|x-a|+|a|<|a|+1 (a n'est pas forcément positif)
et alors |a*x^k|<(|a|+1)^(k+1), puisque |a|<|a|+1 et ainsi pour x dans ]a-1;a+1[
(note : ce K ne dépend que de a et n qui sont des quantités fixées au départ ; l'inégalité est stricte pour tout n>=2) d'où prenons alpha=min(eps/K,1)
et supposons |x-a|<alpha alors |x-a|<1, donc la majoration ci-dessus est valable donc |x^n-a^n|<=K|x-a|, et comme aussi |x-a|<eps/K on a bien |x^n-a^n|<eps
